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信息论information theory在统计物理学(热力学)、计算机科学(柯尔莫哥洛夫复杂性或算法复杂性)、统计推断(奥卡姆剃刀:“最简单的解释是最好的”)以及概率和统计学(最优假设检验和估计的误差指数)方面都做出了根本性的贡献。

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数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of a System of Interacting Particles in Pairs Only

In this section we consider a special case of a system of interacting particles. We start with an ideal gas-i.e. system for which we can neglect all intermolecular interactions. Strictly speaking, such a system does not exist. However, if the gas is very dilute such that the average intermolecular distance is very large the system behaves as if there are no interactions among the particle.

Next, we increase the density of the particles. At first we shall find that pairinteractions affect the thermodynamics of the system. Increasing further the density, triplets, quadruplets, and so on interactions, will also affect the behavior of the system. In the following we provide a very brief description of the first order deviation from ideal gas; systems for which one must take into account pair-interactions but neglect triplet and higher order interactions. The reader who is not interested in the details of the derivation can go directly to the result in Eq. (2.51) and the following analysis of the MI.

We start with the general configurational PF of the system, Eq. (2.31) which we rewrite in the form:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j} \exp \left[-\beta U_{i j}\right]
$$
where $U_{i j}$ is the pair potential between particles $i$ and $j$. It is assumed that the total potential energy is pairwise additive.
Define the so-called Mayer $f$-function, by:
$$
f_{i j}=\exp \left(-\beta U_{i j}\right)-1
$$
We can rewrite $Z_N$ as:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j}\left(f_{i j}+1\right)=\int d R^N\left[1+\sum_{i<j} f_{i j}+\sum f_{i j} f_{j k}+\cdots\right]
$$
Neglecting all terms beyond the first sum, we obtain:
$$
Z_N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} \int f_{12} d R^N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} V^{N-2} \int f_{12} d R_1 d R_2
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Entropy-Change in Phase Transition

In this section, we shall discuss the entropy-changes associated with phase transitions. Here, by entropy we mean thermodynamic entropy, the units of which are cal/(deg $\mathrm{mol}$ ). However, as we have seen in Chap. 5 of Ben-Naim [1]. The entropy is up to a multiplicative constant an SMI defined on the distribution of locations and velocities (or momenta) of all particles in the system at equilibrium. To convert from entropy to SMI one has to divide the entropy by the factor $k_B \log _e 2$, where $k_B$ is the Boltzmann constant, and $\log _e 2$ is the natural $\log$ arithm of 2 , which we denote by $\ln 2$. Once we do this conversion from entropy to SMI we obtain the SMI in units of bits. In this section we shall discuss mainly the transitions between gases, liquids and solids. Figure 2.9 shows a typical phase diagram of a one-component system. For more details on phase diagrams, see Ben-Naim and Casadei [8].

It is well-known that solid has a lower entropy than liquid, and liquid has a lower entropy of a gas. These facts are usually interpreted in terms of order-disorder. This interpretation of entropy is invalid; more on this in Ben-Naim [6]. Although, it is true that a solid is viewed as more ordered than liquid, it is difficult to argue that a liquid is more ordered or less ordered than a gas.

In the following we shall interpret entropy as an SMI, and different entropies in terms of different MI due to different intermolecular interactions. We shall discuss changes of phases at constant temperature. Therefore, all changes in SMI (hence, in entropy) will be due to locational distributions; no changes in the momenta distribution.

The line SG in Fig. 2.9 is the line along in which solid and gas coexist. The slope of this curve is given by:
$$
\left(\frac{d P}{d T}\right)_{e q}=\frac{\Delta S_s}{\Delta V_s}
$$
In the process of sublimation ( $s$, the entropy-change and the volume change for both are always positive. We denoted by $\Delta V_s$ the change in the volume of one mole of the substance, when it is transferred from the solid to the gaseous phase. This volume change is always positive. The reason is that a mole of the substance occupies a much larger volume in the gaseous phase than in the liquid phase (at the same temperature and pressure).

The entropy-change $\Delta S_s$ is also positive. This entropy-change is traditionally interpreted in terms of transition from an ordered phase (solid) to a disordered (gaseous) phase. However, the more correct interpretation is that the entropy-change is due to two factors; the huge increase in the accessible volume available to each particle and the decrease in the extent of the intermolecular interaction. Note that the slope of the SG curve is quite small (but positive) due to the large $\Delta V_s$.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of a System of Interacting Particles in Pairs Only

在本节中，我们考虑一个相互作用粒子系统的特殊情况。我们从理想气体开始，即。我们可以忽略所有分子间相互作用的系统。严格来说，这样的制度是不存在的。然而，如果气体非常稀，使得平均分子间距离非常大，则系统表现得好像粒子之间没有相互作用。

接下来，我们增加粒子的密度。首先，我们将发现对相互作用影响系统的热力学。进一步增加密度，三联体、四联体等相互作用，也会影响系统的行为。下面我们对理想气体的一阶偏差作一个非常简短的描述;必须考虑成对相互作用而忽略三重态和高阶相互作用的系统。对推导细节不感兴趣的读者可以直接查看公式(2.51)中的结果和下面对MI的分析。

我们从系统的一般构型PF方程(2.31)开始，将其改写为:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j} \exp \left[-\beta U_{i j}\right]
$$
其中$U_{i j}$是粒子$i$和$j$之间的对势。假定总势能是两两相加的。
定义所谓的Mayer $f$ -函数:
$$
f_{i j}=\exp \left(-\beta U_{i j}\right)-1
$$
我们可以把$Z_N$写成:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j}\left(f_{i j}+1\right)=\int d R^N\left[1+\sum_{i<j} f_{i j}+\sum f_{i j} f_{j k}+\cdots\right]
$$
忽略第一个和以外的所有项，我们得到:
$$
Z_N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} \int f_{12} d R^N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} V^{N-2} \int f_{12} d R_1 d R_2
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Entropy-Change in Phase Transition

在本节中，我们将讨论与相变有关的熵变。这里，熵指的是热力学熵，单位是卡/(度$\mathrm{mol}$)。然而，正如我们在Ben-Naim[1]的第五章中所看到的。熵是一个乘法常数和SMI，定义在平衡状态下系统中所有粒子的位置和速度(或动量)的分布。要将熵转换为SMI，必须将熵除以因子$k_B \log _e 2$，其中$k_B$是玻尔兹曼常数，$\log _e 2$是2的自然$\log$算法，我们用$\ln 2$表示。一旦我们完成了从熵到SMI的转换，我们就得到了以比特为单位的SMI。在本节中，我们将主要讨论气体、液体和固体之间的转变。图2.9为单组分系统的典型相图。有关相图的更多细节，请参见Ben-Naim和Casadei[8]。

众所周知，固体的熵比液体小，而液体的熵比气体小。这些事实通常用有序-无序来解释。这种对熵的解释是无效的;Ben-Naim[6]对此有更详细的介绍。虽然固体确实被认为比液体更有序，但很难说液体比气体更有序还是更无序。

在下文中，我们将熵解释为SMI，不同的熵解释为由于不同的分子间相互作用而产生的不同的MI。我们将讨论恒温下相的变化。因此，SMI的所有变化(也就是熵的变化)都是由位置分布引起的;动量分布没有变化。

图2.9中SG线为固气共存线。曲线的斜率为:
$$
\left(\frac{d P}{d T}\right)_{e q}=\frac{\Delta S_s}{\Delta V_s}
$$
在升华过程中($s$)，两者的熵变和体积变都是正的。我们用$\Delta V_s$表示一摩尔物质从固相变为气相时体积的变化。体积变化总是正的。原因是一摩尔的物质在气相中比在液相中(在相同的温度和压力下)占有更大的体积。

熵变$\Delta S_s$也是正的。这种熵变传统上被解释为从有序相(固体)到无序相(气体)的转变。然而，更正确的解释是，熵的变化是由于两个因素;每个粒子可用的可接近体积的巨大增加和分子间相互作用程度的减少。请注意，由于$\Delta V_s$较大，SG曲线的斜率相当小(但为正)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|信息论代写information theory代考|The Forth Step: The SMI of Locations and Momenta
of N Independent Particles in a Box of Volume V.
Adding a Correction Due to Indistinguishability
of the Particles

The final step is to proceed from a single particle in a box, to $N$ independent particles in a box of volume $V$, Fig. 2.4.

We say that we know the microstate of the particle, when we know the location $(x, y, z)$, and the momentum $\left(p_x, p_y, p_z\right)$ of one particle within the box. For a system of $N$ independent particles in a box, we can write the SMI of the system as $N$ times the SMI of one particle, i.e., we write:
$$
\mathrm{SMI}(N \text { independent particles })=N \times \mathrm{SMI} \text { (one particle) }
$$
This is the SMI for $N$ independent particles. In reality, there could be correlation among the microstates of all the particles. We shall mention here correlations due to the indistinguishability of the particles, and correlations is due to intermolecular interactions among all the particles. We shall discuss these two sources of correlation separately. Recall that the microstate of a single particle includes the location and the momentum of that particle. Let us focus on the location of one particle in a box of volume $V$. We write the locational SMI as:
$$
H_{\max }(\text { location })=\log V
$$
For $N$ independent particles, we write the locational SMI as:
$$
H_{\max } \text { (locations of N particles) }=\sum_{i=1}^N H_{\max }(\text { one particle })
$$
Since in reality, the particles are indistinguishable, we must correct Eq. (2.22). We define the mutual information corresponding to the correlation between the particles as:

$$
I(1 ; 2 ; \ldots ; N)=\ln N !
$$
Hence, instead of (2.22), for the SMI of $N$ indistinguishable particles, will write:
$$
H(\text { Nparticles })=\sum_{i=1}^N H(\text { oneparticle })-\ln N !
$$
A detailed justification for introducing $\ln N$ ! as a correction due to indistinguishability of the particle is discussed in Sect. 5.2 of Ben-Naim [1]. Here we write the final result for the SMI of $N$ indistinguishable (but non-interacting) particles as:
$$
H(N \text { indistinguishable particles })=N \log V\left(\frac{2 \pi m e k_B T}{h^2}\right)^{3 / 2}-\log N !
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The Entropy of a System of Interacting Particles. Correlations Due to Intermolecular Interactions

In this section we derive the most general relationship between the SMI (or the entropy) of a system of interacting particles, and the corresponding mutual information (MI). Later on in this chapter we shall apply this general result to some specific cases. The implication of this result is very important in interpreting the concept of entropy in terms of SMI. In other words, the “informational interpretation” of entropy is effectively extended for all systems of interacting particles at equilibrium.
We start with some basic concepts from classical statistical mechanics [7]. The classical canonical partition function (PF) of a system characterized by the variable $T, V, N$, is:
$$
Q(T, V, N)=\frac{Z_N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
where $\Lambda^3$ is called the momentum partition function (or the de Broglie wavelength), and $Z_N$ is the configurational PF of the system”
$$
Z_N=\int \cdots \int d R^N \exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]
$$
Here, $U_N\left(R^N\right)$ is the total interaction energy among the $N$ particles at a configuration $R^N=R_1, \cdots, R_N$. Statistical thermodynamics provides the probability density for finding the particles at a specific configuration $R^N=R_1, \cdots, R_N$, which is:
$$
P\left(R^N\right)=\frac{\exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]}{Z_N}
$$
where $\beta=\left(k_B T\right)^{-1}$ and $T$ the absolute temperature. In the following we chose $k_B=1$. This will facilitate the connection between the entropy-change and the change in the SMI. When there are no intermolecular interactions (ideal gas), the configurational $\mathrm{PF}$ is $Z_N=V^N$, and the corresponding partition function is reduced to:
$$
Q^{i g}(T, V, N)=\frac{V^N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
Next we define the change in the Helmholtz energy $(A)$ due to the interactions as:
$$
\Delta A=A-A^{i g}=-T \ln \frac{Q(T, V, N)}{Q^{i g}(T, V, N)}=-T \ln \frac{Z_N}{V^N}
$$
This change in Helmholtz energy corresponds to the process of “turning-on” the interaction among all the particles at constant $(T, V, N)$, Fig. 2.5.
The corresponding change in the entropy is:
$$
\begin{aligned}
\Delta S & =-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=\ln \frac{Z_N}{V^N}+T \frac{1}{Z_N} \frac{\partial Z_N}{\partial T} \
& =\ln Z_N-N \ln \mathrm{V}+\frac{1}{T} \int d R^N P\left(R^N\right) U_N\left(R^N\right)
\end{aligned}
$$
We now substitute $U_N\left(R^N\right)$ from (2.36) into (2.35) to obtain the expression for the change in entropy corresponding to “turning on” the interactions:
$$
\Delta S=-N \ln V-\int P\left(R^N\right) \ln P\left(R^N\right) d R^N
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|The Forth Step: The SMI of Locations and Momenta
of N Independent Particles in a Box of Volume V.
Adding a Correction Due to Indistinguishability
of the Particles

最后一步是从盒子里的单个粒子，到体积$V$盒子里的$N$独立粒子，如图2.4所示。

我们说我们知道粒子的微观状态，当我们知道位置$(x, y, z)$，和盒子里一个粒子的动量$\left(p_x, p_y, p_z\right)$。对于盒子中含有$N$独立粒子的系统，我们可以将系统的SMI写成$N$乘以一个粒子的SMI，即:
$$
\mathrm{SMI}(N \text { independent particles })=N \times \mathrm{SMI} \text { (one particle) }
$$
这是$N$独立粒子的SMI。实际上，所有粒子的微观状态之间可能存在关联。我们将在这里提到由于粒子不可区分而产生的相关性，以及由于所有粒子之间的分子间相互作用而产生的相关性。我们将分别讨论这两种相关性的来源。回想一下，单个粒子的微观状态包括该粒子的位置和动量。让我们关注一个粒子在体积为$V$的盒子中的位置。我们将位置SMI写成:
$$
H_{\max }(\text { location })=\log V
$$
对于$N$独立粒子，我们将位置SMI写成:
$$
H_{\max } \text { (locations of N particles) }=\sum_{i=1}^N H_{\max }(\text { one particle })
$$
因为在现实中，粒子是不可区分的，我们必须修正式(2.22)。我们将粒子间关联所对应的互信息定义为:

$$
I(1 ; 2 ; \ldots ; N)=\ln N !
$$
因此，代替(2.22)，对于$N$不可区分粒子的SMI，将写成:
$$
H(\text { Nparticles })=\sum_{i=1}^N H(\text { oneparticle })-\ln N !
$$
介绍$\ln N$的详细理由!由于粒子的不可分辨性，作为一种校正在Ben-Naim的5.2节中讨论[1]。这里我们将$N$不可区分(但不相互作用)粒子的SMI的最终结果写为:
$$
H(N \text { indistinguishable particles })=N \log V\left(\frac{2 \pi m e k_B T}{h^2}\right)^{3 / 2}-\log N !
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The Entropy of a System of Interacting Particles. Correlations Due to Intermolecular Interactions

在本节中，我们推导出相互作用粒子系统的SMI(或熵)与相应的互信息(MI)之间的最一般关系。在本章的后面，我们将把这个一般结果应用于一些具体的情况。这个结果的含义对于用SMI来解释熵的概念是非常重要的。换句话说，熵的“信息解释”被有效地扩展到所有处于平衡状态的相互作用粒子系统。
我们从经典统计力学的一些基本概念开始[7]。以变量$T, V, N$为特征的系统的经典正则配分函数(PF)为:
$$
Q(T, V, N)=\frac{Z_N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
其中$\Lambda^3$称为动量配分函数(或德布罗意波长)，$Z_N$是系统的构型PF”
$$
Z_N=\int \cdots \int d R^N \exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]
$$
这里，$U_N\left(R^N\right)$是构型$R^N=R_1, \cdots, R_N$中$N$粒子之间的总相互作用能。统计热力学提供了在特定配置$R^N=R_1, \cdots, R_N$下找到粒子的概率密度，即:
$$
P\left(R^N\right)=\frac{\exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]}{Z_N}
$$
其中$\beta=\left(k_B T\right)^{-1}$和$T$是绝对温度。下面我们选择$k_B=1$。这将促进熵变与SMI变化之间的联系。当不存在分子间相互作用(理想气体)时，构型$\mathrm{PF}$为$Z_N=V^N$，对应的配分函数化简为:
$$
Q^{i g}(T, V, N)=\frac{V^N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
接下来我们将相互作用引起的亥姆霍兹能量$(A)$的变化定义为:
$$
\Delta A=A-A^{i g}=-T \ln \frac{Q(T, V, N)}{Q^{i g}(T, V, N)}=-T \ln \frac{Z_N}{V^N}
$$
亥姆霍兹能量的这种变化对应于在恒定$(T, V, N)$下“开启”所有粒子之间相互作用的过程，如图2.5所示。
对应的熵变为:
$$
\begin{aligned}
\Delta S & =-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=\ln \frac{Z_N}{V^N}+T \frac{1}{Z_N} \frac{\partial Z_N}{\partial T} \
& =\ln Z_N-N \ln \mathrm{V}+\frac{1}{T} \int d R^N P\left(R^N\right) U_N\left(R^N\right)
\end{aligned}
$$
现在我们将(2.36)中的$U_N\left(R^N\right)$代入(2.35)，得到“开启”相互作用对应的熵变化表达式:
$$
\Delta S=-N \ln V-\int P\left(R^N\right) \ln P\left(R^N\right) d R^N
$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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信息论information theory在统计物理学(热力学)、计算机科学(柯尔莫哥洛夫复杂性或算法复杂性)、统计推断(奥卡姆剃刀:“最简单的解释是最好的”)以及概率和统计学(最优假设检验和估计的误差指数)方面都做出了根本性的贡献。

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数学代写|信息论代写information theory代考|Third Step: Combining the SMI for the Location and Momentum of a Particle in a $1 D$ System. Addition of Correction Due to Uncertainty

If the location and the momentum (or velocity) of the particles were independent events, then the joint SMI of location and momentum would be the sum of the two SMIs in Eqs. (2.4) and (2.12). Therefore, for this case we write:
$$
\begin{aligned}
H_{\max }(\text { location and momentum }) & =H_{\max }(\text { location })+H_{\max }(\text { momentum }) \
& =\log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h_x h_p}\right]
\end{aligned}
$$
It should be noted that in the very writing of Eq. (2.14), the assumption is made that the location and the momentum of the particle are independent. However, quantum mechanics imposes restriction on the accuracy in determining both the location $x$ and the corresponding momentum $p_x$. Originally, the two quantities $h_x$ and $h_p$ that we defined above, were introduced because we did not care to determine the location and the momentum with an accuracy better than $h_x$ and $h_p$, respectively. Now, we must acknowledge that quantum mechanics imposes upon us the uncertainty condition, about the accuracy with which we can determine simultaneously both the location and the corresponding momentum of a particle. This means that in Eq. (2.14), $h_x$ and $h_p$ cannot both be arbitrarily small; their product must be of the order of Planck constant $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$. Therefore, we introduce a new parameter $h$, which replaces the product:
$$
h_x h_p \approx h
$$
Accordingly, we modify Eq. (2.14) to:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum })=\log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of One Particle in a Box of Volume $\mathrm{V}$

Figure 2.3 shows one simple particle in a cubic box of volume $V$.
To proceed from the 1D to the 3D system, we assume that the locations of the particle along the three axes $x, y$ and $z$ are independent. With this assumption, we can write the SMI of the location of the particle in a cube of edges $L$, as a sum of the SMI along $x, y$, and $z$, i.e.
$$
H(\text { location in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max } \text { (location in 1D) }
$$
We can do the same for the momentum of the particle if we assume that the momentum (or the velocity) along the three axes $x, y$ and $z$ are independent. Hence, we can write the SMI of the momentum as:
$$
H_{\max }(\text { momentum in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max }(\text { momentum in 1D) }
$$
We can now combine the SMI of the locations and momenta of one particle in a box of volume $V$, taking into account the uncertainty principle, to obtain the result:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum in } 3 \mathrm{D})=3 \log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|Third Step: Combining the SMI for the Location and Momentum of a Particle in a $1 D$ System. Addition of Correction Due to Uncertainty

图2.1 a显示了一个局限于一维(1D)的粒子。长度为$L$的“盒子”。对应的连续SMI为:
$$
H[f(x)]=-\int f(x) \log f(x) d x
$$
注意，在Eq.(2.1)中，SMI(表示$H$)被视为函数$f(x)$的函数，其中$f(x) d x$是在$x$和$x+d x$之间的区间内找到粒子的概率。

接下来，计算使位置SMI最大化的比密度分布，见(2.1)。结果很容易证明(参见文献[1]):
$$
f_{e q}(x)=\frac{1}{L}
$$
由于我们知道在任何间隔找到粒子的概率为$1 / \mathrm{L}$，我们可以将SMI最大化的分布确定为平衡(eq.)分布。对此，Ben-Naim[1,4]中有详细的解释。由式(2.2)和式(2.1)可以得到SMI在所有可能的位置分布上的最大值:
$$
H(\text { locations in } 1 D)=\log L
$$
其次，我们承认不能绝对精确地确定粒子的位置;存在一个小的区间$h_x$在这个区间内我们不关心粒子在哪里。因此，我们必须通过减去$\log h_x$来修正Eq.(2.3)。因此，我们将修改后的$H$ (locations in 1D)写成(2.3):
$$
H\left(\text { locations in 1D) }=\log L-\log h_x\right.
$$
在上一个方程中，我们有效地为有限数量的区间$n=L / h$定义了$H$ (1D中的位置)。从无限到有限的过渡如图2.1b所示。注意，当$h_x \rightarrow 0, H$ (1D中的位置)发散到无穷大时。这里，我们不取严格的数学极限，但我们停在$h_x$，它足够小，但不是零。还要注意$L$和$h_x$的比率是一个纯数字。因此，我们不需要指定$L$或$h_x$的单位。

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of One Particle in a Box of Volume $\mathrm{V}$

图2.3显示了体积为$V$的立方盒子中的一个简单粒子。
为了从1D进入3D系统，我们假设粒子沿三个轴$x, y$和$z$的位置是独立的。有了这个假设，我们可以将粒子在边立方$L$中位置的SMI写成沿$x, y$和$z$的SMI之和，即。
$$
H(\text { location in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max } \text { (location in 1D) }
$$
我们可以对粒子的动量做同样的事情，如果我们假设沿三个轴$x, y$和$z$的动量(或速度)是独立的。因此，我们可以将动量的SMI写成:
$$
H_{\max }(\text { momentum in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max }(\text { momentum in 1D) }
$$
我们现在可以将体积为$V$的盒子中一个粒子的位置和动量的SMI结合起来，考虑到不确定性原理，得到结果:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum in } 3 \mathrm{D})=3 \log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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