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数学代写|信息论代写information theory代考|FEO3350

Posted on 2023年8月31日2023年8月31日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写信息论information theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory回答了通信理论中的两个基本问题:什么是最终的数据压缩(答案:熵$H$)，什么是通信的最终传输速率(答案:信道容量$C$)。由于这个原因，一些人认为信息论是通信理论的一个子集。我们认为它远不止于此。

信息论information theory在统计物理学(热力学)、计算机科学(柯尔莫哥洛夫复杂性或算法复杂性)、统计推断(奥卡姆剃刀:“最简单的解释是最好的”)以及概率和统计学(最优假设检验和估计的误差指数)方面都做出了根本性的贡献。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写信息论information theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写信息论information theory代写方面经验极为丰富，各种代写信息论information theory相关的作业也就用不着说。

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of a System of Interacting Particles in Pairs Only

In this section we consider a special case of a system of interacting particles. We start with an ideal gas-i.e. system for which we can neglect all intermolecular interactions. Strictly speaking, such a system does not exist. However, if the gas is very dilute such that the average intermolecular distance is very large the system behaves as if there are no interactions among the particle.

Next, we increase the density of the particles. At first we shall find that pairinteractions affect the thermodynamics of the system. Increasing further the density, triplets, quadruplets, and so on interactions, will also affect the behavior of the system. In the following we provide a very brief description of the first order deviation from ideal gas; systems for which one must take into account pair-interactions but neglect triplet and higher order interactions. The reader who is not interested in the details of the derivation can go directly to the result in Eq. (2.51) and the following analysis of the MI.

We start with the general configurational PF of the system, Eq. (2.31) which we rewrite in the form:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j} \exp \left[-\beta U_{i j}\right]
$$
where $U_{i j}$ is the pair potential between particles $i$ and $j$. It is assumed that the total potential energy is pairwise additive.
Define the so-called Mayer $f$-function, by:
$$
f_{i j}=\exp \left(-\beta U_{i j}\right)-1
$$
We can rewrite $Z_N$ as:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j}\left(f_{i j}+1\right)=\int d R^N\left[1+\sum_{i<j} f_{i j}+\sum f_{i j} f_{j k}+\cdots\right]
$$
Neglecting all terms beyond the first sum, we obtain:
$$
Z_N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} \int f_{12} d R^N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} V^{N-2} \int f_{12} d R_1 d R_2
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Entropy-Change in Phase Transition

In this section, we shall discuss the entropy-changes associated with phase transitions. Here, by entropy we mean thermodynamic entropy, the units of which are cal/(deg $\mathrm{mol}$ ). However, as we have seen in Chap. 5 of Ben-Naim [1]. The entropy is up to a multiplicative constant an SMI defined on the distribution of locations and velocities (or momenta) of all particles in the system at equilibrium. To convert from entropy to SMI one has to divide the entropy by the factor $k_B \log _e 2$, where $k_B$ is the Boltzmann constant, and $\log _e 2$ is the natural $\log$ arithm of 2 , which we denote by $\ln 2$. Once we do this conversion from entropy to SMI we obtain the SMI in units of bits. In this section we shall discuss mainly the transitions between gases, liquids and solids. Figure 2.9 shows a typical phase diagram of a one-component system. For more details on phase diagrams, see Ben-Naim and Casadei [8].

It is well-known that solid has a lower entropy than liquid, and liquid has a lower entropy of a gas. These facts are usually interpreted in terms of order-disorder. This interpretation of entropy is invalid; more on this in Ben-Naim [6]. Although, it is true that a solid is viewed as more ordered than liquid, it is difficult to argue that a liquid is more ordered or less ordered than a gas.

In the following we shall interpret entropy as an SMI, and different entropies in terms of different MI due to different intermolecular interactions. We shall discuss changes of phases at constant temperature. Therefore, all changes in SMI (hence, in entropy) will be due to locational distributions; no changes in the momenta distribution.

The line SG in Fig. 2.9 is the line along in which solid and gas coexist. The slope of this curve is given by:
$$
\left(\frac{d P}{d T}\right)_{e q}=\frac{\Delta S_s}{\Delta V_s}
$$
In the process of sublimation ( $s$, the entropy-change and the volume change for both are always positive. We denoted by $\Delta V_s$ the change in the volume of one mole of the substance, when it is transferred from the solid to the gaseous phase. This volume change is always positive. The reason is that a mole of the substance occupies a much larger volume in the gaseous phase than in the liquid phase (at the same temperature and pressure).

The entropy-change $\Delta S_s$ is also positive. This entropy-change is traditionally interpreted in terms of transition from an ordered phase (solid) to a disordered (gaseous) phase. However, the more correct interpretation is that the entropy-change is due to two factors; the huge increase in the accessible volume available to each particle and the decrease in the extent of the intermolecular interaction. Note that the slope of the SG curve is quite small (but positive) due to the large $\Delta V_s$.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of a System of Interacting Particles in Pairs Only

在本节中，我们考虑一个相互作用粒子系统的特殊情况。我们从理想气体开始，即。我们可以忽略所有分子间相互作用的系统。严格来说，这样的制度是不存在的。然而，如果气体非常稀，使得平均分子间距离非常大，则系统表现得好像粒子之间没有相互作用。

接下来，我们增加粒子的密度。首先，我们将发现对相互作用影响系统的热力学。进一步增加密度，三联体、四联体等相互作用，也会影响系统的行为。下面我们对理想气体的一阶偏差作一个非常简短的描述;必须考虑成对相互作用而忽略三重态和高阶相互作用的系统。对推导细节不感兴趣的读者可以直接查看公式(2.51)中的结果和下面对MI的分析。

我们从系统的一般构型PF方程(2.31)开始，将其改写为:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j} \exp \left[-\beta U_{i j}\right]
$$
其中$U_{i j}$是粒子$i$和$j$之间的对势。假定总势能是两两相加的。
定义所谓的Mayer $f$ -函数:
$$
f_{i j}=\exp \left(-\beta U_{i j}\right)-1
$$
我们可以把$Z_N$写成:
$$
Z_N=\int d R^N \prod_{i<j}\left(f_{i j}+1\right)=\int d R^N\left[1+\sum_{i<j} f_{i j}+\sum f_{i j} f_{j k}+\cdots\right]
$$
忽略第一个和以外的所有项，我们得到:
$$
Z_N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} \int f_{12} d R^N=V^N+\frac{N(N-1)}{2} V^{N-2} \int f_{12} d R_1 d R_2
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Entropy-Change in Phase Transition

在本节中，我们将讨论与相变有关的熵变。这里，熵指的是热力学熵，单位是卡/(度$\mathrm{mol}$)。然而，正如我们在Ben-Naim[1]的第五章中所看到的。熵是一个乘法常数和SMI，定义在平衡状态下系统中所有粒子的位置和速度(或动量)的分布。要将熵转换为SMI，必须将熵除以因子$k_B \log _e 2$，其中$k_B$是玻尔兹曼常数，$\log _e 2$是2的自然$\log$算法，我们用$\ln 2$表示。一旦我们完成了从熵到SMI的转换，我们就得到了以比特为单位的SMI。在本节中，我们将主要讨论气体、液体和固体之间的转变。图2.9为单组分系统的典型相图。有关相图的更多细节，请参见Ben-Naim和Casadei[8]。

众所周知，固体的熵比液体小，而液体的熵比气体小。这些事实通常用有序-无序来解释。这种对熵的解释是无效的;Ben-Naim[6]对此有更详细的介绍。虽然固体确实被认为比液体更有序，但很难说液体比气体更有序还是更无序。

在下文中，我们将熵解释为SMI，不同的熵解释为由于不同的分子间相互作用而产生的不同的MI。我们将讨论恒温下相的变化。因此，SMI的所有变化(也就是熵的变化)都是由位置分布引起的;动量分布没有变化。

图2.9中SG线为固气共存线。曲线的斜率为:
$$
\left(\frac{d P}{d T}\right)_{e q}=\frac{\Delta S_s}{\Delta V_s}
$$
在升华过程中($s$)，两者的熵变和体积变都是正的。我们用$\Delta V_s$表示一摩尔物质从固相变为气相时体积的变化。体积变化总是正的。原因是一摩尔的物质在气相中比在液相中(在相同的温度和压力下)占有更大的体积。

熵变$\Delta S_s$也是正的。这种熵变传统上被解释为从有序相(固体)到无序相(气体)的转变。然而，更正确的解释是，熵的变化是由于两个因素;每个粒子可用的可接近体积的巨大增加和分子间相互作用程度的减少。请注意，由于$\Delta V_s$较大，SG曲线的斜率相当小(但为正)。

数学代写|信息论作业代写information theory代考请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|信息论代写information theory代考|EE430

Posted on 2023年8月31日2023年8月31日 by statistics-lab

数学代写|信息论代写information theory代考|The Forth Step: The SMI of Locations and Momenta
of N Independent Particles in a Box of Volume V.
Adding a Correction Due to Indistinguishability
of the Particles

The final step is to proceed from a single particle in a box, to $N$ independent particles in a box of volume $V$, Fig. 2.4.

We say that we know the microstate of the particle, when we know the location $(x, y, z)$, and the momentum $\left(p_x, p_y, p_z\right)$ of one particle within the box. For a system of $N$ independent particles in a box, we can write the SMI of the system as $N$ times the SMI of one particle, i.e., we write:
$$
\mathrm{SMI}(N \text { independent particles })=N \times \mathrm{SMI} \text { (one particle) }
$$
This is the SMI for $N$ independent particles. In reality, there could be correlation among the microstates of all the particles. We shall mention here correlations due to the indistinguishability of the particles, and correlations is due to intermolecular interactions among all the particles. We shall discuss these two sources of correlation separately. Recall that the microstate of a single particle includes the location and the momentum of that particle. Let us focus on the location of one particle in a box of volume $V$. We write the locational SMI as:
$$
H_{\max }(\text { location })=\log V
$$
For $N$ independent particles, we write the locational SMI as:
$$
H_{\max } \text { (locations of N particles) }=\sum_{i=1}^N H_{\max }(\text { one particle })
$$
Since in reality, the particles are indistinguishable, we must correct Eq. (2.22). We define the mutual information corresponding to the correlation between the particles as:

$$
I(1 ; 2 ; \ldots ; N)=\ln N !
$$
Hence, instead of (2.22), for the SMI of $N$ indistinguishable particles, will write:
$$
H(\text { Nparticles })=\sum_{i=1}^N H(\text { oneparticle })-\ln N !
$$
A detailed justification for introducing $\ln N$ ! as a correction due to indistinguishability of the particle is discussed in Sect. 5.2 of Ben-Naim [1]. Here we write the final result for the SMI of $N$ indistinguishable (but non-interacting) particles as:
$$
H(N \text { indistinguishable particles })=N \log V\left(\frac{2 \pi m e k_B T}{h^2}\right)^{3 / 2}-\log N !
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The Entropy of a System of Interacting Particles. Correlations Due to Intermolecular Interactions

In this section we derive the most general relationship between the SMI (or the entropy) of a system of interacting particles, and the corresponding mutual information (MI). Later on in this chapter we shall apply this general result to some specific cases. The implication of this result is very important in interpreting the concept of entropy in terms of SMI. In other words, the “informational interpretation” of entropy is effectively extended for all systems of interacting particles at equilibrium.
We start with some basic concepts from classical statistical mechanics [7]. The classical canonical partition function (PF) of a system characterized by the variable $T, V, N$, is:
$$
Q(T, V, N)=\frac{Z_N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
where $\Lambda^3$ is called the momentum partition function (or the de Broglie wavelength), and $Z_N$ is the configurational PF of the system”
$$
Z_N=\int \cdots \int d R^N \exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]
$$
Here, $U_N\left(R^N\right)$ is the total interaction energy among the $N$ particles at a configuration $R^N=R_1, \cdots, R_N$. Statistical thermodynamics provides the probability density for finding the particles at a specific configuration $R^N=R_1, \cdots, R_N$, which is:
$$
P\left(R^N\right)=\frac{\exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]}{Z_N}
$$
where $\beta=\left(k_B T\right)^{-1}$ and $T$ the absolute temperature. In the following we chose $k_B=1$. This will facilitate the connection between the entropy-change and the change in the SMI. When there are no intermolecular interactions (ideal gas), the configurational $\mathrm{PF}$ is $Z_N=V^N$, and the corresponding partition function is reduced to:
$$
Q^{i g}(T, V, N)=\frac{V^N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
Next we define the change in the Helmholtz energy $(A)$ due to the interactions as:
$$
\Delta A=A-A^{i g}=-T \ln \frac{Q(T, V, N)}{Q^{i g}(T, V, N)}=-T \ln \frac{Z_N}{V^N}
$$
This change in Helmholtz energy corresponds to the process of “turning-on” the interaction among all the particles at constant $(T, V, N)$, Fig. 2.5.
The corresponding change in the entropy is:
$$
\begin{aligned}
\Delta S & =-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=\ln \frac{Z_N}{V^N}+T \frac{1}{Z_N} \frac{\partial Z_N}{\partial T} \
& =\ln Z_N-N \ln \mathrm{V}+\frac{1}{T} \int d R^N P\left(R^N\right) U_N\left(R^N\right)
\end{aligned}
$$
We now substitute $U_N\left(R^N\right)$ from (2.36) into (2.35) to obtain the expression for the change in entropy corresponding to “turning on” the interactions:
$$
\Delta S=-N \ln V-\int P\left(R^N\right) \ln P\left(R^N\right) d R^N
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|The Forth Step: The SMI of Locations and Momenta
of N Independent Particles in a Box of Volume V.
Adding a Correction Due to Indistinguishability
of the Particles

最后一步是从盒子里的单个粒子，到体积$V$盒子里的$N$独立粒子，如图2.4所示。

我们说我们知道粒子的微观状态，当我们知道位置$(x, y, z)$，和盒子里一个粒子的动量$\left(p_x, p_y, p_z\right)$。对于盒子中含有$N$独立粒子的系统，我们可以将系统的SMI写成$N$乘以一个粒子的SMI，即:
$$
\mathrm{SMI}(N \text { independent particles })=N \times \mathrm{SMI} \text { (one particle) }
$$
这是$N$独立粒子的SMI。实际上，所有粒子的微观状态之间可能存在关联。我们将在这里提到由于粒子不可区分而产生的相关性，以及由于所有粒子之间的分子间相互作用而产生的相关性。我们将分别讨论这两种相关性的来源。回想一下，单个粒子的微观状态包括该粒子的位置和动量。让我们关注一个粒子在体积为$V$的盒子中的位置。我们将位置SMI写成:
$$
H_{\max }(\text { location })=\log V
$$
对于$N$独立粒子，我们将位置SMI写成:
$$
H_{\max } \text { (locations of N particles) }=\sum_{i=1}^N H_{\max }(\text { one particle })
$$
因为在现实中，粒子是不可区分的，我们必须修正式(2.22)。我们将粒子间关联所对应的互信息定义为:

$$
I(1 ; 2 ; \ldots ; N)=\ln N !
$$
因此，代替(2.22)，对于$N$不可区分粒子的SMI，将写成:
$$
H(\text { Nparticles })=\sum_{i=1}^N H(\text { oneparticle })-\ln N !
$$
介绍$\ln N$的详细理由!由于粒子的不可分辨性，作为一种校正在Ben-Naim的5.2节中讨论[1]。这里我们将$N$不可区分(但不相互作用)粒子的SMI的最终结果写为:
$$
H(N \text { indistinguishable particles })=N \log V\left(\frac{2 \pi m e k_B T}{h^2}\right)^{3 / 2}-\log N !
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The Entropy of a System of Interacting Particles. Correlations Due to Intermolecular Interactions

在本节中，我们推导出相互作用粒子系统的SMI(或熵)与相应的互信息(MI)之间的最一般关系。在本章的后面，我们将把这个一般结果应用于一些具体的情况。这个结果的含义对于用SMI来解释熵的概念是非常重要的。换句话说，熵的“信息解释”被有效地扩展到所有处于平衡状态的相互作用粒子系统。
我们从经典统计力学的一些基本概念开始[7]。以变量$T, V, N$为特征的系统的经典正则配分函数(PF)为:
$$
Q(T, V, N)=\frac{Z_N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
其中$\Lambda^3$称为动量配分函数(或德布罗意波长)，$Z_N$是系统的构型PF”
$$
Z_N=\int \cdots \int d R^N \exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]
$$
这里，$U_N\left(R^N\right)$是构型$R^N=R_1, \cdots, R_N$中$N$粒子之间的总相互作用能。统计热力学提供了在特定配置$R^N=R_1, \cdots, R_N$下找到粒子的概率密度，即:
$$
P\left(R^N\right)=\frac{\exp \left[-\beta U_N\left(R^N\right)\right]}{Z_N}
$$
其中$\beta=\left(k_B T\right)^{-1}$和$T$是绝对温度。下面我们选择$k_B=1$。这将促进熵变与SMI变化之间的联系。当不存在分子间相互作用(理想气体)时，构型$\mathrm{PF}$为$Z_N=V^N$，对应的配分函数化简为:
$$
Q^{i g}(T, V, N)=\frac{V^N}{N ! \Lambda^{3 N}}
$$
接下来我们将相互作用引起的亥姆霍兹能量$(A)$的变化定义为:
$$
\Delta A=A-A^{i g}=-T \ln \frac{Q(T, V, N)}{Q^{i g}(T, V, N)}=-T \ln \frac{Z_N}{V^N}
$$
亥姆霍兹能量的这种变化对应于在恒定$(T, V, N)$下“开启”所有粒子之间相互作用的过程，如图2.5所示。
对应的熵变为:
$$
\begin{aligned}
\Delta S & =-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=\ln \frac{Z_N}{V^N}+T \frac{1}{Z_N} \frac{\partial Z_N}{\partial T} \
& =\ln Z_N-N \ln \mathrm{V}+\frac{1}{T} \int d R^N P\left(R^N\right) U_N\left(R^N\right)
\end{aligned}
$$
现在我们将(2.36)中的$U_N\left(R^N\right)$代入(2.35)，得到“开启”相互作用对应的熵变化表达式:
$$
\Delta S=-N \ln V-\int P\left(R^N\right) \ln P\left(R^N\right) d R^N
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|信息论代写information theory代考|COMP2610

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数学代写|信息论代写information theory代考|Third Step: Combining the SMI for the Location and Momentum of a Particle in a $1 D$ System. Addition of Correction Due to Uncertainty

If the location and the momentum (or velocity) of the particles were independent events, then the joint SMI of location and momentum would be the sum of the two SMIs in Eqs. (2.4) and (2.12). Therefore, for this case we write:
$$
\begin{aligned}
H_{\max }(\text { location and momentum }) & =H_{\max }(\text { location })+H_{\max }(\text { momentum }) \
& =\log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h_x h_p}\right]
\end{aligned}
$$
It should be noted that in the very writing of Eq. (2.14), the assumption is made that the location and the momentum of the particle are independent. However, quantum mechanics imposes restriction on the accuracy in determining both the location $x$ and the corresponding momentum $p_x$. Originally, the two quantities $h_x$ and $h_p$ that we defined above, were introduced because we did not care to determine the location and the momentum with an accuracy better than $h_x$ and $h_p$, respectively. Now, we must acknowledge that quantum mechanics imposes upon us the uncertainty condition, about the accuracy with which we can determine simultaneously both the location and the corresponding momentum of a particle. This means that in Eq. (2.14), $h_x$ and $h_p$ cannot both be arbitrarily small; their product must be of the order of Planck constant $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$. Therefore, we introduce a new parameter $h$, which replaces the product:
$$
h_x h_p \approx h
$$
Accordingly, we modify Eq. (2.14) to:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum })=\log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of One Particle in a Box of Volume $\mathrm{V}$

Figure 2.3 shows one simple particle in a cubic box of volume $V$.
To proceed from the 1D to the 3D system, we assume that the locations of the particle along the three axes $x, y$ and $z$ are independent. With this assumption, we can write the SMI of the location of the particle in a cube of edges $L$, as a sum of the SMI along $x, y$, and $z$, i.e.
$$
H(\text { location in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max } \text { (location in 1D) }
$$
We can do the same for the momentum of the particle if we assume that the momentum (or the velocity) along the three axes $x, y$ and $z$ are independent. Hence, we can write the SMI of the momentum as:
$$
H_{\max }(\text { momentum in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max }(\text { momentum in 1D) }
$$
We can now combine the SMI of the locations and momenta of one particle in a box of volume $V$, taking into account the uncertainty principle, to obtain the result:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum in } 3 \mathrm{D})=3 \log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|Third Step: Combining the SMI for the Location and Momentum of a Particle in a $1 D$ System. Addition of Correction Due to Uncertainty

图2.1 a显示了一个局限于一维(1D)的粒子。长度为$L$的“盒子”。对应的连续SMI为:
$$
H[f(x)]=-\int f(x) \log f(x) d x
$$
注意，在Eq.(2.1)中，SMI(表示$H$)被视为函数$f(x)$的函数，其中$f(x) d x$是在$x$和$x+d x$之间的区间内找到粒子的概率。

接下来，计算使位置SMI最大化的比密度分布，见(2.1)。结果很容易证明(参见文献[1]):
$$
f_{e q}(x)=\frac{1}{L}
$$
由于我们知道在任何间隔找到粒子的概率为$1 / \mathrm{L}$，我们可以将SMI最大化的分布确定为平衡(eq.)分布。对此，Ben-Naim[1,4]中有详细的解释。由式(2.2)和式(2.1)可以得到SMI在所有可能的位置分布上的最大值:
$$
H(\text { locations in } 1 D)=\log L
$$
其次，我们承认不能绝对精确地确定粒子的位置;存在一个小的区间$h_x$在这个区间内我们不关心粒子在哪里。因此，我们必须通过减去$\log h_x$来修正Eq.(2.3)。因此，我们将修改后的$H$ (locations in 1D)写成(2.3):
$$
H\left(\text { locations in 1D) }=\log L-\log h_x\right.
$$
在上一个方程中，我们有效地为有限数量的区间$n=L / h$定义了$H$ (1D中的位置)。从无限到有限的过渡如图2.1b所示。注意，当$h_x \rightarrow 0, H$ (1D中的位置)发散到无穷大时。这里，我们不取严格的数学极限，但我们停在$h_x$，它足够小，但不是零。还要注意$L$和$h_x$的比率是一个纯数字。因此，我们不需要指定$L$或$h_x$的单位。

数学代写|信息论代写information theory代考|The SMI of One Particle in a Box of Volume $\mathrm{V}$

图2.3显示了体积为$V$的立方盒子中的一个简单粒子。
为了从1D进入3D系统，我们假设粒子沿三个轴$x, y$和$z$的位置是独立的。有了这个假设，我们可以将粒子在边立方$L$中位置的SMI写成沿$x, y$和$z$的SMI之和，即。
$$
H(\text { location in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max } \text { (location in 1D) }
$$
我们可以对粒子的动量做同样的事情，如果我们假设沿三个轴$x, y$和$z$的动量(或速度)是独立的。因此，我们可以将动量的SMI写成:
$$
H_{\max }(\text { momentum in } 3 \mathrm{D})=3 H_{\max }(\text { momentum in 1D) }
$$
我们现在可以将体积为$V$的盒子中一个粒子的位置和动量的SMI结合起来，考虑到不确定性原理，得到结果:
$$
H_{\max }(\text { location and momentum in } 3 \mathrm{D})=3 \log \left[\frac{L \sqrt{2 \pi e m k_B T}}{h}\right]
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEN90030

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Distance and Weight

The error-correcting capability of a code is keyed directly to the concepts of Hamming distance and Hamming weight. ${ }^3$

Definition 1.6.1 The (Hamming) distance between two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}q^n$, denoted $\mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$, is the number of coordinates in which $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ differ. The (Hamming) weight of $\mathbf{x} \in \mathbb{F}q^n$, denoted $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x})$, is the number of coordinates in which $\mathbf{x}$ is nonzero.
Theorem 1.6.2 ([1008, Chapter 1.4]) The following hold.
(a) (nonnegativity) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_q^n$. (b) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=0$ if and only if $\mathbf{x}=\mathbf{y}$.
(c) (symmetry) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{y}, \mathbf{x})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}q^n$. (d) (triangle inequality) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{z}) \leq \mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})+\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{y}, \mathbf{z})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{F}q^n$. (e) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_q^n$. (f) If $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_2^n$, then $$ w t_H(\mathbf{x}+\mathbf{y})=w{\mathrm{H}}(\mathbf{x})+w_{\mathrm{H}}(\mathbf{y})-2 w t_{\mathrm{H}}(\mathbf{x} \star \mathbf{y})
$$
where $\mathbf{x} \star \mathbf{y}$ is the vector in $\mathbb{F}2^n$ which has 1 s precisely in those coordinates where both $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ have $1 s$. (g) If $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_2^n$, then $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x} \star \mathbf{y}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}(\bmod 2)$. In particular, $\mathrm{wt}_{\mathrm{H}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}(\bmod 2)$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

There are several methods to obtain a longer or shorter code from a given code; while this can be done for both linear and nonlinear codes, we focus on linear ones. Two codes can be combined into a single code, for example as described in Section 1.11.

Definition 1.7.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k, d]q$ linear code with generator matrix $G$ and parity check matrix $H$. (a) For some $i$ with $1 \leq i \leq n$, let $\mathcal{C}^$ be the codewords of $\mathcal{C}$ with the $i^{\text {th }}$ component deleted. The resulting code, called a punctured code, is an $\left[n-1, k^, d^\right]$ code. If $d>1, k^=k$, and $d^=d$ unless $\mathcal{C}$ has a minimum weight codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $d^=d-1$. If $d=1, k^=k$ and $d^=1$ unless $\mathcal{C}$ has a weight 1 codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $k^=k-1$ and $d^ \geq 1$ as long as $\mathcal{C}^$ is nonzero. A generator matrix for $\mathcal{C}^$ is obtained from $G$ by deleting column $i ; G^$ will have dependent rows if $d^=1$ and $k^*=k-1$. Puncturing is often done on multiple coordinates in an analogous manner, one coordinate at a time.
(b) Define $\widehat{\mathcal{C}}=\left{c_1 c_2 \cdots c{n+1} \in \mathbb{F}q^{n+1} \mid c_1 c_2 \cdots c_n \in \mathcal{C}\right.$ where $\left.\sum{i=1}^{n+1} c_i=0\right}$, called the extended code. This is an $[n+1, k, \widehat{d}]_q$ code where $\widehat{d}=d$ or $d+1$. A generator matrix $\widehat{G}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is obtained by adding a column on the right of $G$ so that every row sum in this $k \times(n+1)$ matrix is 0 . A parity check matrix $\widehat{H}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is
$$
\widehat{H}=\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \cdots & 1 & 1 \
\hline & & 0 \
& H & & \vdots \
& & & 0
\end{array}\right] .
$$
(c) Let $S$ be any set of $s$ coordinates. Let $\mathcal{C}(S)$ be all codewords in $\mathcal{C}$ that are zero on $S$. Puncturing $\mathcal{C}(S)$ on $S$ results in the $\left[n-s, k_S, d_S\right]_q$ shortened code $\mathcal{C}_S$ where $d_S \geq d$. If $\mathcal{C}^{\perp}$ has minimum weight $d^{\perp}$ and $s<d^{\perp}$, then $k_S=k-s$.

编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Distance and Weight

代码的纠错能力直接取决于汉明距离和汉明权重的概念。 3
定义 1.6.1 两个向量之间的 (汉明) 距离 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F} q^n$ ，表示 $\mathrm{d} \mathbf{H}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ ，是其中的坐标数 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 不同。的（汉明) 权重 $\mathbf{x} \in \mathbb{F} q^n$ ，表示wtH $\left.\mathbf{x} \mathbf{x}\right)$, 是其中的坐标数 $\mathbf{x}$ 是非零的。
定理 1.6.2 ([1008, Chapter 1.4])以下成立。
(a) (非消极性) $\mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0$ 对所有人 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}q^n$. (二) $\mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=0$ 当且仅当 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$. (c) (对称) $\mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathrm{dH}(\mathbf{y}, \mathbf{x})$ 对所有人 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F} q^n$. (d) (三角不等式) $\mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{z}) \leq \mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{y})+\mathrm{dH}(\mathbf{y}, \mathbf{z})$ 对所有人 $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{F} q^n$. (和) $\mathrm{dH}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=w \mathrm{wt}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ 对所有人 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_q^n$. (f) 如果 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_2^n$ ，然后 $$ w t_H(\mathbf{x}+\mathbf{y})=w \mathrm{H}(\mathbf{x})+w{\mathrm{H}}(\mathbf{y})-2 w t_{\mathrm{H}}(\mathbf{x} \star \mathbf{y})
$$
在哪里 $\mathbf{x} \star \mathbf{y}$ 是向量 $\mathbb{F} 2^n$ 在那些坐标中精确地有 $1 \mathrm{~s} \mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 有 $1 s$. (g) 如果 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}2^n$ ，然后 $w t H(\mathbf{x} \star \mathbf{y}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}(\bmod 2)$. 尤其是， $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}(\bmod 2)$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

有几种方法可以从给定的代码中获取更长或更短的代码；虽然伩对于线性和非线性代码都可以做到，但我们专注于线性代码。两个代码可以组合成一个代码，例如第 $1.11$ 节所述。
定义 $1.7 .1$ 让 $\mathcal{C}$ 豆 $[n, k, d] q$ 带有生成矩阵的线性代码 $G$ 和奇偶校验矩阵 $H$. (a) 对于一些 $i$ 和 $1 \leq i \leq n$ ，让数学 ${C}^{\wedge}$ 是的代码字 $\mathcal{C}$ 与 $i^{\text {th }}$ 组件被删除。生成的代码，称为打孔代码，是 $M$ left[n-1, $\left.\mathrm{k}^{\wedge}, \mathrm{d}^{\wedge} \backslash \mathrm{right}^2\right]$ 代码。如果 $d>1, k^{=} k$ ，和 $d^{=} d$ 除非 $\mathcal{C}$ 具有在坐标上非零的最小权重码字 $i$ ，在这种情况下 $d^{=} d-1$. 如果 $d=1, k^{=} k$ 和数学 {C}^ 是从 $G$ 通过删除列和 $\mathrm{G}^{\wedge}$ 如果 $d^{=} 1$ 和 $k^*=k-1$. 穿孔通常以类似的方式在多个坐标上进行，一次一个坐标。
(b) 定义得 $G$ 这样每一行总和 $k \times(n+1)$ 矩阵是 0 。奇偶校验矩阵 $\widehat{H}$ 为了 $\widehat{\mathcal{C}}$ 是
(c) 让 $S$ 是任何一组 $s$ 坐标。让 $\mathcal{C}(S)$ 是所有的代码字 $\mathcal{C}$ 是零 $S$. 穿刺 $\mathcal{C}(S)$ 上 $S$ 结果是 $\left[n-s, k_S, d_S\right]_q$ 缩短的代码 $\mathcal{C}_S$ 在哪里 $d_S \geq d$. 如果 $\mathcal{C}^{\perp}$ 有最小重量 $d^{\perp}$ 和 $s<d^{\perp}$ ，然后 $k_S=k-s$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|MATH597

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Generator and Parity Check Matrices

When choosing between linear and nonlinear codes, the added algebraic structure of linear codes often makes them easier to describe and use. Generally, a linear code is defined by giving either a generator or a parity check matrix.

Definition 1.4.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k]_q$ linear code. A generator matrix $G$ for $\mathcal{C}$ is any $G \in \mathbb{F}_q^{k \times n}$ whose row span is $\mathcal{C}$. Because any $k$-dimensional subspace of $\mathbb{F}_q^n$ is the kernel of some linear transformation from $\mathbb{F}_q^n$ onto $\mathbb{F}_q^{n-k}$, there exists $H \in \mathbb{F}_q^{(n-k) \times n}$, with independent many, is called a parity check matrix of $\mathcal{C}$.

Example 1.4.2 Continuing with Example 1.3.2, there are several generator matrices for $\mathcal{C}_1$ including
$$
G_1=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right], G_1^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right] \text {, and } G_1^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] .
$$
Remark 1.4.3 Any matrix obtained by elementary row operations from a generator matrix for a code remains a generator matrix of that code.

Remark 1.4.4 By Definition 1.4.1, the rows of $G$ form a basis of $\mathcal{C}$, and the rows of $H$ are independent. At times, the requirement may be relaxed so that the rows of $G$ are only required to span $\mathcal{C}$. Similarly, the requirement that the rows of $H$ be independent may be dropped as long as $\mathcal{C}=\left{\mathbf{c} \in \mathbb{F}_q^n \mid H \mathbf{c}^{\top}=0^{\top}\right}$ remains true.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

In this section we introduce the concept of codes over finite fields. We begin with some notation.

The set of $n$-tuples with entries in $\mathbb{F}_q$ forms an $n$-dimensional vector space, denoted $\mathbb{F}_q^n=\left{x_1 x_2 \cdots x_n \mid x_i \in \mathbb{F}_q, 1 \leq i \leq n\right}$, under componentwise addition of $n$-tuples and componentwise multiplication of $n$-tuples by scalars in $\mathbb{F}_q$. The vectors in $\mathbb{F}_q^n$ will often be denoted using bold Roman characters $\mathbf{x}=x_1 x_2 \cdots x_n$. The vector $\mathbf{0}=00 \cdots 0$ is the zero vector in $\mathbb{F}_q^n$.

There is a natural inner product on $\mathbb{F}q^n$ that often proves useful in the study of codes. ${ }^2$ Definition 1.5.1 The ordinary inner product, also called the Euclidean inner product, on $\mathbb{F}_q^n$ is defined by $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=\sum{i=1}^n x_i y_i$ where $\mathbf{x}=x_1 x_2 \cdots x_n$ and $\mathbf{y}=y_1 y_2 \cdots y_n$. Two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_q^n$ are orthogonal if $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0$. If $\mathcal{C}$ is an $[n, k]_q$ code,
$$
\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_q^n \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { for all } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}
$$ is the orthogonal code or dual code of $\mathcal{C}$. $\mathcal{C}$ is self-orthogonal if $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}^{\perp}$ and self-dual if $\mathcal{C}=\mathcal{C}^{\perp}$.

Theorem 1.5.2 ([1323, Chapter 1.8 $])$ Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k]_q$ code with generator and parity check matrices $G$ and $H$, respectively. Then $\mathcal{C}^{\perp}$ is an $[n, n-k]_q$ code with generator and parity check matrices $H$ and $G$, respectively. Additionally $\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{C}$. Furthermore $\mathcal{C}$ is self-dual if and only if $\mathcal{C}$ is self-orthogonal and $k=\frac{n}{2}$.

Example 1.5.3 $\mathcal{C}2$ from Example $1.4 .8$ is a $[4,2]_2$ self-dual code with generator and parity check matrices both equal to $$ \left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \text {. } $$ The dual of the Hamming $[7,4]_2$ code in Example 1.4.9 is a $[7,3]_2$ code $\mathcal{H}{3,2}^{\perp} . H_{3,2}$ is a generator matrix of $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$. As every row of $H{3,2}$ is orthogonal to itself and every other row of $H_{3,2}, \mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ is self-orthogonal. As $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ has dimension 3 and $\left(\mathcal{H}{3,2}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{H}{3,2}$ has dimension 4, $\mathcal{H}_{3,2}^{\perp}$ is not self-dual.

编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Generator and Parity Check Matrices

在线性码和非线性码之间进行选择时，线性码添加的代数结构通常使它们更易于描述和使用。通常，通过给出生成器或奇偶校验矩阵来定义线性码。
定义 $1.4 .1$ 让 $\mathcal{C}$ 豆 $[n, k]_q$ 线性码。生成矩阵 $G$ 为了 $\mathcal{C}$ 是任何 $G \in \mathbb{F}_q^{k \times n}$ 其行跨度为 $\mathcal{C}$. 因为任何 $k$-维子空间 $\mathbb{F}_q^n$ 是一些线性变换的核 $\mathbb{F}_q^n$ 到 $\mathbb{F}_q^{n-k}$ ，那里存在 $H \in \mathbb{F}_q^{(n-k) \times n}$ ，具有独立的许多，称为奇偶校验矩阵 $\mathcal{C}$.
示例 1.4.2 继续示例 1.3.2，有几个生成器矩阵 $\mathcal{C}_1$ 包含
备注 $1.4 .3$ 通过基本行操作从代码的生成矩阵获得的任何矩阵仍然是该代码的生成矩阵。
备注 1.4.4 根据定义 1.4.1，行 $G$ 形成一个基础 $\mathcal{C}$, 和的行 $H$ 是独立的。有时，要求可能会放宽，以便 $G$ 只需要跨越
$\mathcal{C}$. 同样，要求的行 $H$ 只要是独立的就可以被丟弃

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

在本节中，我们介绍有限域上的码的概念。我们从一些符号开始。
该组 $n$ – 包含条目的元组 $\mathbb{F}q$ 形成一个n维向量空间，表示为和组件乘法 $n$ – 元组中的标量 $\mathbb{F}_q$. 中的向量 $\mathbb{F}_q^n$ 通常使用粗体罗马字符表示 $\mathbf{x}=x_1 x_2 \cdots x_n$. 向量 $\mathbf{0}=00 \cdots 0$ 是零向量 $\mathbb{F}_q^n$. 有天然内积 $\mathbb{F} q^n$ 这通常在代码研究中被证明是有用的。 ${ }^2$ 定义 $1.5 .1$ 普通内积，也称为欧几里得内积，在 $\mathbb{F}_q^n$ 定义为 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=\sum i=1^n x_i y_i$ 在哪里 $\mathbf{x}=x_1 x_2 \cdots x_n$ 和 $\mathbf{y}=y_1 y_2 \cdots y_n$. 两个向量 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}_q^n$ 是正交的，如果 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0$. 如果 $\mathcal{C}$ 是一个 $[n, k]_q$ 代码，是正交码或双码 $\mathcal{C} . \mathcal{C}$ 是自正交的，如果 $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}^{\perp}$ 和自对偶如果 $\mathcal{C}=\mathcal{C}^{\perp}$. 定理 $1.5 .2$ ([1323，第 $1.8$ 章 $]$ 让 $\mathcal{C}$ 豆 $[n, k]_q$ 带有生成器和奇偶校验矩阵的代码 $G$ 和 $H$ ，分别。然后 $\mathcal{C}^{\perp}$ 是一个 $[n, n-k]_q$ 带有生成器和奇偶校验矩阵的代码 $H$ 和 $G$ ，分别。此外 $\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{C}$. 此外 $\mathcal{C}$ 是自对偶当且仅当 $\mathcal{C}{\text {是自 }}$ 正交的并且 $k=\frac{n}{2}$.
示例 1.5.3C2来自示例 $1.4 .8$ 是一个 $[4,2]2$ 具有生成器和奇偶校验矩阵的自对偶代码都等于 $$ \left[\begin{array}{llllllll} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] . $$ 汉明的对偶 $[7,4]_2$ 示例 $1.4 .9$ 中的代码是 $[7,3]_2$ 代码 $\mathcal{H} 3,2^{\perp} . H{3,2}$ 是一个生成矩阵 $\mathcal{H} 3,2^{\perp}$. 作为每一行 $H 3,2$ 正交于自身和每隔一行 $H_{3,2}, \mathcal{H} 3,2^{\perp}$ 是自正交的。作为 $\mathcal{H} 3,2^{\perp}$ 具有维度 3 和 $\left(\mathcal{H} 3,2^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{H} 3,2$ 维度为 4 ， $\mathcal{H}_{3,2}^{\perp}$ 不是自对偶。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|CS294-226

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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

Finite fields play an essential role in coding theory. The theory and construction of finite fields can be found, for example, in [1254] and [1408, Chapter 2]. Finite fields, as related specifically to codes, are described in [1008, 1323, 1602]. In this section we give a brief introduction.

Definition 1.2.1 A field $F$ is a nonempty set with two binary operations, denoted $+$ and , satisfying the following properties.
(a) For all $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}, \alpha+\beta \in \mathbb{F}, \alpha \cdot \beta \in \mathbb{F}, \alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \cdot \beta=\beta \cdot \alpha, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$, $\alpha \cdot(\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$, and $\alpha \cdot(\beta+\gamma)=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma$.
(b) $\mathbb{F}$ possesses an additive identity or zero, denoted 0 , and a multiplicative identity or unity, denoted 1 , such that $\alpha+0=\alpha$ and $\alpha \cdot 1=\alpha$ for all $\alpha \in \mathbb{F}_q$.
(c) For all $\alpha \in \mathbb{F}$ and all $\beta \in \mathbb{F}$ with $\beta \neq 0$, there exists $\alpha^{\prime} \in \mathbb{F}$, called the additive inverse of $\alpha$, and $\beta^* \in \mathbb{F}$, called the multiplicative inverse of $\beta$, such that $\alpha+\alpha^{\prime}=0$ and $\beta \cdot \beta^*=1$

The additive inverse of $\alpha$ will be denoted $-\alpha$, and the multiplicative inverse of $\beta$ will be denoted $\beta^{-1}$. Usually the multiplication operation will be suppressed; that is, $\alpha \cdot \beta$ will be denoted $\alpha \beta$. If $n$ is a positive integer and $\alpha \in \mathbb{F}, n \alpha=\alpha+\alpha+\cdots+\alpha\left(n\right.$ times), $\alpha^n=\alpha \alpha \cdots \alpha$ ( $n$ times), and $\alpha^{-n}=\alpha^{-1} \alpha^{-1} \cdots \alpha^{-1}$ ( $n$ times when $\alpha \neq 0$ ). Also $\alpha^0=1$ if $\alpha \neq 0$. The usual rules of exponentiation hold. If $\mathbb{F}$ is a finite set with $q$ elements, $\mathbb{F}$ is called a finite field of order $q$ and denoted $\mathbb{F}_q$.

Example 1.2.2 Fields include the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, and the complex numbers $\mathbb{C}$. Finite fields include $\mathbb{Z}_p$, the set of integers modulo $p$, where $p$ is a prime.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Codes

In this section we introduce the concept of codes over finite fields. We begin with some notation.

For positive integers $m$ and $n, \mathbb{F}q^{m \times n}$ denotes the set of all $m \times n$ matrices with entries in $\mathbb{F}_q$. The matrix in $\mathbb{F}_q^{m \times n}$ with all entries 0 is the zero matrix denoted $\mathbf{0}{m \times n}$. The identity matrix of $\mathbb{F}q^{n \times n}$ will be denoted $I_n$. If $A \in \mathbb{F}_q^{m \times n}, A^{\top} \in \mathbb{F}_q^{n \times m}$ will denote the transpose of $A$. If $\mathbf{x} \in \mathbb{F}_q^m$, $\mathbf{x}^{\top}$ will denote $\mathbf{x}$ as a column vector of length $m$, that is, an $m \times 1$ matrix. The column vector $\mathbf{0}^{\top}$ and the $m \times 1$ matrix $\mathbf{0}{m \times 1}$ are the same.
If $S$ is any finite set, its order or size is denoted $|S|$.
Definition 1.3.1 A subset $\mathcal{C} \subseteq \mathbb{F}_q^n$ is called a code of length $n$ over $\mathbb{F}_q ; \mathbb{F}_q$ is called the alphabet of $\mathcal{C}$, and $\mathbb{F}_q^n$ is the ambient space of $\mathcal{C}$. Codes over $\mathbb{F}_q$ are also called $q$-ary codes. If the alphabet is $\mathbb{F}_2, \mathcal{C}$ is binary. If the alphabet is $\mathbb{F}_3, \mathcal{C}$ is ternary. The vectors in $\mathcal{C}$ are the codewords of $\mathcal{C}$. If $\mathcal{C}$ has $M$ codewords (that is, $|\mathcal{C}|=M$ ) $\mathcal{C}$ is denoted an $(n, M)_q$ code, or, more simply, an $(n, M)$ code when the alphabet $\mathbb{F}_q$ is understood. If $\mathcal{C}$ is a linear subspace of $\mathbb{F}_q^n$, that is $\mathcal{C}$ is closed under vector addition and scalar multiplication, $\mathcal{C}$ is called a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}_q$. If the dimension of the linear code $\mathcal{C}$ is $k, \mathcal{C}$ is denoted an $[n, k]_q$ code, or, more simply, an $[n, k]$ code. An $(n, M)_q$ code that is also linear is an $[n, k]_q$ code where $M=q^k$. An $(n, M)_q$ code may be referred to as an unrestricted code; a specific unrestricted code may be either linear or nonlinear. When referring to a code, expressions such as $(n, M),(n, M)_q,[n, k]$, or $[n, k]_q$ are called the parameters of the coodé.

Example 1.3.2 Let $\mathcal{C}={1100,1010,1001,0110,0101,0011} \subseteq \mathbb{F}_2^4$. Then $\mathcal{C}$ is a $(4,6)_2$ binary nonlinear code. Let $\mathcal{C}_1=\mathcal{C} \cup{0000,1111}$. Then $\mathcal{C}_1$ is a $(4,8)_2$ binary linear code. As $\mathcal{C}_1$ is a subspace of $\mathbb{F}_2^4$ of dimension $3, \mathcal{C}_1$ is also a $[4,3]_2$ code.

编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

有限域在编码理论中起着至关重要的作用。例如，在 [1254] 和 [1408，第 2 章] 中可以找到有限域的理论和构造。在 $[1008,1323,1602]$ 中描述了具体与代码相关的有限域。本节我们做一个简单的介绍。
定义 $1.2 .1$ 一个字段 $F$ 是具有两个二元运算的非空集，记为 $+$ 和，满足以下性质。
(a) 对所有人
$\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}, \alpha+\beta \in \mathbb{F}, \alpha \cdot \beta \in \mathbb{F}, \alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \cdot \beta=\beta \cdot \alpha, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ ，
$\alpha \cdot(\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma ，$ 和 $\alpha \cdot(\beta+\gamma)=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma$.
(二) $\mathbb{F}$ 拥有一个加法单位或零，表示为 0 ，和一个乘法单位或单位，表示为 1 ，使得 $\alpha+0=\alpha$ 和 $\alpha \cdot 1=\alpha$ 对所有人 $\alpha \in \mathbb{F}_q$.
(c) 对所有人 $\alpha \in \mathbb{F}$ 和所有 $\beta \in \mathbb{F}$ 和 $\beta \neq 0$ ，那里存在 $\alpha^{\prime} \in \mathbb{F}$ ，称为加法逆 $\alpha$ ，和 $\beta^* \in \mathbb{F}$ ，称为乘法逆 $\beta$ ，这样 $\alpha+\alpha^{\prime}=0$ 和 $\beta \cdot \beta^*=1$
的加法逆 $\alpha$ 将表示 $-\alpha$ ，和乘法逆 $\beta$ 将表示 $\beta^{-1}$. 通常乘法运算会被抑制；那是， $\alpha \cdot \beta$ 将表示 $\alpha \beta$. 如果 $n$ 是一个正整数并且 $\alpha \in \mathbb{F}, n \alpha=\alpha+\alpha+\cdots+\alpha$ ( $n$ 次) ， $\alpha^n=\alpha \alpha \cdots \alpha(n$ 次 $)$ ，和 $\alpha^{-n}=\alpha^{-1} \alpha^{-1} \cdots \alpha^{-1}(n$ 有时 $\alpha \neq 0)$ 。还 $\alpha^0=1$ 如果 $\alpha \neq 0$. 通常的求幂规则成立。如果 $\mathbb{F}$ 是一个有限集 $q$ 元素， $\mathbb{F}$ 称为有限序域 $q$ 并表示 $\mathbb{F}_q$

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在本节中，我们介绍有限域上的码的概念。我们从一些符号开始。
该组 $n$ – 包含条目的元组 $\mathbb{F}_q$ 形成一个 $n$ 维向量空间，表示为和组件乘法 $n$ – 元组中的标量 $\mathbb{F}_q$. 中的向量 $\mathbb{F}_q^n$ 通常使用粗体罗马字符表示 $\mathbf{x}=x_1 x_2 \cdots x_n$. 向量 $0=00 \cdots 0$ 是零向量 $\mathbb{F}_q^n$
对于正整数 $m$ 和 $n, \mathbb{F} q^{m \times n}$ 表示所有的集合 $m \times n$ 包含条目的矩阵 $\mathbb{F}_q$. 中的矩阵 $\mathbb{F}_q^{m \times n}$ 所有条目 0 是表示的零矩阵 $0 m \times n$. 的单位矩阵 $\mathbb{F} q^{n \times n}$ 将表示 $I_n$. 如果 $A \in \mathbb{F}_q^{m \times n}, A^{\top} \in \mathbb{F}_q^{n \times m}$ 将表示转置 $A$. 如果 $\mathbf{x} \in \mathbb{F}_q^m$ ， $\mathbf{x}^{\top}$ 将表示 $\mathbf{x}$ 作为长度的列向量 $m$ ，也就是说，一个 $m \times 1$ 矩阵。列向量 $\boldsymbol{0}^{\top}$ 和 $m \times 1$ 矩阵 $\mathbf{0} m \times 1$ 是相同的。如果 $S$ 是任何有限集，它的顺序或大小表示 $|S|$.
定义 1.3.1 一个子集 $\mathcal{C} \subseteq \mathbb{F}_q^n$ 称为长度码 $n$ 超过 $\mathbb{F}_q ; \mathbb{F}_q$ 被称为字母表 $\mathcal{C}$ ，和 $\mathbb{F}_q^n$ 是环境空间 $\mathcal{C}$. 代码结束 $\mathbb{F}_q$ 也被称为 $q$ -ary 代码。如果字母表是 $\mathbb{F}_2, \mathcal{C}$ 是二进制的。如果字母表是 $\mathbb{F}_3, \mathcal{C}$ 是三元的。中的向量 $\mathcal{C}$ 是的代码字 $\mathcal{C}$. 如果 $\mathcal{C}$ 有 $M$ 码字 (即 $|\mathcal{C}|=M) \mathcal{C}$ 表示为 $(n, M)_q$ 代码，或者更简单地说，一 $(n, M)$ 码当字母 $\mathbb{F}$ 被理解。如果 $\mathcal{C}$ 是一个线性子空间 $\mathbb{F}_q^n$ ，那是 $\mathcal{C}$ 在向量加法和标量乘法下是闭合的， $\mathcal{C}$ 称为长度的线性码 $n$ 超过 $\mathbb{F}_q$. 如果线性码的维数 $\mathcal{C}$ 是 $k, \mathcal{C}$ 表示为 $[n, k]_q$ 代码，或者更简单地说，一个 $[n, k]$ 代码。一个 $(n, M)_q$ 也是线性的代码是 $[n, k]_q$ 代码在哪里 $M=q^k$. 一个 $(n, M)_q$ 代码可以称为不受限制的代码; 一个特定的无限制代码可以是线性的也可以是非线性的。引用代码时，诸如 $(n, M),(n, M)_q,[n, k]$ ，或者 $[n, k]_q$ 被称为 coodé 的参数。
示例 $1.3 .2$ 让 $\mathcal{C}=1100,1010,1001,0110,0101,0011 \subseteq \mathbb{F}_2^4$. 然后 $\mathcal{C}$ 是一个 $(4,6)_2$ 二进制非线性码。让 $\mathcal{C}_1=\mathcal{C} \cup 0000,1111$. 然后 $\mathcal{C}_1$ 是一个 $(4,8)_2$ 二进制线性码。作为 $\mathcal{C}_1$ 是一个子空间 $\mathbb{F}_2^4$ 维度的 $3, \mathcal{C}_1$ 也是一个 $[4,3]_2$ 代码。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 4107

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATIVE INVERSION

Let us now consider the problem of finding the multiplicative inverse of an element in the field of residue classes mod an irreducible binary polynomial $M(x)$ of degree $m$. Given the residue class containing $r(x)$, a polynomial of degree $<m$, we wish to find the polynomial $p(x)$ of degree $<m$ such that the product satisfies
$$
r(x) p(x) \equiv 1 \bmod M(x)
$$
or equivalently, $r(x) p(x)+M(x) q(x)=1$ for some polynomial $q(x)$. Since. $M(x)$ is irreducible, the ged of $M$ and $r$ is 1 . We may therefore apply the continued-fractions version of Euclid’s algorithm as described in Sec. 2.1. Starting with $r^{(-2)} \equiv M, r^{(-1)} \equiv r, p^{(-2)} \equiv 0, p^{(-1)} \equiv 1$, $q^{(-2)}=1, q^{(-1)}=0$, we use the division algorithm to find $a^{(k)}$ and $r^{(k)}$ such that
$$
r^{(k-2)}=a^{(k)} r^{(k-1)}+r^{(k)} \quad \operatorname{deg} r^{(k)}<\operatorname{deg} r^{(k-1)}
$$
We then set
$$
\begin{aligned}
&q^{(k)}=a^{(k)} q^{(k-1)}+q^{(k-2)} \
&p^{(k)}=a^{(k)} p^{(k-1)}+p^{(k-2)}
\end{aligned}
$$

The iteration is to be continued until $r^{(n)}=0$. The solution is then given by $q=q^{(n-1)}, p=p^{(n-1)}$ with $\operatorname{deg} q<\operatorname{deg} r, \operatorname{deg} p<\operatorname{deg} M=$ $m$. Since we wish to find only $p$ (and do not particularly care about $q$ ), we may dispense with the $q$ ‘s entirely.

Before designing the logical circuits, let us work an example. Suppose $r(x)=x^{4}+x+1$ and $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. One method of computing successive $a$ ‘s and $r$ ‘s and $p^{\prime}$ ‘s follows.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION

When considering the multiplication of residue classes mod $M(x)$, where $M(x)$ is an irreducible binary polynomial of degree $m$, it is helpful to introduce the symbol $\alpha$ to denote the residue class containing $x$. Then $\alpha^{2}$ represents the residue class containing $x^{2}$, and, in general, if $r(x)$ is any polynomial, then $r(\alpha)$ represents the residue class containing $r(x)$. Since $M(x) \equiv 0 \bmod M(x)$, we must have $M(\alpha)=0$. The element represented by the symbol $\alpha$ is therefore a root of the polynomial $M(x)$. Hence, we have an obvious isomorphism between the field containing the $2^{m}$ residue classes $\bmod M(x)$ and the field containing the binary field and all polynomials in $\alpha$, where $\alpha$ is a root of the irreducible binary polynomial $M(x)$.

Any element $Y$ in this field may be expressed uniquely as a polynomial of degree $<m$ in $\alpha, Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, where the $Y_{i}$ are binary numbers. The element $Y$ may be conveniently stored in an $m$-bit register, whose components contain the binary numbers $Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION OF A REGISTER BY A WIRED CONSTANT

Let us first consider the multiplication of the field element in the $Y$ register by a constant field element $A$. We may assume that $A$ is represented by some binary polynomial in $\alpha$. Since $Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, we have $Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i}\left(A \alpha^{i}\right)$. Expressing $A \alpha^{i}$ as a polynomial of degree $<m$ in $\alpha$ gives $A \alpha^{i}=\sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j}$, so that
$$
\begin{aligned}
Y A &=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j} \
&=\sum_{j=0}^{m-1}\left(\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} A_{i, j}\right) \alpha^{j}
\end{aligned}
$$
Thus, multiplication of the field element $Y$ by the field element $A$ is equivalent to multiplication of the $m$-dimensional binary row vector $\mathbf{Y}=\left[Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}\right]$ by the $m \times m$ matrix whose components are $A_{i, j}$. The rows of this matrix represent the products $A \alpha^{m-1}, A \alpha^{m-2}$, $\cdots, A$.

For example, let $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. Suppose we wish to multiply the contents of the $Y$ register by the field element $A=\alpha^{3}+\alpha$. We first compute
$$
\begin{aligned}
A \alpha &=\alpha^{4}+\alpha^{2} \
A \alpha^{2} &=\alpha^{5}+\alpha^{3}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+1 \
A \alpha^{3} &=\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha \
A \alpha^{4} &=\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{2}=\alpha^{4}+1
\end{aligned}
$$
The multiplication $Z=Y A$ is equivalent to
$$
\left[Z_{4}, Z_{3}, Z_{2}, Z_{1}, Z_{0}\right]=\left[Y_{4}, Y_{3}, Y_{2}, Y_{1}, Y_{0}\right]\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$
This multiplication may readily be accomplished by the circuit of Fig. 2.11.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATIVE INVERSION

现在让我们考虑在一个不可约二元多项式的余数类域中找到一个元素的乘法逆的问题 $M(x)$ 学位 $m$. 给定剩余类包含 $r(x)$ ，多项式 $<m$ ，我们希望找到多项式 $p(x)$ 学位 $<m$ 使产品满足
$$
r(x) p(x) \equiv 1 \bmod M(x)
$$
或等效地， $r(x) p(x)+M(x) q(x)=1$ 对于一些多项式 $q(x)$. 自从。 $M(x)$ 是不可约的， $M$ 和 $r$ 是 1 。因此，我们可以应用欧几里得算法的连续分数版本，如第 2 节所述。2.1。从…开始
$r^{(-2)} \equiv M, r^{(-1)} \equiv r, p^{(-2)} \equiv 0, p^{(-1)} \equiv 1, q^{(-2)}=1, q^{(-1)}=0$ ，我们使用除法算法找到 $a^{(k)}$ 和 $r^{(k)}$ 这样
$$
r^{(k-2)}=a^{(k)} r^{(k-1)}+r^{(k)} \quad \operatorname{deg} r^{(k)}<\operatorname{deg} r^{(k-1)}
$$
然后我们设置
$$
q^{(k)}=a^{(k)} q^{(k-1)}+q^{(k-2)} \quad p^{(k)}=a^{(k)} p^{(k-1)}+p^{(k-2)}
$$
迭代将持续到 $r^{(n)}=0$. 然后由下式给出解决方案 $q=q^{(n-1)}, p=p^{(n-1)}$ 和 $\operatorname{deg} q<\operatorname{deg} r, \operatorname{deg} p<\operatorname{deg} M=m$. 因为我们只想找到 $p$ (也不是特别在意 $q$ ）我们可以省略 $q$ 完全是。
在设计逻辑电路之前，让我们举个例子。认为 $r(x)=x^{4}+x+1$ 和 $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. 一种计算连续的方法 $a^{\prime}$ 沙 $r^{\prime}$ 沙 $p^{\prime}$ 的跟随。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION

当考虑残基类 $\bmod$ 的乘法时 $M(x)$ ，在哪里 $M(x)$ 是一个不可约的二元多项式 $m$, 引符号很有帮助 $\alpha$ 表示残基类包含 $x$. 然后 $\alpha^{2}$ 表示包含的残基类 $x^{2}$ ，并且，一般来说，如果 $r(x)$ 是任何多项式，那么 $r(\alpha)$ 表示包含的残基类 $r(x)$. 自从 $M(x) \equiv 0 \bmod M(x)$, 我们必须有 $M(\alpha)=0$. 符号表示的元素 $\alpha$ 因此是多项式的根 $M(x)$. 因此，我们在包含 $2^{m}$ 残留类别 $\bmod M(x)$ 以及包含二进制字段和所有多项式的字段 $\alpha$ ，在哪里 $\alpha$ 是不可约二元多项式的根 $M(x)$.
任何元素 $Y$ 在这个领域中，可以唯一地表示为一次多项式 $<m$ 在 $\alpha, Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, 其中 $Y_{i}$ 是二进制数。元素 $Y$ 可以方便地存储在一个 $m$-位寄存器，其组件包含二进制数 $Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION OF A REGISTER BY A WIRED CONSTANT

让我们首先考虑字段元素的乘法 $Y$ 通过常量字段元素注册 $A$. 我们可以假设 $A$ 由一些二进制多项式表示 $\alpha$. 自从 $Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$ ，我们有 $Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i}\left(A \alpha^{i}\right)$. 表达 $A \alpha^{i}$ 作为一次多项式 $<m$ 在 $\alpha$ 给 $A \alpha^{i}=\sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j}$ ，以便
$$
Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j} \quad=\sum_{j=0}^{m-1}\left(\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} A_{i, j}\right) \alpha^{j}
$$
因此，字段元素的乘法 $Y$ 通过字段元素 $A$ 相当于乘以 $m$ 维二进制行向量 $\mathbf{Y}=\left[Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}\right]$ 由 $m \times m$ 矩阵，其分量是 $A_{i, j}$. 该矩阵的行代表产品 $A \alpha^{m-1}, A \alpha^{m-2} ， \cdots, A$.
例如，让 $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. 假设我们希望将 $Y$ 通过字段元素注册 $A=\alpha^{3}+\alpha$. 我们首先计算 $A \alpha=\alpha^{4}+\alpha^{2} A \alpha^{2} \quad=\alpha^{5}+\alpha^{3}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+1 A \alpha^{3}=\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha A \alpha^{4} \quad=\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{2}=$
乘法 $Z=Y A$ 相当于
这种乘法可以很容易地通过图 $2.11$ 的电路来完成。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MANIPULATIVE INTRODUCTION TO DOUBLE-ERROR-CORRECTING BCH CODES

We have seen that a linear code is characterized by its parity-check matrix $3 C$. We have also seen that the syndrome of the received sequence is the sum of the columns of $\mathcal{F C}$ corresponding to the error positions. Hence, a linear code is capable of correcting all single-error patterns iff all columns of $3 C$ are different and nonzero. If $\exists C$ has $m$ rows and can correct single errors, then $n \leq 2^{m}-1$. The Hamming codes achieve this bound.

Each digit of a Hamming code may be labeled by a nonzero binary $m$-luple, which is equal to the corresponding column of the $\mathfrak{B C}$ matrix. The $m$ syndrome digits then reveal directly the label of the error (if there is only one) or the binary vector sum of the labels (if there are several).

This labeling idea is so useful that we shall continue to assume that $n=2^{m}-1$
and that the columns of $\Im C$ have been labeled accordingly. Now suppose that we wish to correct all patterns of two or fewer errors. Obviously we need a greater redundancy; that is, $\mathcal{B C}$ must have more rows. Proceeding naĩvely, we suspect that we may need about twice as many parity checks to correct two errors as we need to correct one, so we shall try to find a parity-check matrix $\xi c$ with $2^{m}-1$ columns and $2 m$ rows.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|A CLOSER LOOK AT EUCLID’S ALGORITHM

In the previous section we indicated that the decoding of binary $\mathrm{BCH}$ codes requires arithmetic operations in the field of binary polynomials mod some irreducible binary polynomial $M(x)$. From both the theoretical and practical standpoints, Euclid’s algorithm plays a key role in this development.

From the theoretical standpoint, Euclid’s algorithm is used to prove that the factorization of polynomials into irreducible polynomials is unique (except for scalar multiples) over any field and that a polynomial of degree $d$ cannot have more than $d$ roots in any field. This fact is needed to prove that the error locator polynomial $\sigma(z)$ cannot have more roots than its degree. If it did, then the entire decoding procedure sketched in Sec. $1.4$ would be invalid, for several different pairs of error locations might conceivably be reciprocal roots of the same quadratic equation.

From the practical standpoint, Euclid’s algorithm is important because one of its modifications, the method of convergents of continued fractions, provides the basis for one of the most efficient methods for implementing division in finite fields. This method, apparently new, will be detailed in this section and the next.

Euclid’s algorithm is based on the observation that any divisor of $R$ and $r$ must also divide their sum and their difference. Furthermore, since any divisor of $r$ also divides any nonzero multiple of $r$, such as $a r$, then any divisor of $R$ and $r$ must also divide $R \pm a r$. Conversely, any divisor of $r$ and $R \pm a r$ must also divide $(R \pm a r) \mp a r=R$. Hence, if we let $(R, r)$ denote the greatest common divisor (hereafter called ged) of $R$ and $r$, then we have $(R, r)=(r, R \pm a r)$. Consequently, starting from an original pair of elements $R$ and $r$, we can find a new pair of elements which have the same ged. If the multiplier $a$ is judiciously chosen, the problem of finding the ged of the new pair of elements will be easier than the original problem.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LOGICAL CIRCUITRY

The three basic elements used in logical design are the AND gate, the OR gate, and the inverter, which are represented as shown in Fig. 2.01. The AND and OR gates may have several inputs, each of which carries a binary signal having either the value 0 or the value 1 . The output of the AND gate is zero unless all its inputs are ones, in which case the output of the AND gate is also one. The output of the OR gate is one unless all of its inputs are zero, in which case the output of the OR gate is also zero. The inverter, in contrast to the AND and OR gates, has only one input, and its output is the opposite of its input. If its input signal has value 0 , the output has value 1 ; if the input signal has value 1 , the output has value 0 .

In practice, circuits having the logical properties of these three elements may be constructed out of transistors, resistors, diodes, vacuum tubes, and/or other components. Depending on the detailed properties t Starred sections of this book may be skimmed or omitted on first reading.of these components, the overall design will be subject to certain restrictions, called design constraints. For example, there will be maximum numbers of inputs to AND and OR gates and a maximum number of elements through which signals can propagate successively without additional amplification. Typically, every inverter is equipped with an amplifier, but AND and OR gates are not. Design constraints then specify how many AND and/or OR gates may be successively encountered between inverters and in what orders. Since the design constraints depend heavily on the properties of the components, we shall not consider design constraints much further here. If some of our circuits do not satisfy particular design constraints, it may be necessary to insert additional amplifiers (or pairs of successive inverters) into the circuits at certain crucial points.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MANIPULATIVE INTRODUCTION TO DOUBLE-ERROR-CORRECTING BCH CODES

我们已经看到，线性码的特征在于其奇偶校验矩阵3C. 我们还看到，接收序列的校验子是FC对应的错误位置。因此，线性码能够纠正所有单错误模式，当且仅当当3C不同且非零。如果∃C有m行并且可以纠正单个错误，然后n≤2m−1. 汉明码达到了这个界限。

汉明码的每个数字都可以用非零二进制标记m-luple，等于对应的列BC矩阵。这m然后，综合症数字直接显示错误的标签（如果只有一个）或标签的二进制向量和（如果有几个）。

这个标签的想法非常有用，我们将继续假设n=2m−1
并且这些列ℑC已被相应地标记。现在假设我们希望纠正两个或更少错误的所有模式。显然我们需要更大的冗余；那是，BC必须有更多的行。天真地，我们怀疑我们可能需要大约两倍的奇偶校验来纠正两个错误，因为我们需要纠正一个错误，所以我们将尝试找到一个奇偶校验矩阵ξc和2m−1列和2m行。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|A CLOSER LOOK AT EUCLID’S ALGORITHM

在上一节中，我们指出二进制的解码BCH代码需要二进制多项式领域的算术运算 mod 一些不可约的二进制多项式M(x). 从理论和实践的角度来看，欧几里得算法在这一发展中发挥了关键作用。

从理论的角度来看，欧几里德算法被用来证明多项式分解为不可约多项式在任何域上都是唯一的（标量倍数除外），并且多项式的次数d不能超过d扎根于任何领域。需要这个事实来证明错误定位多项式σ(z)根不能超过它的度数。如果是这样，那么整个解码过程在第二节中概述。1.4将是无效的，因为几对不同的错误位置可能是同一二次方程的倒数根。

从实际的角度来看，欧几里得算法很重要，因为它的一种修改，即连分数的收敛方法，为在有限域中实现除法的最有效方法之一提供了基础。这种方法，显然是新的，将在本节和下一节中详细介绍。

欧几里得算法是基于观察到的任何除数R和r还必须除以它们的总和和它们的差。此外，由于任何除数r也除以任何非零倍数r，如ar, 那么任何除数R和r也必须分R±ar. 反之，任何除数r和R±ar也必须分(R±ar)∓ar=R. 因此，如果我们让(R,r)表示最大公约数（以下称为 ged）R和r，那么我们有(R,r)=(r,R±ar). 因此，从一对原始元素开始R和r，我们可以找到一对具有相同 ged 的新元素。如果乘数a明智地选择，找到新元素对的 ged 问题将比原来的问题更容易。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LOGICAL CIRCUITRY

逻辑设计中使用的三个基本元素是与门、或门和反相器，如图 2.01 所示。AND 和 OR 门可以有多个输入，每个输入都携带一个二进制信号，其值为 0 或值为 1 。与门的输出为零，除非其所有输入均为 1，在这种情况下，与门的输出也为 1。或门的输出为 1，除非其所有输入都为零，在这种情况下，或门的输出也为零。与 AND 和 OR 门相比，反相器只有一个输入，其输出与其输入相反。如果其输入信号值为 0 ，则输出值为 1 ；如果输入信号的值为 1 ，则输出的值为 0 。

实际上，具有这三个元件的逻辑特性的电路可以由晶体管、电阻器、二极管、真空管和/或其他组件构成。根据详细的属性，本书中带星号的部分在初读时可能会略过或省略。对于这些组件，整体设计将受到某些限制，称为设计约束。例如，与门和或门将有最大数量的输入，以及信号可以通过其连续传播而无需额外放大的最大数量的元件。通常，每个逆变器都配备一个放大器，但与门和或门没有。设计约束然后指定在反相器之间可以连续遇到多少与和/或或门以及以什么顺序。由于设计约束在很大程度上取决于组件的属性，因此我们不会在此处进一步考虑设计约束。如果我们的某些电路不满足特定的设计约束，则可能需要在某些关键点将额外的放大器（或成对的连续反相器）插入电路中。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

Posted on 2022年7月2日2022年7月2日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写编码理论Coding theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

我们提供的编码理论Coding theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REPETITION CODES AND SINGLE-PARITY-CHECK CODES

Suppose that we wish to transmit a sequence of binary digits across a noisy channel. If we send a one, a one will probably be rcecivcd; if we send a zero, a zero will probably be received. Occasionally, however, the channel noise will cause a transmitted one to be mistakenly interpreted as a zero or a transmitted zero to be mistakenly interpreted as a one. Although we are unable to prevent the channel from causing such errors, we can reduce their undesirable effects with the use of coding. The basic idea is simple. We take a set of $k$ message digits which we wish to transmit, annex to them $r$ check digits, and transmit the entire block of $n=k+r$ channel digits. Assuming that the channcl noise changes sufficiently few of these $n$ transmitted channel digits, the $r$ check digits may provide the receiver with sufficient information to enable him to detect and correct the channel errors.

Given any particular sequence of $k$ message digits, the transmitter must have some rule for selecting the $r$ check digits. This is called the encoding problem. Any particular scquence of $n$ digits which the encoder might transmit is called a codeword. Although there are $2^{n}$ different binary sequences of length $n$, only $2^{k}$ of these sequences are codewords, because the $r$ check digits within any codeword are completely determined by the $k$ message digits. The set consisting of these $2^{k}$ codewords of length $n$ is called the code.

No matter which codeword is transmitted, any of the $2^{\text {n }}$ possible binary sequences of length $n$ may be received if the channel is sufficiently noisy. Given the $n$ received digits, the decoder must attempt to decide which of the $2^{k}$ possible codewords was transmitted.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LINEAR CODES

In a code containing several message digits and several check digits, each check digit must be some function of the message digits. In the simple case of single-parity-check codes, the single parity check was chosen to be the binary sum of all the message digits. If there are several parity checks, it is wise to set each check digit equal to the binary sum of some subset of the message digits. For example, we construct a binary code of block length $n=6$, having $k=3$ message digits and $r=3$ check digits. We shall label the three message digits $C_{1}, C_{2}$, and $C_{3}$ and the three check digits $C_{4}, C_{5}$, and $C_{6}$. We choose these check digits from the message digits according to the following rules:
$C_{4}=C_{1}+C_{2}$
$C_{5}=C_{1}+C_{3}$
$C_{6}=C_{2}+C_{3}$
or, in matrix notation,
$$
\left[\begin{array}{l}
C_{4} \
C_{5} \
C_{6}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
C_{1} \
C_{2} \
C_{3}
\end{array}\right]
$$
The full codcword coneists of the digits $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{8}, C_{6}$. Every codeword must satigfy the parity=eheck equations or, in matrix notation,
$$
\left[\begin{array}{llllll}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] \quad \mathbf{C}^{t}=\left[\begin{array}{l}
0 \
0 \
0
\end{array}\right]
$$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HAMMING CODES

At extremely low rates or extremely high rates, it is relatively easy to find good linear codes. In order to interpolate between these two extremes, we might adopt either of two approaches: (1) start with the low-rate codes and gradually increase $k$ by adding more and more codewords, attempting to maintain a large error-correction capability, or (2) start with good high=rate codes and gradually increase the error= correction capability, attempting to add only a few additional paritycheck constraints.

Historically, the second approach has proved more successful.
† All of the perfect singlc-error-correcting binary group codes were first discovered by Hamming. The Hamming code of length 7 was first published as an example in the paper by Shannon (1948). The generalization of this example was mentioned by Golay (1949) prior to the appearance of the paper by Hamming (1950). The Hamming codes had been anticipated by Fisher (1942) in a different context.

This is the approach we shall follow. We begin by constructing certain codes to correct single errors, the Hamming codes.

The syndrome of a linear code is related to the error pattern by the equation $\mathbf{s}^{t}=\tilde{F} E^{t}$. In general, the right side of this equation may be written as $E_{1}$ times the first column of the $F C$ matrix, plus $E_{2}$ times the second column of the $F C$ matrix, plus $E_{3}$ times the third column of the FC matrix, plus …. For example, if
$$
\mathbf{s}^{t}=\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E_{5}, E_{6}\right]^{t}
$$
then
$$
\left[\begin{array}{l}
s_{1} \
s_{2} \
s_{3}
\end{array}\right]=E_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \
1 \
0
\end{array}\right]+E_{2}\left[\begin{array}{l}
1 \
0 \
1
\end{array}\right]+E_{3}\left[\begin{array}{l}
0 \
1 \
1
\end{array}\right]+E_{4}\left[\begin{array}{l}
1 \
0 \
0
\end{array}\right]+E_{5}\left[\begin{array}{l}
0 \
1 \
0
\end{array}\right]+E_{6}\left[\begin{array}{l}
0 \
0 \
1
\end{array}\right]
$$

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REPETITION CODES AND SINGLE-PARITY-CHECK CODES

假设我们希望通过嘈杂的信道传输二进制数字序列。如果我们发送一个，一个可能会被接收；如果我们发送一个零，可能会收到一个零。然而，有时，信道噪声会导致发送的 1 被错误地解释为 0 或发送的 0 被错误地解释为 1。虽然我们无法防止通道导致此类错误，但我们可以通过使用编码来减少它们的不良影响。基本思想很简单。我们采取一组ķ我们希望传输的消息数字，附在它们后面r检查数字，并传输整个块n=ķ+r频道数字。假设通道噪声变化足够少n传输的频道数字，r校验位可以为接收者提供足够的信息，使他能够检测和纠正信道错误。

给定任何特定的序列ķ消息数字，发射器必须有一些规则来选择r检查数字。这称为编码问题。任何特定的序列n编码器可能传输的数字称为码字。虽然有2n不同长度的二进制序列n，只要2ķ这些序列是码字，因为r任何代码字中的校验位完全由ķ消息数字。由这些组成的集合2ķ长度码字n被称为代码。

无论传输哪个码字，任何2n 可能的二进制长度序列n如果信道足够嘈杂，则可能会被接收到。鉴于n接收到的数字，解码器必须尝试决定哪个2ķ可能的代码字被传输。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LINEAR CODES

在包含多个消息位和多个校验位的代码中，每个校验位必须是消息位的某个函数。在单奇偶校验码的简单情况下，单奇偶校验被选择为所有消息数字的二进制和。如果有多个奇偶校验，明智的做法是将每个校验位设置为等于某个消息数字子集的二进制和。例如，我们构造一个块长度的二进制代码n=6, 有ķ=3消息数字和r=3检查数字。我们将标记三个消息数字C1,C2，和C3和三个校验位C4,C5，和C6. 我们根据以下规则从消息数字中选择这些校验数字：
C4=C1+C2
C5=C1+C3
C6=C2+C3
或者，在矩阵表示法中，

[C4 C5 C6]=[110 101 011][C1 C2 C3]
数字的完整密码字锥体C1,C2,C3,C4,C8,C6. 每个码字必须满足 parity=eheck 方程，或者，在矩阵表示法中，

[110100 101010 011001]C吨=[0 0 0]

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HAMMING CODES

在极低或极高的速率下，找到好的线性码相对容易。为了在这两个极端之间进行插值，我们可以采用以下两种方法之一：（1）从低码率开始，逐渐增加ķ通过添加越来越多的码字，尝试保持较大的纠错能力，或 (2) 从良好的高速率代码开始并逐渐增加纠错能力，尝试仅添加一些额外的奇偶校验约束。

从历史上看，第二种方法被证明更为成功。
† 所有完美的单次纠错二进制群码都是由 Hamming 首次发现的。长度为 7 的汉明码首先在 Shannon (1948) 的论文中作为示例发表。在 Hamming (1950) 的论文出现之前，Golay (1949) 已经提到了这个例子的推广。Fisher (1942) 在不同的背景下已经预料到了汉明码。

这是我们将遵循的方法。我们首先构建某些代码来纠正单个错误，即汉明码。

线性码的伴随式与错误模式的关系如下式s吨=F~和吨. 一般来说，这个等式的右边可以写成和1乘以第一列FC矩阵加和2乘以第二列FC矩阵加和3乘以 FC 矩阵的第三列，加上……。例如，如果

s吨=[110100 101010 011001][和1,和2,和3,和4,和5,和6]吨
然后

[s1 s2 s3]=和1[1 1 0]+和2[1 0 1]+和3[0 1 1]+和4[1 0 0]+和5[0 1 0]+和6[0 0 1]

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|信息论代写information theory代考|ECE4042

Posted on 2022年6月30日2022年6月30日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

信息论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写信息论information theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写信息论information theory代写方面经验极为丰富，各种代写信息论information theory相关的作业也就用不着说。

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Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|信息论代写information theory代考|Definition of entropy of a continuous random variable

Up to now we have assumed that a random variable $\xi$, with entropy $H_{\xi}$, can take values from some discrete space consisting of either a finite or a countable number of elements, for instance, messages, symbols, etc. However, continuous variables are also widespread in engineering, i.e. variables (scalar or vector), which can take values from a continuous space $X$, most often from the space of real numbers. Such a random variable $\xi$ is described by the probability density function $p(\xi)$ that assigns the probability
$$
\Delta P=\int_{\xi \varepsilon \Delta X} p(\xi) d \xi \approx p(A) \Delta V \quad(A \in \Delta X)
$$
of $\xi$ appearing in region $\Delta X$ of the specified space $X$ with volume $\Delta V(d \xi=d V$ is a differential of the volume).

How can we define entropy $H_{\xi}$ for such a random variable? One of many possible formal ways is the following: In the formula
$$
H_{\xi}=-\sum_{\xi} P \xi \ln P(\xi)=-\mathbb{E}[\ln P(\xi)]
$$
appropriate for a discrete variable we formally replace probabilities $P(\xi)$ in the argument of the logarithm by the probability density and, thereby, consider the expression
$$
H_{\xi}=-\mathbb{E}[\ln p(\xi)]=-\int_{x} p(\xi) \ln p(\xi) d \xi .
$$
This way of defining entropy is not well justified. It remains unclear how to define entropy in the combined case, when a continuous distribution in a continuous space coexists with concentrations of probability at single points, i.e. the probability density contains delta-shaped singularities. Entropy (1.6.2) also suffers from the drawback that it is not invariant, i.e. it changes under a non-degenerate transformation of variables $\eta=f(\xi)$ in contrast to entropy (1.6.1), which remains invariant under such transformations.

数学代写|信息论代写information theory代考|Properties of entropy in the generalized version

Entropy (1.6.13), (1.6.16) defined in the previous section possesses a set of properties, which are analogous to the properties of an entropy of a discrete random variable considered earlier. Such an analogy is quite natural if we take into account the interpretation of entropy (1.6.13) (provided in Section 1.6) as an asymptotic case (for large $N$ ) of entropy (1.6.1) of a discrete random variable.

The non-negativity property of entropy, which was discussed in Theorem $1.1$, is not always satisfied for entropy (1.6.13), (1.6.16) but holds true for sufficiently large $N$. The constraint
$$
H_{\xi}^{P / Q} \leqslant \ln N
$$
results in non-negativity of entropy $H_{\xi}$.
Now we move on to Theorem $1.2$, which considered the maximum value of entropy. In the case of entropy (1.6.13), when comparing different distributions $P$ we need to keep measure $v$ fixed. As it was mentioned, quantity (1.6.17) is non-negative and, thus, (1.6.16) entails the inequality
$$
H_{\xi} \leqslant \ln N .
$$
At the same time, if we suppose $P=Q$, then, evidently, we will have
$$
H_{\xi}=\ln N .
$$
This proves the following statement that is an analog of Theorem $1.2$.

数学代写|信息论代写information theory代考|Encoding of discrete information

The definition of the amount of information, given in Chapter 1, is justified when we deal with a transformation of information from one kind into another, i.e. when considering encoding of information. It is essential that the law of conservation of information amount holds under such a transformation. It is very useful to draw an analogy with the law of conservation of energy. The latter is the main argument for introducing the notion of energy. Of course, the law of conservation of information is more complex than the law of conservation of energy in two respects. The law of conservation of energy establishes an exact equality of energies, when one type of energy is transformed into another. However, in transforming information we have a more complex relation, namely ‘not greater’ $(\leqslant)$, i.e. the amount of information cannot increase. The equality sign corresponds to optimal encoding. Thus, when formulating the law of conservation of information, we have to point out that there possibly exists such an encoding, for which the equality of the amounts of information occurs.

The second complication is that the equality is not exact. It is approximate, asymptotic, valid for complex (large) messages and for composite random variables. The larger a system of messages is, the more exact such a relation becomes. The exact equality sign takes place only in the limiting case. In this respect, there is an analogy with the laws of statistical thermodynamics, which are valid for large thermodynamic systems consisting of a large number (of the order of the Avogadro number) of molecules.

When conducting encoding, we assume that a long sequence of messages $\xi_{1}, \xi_{2}$, … is given together with their probabilities, i.e. a sequence of random variables. Therefore, the amount of information (entropy $H$ ) corresponding to this sequence can be calculated. This information can be recorded and transmitted by different realizations of the sequence. If $M$ is the number of such realizations, then the law of conservation of information can be expressed by the equality $H=\ln M$, which is complicated by the two above-mentioned factors (i.e. actually. $H \leqslant \ln M$ ).

Two different approaches may be used for solving the encoding problem. One can perform encoding of an infinite sequence of messages, i.e. online (or ‘sliding’) encoding. The inverse procedure, i.e. decoding, will be performed analogously.

信息论代考

数学代写|信息论代写information theory代考|Definition of entropy of a continuous random variable

到目前为止，我们假设一个随机变量 $\xi$, 有樀 $H_{\xi}$ ，可以从由有限或可数个元素组成的离散空间中取值，例如消息、
符号等。但是，连续变量在工程中也很普遍，即变量 (标量或向量)，它可以取来自连续空间的值 $X$ ，通常来自实数空间。这样的随机变量 $\xi$ 由概率密度函数描述 $p(\xi)$ 分配概率
$$
\Delta P=\int_{\xi \varepsilon \Delta X} p(\xi) d \xi \approx p(A) \Delta V \quad(A \in \Delta X)
$$
的 $\xi$ 出现在地区 $\Delta X$ 指定空间的 $X$ 有音量 $\Delta V(d \xi=d V$ 是体积的微分 $)$ 。
我们如何定义嫡 $H_{\xi}$ 对于这样一个随机变量? 许多可能的正式方式之一如下：在公式中
$$
H_{\xi}=-\sum_{\xi} P \xi \ln P(\xi)=-\mathbb{E}[\ln P(\xi)]
$$
适用于离散变量，我们正式替换概率 $P(\xi)$ 在概率密度的对数参数中，因此，考虑表达式
$$
H_{\xi}=-\mathbb{E}[\ln p(\xi)]=-\int_{x} p(\xi) \ln p(\xi) d \xi
$$
这种定义樀的方式是不合理的。目前尚不清楚如何在组合情况下定义熵，当连续空间中的连续分布与单个点的概率集中共存时，即概率密度包含三角形奇点。熵 (1.6.2) 也有一个缺点，即它不是不变的，即它在变量的非退化变换下变化 $\eta=f(\xi)$ 与熵 $(1.6 .1)$ 相反，熵在这种变换下保持不变。

数学代写|信息论代写information theory代考|Properties of entropy in the generalized version

上节定义的熵(1.6.13)、(1.6.16)具有一组性质，类似于前面考虑的离散随机变量的熵的性质。如果我们考虑将樀 (1.6.13) (在 $1.6$ 节中提供) 解释为渐近情况 (对于大 $N$ ) 的离散随机变量的嫡 (1.6.1)。
樀的非负性，在定理中讨论过 $1.1$ ，对于樀 (1.6.13), (1.6.16) 并不总是满足，但对于足够大的樀也成立 $N$. 约束
$$
H_{\xi}^{P / Q} \leqslant \ln N
$$
导致嫡的非负性 $H_{\xi}$.
现在我们继续讨论定理 $1.2$ ，它考虑了嫡的最大值。在熵 (1.6.13) 的情况下，当比较不同的分布时 $P$ 我们需要保持测量 $v$ 固定的。如前所述，数量 (1.6.17) 是非负的，因此，(1.6.16) 包含不等式
$$
H_{\xi} \leqslant \ln N \text {. }
$$
同时，如果我们假设 $P=Q$ ，那么，显然，我们将有
$$
H_{\xi}=\ln N .
$$
这证明了以下与定理类似的陈述 $1.2$.

数学代写|信息论代写information theory代考|Encoding of discrete information

第 1 章中给出的信息量定义在我们处理信息从一种类型到另一种类型的转换时是合理的，即在考虑信息编码时。在这种转变下，信息量守恒定律必须成立。与能量守恒定律进行类比是非常有用的。后者是引入能量概念的主要论据。当然，信息守恒定律在两个方面比能量守恒定律更复杂。当一种能量转化为另一种能量时，能量守恒定律确立了能量的精确相等性。然而，在转换信息时，我们有一个更复杂的关系，即“不是更大” $(\leqslant)$ ，即信息量不能增加。等号对应于最佳编码。因此，在制定信息守恒定律时，我们必须指出，可能存在这样一种编码，其信息量相等。
第二个复杂因素是等式并不精确。它是近似的、渐近的，对复杂 (大) 消息和复合随机变量有效。消息系统越大，这种关系就越精确。确切的等号仅在极限情况下出现。在这方面，与统计热力学定律有一个类比，该定律适用于由大量 (阿伏伽德罗数级) 分子组成的大型热力学系统。
在进行编码时，我们假设一长串消息 $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ 连同它们的概率一起给出，即一系列随机变量。因此，信息量（樀 $H)$ 对应这个序列可以计算出来。该信息可以通过序列的不同实现来记录和传输。如果 $M$ 是这种实现的数量，则信息守恒定律可以表示为等式 $H=\ln M$ ，这因上述两个因素而变得复杂（即实际上。 $H \leqslant \ln M$ ).
可以使用两种不同的方法来解决编码问题。可以对无限的消息序列进行编码，即在线 (或”滑动”) 编码。将类似地执行相反的过程，即解码。

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