分类：常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MAT-328

Posted on 2023年8月28日2023年8月28日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations是将一个自变量的函数与其对该变量的导数联系起来的方程。它代表了数学的一个重要领域，它的故事始于17世纪，至今仍是科学技术研究和应用的一个非常活跃和广泛的领域。

常微分方程Ordinary Differential Equations微分方程的概念是由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿，雅各布一世和约翰·伯努利兄弟，丹尼尔·伯努利，莱昂哈德·欧拉，朱塞佩·路易吉·拉格朗日(约瑟夫-路易斯·拉格朗日)和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯等人的作品建立起来的。这些数学家还开始发展ode的一般理论，并在几何、力学和优化方面进行了大量应用。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MAT-328

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear Second Order ODEs

The general form of such equations is, according to the introduction (see e.g.(15))
$$
a_0(x) y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=b(x),
$$
where $a_0, a_1, a_2, b$ are real functions defined on a real interval $I \subseteq \Re$. We may consider these functions continuous on $I$.
If $a_0(x) \neq 0, \forall x \in I$, we can divide both members of (1.2.1) by it, thus getting an equation whose leading coefficient is 1

$$
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)
$$
where we used the notations $p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}, q(x)=\frac{a_2(x)}{a_0(x)}, f(x)=\frac{b(x)}{a_0(x)}$. Obviously, if the coefficients of (1.2.1) are of class $\mathrm{C}^0(I)$, so are $p, q$ and $f$.
We see that, if $a_0(x)=0, \forall x \in I$, the equation is no more of second order, and, at the points at which $a_0(x)=0$, it has singularities. For the moment, we shall not deal with such situations, such that we consider that the given equation may be brought to the form (1.2.2).
Let us denote by
$$
\mathrm{L} y \equiv y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y .
$$
The operator $\mathrm{L}$ is defined on $\mathrm{C}^2(I)$, with range in $\mathrm{C}^0(I)$, and we can easily prove that it is linear.
The kernel of this operator is a subset of $\mathrm{C}^2(I)$, containing functions cancelled by $\mathrm{L}$
$$
\operatorname{ker} \mathrm{L}=\left{y \in \mathrm{C}^2(I) \mid \mathrm{L} y=0\right} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|HOMOGENEOUS EQUATIONS

Let us take the associated to (1.2.1) homogeneous equation
$$
a_0(x) y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=0 .
$$
If we know a particular solution of this equation, say $Y(x)$, we can completely solve (1.2.7). Indeed, let us perform the change of function
$$
y(x)=z(x) Y(x),
$$
$z(x)$ being the new unknown function. Replacing this in (1.2.7), we get

$$
a_0(x) Y z^{\prime \prime}+\left[2 a_0(x) Y^{\prime}+a_1 Y\right] z^{\prime}+\left[a_0(x) Y^{\prime \prime}+a_1(x) Y^{\prime}+a_2(x) Y\right] z=0 .
$$
As $Y$ is a solution of (1.2.7), it follows that $u=z^{\prime}$ must satisfy
$$
a_0(x) Y u^{\prime}+\left[2 a_0(x) Y^{\prime}+a_1 Y\right] u=0 ;
$$
this is a linear first order ODE.
We conclude that if we know a particular solution, we can reduce the order of the given equation by one unit.
Suppose now that $Y_1(x)$ is a known particular solution of the homogeneous equation, associated to (1.2.2)
$$
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0
$$
and suppose moreover that $Y_1$ does not vanish on $I$. Using the change of function $y=Y_1 z$, we find that $u=z^{\prime}$ must satisfy
$$
u^{\prime}+\left(2 \frac{Y_1^{\prime}(x)}{Y_1(x)}+p(x)\right) u=0,
$$
i.e., a linear first order homogeneous ordinary differential equation. According to Sec.1.2, it allows the general integral
$$
u(x)=C_1 \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d} x}}{Y_1^2(x)},
$$
where $\int p(x) \mathrm{d} x$ is a primitive of $p(x)$ and $C_1$ is an arbitrary constant. Getting back to $y$, we deduce
$$
y(x)=C_1 Y_1(x) \int \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d} x}}{Y_1^2(x)} \mathrm{d} x .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear Second Order ODEs

根据介绍(见例(15))，这类方程的一般形式是
$$
a_0(x) y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=b(x),
$$
其中$a_0, a_1, a_2, b$是在实数区间$I \subseteq \Re$上定义的实数函数。我们可以认为这些函数在$I$上是连续的。
如果$a_0(x) \neq 0, \forall x \in I$，我们可以将(1.2.1)的两个元素都除以它，从而得到一个前导系数为1的方程

$$
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)
$$
我们用了$p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}, q(x)=\frac{a_2(x)}{a_0(x)}, f(x)=\frac{b(x)}{a_0(x)}$这个符号。显然，如果(1.2.1)的系数是$\mathrm{C}^0(I)$类，那么$p, q$和$f$也是。
我们看到，如果$a_0(x)=0, \forall x \in I$，方程不再是二阶，并且，在$a_0(x)=0$处，它有奇点。目前，我们不处理这样的情况，即我们认为给定的方程可以化为(1.2.2)的形式。
我们用
$$
\mathrm{L} y \equiv y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y .
$$
算子$\mathrm{L}$在$\mathrm{C}^2(I)$上定义，其值域在$\mathrm{C}^0(I)$，我们可以很容易地证明它是线性的。
这个运算符的内核是$\mathrm{C}^2(I)$的一个子集，包含由 $\mathrm{L}$
$$
\operatorname{ker} \mathrm{L}=\left{y \in \mathrm{C}^2(I) \mid \mathrm{L} y=0\right} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|HOMOGENEOUS EQUATIONS

让我们取与(1.2.1)相关的齐次方程
$$
a_0(x) y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=0 .
$$
如果我们知道这个方程的特解，比如$Y(x)$，我们就可以完全解出(1.2.7)。实际上，让我们来做一下函数的变换
$$
y(x)=z(x) Y(x),
$$
$z(x)$是新的未知函数。在(1.2.7)中替换它，我们得到

$$
a_0(x) Y z^{\prime \prime}+\left[2 a_0(x) Y^{\prime}+a_1 Y\right] z^{\prime}+\left[a_0(x) Y^{\prime \prime}+a_1(x) Y^{\prime}+a_2(x) Y\right] z=0 .
$$
由于$Y$是(1.2.7)的解，因此$u=z^{\prime}$必须满足
$$
a_0(x) Y u^{\prime}+\left[2 a_0(x) Y^{\prime}+a_1 Y\right] u=0 ;
$$
这是一个线性一阶ODE。
我们得出结论，如果我们知道一个特解，我们可以将给定方程的阶降低一个单位。
现在假设$Y_1(x)$是已知的与(1.2.2)相关的齐次方程的特解。
$$
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0
$$
再假设$Y_1$不会在$I$上消失。利用函数$y=Y_1 z$的变化，我们发现$u=z^{\prime}$必须满足
$$
u^{\prime}+\left(2 \frac{Y_1^{\prime}(x)}{Y_1(x)}+p(x)\right) u=0,
$$
即线性一阶齐次常微分方程。根据第1.2节，它允许一般积分
$$
u(x)=C_1 \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d} x}}{Y_1^2(x)},
$$
其中$\int p(x) \mathrm{d} x$是$p(x)$的原语，$C_1$是任意常数。回到$y$，我们推断
$$
y(x)=C_1 Y_1(x) \int \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d} x}}{Y_1^2(x)} \mathrm{d} x .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|M-544

Posted on 2023年8月28日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS

Except for $Y(x)$, formula (1.1.14) refers only to the coefficients of (1.1.1). Lagrange remarked that $Y(x)$ can be obtained in terms of these coefficients if we search it under the form
$$
Y(x)=C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x},
$$
that is, shaping it according to the general solution of the associated to (1.1.1) homogeneous equation. Introducing this in (1.1.1) yields
$$
C^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}-p(x) C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}+p(x) C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=f(x),
$$
from which we deduce that $C(x)$ must satisfy
$$
C^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=f(x),
$$
which leads to
$$
C^{\prime}(x)=f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} .
$$
This is an equation considered at Sec.1.1. It follows that the general integral of (1.1.18) is written in the form
$$
C(x)=K+\int f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x
$$
In this expression, $\mathrm{K}$ is an arbitrary constant and the integral in the right member is a primitive of the function $f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x}$. Actually, we don’t need the general solution of (1.1.18) for our purpose; all we need is a particular solution, which can be found giving to $K$ an arbitrarily chosen value, e.g. $K=0$. With this, we get
$$
Y(x)=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|DIFFERENTIAL POLYNOMIALS

Let us denote by $\mathrm{D}$ the operator indicating the derivative of first order of a function

$$
\mathrm{D} \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}
$$
and by E the identity
$$
\mathrm{E} y=y
$$
Then L may be also expressed as
$$
\mathrm{L} y=\mathrm{P}1(x, \mathrm{D}) y, \quad \mathrm{P}_1(x, \mathrm{D}) \equiv \mathrm{D}+p(x) \mathrm{E} . $$ The operator defined in (1.1.29) is a formal polynomial of first order in D and it is called a differential polynomial. Let now $\mathbf{y}=\left\lfloor y_j\right\rfloor{j=1, n}, \mathbf{f}=\left\lfloor f_j\right\rfloor_{j=1, n}$ be vector functions and assume that we must solve the vector equation
$$
\mathrm{Ly} \equiv \dot{\mathbf{y}}+p(x) \mathbf{y}=\mathbf{f}, \quad p \in \mathrm{C}^0(I), \mathbf{f} \in\left(\mathrm{C}^0(I)\right)^n .
$$
Writing (1.1.30) componentwisely, this means, in fact, that one has to solve $n$ uncoupled ODEs
$$
\mathrm{L} y_j \equiv \dot{y}_j+p(x) y_j=f_j, \quad j=\overline{1, n} .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS

除$Y(x)$外，式(1.1.14)仅表示式(1.1.1)的系数。拉格朗日注意到$Y(x)$可以用这些系数表示，如果我们在下面的形式下搜索它
$$
Y(x)=C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x},
$$
也就是说，根据与(1.1.1)齐次方程相关的通解对其进行整形。在(1.1.1)中引入这一特性
$$
C^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}-p(x) C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}+p(x) C(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=f(x),
$$
由此我们推断$C(x)$必须满足
$$
C^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=f(x),
$$
这就导致
$$
C^{\prime}(x)=f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} .
$$
这是第1.1节所考虑的方程。因此，式(1.1.18)的一般积分表示为
$$
C(x)=K+\int f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x
$$
在这个表达式中，$\mathrm{K}$是一个任意常数，右边成员中的积分是函数$f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x}$的一个原语。实际上，我们不需要(1.1.18)的通解;我们所需要的只是一个特解，它可以给$K$一个任意选择的值，例如$K=0$。有了这个，我们得到
$$
Y(x)=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|DIFFERENTIAL POLYNOMIALS

我们用$\mathrm{D}$表示表示函数一阶导数的算子

$$
\mathrm{D} \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}
$$
E表示恒等式
$$
\mathrm{E} y=y
$$
那么L也可以表示为
$$
\mathrm{L} y=\mathrm{P}1(x, \mathrm{D}) y, \quad \mathrm{P}1(x, \mathrm{D}) \equiv \mathrm{D}+p(x) \mathrm{E} . $$(1.1.29)中定义的算子是D中的一阶形式多项式，称为微分多项式。现在让$\mathbf{y}=\left\lfloor y_j\right\rfloor{j=1, n}, \mathbf{f}=\left\lfloor f_j\right\rfloor{j=1, n}$是向量函数假设我们必须解向量方程
$$
\mathrm{Ly} \equiv \dot{\mathbf{y}}+p(x) \mathbf{y}=\mathbf{f}, \quad p \in \mathrm{C}^0(I), \mathbf{f} \in\left(\mathrm{C}^0(I)\right)^n .
$$
明智地编写(1.1.30)组件，这实际上意味着必须解决$n$不耦合的ode
$$
\mathrm{L} y_j \equiv \dot{y}_j+p(x) y_j=f_j, \quad j=\overline{1, n} .
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|CRN18324

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|EQUATIONS OF THE FORM $y^{\prime}=f(x)$

This is the simplest form of (1.1.1). The solutions of this equation may be obviously regarded as primitives of $f$. Consequently, its general solution (integral) is
$$
y(x)=\int f(x) d x+C,
$$
where $\int f(x) d x$ is one of the primitives of $f$ and $C$ is an arbitrary constant. The representation (1.1.2) is obviously obtained by integrating both members of $y^{\prime}=f(x)$. If we wish to get the solution passing through the point $\left(x_0, y_0\right)$, where $x_0 \in I$, then it is convenient to choose $\int_{x_0}^x f(\xi) \mathrm{d} \xi$ among the primitives of $f$. Indeed, with this choice, the solution passes through $\left(x_0, y_0\right)$ if
$$
C+\int_{x_0}^{x_0} f(\xi) \mathrm{d} \xi=y_0
$$
therefore if $C=y_0$. This yields
$$
y(x)=\int_{x_0}^x f(\xi) \mathrm{d} \xi+y_0 .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE LINEAR HOMOGENEOUS EQUATION

This equation is also a particular case of (1.1.1), where the free term is identically null, that is
$$
y^{\prime}+p(x) y=0
$$
Dividing by $y$ both terms of this equation, we immediately get
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\ln |y|)=-p(x) .
$$
This means that $\ln |y|$ satisfies an equation of the previously considered type. Thus, the general solution of (1.1.6) is, by using directly (1.1.2),
$$
\ln |y|=\widetilde{C}-\int p(x) \mathrm{d} x,
$$
where $\widetilde{C}$ is an arbitrary constant and $\int p(x) \mathrm{d} x$ – one of the primitives of $p$. From (1.1.7) we see that $y$ is the general solution of (1.1.5) and is expressed by
$$
y(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x},
$$
with $C$ arbitrary constant.

Let us get back to the equation (1.1.1), in which the functions $f$ and $p$, defined on $I \subseteq \Re$, are not identically null. Suppose that we know a particular solution of (1.1.1), $Y(x)$ say, and let us perform the change of function
$$
y(x)=z(x)+Y(x) .
$$
Introducing this in (1.1.1) immediately involves
$$
z^{\prime}+p(x) z+Y^{\prime}+p(x) Y=f(x) ;
$$
thus, $z$ satisfies the homogeneous equation
$$
z^{\prime}+p(x) z=0
$$
which was studied at Sec.1.2 and whose general solution is
$$
z(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x} .
$$
Getting back to (1.1.10), we see that the general solution of (1.1.1) may be expressed in the form
$$
y(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}+Y(x),
$$
where $Y(x)$ is a particular solution of the non-homogeneous equation (1.1.1). This form is very important, as it is characteristic for linear ODEs in general; we shall discuss it further.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|EQUATIONS OF THE FORM $y^{\prime}=f(x)$

这是(1.1.1)的最简单形式。这个方程的解显然可以看作是$f$的基元。因此，其通解(积分)为
$$
y(x)=\int f(x) d x+C,
$$
其中$\int f(x) d x$是$f$的一个原语，$C$是一个任意常数。(1.1.2)显然是通过对$y^{\prime}=f(x)$的两个成员积分得到的。如果我们希望解经过$x_0 \in I$所在的$\left(x_0, y_0\right)$点，那么在$f$的原语中选择$\int_{x_0}^x f(\xi) \mathrm{d} \xi$是很方便的。实际上，通过这个选择，解决方案通过$\left(x_0, y_0\right)$ if
$$
C+\int_{x_0}^{x_0} f(\xi) \mathrm{d} \xi=y_0
$$
因此如果$C=y_0$。这产生了
$$
y(x)=\int_{x_0}^x f(\xi) \mathrm{d} \xi+y_0 .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE LINEAR HOMOGENEOUS EQUATION

这个方程也是(1.1.1)的一种特殊情况，其中自由项等于零，即
$$
y^{\prime}+p(x) y=0
$$
除以$y$这个方程的两项，我们马上得到
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\ln |y|)=-p(x) .
$$
这意味着$\ln |y|$满足前面考虑的类型的方程。因此，式1.1.6的通解为，直接使用式1.1.2，
$$
\ln |y|=\widetilde{C}-\int p(x) \mathrm{d} x,
$$
其中$\widetilde{C}$是一个任意常数，$\int p(x) \mathrm{d} x$是$p$的一个原语。由式(1.1.7)可知$y$是式(1.1.5)的通解，表示为
$$
y(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x},
$$
用$C$任意常数。

让我们回到方程(1.1.1)，其中在$I \subseteq \Re$上定义的函数$f$和$p$不完全为空。假设我们知道(1.1.1)的特解，例如$Y(x)$，让我们执行函数变换
$$
y(x)=z(x)+Y(x) .
$$
在(1.1.1)中引入它会立即涉及到
$$
z^{\prime}+p(x) z+Y^{\prime}+p(x) Y=f(x) ;
$$
因此，$z$满足齐次方程
$$
z^{\prime}+p(x) z=0
$$
在第1.2节中研究过，它的通解是
$$
z(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x} .
$$
回到(1.1.10)，我们看到(1.1.1)的通解可以表示为
$$
y(x)=C \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}+Y(x),
$$
其中$Y(x)$为非齐次方程(1.1.1)的特解。这种形式非常重要，因为它通常是线性ode的特征;我们将进一步讨论。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH-UA262

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Preliminaries to Existence and Uniqueness of Solutions

So far, mostly we have engaged ourselves in solving DEs, tacitly assuming that there always exists a solution. However, the theory of existence and uniqueness of solutions of the initial value problems is quite complex. We begin to develop this theory for the initial value problem
$$
y^{\prime}=f(x, y), \quad y\left(x_0\right)=y_0,
$$
where $f(x, y)$ will be assumed to be continuous in a domain $D$ containing the point $\left(x_0, y_0\right)$. By a solution of (7.1) in an interval $J$ containing $x_0$, we mean a function $y(x)$ satisfying (i) $y\left(x_0\right)=y_0$, (ii) $y^{\prime}(x)$ exists for all $x \in J$, (iii) for all $x \in J$ the points $(x, y(x)) \in D$, and (iv) $y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$ for all $x \in J$.

For the initial value problem (7.1) later we shall prove that the continuity of the function $f(x, y)$ alone is sufficient for the existence of at least one solution in a sufficiently small neighborhood of the point $\left(x_0, y_0\right)$. However, if $f(x, y)$ is not continuous, then the nature of the solutions of $(7.1)$ is quite arbitrary. For example, the initial value problem
$$
y^{\prime}=\frac{2}{x}(y-1), \quad y(0)=0
$$
has no solution, while the problem
$$
y^{\prime}=\frac{2}{x}(y-1), \quad y(0)=1
$$
has an infinite number of solutions $y(x)=1+c x^2$, where $c$ is an arbitrary constant.

The use of integral equations to establish existence theorems is a standard device in the theory of DEs. It owes its efficiency to the smoothening properties of integration as contrasted with coarsening properties of differentiation. If two functions are close enough, their integrals must be close enough, whereas their derivatives may be far apart and may not even exist. We shall need the following result to prove the existence, uniqueness, and several other properties of the solutions of the initial value problem (7.1).

Theorem 7.1. Let $f(x, y)$ be continuous in the domain $D$, then any solution of (7.1) is also a solution of the integral equation
$$
y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t
$$
and conversely.
Proof. Any solution $y(x)$ of the $\mathrm{DE} y^{\prime}=f(x, y)$ converts it into an identity in $x$, i.e., $y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$. An integration of this equality yields
$$
y(x)-y\left(x_0\right)=\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t .
$$
Conversely, if $y(x)$ is any solution of $(7.2)$ then $y\left(x_0\right)=y_0$ and since $f(x, y)$ is continuous, differentiating (7.2) we find $y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Picard’s Method of Successive Approximations

We shall solve the integral equation (7.2) by using the method of successive approximations due to Picard. For this, let $y_0(x)$ be any continuous function (we often pick $y_0(x) \equiv y_0$ ) which we assume to be the initial approximation of the unknown solution of (7.2), then we define $y_1(x)$ as
$$
y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, y_0(t)\right) d t
$$
We take this $y_1(x)$ as our next approximation and substitute this for $y(x)$ on the right side of (7.2) and call it $y_2(x)$. Continuing in this way, the $(m+1)$ st approximation $y_{m+1}(x)$ is obtained from $y_m(x)$ by means of the relation
$$
y_{m+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad m=0,1,2, \ldots
$$
If the sequence $\left{y_m(x)\right}$ converges uniformly to a continuous function $y(x)$ in some interval $J$ containing $x_0$ and for all $x \in J$ the points $\left(x, y_m(x)\right) \in D$, then using Theorem 7.8 we may pass to the limit in both sides of (8.1), to obtain
$$
y(x)=\lim {m \rightarrow \infty} y{m+1}(x)=y_0+\lim {m \rightarrow \infty} \int{x_0}^x f\left(t, y_m(t)\right) d t=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t,
$$
so that $y(x)$ is the desired solution.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Preliminaries to Existence and Uniqueness of Solutions

到目前为止，大多数情况下，我们都在解决微分方程，默认总是存在一个解决方案。然而，初值问题解的存在唯一性理论是相当复杂的。我们开始为初值问题发展这个理论
$$
y^{\prime}=f(x, y), \quad y\left(x_0\right)=y_0,
$$
假设$f(x, y)$在包含点$\left(x_0, y_0\right)$的域$D$中是连续的。通过在包含$x_0$的区间$J$中的解(7.1)，我们表示函数$y(x)$满足(i) $y\left(x_0\right)=y_0$， (ii) $y^{\prime}(x)$对所有$x \in J$都存在，(iii)对所有$x \in J$都存在点$(x, y(x)) \in D$， (iv) $y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$对所有$x \in J$都存在点。

对于初值问题(7.1)，稍后我们将证明函数$f(x, y)$的连续性足以证明在点$\left(x_0, y_0\right)$的一个足够小的邻域内至少存在一个解。然而，如果$f(x, y)$不是连续的，那么$(7.1)$的解的性质是相当任意的。例如，初值问题
$$
y^{\prime}=\frac{2}{x}(y-1), \quad y(0)=0
$$
没有解决方案，而问题呢
$$
y^{\prime}=\frac{2}{x}(y-1), \quad y(0)=1
$$
有无穷多个解$y(x)=1+c x^2$，其中$c$是任意常数。

利用积分方程来建立存在定理是微分方程理论中的一种标准方法。它的有效性归功于积分的平滑性，而不是微分的粗化性。如果两个函数足够接近，它们的积分也必须足够接近，而它们的导数可能相差很远，甚至可能不存在。我们需要下面的结果来证明初值问题(7.1)解的存在性、唯一性和其他几个性质。

定理7.1。设$f(x, y)$在$D$域中连续，则(7.1)的任意解也是积分方程的解
$$
y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t
$$
反之亦然。
证明。$\mathrm{DE} y^{\prime}=f(x, y)$的任何解决方案$y(x)$都将其转换为$x$中的标识，即$y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$。这个等式的积分是
$$
y(x)-y\left(x_0\right)=\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t .
$$
相反，如果$y(x)$是$(7.2)$的任意解，则$y\left(x_0\right)=y_0$，并且由于$f(x, y)$是连续的，微分(7.2)我们得到$y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Picard’s Method of Successive Approximations

我们将利用皮卡德的逐次逼近法求解积分方程(7.2)。为此，设$y_0(x)$为任意连续函数(我们通常选择$y_0(x) \equiv y_0$)，我们假设它是(7.2)未知解的初始近似，然后我们定义$y_1(x)$为
$$
y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, y_0(t)\right) d t
$$
我们把这个$y_1(x)$作为下一个近似值，把它代入(7.2)右边的$y(x)$，称它为$y_2(x)$。继续这样，通过关系从$y_m(x)$得到$(m+1)$ st近似$y_{m+1}(x)$
$$
y_{m+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad m=0,1,2, \ldots
$$
如果序列$\left{y_m(x)\right}$在包含$x_0$的区间$J$内一致收敛于连续函数$y(x)$，并且对于所有$x \in J$点$\left(x, y_m(x)\right) \in D$，则利用定理7.8我们可以通过(8.1)两边的极限，得到
$$
y(x)=\lim {m \rightarrow \infty} y{m+1}(x)=y_0+\lim {m \rightarrow \infty} \int{x_0}^x f\left(t, y_m(t)\right) d t=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t)) d t,
$$
所以$y(x)$就是我们想要的解。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH376

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Elementary First-Order Equations

Suppose in the DE of first order (3.1), $M(x, y)=X_1(x) Y_1(y)$ and $N(x, y)=X_2(x) Y_2(y)$, so that it takes the form
$$
X_1(x) Y_1(y)+X_2(x) Y_2(y) y^{\prime}=0 .
$$
If $Y_1(y) X_2(x) \neq 0$ for all $(x, y) \in S$, then (4.1) can be written as an exact DE
$$
\frac{X_1(x)}{X_2(x)}+\frac{Y_2(y)}{Y_1(y)} y^{\prime}=0
$$
in which the variables are separated. Such a DE (4.2) is said to be separable. The solution of this exact equation is given by
$$
\int \frac{X_1(x)}{X_2(x)} d x+\int \frac{Y_2(y)}{Y_1(y)} d y=c .
$$
Here both the integrals are indefinite and constants of integration have been absorbed in $c$.

Example 4.1. The DE in Example 3.2 may be written as
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y(1-y)} y^{\prime}=0, \quad x y(1-y) \neq 0
$$
for which (4.3) gives the solution $y=(1-c x)^{-1}$. Other possible solutions for which $x\left(y-y^2\right)=0$ are $x=0, y=0$, and $y=1$. However, the solution $y=1$ is already included in $y=(1-c x)^{-1}$ for $c=0$, and $x=0$ is not a solution, and hence all solutions of this DE are given by $y=0, y=(1-c x)^{-1}$.
A function $f(x, y)$ defined in a domain $D$ (an open connected set in $\mathbb{R}^2$ ) is said to be homogeneous of degree $k$ if for all real $\lambda$ and $(x, y) \in D$
$$
f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^k f(x, y)
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First-Order Linear Equations

Let in the DE (3.1) the functions $M$ and $N$ be $p_1(x) y-r(x)$ and $p_0(x)$, respectively, then it becomes
$$
p_0(x) y^{\prime}+p_1(x) y=r(x),
$$
which is a first-order linear DE. In (5.1) we shall assume that the functions $p_0(x), p_1(x), r(x)$ are continuous and $p_0(x) \neq 0$ in $J$. With these assumptions the DE (5.1) can be written as
$$
y^{\prime}+p(x) y=q(x),
$$
where $p(x)=p_1(x) / p_0(x)$ and $q(x)=r(x) / p_0(x)$ are continuous functions in $J$.
The corresponding homogeneous equation
$$
y^{\prime}+p(x) y=0
$$
obtained by taking $q(x) \equiv 0$ in (5.2) can be solved by separating the variables, i.e., $(1 / y) y^{\prime}+p(x)=0$, and now integrating it to obtain
$$
y(x)=c \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) .
$$
In dividing (5.3) by $y$ we have lost the solution $y(x) \equiv 0$, which is called the trivial solution (for a linear homogeneous $\mathrm{DE} y(x) \equiv 0$ is always a solution). However, it is included in (5.4) with $c=0$.
If $x_0 \in J$, then the function
$$
y(x)=y_0 \exp \left(-\int_{x_0}^x p(t) d t\right)
$$
clearly satisfies the DE (5.3) in $J$ and passes through the point $\left(x_0, y_0\right)$. Thus, it is the solution of the initial value problem (5.3), (1.10).

To find the solution of the $\mathrm{DE}(5.2)$ we shall use the method of variation of parameters due to Lagrange. In (5.4) we assume that $c$ is a function of $x$, i.e.,
$$
y(x)=c(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right)
$$

and search for $c(x)$ so that (5.6) becomes a solution of the DE (5.2). For this, substituting (5.6) into (5.2), we find
$$
\begin{aligned}
c^{\prime}(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) & -c(x) p(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) \
& +c(x) p(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right)=q(x),
\end{aligned}
$$
which is the same as
$$
c^{\prime}(x)=q(x) \exp \left(\int^x p(t) d t\right) .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Elementary First-Order Equations

假设在一阶DE(3.1)中，$M(x, y)=X_1(x) Y_1(y)$和$N(x, y)=X_2(x) Y_2(y)$，其形式为
$$
X_1(x) Y_1(y)+X_2(x) Y_2(y) y^{\prime}=0 .
$$
如果$Y_1(y) X_2(x) \neq 0$适用于所有$(x, y) \in S$，那么(4.1)可以写成一个精确的DE
$$
\frac{X_1(x)}{X_2(x)}+\frac{Y_2(y)}{Y_1(y)} y^{\prime}=0
$$
其中变量是分开的。这样的DE(4.2)被称为可分的。这个恰当方程的解由
$$
\int \frac{X_1(x)}{X_2(x)} d x+\int \frac{Y_2(y)}{Y_1(y)} d y=c .
$$
这里的积分都是不定的积分常数已经在$c$中被吸收了。

例4.1。例3.2中的DE可以写成
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y(1-y)} y^{\prime}=0, \quad x y(1-y) \neq 0
$$
(4.3)给出了解决方案$y=(1-c x)^{-1}$。其他可能的解决方案$x\left(y-y^2\right)=0$是$x=0, y=0$和$y=1$。但是，$c=0$的解决方案$y=1$已经包含在$y=(1-c x)^{-1}$中，而$x=0$不是一个解决方案，因此该DE的所有解决方案都由$y=0, y=(1-c x)^{-1}$给出。
定义在域$D$ ($\mathbb{R}^2$中的开连接集)中的函数$f(x, y)$，如果对于所有实数$\lambda$和，则称为次为$k$的齐次函数 $(x, y) \in D$
$$
f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^k f(x, y)
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First-Order Linear Equations

在DE(3.1)中让函数$M$和$N$分别为$p_1(x) y-r(x)$和$p_0(x)$，那么它就变成了
$$
p_0(x) y^{\prime}+p_1(x) y=r(x),
$$
它是一个一阶线性DE。在(5.1)中，我们假设函数$p_0(x), p_1(x), r(x)$是连续的，$J$中的$p_0(x) \neq 0$。有了这些假设，DE(5.1)可以写成
$$
y^{\prime}+p(x) y=q(x),
$$
其中$p(x)=p_1(x) / p_0(x)$和$q(x)=r(x) / p_0(x)$是$J$中的连续函数。
对应的齐次方程
$$
y^{\prime}+p(x) y=0
$$
式(5.2)中取$q(x) \equiv 0$得到，将变量分离，即$(1 / y) y^{\prime}+p(x)=0$，现在积分得到
$$
y(x)=c \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) .
$$
在(5.3)除以$y$时，我们失去了解$y(x) \equiv 0$，它被称为平凡解(对于线性齐次方程$\mathrm{DE} y(x) \equiv 0$总是一个解)。但是，它包含在(5.4)中$c=0$。
如果是$x_0 \in J$，则函数
$$
y(x)=y_0 \exp \left(-\int_{x_0}^x p(t) d t\right)
$$
明显满足$J$中的DE(5.3)并通过点$\left(x_0, y_0\right)$。即为初值问题(5.3)、(1.10)的解。

为了求$\mathrm{DE}(5.2)$的解，我们将使用拉格朗日的参数变分法。在(5.4)中，我们假设$c$是$x$的函数，即
$$
y(x)=c(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right)
$$

并搜索$c(x)$，以便(5.6)成为DE(5.2)的解决方案。为此，将(5.6)代入(5.2)，我们发现
$$
\begin{aligned}
c^{\prime}(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) & -c(x) p(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right) \
& +c(x) p(x) \exp \left(-\int^x p(t) d t\right)=q(x),
\end{aligned}
$$
哪个是一样的
$$
c^{\prime}(x)=q(x) \exp \left(\int^x p(t) d t\right) .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Math211

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|STABILITY OF SYSTEMS WITH LINEAR PART CRITICAL

The present section consists of two parts. In Section A, we consider time varying systems and in the second part we consider autonomous systems.
A. Time Varying Case
Let $g: R \times R^n \times\left[-\varepsilon_0, \varepsilon_0\right] \rightarrow R^n$ be $2 \pi$ periodic in $t$ and assume that $g$ is of class $C^2$ in $(x, \varepsilon)$. Suppose that $x^{\prime}=A x$ has a $2 \pi$-periodic solution $p(t)$ and suppose that
$$
x^{\prime}=A x+\varepsilon g(t, x, \varepsilon)
$$
has a continuous family of solutions $\psi(t, \varepsilon) \in \mathscr{P}_{2 \pi}$ with $\psi(t, 0)=p(t)$. To simplify matters, we specify the form of $A$ to be
$$
A=\left[\begin{array}{ll}
S & 0 \
0 & C
\end{array}\right], \quad S=\left[\begin{array}{cc}
0 & -N \
N & 0
\end{array}\right],
$$
where $N$ is a positive integer and $C$ is an $(n-2) \times(n-2)$ constant matrix with no eigenvalues of the form $i M$ for any integer $M$.

The stability of the solution $\psi(t, \varepsilon)$ can be investigated using the linearization of $(6.1)$ about $\psi$, i.e.,
$$
y^{\prime}=A y^{\prime}+\varepsilon g_x(t, \psi(t, \varepsilon), \varepsilon) y,
$$
and Corollary 6.2.5. Let $Y(t, \varepsilon)$ be that fundamental matrix for this linear system which satisfies $Y(0, \varepsilon)=E$. Our problem is to determine whether or not all eigenvalues of $Y(2 \pi, \varepsilon)$ have magnitudes less than one for $\varepsilon$ near zero.
By the variation of constants formula, we can write
$$
Y(t, \varepsilon)=e^{A t}+\varepsilon \int_0^t e^{A(t-s)} g_x(s, \psi(s, \varepsilon), \varepsilon) Y(s, \varepsilon) d s .
$$
At $t=2 \pi$ we have $Y(2 \pi, \varepsilon)=e^{2 \pi R(\varepsilon)}$ for some $R(\varepsilon)$ so that
$$
e^{2 \pi R(\varepsilon)}=e^{2 \pi A}\left{E+\varepsilon \int_0^{2 \pi} e^{-s A} g_x(s, \psi(s, r), r) Y\left(s, r_0\right) d s\right} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|AVERAGING

We now study periodic systems of equations which can be decomposed into the form
$$
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\varepsilon F(t, x, y, \varepsilon), \
y^{\prime} & =B y+\varepsilon G(t, x, y, \varepsilon),
\end{aligned}
$$
where $x \in R^n, y \in R^m, B$ is a constant $m \times m$ matrix and $F$ and $G$ are smooth functions defined on a neighborhood of $x=0, y=0, \varepsilon=0$ and are $2 \pi$ periodic in t. For $|y|$ and $|\varepsilon|$ small, we conjecture that $y$ has little effect on the first equation in (7.1). Indeed, it seems likely that the constant term in the Fourier series for $F$ provides a good approximation for $F(t, x, y, \varepsilon)$. Therefore, as an approximation we replace (7.1) by
$$
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\varepsilon F_0(x), \
y^{\prime} & =B y
\end{aligned}
$$
where
$$
F_0(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} F(u, x, 0,0) d u .
$$
If (7.2) has a critical point $\left(x_0, 0\right)$ whose stability can be de ermined by lintarization, then we expect (7.1) to have a $2 \pi$-periodic solution which is near $\left(x_0, 0\right)$ and which has the same stability properties as $\left(x_0, 0\right)$. The following result shows that this approximate analysis is indeed valid.

Theorem 7.1. Let $F$ and $G$ be continuous in $(t, x, y, \varepsilon) \in R \times$ $B\left(x_0, h\right) \times B(h) \times\left[-\varepsilon_0, \varepsilon_0\right], 2 \pi$ periodic in $t$, and of class $C^2$ in $(x, y)$. Suppose that $F_y\left(l, x_0, 0,0\right)=0$. Let $\left(x_0, 0\right)$ be a critical point of $(7.2)$ such that all eigenvalues of the linearized system
$$
x^{\prime}=\varepsilon \frac{\partial F_0}{\partial x}\left(x_0\right) x, \quad y^{\prime}=B y
$$
have nonzero real parts for $\varepsilon \neq 0$. Then for $\varepsilon$ positive and sufficiently small, system (7.1) has a unique $2 \pi$-periodic solution $z(t, \varepsilon)=(x(t, \varepsilon), y(t, \varepsilon))$ in a neighborhood of $\left(x_0, 0\right)$ which is continuous in $(t, \varepsilon)$ and which satisfies $z(t, \varepsilon) \rightarrow\left(x_0, 0\right)$ as $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$. Moreover, the stability properties of $z(t, \varepsilon)$ are the same as those of $\left(x_0, 0\right)$.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|STABILITY OF SYSTEMS WITH LINEAR PART CRITICAL

本节由两部分组成。在A部分，我们考虑时变系统，在第二部分，我们考虑自治系统。
A.时变情况
设$g: R \times R^n \times\left[-\varepsilon_0, \varepsilon_0\right] \rightarrow R^n$在$t$中是周期性的$2 \pi$，并假设$g$在$(x, \varepsilon)$中属于$C^2$类。假设$x^{\prime}=A x$有一个$2 \pi$ -周期解$p(t)$假设
$$
x^{\prime}=A x+\varepsilon g(t, x, \varepsilon)
$$
有一个连续的解决方案家族$\psi(t, \varepsilon) \in \mathscr{P}_{2 \pi}$与$\psi(t, 0)=p(t)$。为了简化问题，我们指定了$A$的形式
$$
A=\left[\begin{array}{ll}
S & 0 \
0 & C
\end{array}\right], \quad S=\left[\begin{array}{cc}
0 & -N \
N & 0
\end{array}\right],
$$
其中$N$是一个正整数，$C$是一个$(n-2) \times(n-2)$常数矩阵，对于任何整数$M$都不具有$i M$形式的特征值。

解$\psi(t, \varepsilon)$的稳定性可以用$(6.1)$关于$\psi$的线性化来研究，即:
$$
y^{\prime}=A y^{\prime}+\varepsilon g_x(t, \psi(t, \varepsilon), \varepsilon) y,
$$
和推论6.2.5。设$Y(t, \varepsilon)$为满足$Y(0, \varepsilon)=E$的线性系统的基本矩阵。我们的问题是确定是否所有的特征值$Y(2 \pi, \varepsilon)$的大小都小于1对于$\varepsilon$接近零。
通过常数变分公式，我们可以写出
$$
Y(t, \varepsilon)=e^{A t}+\varepsilon \int_0^t e^{A(t-s)} g_x(s, \psi(s, \varepsilon), \varepsilon) Y(s, \varepsilon) d s .
$$
在$t=2 \pi$我们有$Y(2 \pi, \varepsilon)=e^{2 \pi R(\varepsilon)}$表示$R(\varepsilon)$
$$
e^{2 \pi R(\varepsilon)}=e^{2 \pi A}\left{E+\varepsilon \int_0^{2 \pi} e^{-s A} g_x(s, \psi(s, r), r) Y\left(s, r_0\right) d s\right} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|AVERAGING

我们现在研究的周期方程组可以分解成这样的形式
$$
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\varepsilon F(t, x, y, \varepsilon), \
y^{\prime} & =B y+\varepsilon G(t, x, y, \varepsilon),
\end{aligned}
$$
其中$x \in R^n, y \in R^m, B$是常数$m \times m$矩阵，$F$和$G$是定义在$x=0, y=0, \varepsilon=0$邻域上的光滑函数，并且$2 \pi$在t中是周期函数。对于$|y|$和$|\varepsilon|$较小，我们推测$y$对式(7.1)中的第一个方程影响很小。的确，看起来很可能$F$的傅里叶级数中的常数项为$F(t, x, y, \varepsilon)$提供了一个很好的近似。因此，作为近似，我们将(7.1)替换为
$$
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\varepsilon F_0(x), \
y^{\prime} & =B y
\end{aligned}
$$
在哪里
$$
F_0(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} F(u, x, 0,0) d u .
$$
如果(7.2)有一个临界点$\left(x_0, 0\right)$，其稳定性可以由lintarization确定，那么我们期望(7.1)有一个$2 \pi$ -周期解，它接近$\left(x_0, 0\right)$，并且与$\left(x_0, 0\right)$具有相同的稳定性。下面的结果表明，这种近似分析确实是有效的。

定理7.1。让 $F$ 和 $G$ 连续的 $(t, x, y, \varepsilon) \in R \times$ $B\left(x_0, h\right) \times B(h) \times\left[-\varepsilon_0, \varepsilon_0\right], 2 \pi$ 周期内 $t$，和阶级的 $C^2$ 在 $(x, y)$．假设 $F_y\left(l, x_0, 0,0\right)=0$．让 $\left(x_0, 0\right)$ 的临界点 $(7.2)$ 使得线性化系统的所有特征值
$$
x^{\prime}=\varepsilon \frac{\partial F_0}{\partial x}\left(x_0\right) x, \quad y^{\prime}=B y
$$
有非零实部吗 $\varepsilon \neq 0$．然后是 $\varepsilon$ 正且足够小，系统(7.1)具有唯一性 $2 \pi$-周期解 $z(t, \varepsilon)=(x(t, \varepsilon), y(t, \varepsilon))$ 在一个 $\left(x_0, 0\right)$ 这是连续的 $(t, \varepsilon)$ 它满足 $z(t, \varepsilon) \rightarrow\left(x_0, 0\right)$ as $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$．的稳定性 $z(t, \varepsilon)$ 和…一样吗 $\left(x_0, 0\right)$．

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH-UA 262

Posted on 2023年7月21日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|POINCARÉ-BENDIXSON THEORY

We shall construct Jordan curves with the aid of transversals. A transversal with respect to the continuous function $f: R^2 \rightarrow R^2$ is a closed line segment $L$ in $R^2$ such that every point of $L$ is a regular point and for each point $\xi \in L$, the vector $f(\xi)$ is not parallel to the direction of the line segment $L$. We note that since $f$ is continuous, given any regular point $\xi \in R^2$ and any direction $\eta \in R^2$ which is not parallel to $f(\xi)$ [i.e., $\eta \neq \alpha f(\xi)$ for any nonzero constant $\alpha \in R$, there is a transversal through $\xi$ in the direction of $\eta$. Note also that if an orbit of (A) meets a transversal $L$, it must cross $L$. Moreover, all such crossings of $L$ are in the same direction. A deeper property of transversals is summarized in the following result.

Lemma 2.1. If $\xi_0$ is an interior point of a transversal $L$, then for any $\varepsilon>0$ there is a $\delta>0$ such that any orbit passing through the ball $B\left(\xi_0, \delta\right)$ at $t=0$ must cross $L$ at some time $t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$.

Proof. Suppose the transversal $L$ has direction $\eta=\left(\eta_1, \eta_2\right)^{\top}$. Then points $x=\left(x_1, x_2\right)^{\mathrm{T}}$ of $L$ will satisfy an equation of the form
$$
g(x) \triangleq a_1 x_1+a_2 x_2-c=0
$$
where $c$ is a constant and $a=\left(a_1, a_2\right)^{\top}$ is a vector such that $a^{\top} \eta=0$ and $|a| \neq 0$. Let $\phi(t, \xi)$ be the solution of $(A)$ such that $\phi(0, \xi)=\xi$ and define $G$ by
$$
G(t, \xi)=g(\phi(t, \xi))
$$

Then $G\left(0, \xi_0\right)=0$ since $\xi_0 \in L$ and
$$
\frac{\partial G}{\partial t}\left(0, \xi_0\right)=a^{\top} f\left(\xi_0\right) \neq 0
$$
since $L$ is a transversal. By the implicit function theorem, there is a $C^1$ function $t: B\left(\xi_0, \delta\right) \rightarrow R$ for some $\delta>0$ such that $t\left(\xi_0\right)=0$ and $G(t(\xi), \xi) \equiv 0$. By possibly reducing the size of $\delta$, it can be assumed that $|t(\xi)|<\varepsilon$ when $\xi \in B\left(\xi_0, \delta\right)$. Hence $\phi(t, \xi)$ will cross $L$ at $t(\xi)$ and $-\varepsilon<t(\xi)<\varepsilon$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE LEVINSON-SMITH THEOREM

The purpose of this section is to prove a result of Levinson and Smith concerning limit cycles of Lienard equations of the form
$$
x^{\prime \prime}+f(x) x^{\prime}+g(x)=0
$$
when $f$ and $y$ satisfy the following assumptions:
$f: R \rightarrow R \quad$ is even and continuous, and
$g: R \rightarrow R \quad$ is odd, is in $C^1(R)$, and $x g(x)>0$ for all $x \neq 0$;
there is a constant $a>0$ such that $F(x) \triangleq \int_0^x f(s) d s<0$ $$ \begin{gathered} \text { on } 00 \text { on } x>a \text {, and } f(x)>0 \text { on } x>a ; \
G(x) \triangleq \int_0^x g(s) d s \rightarrow \infty \text { as }|x| \rightarrow \infty \text { and } F(x) \rightarrow \infty \text { as } x \rightarrow \infty .
\end{gathered}
$$
We now prove the following result.

Theorem 3.1. If Eq. (3.1) satisfies hypotheses (3.2)-(3.4), then there is a nonconstant, orbitally stable periodic solution $p(t)$ of Eq. (3.1). This periodic solution is unique up to translations $p(t+\tau), \tau \in R$.

Proof. Under the change of variables $y=x^{\prime}+F(x)$, Eq. (3.1) is equivalent to
$$
x^{\prime}=y-F(x), \quad y^{\prime}=-g(x) .
$$
The coefficients of (3.5) are smooth enough to ensure local existence and uniqueness of the initial value problem determined by (3.5). Hence, existence and uniqueness conditions are also satisfied by a corresponding initial value problem determined by (3.1).
Now define a Lyapunov function for (3.5) by
$$
v(x, y)=y^2 / 2+G(x) \text {. }
$$
The derivative of $v$ with respect to $t$ along solutions of Eq. (3.5) is given by
$$
d v / d t=v_{(3.5)}^{\prime}(x, y)=-g(x) F(x)
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|POINCARÉ-BENDIXSON THEORY

我们将借助截线来构造约但曲线。关于连续函数$f: R^2 \rightarrow R^2$的截线是$R^2$中的封闭线段$L$，使得$L$的每个点都是规则点，并且对于每个点$\xi \in L$，向量$f(\xi)$不平行于线段$L$的方向。我们注意到，由于$f$是连续的，给定任何规则点$\xi \in R^2$和任何不平行于$f(\xi)$的方向$\eta \in R^2$[即，对于任何非零常数$\alpha \in R$, $\eta \neq \alpha f(\xi)$，在$\eta$方向上有一条穿过$\xi$的截线。还要注意，如果(A)的轨道遇到一条截线$L$，它必须穿过$L$。而且，所有这些$L$的交叉点都在同一个方向上。截线的一个更深刻的性质总结在下面的结果中。

引理2.1。如果$\xi_0$是一条截线$L$的内部点，那么对于任何$\varepsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得任何轨道在$t=0$处通过$B\left(\xi_0, \delta\right)$球时必定在某个时间$t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$穿过$L$。

证明。假设截线$L$的方向是$\eta=\left(\eta_1, \eta_2\right)^{\top}$。那么$L$的$x=\left(x_1, x_2\right)^{\mathrm{T}}$点满足如下形式的方程
$$
g(x) \triangleq a_1 x_1+a_2 x_2-c=0
$$
其中$c$是一个常量，$a=\left(a_1, a_2\right)^{\top}$是一个矢量，使得$a^{\top} \eta=0$和$|a| \neq 0$。设$\phi(t, \xi)$为$(A)$的解，这样$\phi(0, \xi)=\xi$和定义$G$
$$
G(t, \xi)=g(\phi(t, \xi))
$$

然后$G\left(0, \xi_0\right)=0$ since $\xi_0 \in L$ and
$$
\frac{\partial G}{\partial t}\left(0, \xi_0\right)=a^{\top} f\left(\xi_0\right) \neq 0
$$
因为$L$是截线。根据隐函数定理，有一个$C^1$函数$t: B\left(\xi_0, \delta\right) \rightarrow R$对于某些$\delta>0$使得$t\left(\xi_0\right)=0$和$G(t(\xi), \xi) \equiv 0$。通过尽可能减小$\delta$的大小，可以假设$|t(\xi)|<\varepsilon$当$\xi \in B\left(\xi_0, \delta\right)$。因此$\phi(t, \xi)$将在$t(\xi)$和$-\varepsilon<t(\xi)<\varepsilon$处交叉$L$。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|THE LEVINSON-SMITH THEOREM

本节的目的是证明Levinson和Smith关于Lienard方程极限环的一个结果
$$
x^{\prime \prime}+f(x) x^{\prime}+g(x)=0
$$
当$f$和$y$满足以下假设:
$f: R \rightarrow R \quad$是偶连续的，且
$g: R \rightarrow R \quad$是奇数，是在$C^1(R)$, $x g(x)>0$是所有的$x \neq 0$;
有一个常数$a>0$使得$F(x) \triangleq \int_0^x f(s) d s<0$$$ \begin{gathered} \text { on } 00 \text { on } x>a \text {, and } f(x)>0 \text { on } x>a ; \
G(x) \triangleq \int_0^x g(s) d s \rightarrow \infty \text { as }|x| \rightarrow \infty \text { and } F(x) \rightarrow \infty \text { as } x \rightarrow \infty .
\end{gathered}
$$
我们现在证明下面的结果。

定理3.1。如果Eq.(3.1)满足假设(3.2)-(3.4)，则存在Eq.(3.1)的非常数轨道稳定周期解$p(t)$。这个周期解在平移之前是唯一的$p(t+\tau), \tau \in R$。

证明。在变量$y=x^{\prime}+F(x)$变化下，式(3.1)等价于
$$
x^{\prime}=y-F(x), \quad y^{\prime}=-g(x) .
$$
(3.5)的系数足够光滑，可以保证由(3.5)确定的初值问题局部存在唯一性。因此，存在唯一性条件也由式(3.1)确定的相应初值问题满足。
现在为(3.5)定义一个Lyapunov函数
$$
v(x, y)=y^2 / 2+G(x) \text {. }
$$
沿式(3.5)的解$v$对$t$的导数由式给出
$$
d v / d t=v_{(3.5)}^{\prime}(x, y)=-g(x) F(x)
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH-289

Posted on 2023年7月21日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|COMPARISON THEOREMS

In the present section, we state and prove several comparison theorems for the system
$$
x^{\prime}=f(t, x)
$$
which are the basis of the comparison principle in the stability analysis of the isolated equilibrium $x=0$ of (E). In this section, we shall assume that $f: R^{+} \times B(r) \rightarrow R^n$ for some $r>0$, and that $f$ is continuous there.

We begin by considering a scalar ordinary differential equation of the form
$$
y^{\prime}=G\left(t, y^{\prime}\right)
$$
where $y \in R, t \in R^{+}$, and $G: R^{+} \times[0, r) \rightarrow R$ for some $r>0$. Assume that $G$ is continuous on $R^{+} \times[0, r)$ and that $G(\iota, 0)=0$ for all $\iota \geq 0$. Recall that under these assumptions Eq. ( $\bar{C})$ possesses solutions $\phi\left(t, t_0, y_0\right)$ for every $\phi\left(t_0, t_0, y_0\right)=y_0 \in[0, r), t_0 \in R^{+}$, which are not necessarily unique. These solutions either exist for all $t \in\left[t_0, \infty\right)$ or else must leave the domain of definition of $G$ at some finite time $t_1>t_0$. Also, under the foregoing assumptions, Eq. $(\tilde{C})$ admits the trivial solution $y=0$ for all $t \geq t_0$. We assume that $y=0$ is an isolated equilibrium. For the sake of brevity, we shall frequently write $\phi(t)$ in place of $\phi\left(t, t_0, y_0\right)$ to denote solutions, with $\phi\left(t_0\right)=y_0$. has both a maximal solution $p(t)$ and a minimal solution $q(t)$ for any $p\left(t_0\right)=$ $q\left(t_0\right)=y_0$. Furthermore, each of these solutions either exists for all $t \in\left[t_0, \infty\right)$ er else must leave the domain of definition of $G$ at some finite time $t_1>t_0$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|APPLICATIONS: ABSOLUTE STABILITY OF REGULATOR SYSTEMS

An important class of problems in applications are regulator systems which can be described by equations of the form
$$
x^{\prime}=A x+b \eta, \quad \sigma=c^{\mathrm{T}} x+d \eta, \quad \eta=-\phi(\sigma),
$$
where $A$ is a real $n \times n$ matrix, $h, c$, and $x$ are real $n$ vectors, and $d, \sigma$, and $\eta$ are real scalars. Also, $\phi(0)=0$ and $\phi: R \rightarrow R$ is continuous. We shall assume that $\phi$ is such that the system (15.1) has unique solutions for all $t \geq 0$ and for every $x(0) \in R^n$, which depend continuously on $x(0)$.

We can represent system (15.1) symbolically by means of the block diagram of Fig. 5.20. An inspection of this ligure indicates that we may view (15.1) as an interconnection of a linear system component (with “input” $\eta$ and “out put” $\sigma$ ) and a nonlinear component. In Fig. 5.20, $r$ denotes a “reference input.” Since we are interested in studying the stability properties of the equilibrium $x=0$ of (15.1), we take $r \equiv 0$.

If we assume for the time being that $x(0)=0$ and if we take the Laplace transform of both sides of the first two equations in (15.1), we obtain
$$
(s l:-\lambda) \hat{\mathbf{x}}(s)=h \hat{\eta}(s) \quad \text { and } \quad \hat{\sigma}(s)=\boldsymbol{c}^{\mathbf{x}} \hat{x}(s)+d \hat{\eta}(s) \text {. }
$$
Solving for $\hat{\sigma}(s) / \hat{\eta}(s) \triangleq \hat{\jmath}(s)$, we obtain the transfer function of the linear component as
$$
\hat{g}(s)=c^{\mathrm{T}}(s E-A)^{-1} b+d .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|COMPARISON THEOREMS

在本节中，我们陈述并证明了该系统的几个比较定理
$$
x^{\prime}=f(t, x)
$$
它们是(E)的孤立平衡$x=0$稳定性分析中比较原理的基础。在本节中，我们将假设$f: R^{+} \times B(r) \rightarrow R^n$对于某些$r>0$，并且$f$在那里是连续的。

我们首先考虑一个标量常微分方程的形式
$$
y^{\prime}=G\left(t, y^{\prime}\right)
$$
在哪里 $y \in R, t \in R^{+}$，和 $G: R^{+} \times[0, r) \rightarrow R$ 对一些人来说 $r>0$．假设 $G$ 是连续的 $R^{+} \times[0, r)$ 这就是 $G(\iota, 0)=0$ 对所有人 $\iota \geq 0$．回想一下，在这些假设下，方程( $\bar{C})$ 拥有解决方案 $\phi\left(t, t_0, y_0\right)$ 对于每一个 $\phi\left(t_0, t_0, y_0\right)=y_0 \in[0, r), t_0 \in R^{+}$，它们不一定是唯一的。这些解决方案要么对所有人都适用 $t \in\left[t_0, \infty\right)$ 否则必须离开定义的范围 $G$ 在某一有限时间内 $t_1>t_0$．同样，在上述假设下，式。 $(\tilde{C})$ 承认平凡解 $y=0$ 对所有人 $t \geq t_0$．我们假设 $y=0$ 是一个孤立平衡。为简洁起见，我们将经常写信 $\phi(t)$ 代替 $\phi\left(t, t_0, y_0\right)$ 表示解，用 $\phi\left(t_0\right)=y_0$．两者都有极大解吗 $p(t)$ 一个最小解 $q(t)$ 对于任何 $p\left(t_0\right)=$ $q\left(t_0\right)=y_0$．此外，这些解决方案中的每一个要么对所有人都存在 $t \in\left[t_0, \infty\right)$ 否则就必须离开定义的范围 $G$ 在某一有限时间内 $t_1>t_0$．

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|APPLICATIONS: ABSOLUTE STABILITY OF REGULATOR SYSTEMS

应用中一类重要的问题是调节器系统，它可以用如下的方程来描述
$$
x^{\prime}=A x+b \eta, \quad \sigma=c^{\mathrm{T}} x+d \eta, \quad \eta=-\phi(\sigma),
$$
其中$A$是一个实数$n \times n$矩阵，$h, c$和$x$是实数$n$向量，$d, \sigma$和$\eta$是实数标量。同样，$\phi(0)=0$和$\phi: R \rightarrow R$是连续的。我们假设$\phi$是这样的，系统(15.1)对所有$t \geq 0$和每个$x(0) \in R^n$都有唯一的解，它们连续地依赖于$x(0)$。

我们可以用图5.20的框图对系统(15.1)进行符号化表示。对这个连接图的检查表明，我们可以将(15.1)视为线性系统组件(具有“输入”$\eta$和“输出”$\sigma$)和非线性组件的互连。在图5.20中，$r$表示“参考输入”。由于我们感兴趣的是研究(15.1)的平衡态$x=0$的稳定性，我们取$r \equiv 0$。

如果我们暂时假设$x(0)=0$如果我们对(15.1)中的前两个方程两边同时做拉普拉斯变换，我们得到
$$
(s l:-\lambda) \hat{\mathbf{x}}(s)=h \hat{\eta}(s) \quad \text { and } \quad \hat{\sigma}(s)=\boldsymbol{c}^{\mathbf{x}} \hat{x}(s)+d \hat{\eta}(s) \text {. }
$$
求解$\hat{\sigma}(s) / \hat{\eta}(s) \triangleq \hat{\jmath}(s)$，得到线性分量的传递函数为
$$
\hat{g}(s)=c^{\mathrm{T}}(s E-A)^{-1} b+d .
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MA26600

Posted on 2023年7月21日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV FUNCTIONS

We shall present stability results for the equilibrium $x=0$ of a system
$$
x^{\prime}=f(t, x) .
$$
Such results involve the existence of real valued functions $n: D \rightarrow R$. In the case of local results (e.g., stability, instability, asymptotic stability, and exponential stability results), we shall usually only require that $D=B(h) \subset R^n$ for some $h>0$, or $D=R^{+} \times B(h)$. On the other hand, in the case of global results (e.g., asymptotic stability in the large, exponential stability in the large, and uniform boundedness of solutions), we have to assume that $D=R^n$ or $D=R^{+} \times R^n$. Unless’ stated otherwise, we shall always assume that $v(t, 0)=0$ for all $t \in R^{+}[$resp., $v(0)=0]$.

Now let $\phi$ be an arbitrary solution of (E) and consider the function $t \mapsto v(t, \phi(t))$. If $v$ is continuously differentiable with respect to all of its arguments, then we obtain (by the chain rule) the derivative of $v$ with respect to $t$ along the solutions of $(E), v_{(E)}^{\prime}$, as
*Eal,tirs,bod,b,
$$
v_{i t:(}^{\prime}(t, \phi(t))=\frac{\partial_v}{\partial t}(t, \phi(t))+\nabla v(t, \phi(t))^T f(t, \phi(t)) .
$$
Here $\nabla v$ denotes the gradient vector of $v$ with respect to $x$. For a solution $\phi\left(t, t_0, \xi\right)$ of $(\mathrm{E})$, we have
$$
v(t, \phi(t))=v\left(t_0, s^5\right)+\int_{t_0}^t r_{1(1)}^{\prime}\left(\tau, \phi\left(\tau, t_0, s^5\right)\right) d \tau .
$$
These observations lead us to the following definition.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV STABILITY AND INSTABILITY RESULTS: MOTIVATION

Before we state and prove the principal Lyapunov-type of stability and instability results, we give a geometric interpretation of some of these results in $R^2$. To this end, we consider the system of equations
$$
\begin{aligned}
& x_1^{\prime}=f_1\left(x_1, x_2\right), \
& x_2^{\prime}=f_2\left(x_1, x_2\right),
\end{aligned}
$$
and we assume that $f_1$ and $f_2$ are such that for every $\left(t_0, x_0\right), t_0 \geq 0$, Eq. (8.1) has a unique solution $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ with $\phi\left(t_0, t_0, x_0\right)=x_0$. We also assume that $\left(x_1, x_2\right)^r=\left(0,(1)^{\mathrm{r}}\right.$ is the only equilibrium in $B(h)$ for some $h>0$.

Next, let $v$ be a positive definite, continuously diflerentiable function with nonvanishing gradient $V v$ on $0<|x| \leq h$. Then $$ n(x)=c \quad(c \geq 0) $$ defines for sulliciently small constants $c>0$ a family of closed curves $C_i$ which cover the neighborhood $B(h)$ as shown in Fig. 5.14. Note that the origin $x=0$ is located in the interior of each such curve and in fact $C_0={0}$.
Now suppose that all trajectories of (8.1) originating from points on the circular disk $|x| \leq r_1<h$ cross the curves $v(x)=c$ from the exterior toward the interior when we proceed along these trajectories in the direction of increasing values of $t$. Then we can conclude that these trajectories approach the origin as $t$ increases, i.e., the equilibrium $x=0$ is in this case asymptotically stable.

In terms of the given $n$ function, we have the following interpretation. For a given solution $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ to cross the curve $v(x)=r, r=v\left(x_0\right)$, the angle between the outward normal vector $\nabla v\left(x_0\right)$ and the derivative of $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ at $t=t_0$ must be greater than $\pi / 2$, i.e.,
$$
v_{1 \times, 1,1}^{\prime}\left(x_0\right)=V n\left(x_0\right) f\left(x_0\right)<0 .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV FUNCTIONS

我们将给出系统平衡$x=0$的稳定性结果
$$
x^{\prime}=f(t, x) .
$$
这些结果涉及实值函数的存在性$n: D \rightarrow R$。对于局部结果(例如，稳定性、不稳定性、渐近稳定性和指数稳定性结果)，我们通常只需要$D=B(h) \subset R^n$对于某些$h>0$，或$D=R^{+} \times B(h)$。另一方面，在全局结果的情况下(例如，大的渐近稳定性，大的指数稳定性，解的一致有界性)，我们必须假设$D=R^n$或$D=R^{+} \times R^n$。除非另有说明，否则我们将始终假设$v(t, 0)=0$适用于所有$t \in R^{+}[$条款。， $v(0)=0]$。

现在设$\phi$为(E)的任意解，并考虑函数$t \mapsto v(t, \phi(t))$。如果$v$对它的所有参数都是连续可微的，那么我们(通过链式法则)得到$v$对$t$的导数沿着$(E), v_{(E)}^{\prime}$的解，为
*Eal,tirs,bod,b，
$$
v_{i t:(}^{\prime}(t, \phi(t))=\frac{\partial_v}{\partial t}(t, \phi(t))+\nabla v(t, \phi(t))^T f(t, \phi(t)) .
$$
其中$\nabla v$表示$v$相对于$x$的梯度向量。对于$(\mathrm{E})$的解$\phi\left(t, t_0, \xi\right)$，我们有
$$
v(t, \phi(t))=v\left(t_0, s^5\right)+\int_{t_0}^t r_{1(1)}^{\prime}\left(\tau, \phi\left(\tau, t_0, s^5\right)\right) d \tau .
$$
这些观察结果使我们得出以下定义。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV STABILITY AND INSTABILITY RESULTS: MOTIVATION

在我们陈述和证明主要的lyapunov型稳定性和不稳定性结果之前，我们在$R^2$中给出了其中一些结果的几何解释。为此，我们考虑方程组
$$
\begin{aligned}
& x_1^{\prime}=f_1\left(x_1, x_2\right), \
& x_2^{\prime}=f_2\left(x_1, x_2\right),
\end{aligned}
$$
我们假设$f_1$和$f_2$是这样的，对于每一个$\left(t_0, x_0\right), t_0 \geq 0$，方程(8.1)有一个唯一的解$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$与$\phi\left(t_0, t_0, x_0\right)=x_0$。我们也假设$\left(x_1, x_2\right)^r=\left(0,(1)^{\mathrm{r}}\right.$是$B(h)$中对于某个$h>0$的唯一平衡。

其次，设$v$为一个正定的连续可微函数，在$0<|x| \leq h$上具有不消失的梯度$V v$。然后$$ n(x)=c \quad(c \geq 0) $$为sulliently小常数$c>0$定义了一组封闭曲线$C_i$，它们覆盖了邻域$B(h)$，如图5.14所示。请注意，原点$x=0$位于每个这样的曲线的内部，实际上是$C_0={0}$。
现在假设所有(8.1)的轨迹都起源于圆形圆盘$|x| \leq r_1<h$上的点，当我们沿着这些轨迹沿$t$值增加的方向前进时，从外部向内部穿过曲线$v(x)=c$。然后我们可以得出结论，随着$t$的增加，这些轨迹接近原点，即，平衡$x=0$在这种情况下是渐近稳定的。

对于给定的$n$函数，我们有如下的解释。对于给定的解$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$要穿过曲线$v(x)=r, r=v\left(x_0\right)$，则向外法向量$\nabla v\left(x_0\right)$与$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$在$t=t_0$处的导数之间的夹角必须大于$\pi / 2$，即:
$$
v_{1 \times, 1,1}^{\prime}\left(x_0\right)=V n\left(x_0\right) f\left(x_0\right)<0 .
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LINEAR HOMOGENEOUS AND NONHOMOGENEOUS SYSTEMS

Posted on 2023年7月6日2023年7月6日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LINEAR HOMOGENEOUS AND NONHOMOGENEOUS SYSTEMS

In the present section, we consider linear homogeneous systems
$$
x^{\prime}=A(t) x
$$
and linear nonhomogeneous systems
$$
x^{\prime}=A(t) x+g(t)
$$
In Chapter 2, Theorem 6.1, it was shown that these systems, subject to initial conditions $x(\tau)=\xi$, possess unique solutions for every $(\tau, \xi) \in D$, where
$$
D=\left{(t, x): t \in J=(a, b), x \in R^n\left(\text { or } x \in C^n\right)\right} .
$$
These solutions exist over the entire interval $J=(a, b)$ and they depend continously on the initial conditions. In applications, it is typical that $J=(-\infty$, $\infty$ ). We note that $\phi(t) \equiv 0$, for all $t \in J$, is a solution of $(\mathrm{LH})$, with $\phi(\tau)=0$. We call this the trivial solution of (LH).

Throughout this chapter we consider matrices and vectors which will be either real valued or complex valued. In the former case, the field of scalars for the $x$ space is the field of real numbers $(F=R)$ and in the latter case, the field for the $x$ space is the field of complex numbers $(F=C)$.

Theorem 2.1. The set of solutions of (LH) on the interval $J$ forms an $n$-dimensional vector space.

Proof. Let $V$ denote the set of all solutions of (LH) on $J$. Let $\alpha_1, \alpha_2 \in F$ and let $\phi_1, \phi_2 \in V$. Then $\alpha_1 \phi_1+\alpha_2 \phi_2 \in V$ since
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left[\alpha_1 \phi_1(t)+\alpha_2 \phi_2(t)\right]=\alpha_1 \frac{d}{d t} \phi_1(t)+\alpha_2 \frac{d}{d t} \phi_2(t) \
& \quad=\alpha_1 A(t) \phi_1(t)+\alpha_2 A(t) \phi_2(t)=A(t)\left[\alpha_1 \phi_1(t)+\alpha_2 \phi_2(t)\right]
\end{aligned}
$$
for all $t \in J$ : Hence, $V$ is a vector space.
To complete the proof, we must show that $V$ is of dimension $n$. This means that we must find $n$ linearly independent solutions $\phi_1, \ldots, \phi_n$ which span $V$. To this end, we choose a set of $n$ linearly independent vectors $\xi_1, \ldots, \xi_n$ in the $n$-dimensional $x$ space (i.e., in $R^n$ or $\left.C^n\right)$. By the existence results of Chapter 2 , if $\tau \in J$, then there exist $n$ solutions $\phi_1, \ldots, \phi_n$ of (LH) such that $\phi_1(\tau)=\xi_1, \ldots, \phi_s(\tau)=\xi_n$. We first show that these solutions are linearly independent. If on the contrary these solutions are linearly dependent, then there exist scalars $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F$, not all zero, such that
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i \phi_i(t)=0
$$
for all $t \in J$. This implies in particular that
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i \phi_i(\tau)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \xi_i=0
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LINEAR SYSTEMS WITH CONSTANT COEFFICIENTS

For the scalar differential equation
$$
x^{\prime}=a x, \quad x(\tau)=\xi,
$$
the solution is given by $\phi(t)=e^{a(t-x)} \xi$. In the present section, we-show that a similar result holds for the system of linear equations with constant coefficients,
$$
x^{\prime}=A x
$$
Specifically, we show that $(\mathrm{L})$ has a solution of the form $\phi(t)=e^{A(t-\tau)} \xi$ with $\phi(\tau)=\xi$. Before we can do this, however, we need to define the matrix $e^{A t}$ and discuss some of its properties. We first require the following result.
Theorem 3.1. Let $A$ be a constant $n \times n$ matrix which may be real or complex. Let $S_N(t)$ denote the partial sum of natrices defined by the formula
$$
S_N(t)=E+\sum_{k=1}^N \frac{t^k}{k !} A^k
$$

Then each element of the matrix $S_N(t)$ converges absolutely and uniformly on any finite $t$ interval $(-a, a), a>0$, as $N \rightarrow(\infty)$.
Proof. The properties of the norm given in Section 2.6 imply that
$$
\begin{aligned}
\left|E+\sum_{k=1}^{\infty}\left(t^k A^k\right) / k !\right| & \leq|E|+\sum_{k=1}^{\infty} a^k|A|^k / k ! \
& \leq n+\sum_{k=1}^{\infty}(a|A|)^k / k !=(n-1)+\exp (a|A|) .
\end{aligned}
$$
By the Weierstrass $M$ test (Theorem 2.1.3), it follows that $S_N(t)$ is a Cauchy sequence uniformly on $(-a, a)$.
Note that by the same proof, we obtain
$$
S_N^{\prime}(t)=A S_{N-1}(t)=S_{N-1}(t) A
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LINEAR HOMOGENEOUS AND NONHOMOGENEOUS SYSTEMS

在本节中，我们考虑线性齐次系统
$$
x^{\prime}=A(t) x
$$
线性非齐次系统
$$
x^{\prime}=A(t) x+g(t)
$$
在第2章定理6.1中，证明了这些系统在初始条件$x(\tau)=\xi$下，对每一个$(\tau, \xi) \in D$都有唯一解，其中
$$
D=\left{(t, x): t \in J=(a, b), x \in R^n\left(\text { or } x \in C^n\right)\right} .
$$
这些解存在于整个区间$J=(a, b)$，它们连续地依赖于初始条件。在应用程序中，通常是$J=(-\infty$, $\infty$)。我们注意到，对于所有$t \in J$, $\phi(t) \equiv 0$是$(\mathrm{LH})$与$\phi(\tau)=0$的解。我们称它为(LH)的平凡解。

在本章中，我们将考虑实值或复值的矩阵和向量。在前一种情况下，$x$空间的标量域是实数域$(F=R)$，在后一种情况下，$x$空间的域是复数域$(F=C)$。

定理2.1。(LH)在区间$J$上的解集形成一个$n$维向量空间。

证明。设$V$表示(LH)在$J$上的所有解的集合。让$\alpha_1, \alpha_2 \in F$和$\phi_1, \phi_2 \in V$。然后$\alpha_1 \phi_1+\alpha_2 \phi_2 \in V$ since
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left[\alpha_1 \phi_1(t)+\alpha_2 \phi_2(t)\right]=\alpha_1 \frac{d}{d t} \phi_1(t)+\alpha_2 \frac{d}{d t} \phi_2(t) \
& \quad=\alpha_1 A(t) \phi_1(t)+\alpha_2 A(t) \phi_2(t)=A(t)\left[\alpha_1 \phi_1(t)+\alpha_2 \phi_2(t)\right]
\end{aligned}
$$
对于所有$t \in J$:因此，$V$是一个向量空间。
为了完成证明，我们必须证明$V$的量纲是$n$。这意味着我们必须找到$n$线性无关的解$\phi_1, \ldots, \phi_n$它张成$V$。为此，我们在$n$维$x$空间(即$R^n$或$\left.C^n\right)$)中选择一组$n$线性无关向量$\xi_1, \ldots, \xi_n$。由第2章的存在性结果可知，若$\tau \in J$，则存在(LH)的$n$解$\phi_1, \ldots, \phi_n$，使得$\phi_1(\tau)=\xi_1, \ldots, \phi_s(\tau)=\xi_n$。我们首先证明这些解是线性无关的。如果相反，这些解是线性相关的，那么存在标量$\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F$，不全为零，使得
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i \phi_i(t)=0
$$
对于所有$t \in J$。这特别意味着
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i \phi_i(\tau)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \xi_i=0
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LINEAR SYSTEMS WITH CONSTANT COEFFICIENTS

对于标量微分方程
$$
x^{\prime}=a x, \quad x(\tau)=\xi,
$$
解由$\phi(t)=e^{a(t-x)} \xi$给出。在本节中，我们证明了一个类似的结果适用于常系数线性方程组，
$$
x^{\prime}=A x
$$
具体地说，我们证明$(\mathrm{L})$有一个形式为$\phi(t)=e^{A(t-\tau)} \xi$和$\phi(\tau)=\xi$的解。但是，在此之前，我们需要定义矩阵$e^{A t}$并讨论它的一些性质。我们首先需要得到以下结果。
定理3.1。设$A$为常数$n \times n$矩阵，可以是实数，也可以是复数。设$S_N(t)$表示由公式定义的矩阵的部分和
$$
S_N(t)=E+\sum_{k=1}^N \frac{t^k}{k !} A^k
$$

那么矩阵$S_N(t)$的每个元素在任意有限的$t$区间$(-a, a), a>0$上绝对一致收敛，如$N \rightarrow(\infty)$。
证明。第2.6节给出的范数的性质意味着
$$
\begin{aligned}
\left|E+\sum_{k=1}^{\infty}\left(t^k A^k\right) / k !\right| & \leq|E|+\sum_{k=1}^{\infty} a^k|A|^k / k ! \
& \leq n+\sum_{k=1}^{\infty}(a|A|)^k / k !=(n-1)+\exp (a|A|) .
\end{aligned}
$$
通过Weierstrass $M$检验(定理2.1.3)，可以得出$S_N(t)$在$(-a, a)$上一致是柯西序列。
注意，通过同样的证明，我们得到
$$
S_N^{\prime}(t)=A S_{N-1}(t)=S_{N-1}(t) A
$$

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