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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Math131A

Posted on 2023年8月25日2023年8月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis定理依赖于实数系的性质，必须建立实数系的性质。实数系统由一个不可数集合(R)、两个二进制运算(+和⋅)和一个阶数(<)组成。

实分析Real Analysis实数具有复数所没有的各种格理论性质。此外，实数形成一个有序域，其中正数的和和积也是正的。实数的排序是全的，实数具有最小上界性质R的每一个有上界的非空子集R都有一个最小上界也是实数。这些序理论性质导致了实分析中的一些基本结果，如单调收敛定理、中间值定理和中值定理。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Carathéodory Outer Measure

85.2. Definition. An outer measure $\varphi$ defined on a metric space $(X, \rho)$ is called a Carathéodory outer measure if
$$
\varphi(A \cup B)=\varphi(A)+\varphi(B)
$$
whenever $A, B$ are arbitrary subsets of $X$ with $\boldsymbol{d}(A, B)>0$. The notation $\boldsymbol{d}(A, B)$ denotes the distance between the sets $A$ and $B$ and is defined by
$$
\boldsymbol{d}(A, B):=\inf {\rho(a, b): a \in A, b \in B} .
$$
86.1. THEOREM. If $\varphi$ is a Carathéodory outer measure on a metric space $X$, then all closed sets are $\varphi$-measurable.

Proof. We will verify the condition in Definition 79.1 whenever $C$ is a closed set. Because $\varphi$ is subadditive, it suffices to show
$$
\varphi(A) \geq \varphi(A \cap C)+\varphi(A \backslash C)
$$
whenever $A \subset X$. In order to prove (86.2), consider $A \subset X$ with $\varphi(A)<\infty$ and for each positive integer $i$, let $C_i={x: \boldsymbol{d}(x, C) \leq 1 / i}$. Note that $$ \boldsymbol{d}\left(A \backslash C_i, A \cap C\right) \geq \frac{1}{i}>0 .
$$
Since $A \supset\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \backslash C),(85.2)$ implies
$$
\varphi(A) \geq \varphi\left(\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \cap C)\right) \geq \varphi\left(A \backslash C_i\right)+\varphi(A \cap C) .
$$
Because of this inequality, the proof of (86.2) will be concluded if we can show that
$$
\lim _{i \rightarrow \infty} \varphi\left(A \backslash C_i\right)=\varphi(A \backslash C) .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure

For the purpose of defining Lebesgue outer measure on $\mathbb{R}^n$, we consider closed $n$-dimensional intervals
$$
I=\left{x: a_i \leq x_i \leq b_i, i=1,2, \ldots, n\right}
$$
and their volumes
$$
v(I)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right) .
$$
With $I_1=\left[a_1, b_1\right], I_2=\left[a_2, b_2\right], \ldots, I_n=\left[a_n, b_n\right]$, we have
$$
I=I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n .
$$
Notice that $n$-dimensional intervals have their edges parallel to the coordinate axes of $\mathbb{R}^n$. When no confusion arises, we shall simply say “interval” rather than ” $n$ dimensional interval.”

In preparation for the development of Lebesgue measure, we state two elementary propositions concerning intervals whose proofs will be omitted.
88.1. THEOREM. Suppose each edge $I_k=\left[a_k, b_k\right]$ of an n-dimensio-nal interval $I$ is partitioned into $\alpha_k$ subintervals. The products of these intervals produce a partition of $I$ into $\beta:=\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdots \alpha_n$ subintervals $I_i$ and
$$
v(I)=\sum_{i=1}^\beta v\left(I_i\right) .
$$
88.2. THEOREM. For each interval $I$ and each $\varepsilon>0$, there exists an interval $J$ whose interior contains $I$ and
$$
v(J)<v(I)+\varepsilon
$$

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Carathéodory Outer Measure

85.2. 定义。在度量空间$(X, \rho)$上定义的外测度$\varphi$称为carathacimodory外测度if
$$
\varphi(A \cup B)=\varphi(A)+\varphi(B)
$$
无论何时$A, B$都是$X$与$\boldsymbol{d}(A, B)>0$的任意子集。符号$\boldsymbol{d}(A, B)$表示集合$A$和$B$之间的距离，定义为
$$
\boldsymbol{d}(A, B):=\inf {\rho(a, b): a \in A, b \in B} .
$$
86.1. 定理。如果$\varphi$是度量空间$X$上的一个carathimodory外测度，那么所有的闭集都是$\varphi$ -可测的。

证明。当$C$是闭集时，我们将验证定义79.1中的条件。因为$\varphi$是次相加的，它足以说明
$$
\varphi(A) \geq \varphi(A \cap C)+\varphi(A \backslash C)
$$
每当$A \subset X$。为了证明(86.2)，考虑$A \subset X$和$\varphi(A)<\infty$，对于每个正整数$i$，设$C_i={x: \boldsymbol{d}(x, C) \leq 1 / i}$。请注意$$ \boldsymbol{d}\left(A \backslash C_i, A \cap C\right) \geq \frac{1}{i}>0 .
$$
因为$A \supset\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \backslash C),(85.2)$意味着
$$
\varphi(A) \geq \varphi\left(\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \cap C)\right) \geq \varphi\left(A \backslash C_i\right)+\varphi(A \cap C) .
$$
由于这个不等式，如果我们能证明(86.2)，就可以得出(86.2)的证明
$$
\lim _{i \rightarrow \infty} \varphi\left(A \backslash C_i\right)=\varphi(A \backslash C) .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure

为了定义$\mathbb{R}^n$上的Lebesgue外测度，我们考虑了封闭的$n$维区间
$$
I=\left{x: a_i \leq x_i \leq b_i, i=1,2, \ldots, n\right}
$$
以及它们的体积
$$
v(I)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right) .
$$
通过$I_1=\left[a_1, b_1\right], I_2=\left[a_2, b_2\right], \ldots, I_n=\left[a_n, b_n\right]$，我们做到了
$$
I=I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n .
$$
注意$n$ -维间隔的边平行于$\mathbb{R}^n$的坐标轴。在没有混淆的情况下，我们将简单地说“间隔”而不是“$n$维度间隔”。

为了准备勒贝格测度的发展，我们陈述两个关于区间的基本命题，它们的证明将被省略。
88.1. 定理。假设n维信号区间$I$的每条边$I_k=\left[a_k, b_k\right]$被划分为$\alpha_k$个子区间。这些区间的乘积将$I$划分为$\beta:=\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdots \alpha_n$子区间$I_i$和
$$
v(I)=\sum_{i=1}^\beta v\left(I_i\right) .
$$
88.2. 定理。对于每个区间$I$和每个$\varepsilon>0$，存在一个区间$J$，其内部包含$I$和
$$
v(J)<v(I)+\varepsilon
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH327

Posted on 2023年8月25日2023年8月25日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lower Semicontinuous Functions

Recall that a function $f$ on a metric space is continuous at $x_0$ if for each $\varepsilon>0$, there exists $r>0$ such that
$$
f\left(x_0\right)-\varepsilon0$ there exists $r>0$ such that $f(x)>f\left(x_0\right)-\varepsilon$ whenever $x \in B\left(x_0, r\right)$. If $f\left(x_0\right)=\infty$, then for every positive number $M$ there exists $r>0$ such that $f(x) \geq M$ for all $x \in B\left(x_0, r\right)$. The function $f$ is called lower semicontinuous if it is lower semicontinuous at all $x \in X$. An upper semicontinuous function is defined analogously: if $f\left(x_0\right)>-\infty$, then $f(x)<f\left(x_0\right)+\varepsilon$ for all $x \in B\left(x_0, r\right)$. If $f\left(x_0\right)=-\infty$, then $f(x)<-M$ for all $x \in B\left(x_0, r\right)$.

Of course, a continuous function is both lower and upper semicontinuous. It is easy to see that the characteristic function of an open set is lower semicontinuous and that the characteristic function of a closed set is upper semicontinuous.

Semicontinuity can be reformulated in terms of the lower limit (also called limit inferior) and upper limit of (also called limit superior) $f$. We define
$$
\liminf {x \rightarrow x_0} f(x)=\lim {r \rightarrow 0} m\left(r, x_0\right)
$$
where $m\left(r, x_0\right)=\inf \left{f(x): 0<\rho\left(x, x_0\right)<r\right}$. Similarly,
$$
\limsup {x \rightarrow x_0} f(x)=\lim {r \rightarrow 0} M\left(r, x_0\right),
$$
where $M\left(r, x_0\right)=\sup \left{f(x): 0<\rho\left(x, x_0\right)<r\right}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Outer Measure

In this section we introduce the concept of outer measure that will underlie and motivate some of the most important concepts of abstract measure theory. The “length” of set in $\mathbb{R}$, the “area” of a set in $\mathbb{R}^2$ or the “volume” of a set in $\mathbb{R}^3$ are notions that can be developed from basic and strongly intuitive geometric principles provided the sets are well-behaved. If one wished to develop a concept of volume in $\mathbb{R}^3$, for example, that would allow the assignment of volume to any set, then one could hope for a function $\mathcal{V}$ that assigns to each subset $E \subset \mathbb{R}^3$ a number $\mathcal{V}(E) \in[0, \infty]$ having the following properties:
(i) If $\left{E_i\right}_{i=1}^k$ is any finite sequence of mutually disjoint sets, then
$$
\mathcal{V}\left(\bigcup_{i=1}^k E_i\right)=\sum_{i=i}^k \mathcal{V}\left(E_i\right)
$$
(ii) If two sets $E$ and $F$ are congruent, then $\mathcal{V}(E)=\mathcal{V}(F)$
(iii) $\mathcal{V}(Q)=1$ where $Q$ is the cube of side length 1 .
However, these three conditions are inconsistent. In 1924, Banach and Tarski [?] proved that it is possible to decompose a ball in $\mathbb{R}^3$ into six pieces which can be reassembled by rigid motions to form two balls, each the same size as the original. The sets in this decomposition are pathological and require the axiom of choice for their existence. If condition (i) is changed to require countable additivity rather than mere finite additivity; that is, require that if $\left{E_i\right}_{i=1}^{\infty}$ is any infinite sequence of mutually disjoint sets, then
$$
\sum_{i=i}^{\infty} \mathcal{V}\left(E_i\right)=\mathcal{V}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)
$$

this too suffers from the same inconsistency, and thus we are led to the conclusion that there is no function $\mathcal{V}$ satisfying all three conditions above. Later, we will also see that if we restrict $\mathcal{V}$ to a large class of subsets of $\mathbb{R}^3$ that omits only the truly pathological sets, then it is possible to incorporate $\mathcal{V}$ in a satisfactory theory of volume.

We will proceed to find this large class of sets by considering a very general context and replace countable additivity by countable subadditivity.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lower Semicontinuous Functions

回想一下，度量空间上的函数$f$在$x_0$处连续如果对于每个$\varepsilon>0$，存在$r>0$使得
$ $
f\left(x_0\right)-\varepsilon0$存在$r>0$使得$f(x)>f\left(x_0\right)-\varepsilon$只要$x \in B\left(x_0, r\right)$。如果$f\left(x_0\right)=\infty$，则对于每一个正数$M$存在$r>0$，使得$f(x) \geq M$对于所有$x \in B\left(x_0, r\right)$。如果函数f在x $中是下半连续的，则称为下半连续。一个上半连续函数被类似地定义:如果$f\left(x_0\right)>-\infty$，那么$f(x)<f\left(x_0\right)+\varepsilon$对于所有$x \in B\left(x_0, r\right)$。如果$ f \左(x_0 \右)= – \ infty $,然后f (x) < – m美元剩下$ x \ B (从r \右)美元。

当然，连续函数是上下半连续的。很容易看出开集的特征函数是下半连续的，闭集的特征函数是上半连续的。

半连续性可以用f$的下限(也称为下极限)和上限(也称为上极限)来重新表述。我们定义

$$
\liminf {x \rightarrow x_0} f(x)=\lim {r \rightarrow 0} m\left(r, x_0\right)
$$
where $m\left(r, x_0\right)=\inf \left{f(x): 0<\rho\left(x, x_0\right)<r\right}$. Similarly,
$$
\limsup {x \rightarrow x_0} f(x)=\lim {r \rightarrow 0} M\left(r, x_0\right),
$$
where $M\left(r, x_0\right)=\sup \left{f(x): 0<\rho\left(x, x_0\right)<r\right}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Outer Measure

在本节中，我们将介绍外测度的概念，它将成为抽象测度理论中一些最重要概念的基础和动力。$\mathbb{R}$中集合的“长度”，$\mathbb{R}^2$中集合的“面积”或$\mathbb{R}^3$中集合的“体积”是可以从基本和强烈直观的几何原理中发展出来的概念，只要这些集合表现良好。例如，如果希望在$\mathbb{R}^3$中开发一个体积的概念，允许将体积分配给任何集合，那么可以期望一个函数$\mathcal{V}$为每个子集$E \subset \mathbb{R}^3$分配一个具有以下属性的数字$\mathcal{V}(E) \in[0, \infty]$:
(i)若$\left{E_i\right}{i=1}^k$是任意互不相交集合的有限序列，则 $$ \mathcal{V}\left(\bigcup{i=1}^k E_i\right)=\sum_{i=i}^k \mathcal{V}\left(E_i\right)
$$
(ii)如果两个集合$E$和$F$相等，则$\mathcal{V}(E)=\mathcal{V}(F)$
(iii) $\mathcal{V}(Q)=1$，其中$Q$为边长为1的立方体。
然而，这三个条件是不一致的。1924年，巴拿赫和塔斯基[?]]证明了将$\mathbb{R}^3$中的一个球分解成六块是可能的，这些六块可以通过刚性运动重新组合成两个球，每个球的大小与原来的球相同。这种分解中的集合是病态的，它们的存在需要选择公理。如果将条件(i)改为要求可数可加性而不是仅仅要求有限可加性;即，要求如果$\left{E_i\right}{i=1}^{\infty}$是任意互不相交集合的无穷序列，则 $$ \sum{i=i}^{\infty} \mathcal{V}\left(E_i\right)=\mathcal{V}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)
$$

这也遭受同样的不一致，因此我们得出结论，没有函数$\mathcal{V}$满足上述三个条件。稍后，我们还将看到，如果我们将$\mathcal{V}$限制为$\mathbb{R}^3$的一大类子集，只省略真正的病态集，那么就有可能将$\mathcal{V}$纳入一个令人满意的体积理论中。

我们将通过考虑一个非常一般的上下文来找到这类大集合，并用可数子可加性代替可数可加性。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|CRN31091

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compactness of Product Spaces

Let $\left{X_\alpha: \alpha \in A\right}$ be a family of topological spaces and set $X=\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$. Let $P_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$ denote the projection of $X$ onto $X_\alpha$ for each $\alpha$. Recall that the family of subsets of $X$ of the form $P_\alpha^{-1}(U)$ where $U$ is an open subset of $X_\alpha$ and $\alpha \in A$ is a subbase for the product topology on $X$.

The proof of Tychonoff’s theorem will utilize the finite intersection property introduced in Definition 43.4 and Lemma 44.1.

In the following proof, we utilize the Hausdorff Maximal Principle, see p. 8.
56.2. Lemma. Let $\mathcal{A}$ be a family of subsets of a set $Y$ having the finite intersection property and suppose $\mathcal{A}$ is maximal with respect to the finite intersection property, i.e., no family of subsets of $Y$ that properly contains $\mathcal{A}$ has the finite intersection property. Then

(i) $\mathcal{A}$ contains all finite intersections of members of $\mathcal{A}$.
(ii) If $S \subset Y$ and $S \cap A \neq \emptyset$ for each $A \in \mathcal{A}$, then $S \in \mathcal{A}$.
Proof. To prove (i) let $\mathcal{B}$ denote the family of all finite intersections of members of $\mathcal{A}$. Then $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ and $\mathcal{B}$ has the finite intersection property. Thus by the maximality of $\mathcal{A}$, it is clear that $\mathcal{A}=\mathcal{B}$.

To prove (ii), suppose $S \cap A \neq \emptyset$ for each $A \in \mathcal{A}$. Set $\mathcal{C}=\mathcal{A} \cup{S}$. Then, since $\mathcal{C}$ has the finite intersection property, the maximality of $\mathcal{A}$ implies that $\mathcal{C}=\mathcal{A}$.
We can now prove Tychonoff’s theorem.
57.1. Theorem (Tychonoff’s Product Theorem). If $\left{X_\alpha: \alpha \in A\right}$ is a family of compact topological spaces and $X=\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$ with the product topology, then $X$ is compact.

Proof. Suppose $\mathcal{C}$ is a family of closed subsets of $X$ having the finite intersection property and let $\mathcal{E}$ denote the collection of all families of subsets of $X$ such that each family contains $\mathcal{C}$ and has the finite intersection property. Then $\mathcal{E}$ satisfies the conditions of the Hausdorff Maximal Principle, and hence there is a maximal element $\mathcal{B}$ of $\mathcal{E}$ in the sense that $\mathcal{B}$ is not a subset of any other member of $\mathcal{E}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Space of Continuous Functions

Recall the discussion of continuity given in Theorems 42.3 and 48.4. Our discussion will be carried out in the context of functions $f: X \rightarrow Y$ where $(X, \rho)$ and $(Y, \sigma)$ are metric spaces. Continuity of $f$ at $x_0$ requires that points near $x_0$ are mapped into points near $f\left(x_0\right)$. We introduce the concept of “oscillation” to assist in making this idea precise.
58.0. Definition. If $f: X \rightarrow Y$ is an arbitrary mapping, then the oscillation of $f$ on a ball $B\left(x_0\right.$ is defined by
$$
\operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]=\sup \left{\sigma[f(x), f(y)]: x, y \in B\left(x_0, r\right)\right} .
$$
Thus, the oscillation of $f$ on a ball $B\left(x_0, r\right)$ is nothing more than the diameter of the set $f\left(B\left(x_0, r\right)\right)$ in $Y$. The diameter of an arbitrary set $E$ is defined as $\sup {\sigma(x, y): x, y \in E}$. It may possibly assume the value $+\infty$. Note that $\operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]$ is a nondecreasing function of $r$ for each point $x_0$.
We leave it to the reader to supply the proof of the following assertion.
58.1. Proposition. A function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0 \in X$ if and only if
$$
\lim {r \rightarrow 0} \operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]=0 . $$ The concept of oscillation is useful in providing information concerning the set on which an arbitrary function is continuous. For this we need the notions of $G\delta$ and $F_\sigma$ sets. A subset $E$ of a topological space is called a $G_\delta$ set if $E$ can be written as the countable intersection of open sets, and it is an $F_\sigma$ set if it can be written as the countable union of closed sets.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compactness of Product Spaces

设$\left{X_\alpha: \alpha \in A\right}$为拓扑空间族，设$X=\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$。设$P_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$表示每个$\alpha$在$X$到$X_\alpha$上的投影。回想一下，形式为$P_\alpha^{-1}(U)$的$X$子集族，其中$U$是$X_\alpha$的开放子集，$\alpha \in A$是$X$上产品拓扑的子基。

Tychonoff定理的证明将利用定义43.4和引理44.1中引入的有限交性质。

在接下来的证明中，我们利用了豪斯多夫极大原理，见第8页。
56.2. 引理。设$\mathcal{A}$是具有有限相交性质的集合$Y$的一组子集，并且假设$\mathcal{A}$对于有限相交性质是极大的，即，没有适当包含$\mathcal{A}$的$Y$的一组子集具有有限相交性质。然后

(i) $\mathcal{A}$包含$\mathcal{A}$的所有成员的有限交。
(ii)如果每个$A \in \mathcal{A}$对应$S \subset Y$和$S \cap A \neq \emptyset$，则对应$S \in \mathcal{A}$。
证明。为了证明(i)，设$\mathcal{B}$表示$\mathcal{A}$的所有有限交集的族。那么$\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$和$\mathcal{B}$具有有限交性质。因此，通过$\mathcal{A}$的最大值，可以清楚地看出$\mathcal{A}=\mathcal{B}$。

为了证明(ii)，假设每个$A \in \mathcal{A}$对应$S \cap A \neq \emptyset$。设置$\mathcal{C}=\mathcal{A} \cup{S}$。然后，由于$\mathcal{C}$具有有限相交性质，因此$\mathcal{A}$的最大值意味着$\mathcal{C}=\mathcal{A}$。
现在我们可以证明Tychonoff定理了。
57.1. 定理(Tychonoff积定理)。如果$\left{X_\alpha: \alpha \in A\right}$是紧致拓扑空间族，并且$X=\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$具有积拓扑，则$X$是紧致的。

证明。假设$\mathcal{C}$是具有有限交集属性的$X$的闭子集族，让$\mathcal{E}$表示$X$的所有子集族的集合，使得每个族都包含$\mathcal{C}$并具有有限交集属性。那么$\mathcal{E}$满足Hausdorff极大原理的条件，因此在$\mathcal{B}$不是$\mathcal{E}$的任何其他成员的子集的意义上，$\mathcal{E}$有一个极大元素$\mathcal{B}$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Space of Continuous Functions

回想一下定理42.3和48.4中关于连续性的讨论。我们的讨论将在函数$f: X \rightarrow Y$的背景下进行，其中$(X, \rho)$和$(Y, \sigma)$是度量空间。$f$在$x_0$处的连续性要求将$x_0$附近的点映射到$f\left(x_0\right)$附近的点。我们引入“振荡”的概念是为了使这个概念更精确。
58.0. 定义。如果$f: X \rightarrow Y$是一个任意映射，那么$f$在球$B\left(x_0\right.$上的振荡定义为
$$
\operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]=\sup \left{\sigma[f(x), f(y)]: x, y \in B\left(x_0, r\right)\right} .
$$
因此，$f$在球$B\left(x_0, r\right)$上的振荡只不过是$Y$中设置的$f\left(B\left(x_0, r\right)\right)$的直径。定义任意集$E$的直径为$\sup {\sigma(x, y): x, y \in E}$。它可能假设值为$+\infty$。注意，对于每个点$x_0$, $\operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]$都是$r$的非递减函数。
我们留给读者提供以下断言的证明。
58.1. 命题。一个函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0 \in X$处连续当且仅当
$$
\lim {r \rightarrow 0} \operatorname{osc}\left[f, B\left(x_0, r\right)\right]=0 . $$振荡的概念在提供关于任意函数连续的集合的信息时是有用的。为此，我们需要$G\delta$和$F_\sigma$集合的概念。如果$E$可以写成开集的可数交集，则拓扑空间的子集$E$称为$G_\delta$集;如果可以写成闭集的可数并，则称为$F_\sigma$集。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH351

Posted on 2023年8月2日2023年8月25日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Jordan and Hahn Decompositions

The subject of the present section is decompositions of additive and completely additive real-valued set functions into positive and negative parts. This material will be applied in Section 4 to obtain the Radon-Nikodym Theorem, an abstract generalization of some consequences of Lebesgue’s theory of differentiation of integrals. In turn, we shall use the Radon-Nikodym Theorem in Section 5 to address the subject of continuous linear functionals on $L^p$ spaces.
A real-valued additive set function $v$ on an algebra of sets is said to be bounded if $|v(E)| \leq C$ for all $E$ in the algebra. A real-valued completely additive set function on a $\sigma$-algebra of sets is said to be a signed measure.

Theorem 9.14 (Jordan decomposition). Let $v$ be a bounded additive set function on an algebra $\mathcal{A}$ of sets, and define set functions $v^{+}$and $v^{-}$on $\mathcal{A}$ by
$$
v^{+}(E)=\sup {\substack{F \subseteq E \ F \in \mathcal{A}}} v(F) \text { and } \quad v^{-}(E)=-\inf {\substack{F \subseteq E, F \in \mathcal{A}}} v(F)
$$

Then $v^{+}$and $v^{-}$are nonnegative bounded additive set functions on $\mathcal{A}$ such that $v=v^{+}-v^{-}$. They are completely additive if $v$ is completely additive. In any event, the decomposition $v=v^{+}-v^{-}$is minimal in the sense that an equality $\nu=\mu^{+}-\mu^{-}$in which $\mu^{+}$and $\mu^{-}$are nonnegative bounded additive set functions must have $v^{+} \leq \mu^{+}$and $v^{-} \leq \mu^{-}$.

Proof. First let us see that $v^{+}$is additive always. In fact, let $E_1$ and $E_2$ be disjoint members of $\mathcal{A}$. If $F \subseteq E_1 \cup E_2$, then the additivity of $v$ implies that $v(F)=v\left(F \cap E_1\right)+v\left(F \cap E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right)$. Hence
$$
v^{+}\left(E_1 \cup E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right) .
$$
On the other hand, if $F_1 \subseteq E_1$ and $F_2 \subseteq E_2$, then $v\left(F_1\right)+v\left(F_2\right)=v\left(F_1 \cup F_2\right) \leq$ $\nu^{+}\left(E_1 \cup E_2\right)$. Taking the supremum over $F_1$ and then over $F_2$ gives
$$
v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1 \cup E_2\right) .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Radon–Nikodym Theorem

The function $f$ is obtained in that chapter as the derivative almost everywhere of the distribution function of $\mu$, hence as the limit of $\mu(I) / m(I)$ as intervals $I$ shrink to a point; here $m$ is Lebesgue measure. In this formulation of the result, the geometry of the line plays an essential role, and attempts to generalize to abstract settings the construction of $f$ from limits of $\mu(I) / m(I)$ have not been fruitful.

Nevertheless, the Lebesgue decomposition itself turns out to be a general measure-theory theorem, valid for any two measures in place of $\mu$ and $d x$, as long as suitable finiteness conditions are satisfied. For a reinterpretation of the results of Chapter VII, the heart of the matter is that one can tell in advance which $\mu$ ‘s have $\mu(E)=\int_E f d x$ with the singular term $\mu_s$ absent. The answer is given by the equivalent conditions of Proposition 7.11, which are taken in that chapter as a definition of “absolute continuity” of $\mu$ with respect to $d x$. The remarkable fact is that those conditions continue to be equivalent when any two finite measures replace $\mu$ and $d x$. This is the content of the Radon-Nikodym Theorem, which we shall prove in this section, and then a version of the Lebesgue decomposition will follow as a consequence.

Let $X$ be a nonempty set, and let $\mathcal{A}$ be a $\sigma$-algebra of subsets of $X$. If $\mu$ and $v$ are measures defined on $\mathcal{A}$, we say that $v$ is absolutely continuous with respect to $\mu$, written $v \ll \mu$, if $v(E)=0$ whenever $\mu(E)=0$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Jordan and Hahn Decompositions

本节的主题是将可加和完全可加实值集函数分解为正部和负部。这些材料将在第4节中应用，以获得Radon-Nikodym定理，这是勒贝格的积分微分理论的一些结果的抽象推广。反过来，我们将在第5节中使用Radon-Nikodym定理来解决$L^p$空间上的连续线性泛函的问题。
一个集合代数上的实值加性集合函数$v$如果对于该代数中的所有$E$都是$|v(E)| \leq C$，则称为有界的。一个集的$\sigma$ -代数上的实值完全加性集函数被称为有符号测度。

定理9.14(约旦分解)。设$v$是集合代数$\mathcal{A}$上的有界加性集合函数，并在$\mathcal{A}$上定义集合函数$v^{+}$和$v^{-}$
$$
v^{+}(E)=\sup {\substack{F \subseteq E \ F \in \mathcal{A}}} v(F) \text { and } \quad v^{-}(E)=-\inf {\substack{F \subseteq E, F \in \mathcal{A}}} v(F)
$$

则$v^{+}$和$v^{-}$是$\mathcal{A}$上的非负有界加性集函数，使得$v=v^{+}-v^{-}$。它们是完全可加的，如果$v$是完全可加的。在任何情况下，分解$v=v^{+}-v^{-}$都是最小的，因为等式$\nu=\mu^{+}-\mu^{-}$中$\mu^{+}$和$\mu^{-}$是非负有界的可加性集函数必须具有$v^{+} \leq \mu^{+}$和$v^{-} \leq \mu^{-}$。

证明。首先我们看看$v^{+}$总是相加的。实际上，假设$E_1$和$E_2$是$\mathcal{A}$的不相交的成员。如果是$F \subseteq E_1 \cup E_2$，那么$v$的可加性意味着$v(F)=v\left(F \cap E_1\right)+v\left(F \cap E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right)$。因此
$$
v^{+}\left(E_1 \cup E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right) .
$$
另一方面，如果$F_1 \subseteq E_1$和$F_2 \subseteq E_2$，那么$v\left(F_1\right)+v\left(F_2\right)=v\left(F_1 \cup F_2\right) \leq$$\nu^{+}\left(E_1 \cup E_2\right)$。取$F_1$和$F_2$的上方根
$$
v^{+}\left(E_1\right)+v^{+}\left(E_2\right) \leq v^{+}\left(E_1 \cup E_2\right) .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Radon–Nikodym Theorem

线上的任何Stieltjes测度$\mu$都分解为$\mu(E)=\int_E f d x+\mu_s$，其中$\mu_s$集中在勒贝格测度0的Borel集合上。在那一章中，我们得到了函数$f$，它几乎处处是$\mu$分布函数的导数，因此，当区间$I$收缩到一个点时，$\mu(I) / m(I)$的极限是;这里$m$是勒贝格测量。在这个结果的公式中，线的几何形状起着至关重要的作用，试图从$\mu(I) / m(I)$的极限推广到抽象设置$f$的构造并没有取得成果。然而，Lebesgue分解本身证明是一个一般的测度论定理，只要满足合适的有限条件，它对任意两个测度代替$\mu$和$d x$都有效。对于第七章的结果的重新解释，问题的核心是，我们可以提前知道哪些$\mu$有$\mu(E)=\int_E f d x$，而没有$\mu_s$这个单数项。命题7.11的等价条件给出了答案，该命题在该章中作为$\mu$相对于$d x$的“绝对连续性”的定义。值得注意的事实是，当任意两个有限测度替换$\mu$和$d x$时，这些条件仍然是等效的。这就是Radon-Nikodym定理的内容，我们将在本节中证明它，然后将推导出勒贝格分解的一个版本。设$X$为非空集，设$\mathcal{A}$为$X$子集的一个$\sigma$ -代数。如果$\mu$和$v$是在$\mathcal{A}$上定义的度量，我们说$v$相对于$\mu$是绝对连续的，写成$v \ll \mu$，如果$v(E)=0$无论何时都是$\mu(E)=0$。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MA507

Posted on 2023年8月2日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Transform on L2, Plancherel Formula

We mentioned in Section 1 that the Fourier transform is of great importance in analyzing operators that commute with translations. The initial analysis of such operators is done on $L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$, and this section describes some of how that analysis comes about. The first result is the theorem for $\mathbb{R}^N$ that is the analog of Parseval’s Theorem for the circle.

Theorem 8.6 (Plancherel formula). If $f$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$, then $|\widehat{f}|_2=$ $|f|_2$.
REMARKS. There is a formal computation that is almost a proof, namely
$$
\begin{aligned}
\int|f(x)|^2 d x & =\int f^(-x) f(x) d x=\left(f^ * f\right)(0) \
& =\int \widehat{f^* * f}(y) d y=\int \widehat{f^*}(y) \widehat{f}(y) d y=\int|\widehat{f}(y)|^2 d y,
\end{aligned}
$$

the middle equality using the Fourier inversion formula (Theorem 8.4). What is needed in order to make this computation into a proof is a verification that the Fourier inversion formula actually applies. We know that $f^* * f$ is in $L^1$ since $f^$ and $f$ are in $L^1$, and we know from Proposition 6.18 that $f^ * f$ is continuous, being in $L^2 * L^2$. But it is not immediately obvious that the Fourier transform to which the inversion formula is to be applied, namely $\widehat{f^* * f}=|\widehat{f}|^2$, is in $L^1$. We handle this question by proving a lemma that is a little more general than necessary.

Lemma 8.7. Suppose $f$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$, is bounded on $\mathbb{R}^N$, and is continuous at 0 . If $\widehat{f}(y) \geq 0$ for all $y$, then $\widehat{f}$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$.

Proof. Put $\varphi(x)=e^{-\pi|x|^2}$ and $\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-N} \varphi\left(\varepsilon^{-1} x\right)$. Then the function $\varphi_{\varepsilon} * f$ is continuous by Proposition 6.18 since $\varphi_{\varepsilon}$ is in $L^{\infty}$ and $f$ is in $L^1$, and
$$
\lim {\varepsilon \downarrow 0}\left(\varphi{\varepsilon} * f\right)(0)=f(0)
$$
by Theorem 6.20c. The function $\widehat{\varphi_{\varepsilon}}$ is in $L^1$, and $\widehat{f}$ is bounded. Hence $\widehat{\varphi_{\varepsilon} * f}=$ $\widehat{\varphi_{\varepsilon}} \widehat{f}$ is in $L^1$. By the Fourier inversion formula (Theorem 8.4),
$$
\left(\varphi_{\varepsilon} * f\right)(0)=\int_{\mathbb{R}^N} \widehat{f}(y) e^{-\pi \varepsilon^2|y|^2} d y
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Schwartz Space

This section introduces the space $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ of Schwartz functions on $\mathbb{R}^N$. This space is a vector subspace of $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$, so that the Fourier transform is given on it by the usual concrete formula; $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ will turn out to be another space besides $L^2$ that is carried onto itself by the Fourier transform. Working with $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ provides a convenient way for using the Fourier transform and derivatives together, as becomes clearer when one studies partial differential equations.

If $Q$ is a complex-valued polynomial on $\mathbb{R}^N$, define $Q(D)$ to be the partial differential operator with constant coefficients obtained by substituting, for each $j$ with $1 \leq j \leq N$, the operator $D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}$ for $x_j$. A Schwartz function on $\mathbb{R}^N$ is a smooth function such that $P(x) Q(D) f$ is bounded for each pair of polynomials $P$ and $Q$. An example is the function $e^{-\pi|x|^2}$, since its iterated partial derivatives are all of the form $R(x) e^{-\pi|x|^2}$ for some polynomial $R$. The Schwartz space $\mathcal{S}=\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ is the set of all Schwartz functions.

The Schwartz space $\mathcal{S}$ is evidently a vector space, and it is closed under partial differentiation and under multiplication by polynomials. Closure under partial differentiation is in effect built into the definition. To see closure under multiplication by polynomials, it is enough to check closure under multiplication by each monomial $x_j$. This closure follows readily from the formula $Q(D)\left(x_j f\right)=Q^{#}(D) f+x_j Q(D) f$, where $Q^{#}$ is 0 or is a polynomial having degree strictly lower than $Q$ has.

If $f$ is a Schwartz function, then $P(x) Q(D) f$ is actually integrable, as well as bounded, for each pair of polynomials $P$ and $Q$. In fact, $\left(1+|x|^2\right)^N P(x) Q(D) f$ is bounded, and therefore $P(x) Q(D) f$ is $\leq$ a multiple of the integrable function $\left(1+|x|^2\right)^{-N}$. In particular, $\mathcal{S}$ is contained in $L^1, L^2$, and $L^{\infty}$.

Finally the Fourier transform $\mathcal{F}$ carries $\mathcal{S}$ into itself. In fact, parts (f) and (g) of Proposition 8.1 give
$$
P(x) Q(D) \widehat{f}=P(x) \mathcal{F}(Q(-2 \pi i x) f)=\mathcal{F}\left(P\left((2 \pi i)^{-1} D\right) Q(-2 \pi i x) f\right),
$$
and the right side is the Fourier transform of an $L^1$ function and therefore is bounded.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Transform on L2, Plancherel Formula

我们在第1节中提到，傅里叶变换在分析与平移交换的算子时非常重要。对这些操作符的初步分析是在$L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$上完成的，本节将介绍如何进行分析。第一个结果是$\mathbb{R}^N$的定理，它类似于圆的Parseval定理。

定理8.6 (Plancherel公式)。如果$f$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$中，则是$|\widehat{f}|_2=$$|f|_2$。
备注。有一个形式化的计算，几乎是一个证明，即
$$
\begin{aligned}
\int|f(x)|^2 d x & =\int f^(-x) f(x) d x=\left(f^ * f\right)(0) \
& =\int \widehat{f^* * f}(y) d y=\int \widehat{f^*}(y) \widehat{f}(y) d y=\int|\widehat{f}(y)|^2 d y,
\end{aligned}
$$

利用傅里叶反求公式(定理8.4)求中间等式。为了使这个计算变成证明需要的是验证傅里叶反变换公式的实际应用。我们知道$f^* * f$在$L^1$中，因为$f^$和$f$在$L^1$中，并且我们从命题6.18中知道$f^ * f$是连续的，在$L^2 * L^2$中。但要应用反转公式的傅里叶变换，也就是$\widehat{f^* * f}=|\widehat{f}|^2$，并不明显，它在$L^1$。我们通过证明一个引理来解决这个问题，这个引理比必要的引理更一般一些。

引理8.7。假设$f$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$中，在$\mathbb{R}^N$上有界，在0处连续。如果$\widehat{f}(y) \geq 0$代表所有$y$，那么$\widehat{f}$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$中。

证明。输入$\varphi(x)=e^{-\pi|x|^2}$和$\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-N} \varphi\left(\varepsilon^{-1} x\right)$。则根据命题6.18，函数$\varphi_{\varepsilon} * f$是连续的，因为$\varphi_{\varepsilon}$在$L^{\infty}$中，$f$在$L^1$中，且
$$
\lim {\varepsilon \downarrow 0}\left(\varphi{\varepsilon} * f\right)(0)=f(0)
$$
根据定理6.20c。函数$\widehat{\varphi_{\varepsilon}}$在$L^1$中，$\widehat{f}$是有界的。因此$\widehat{\varphi_{\varepsilon} * f}=$$\widehat{\varphi_{\varepsilon}} \widehat{f}$在$L^1$中。通过傅里叶反变换公式(定理8.4)
$$
\left(\varphi_{\varepsilon} * f\right)(0)=\int_{\mathbb{R}^N} \widehat{f}(y) e^{-\pi \varepsilon^2|y|^2} d y
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Schwartz Space

介绍$\mathbb{R}^N$上Schwartz函数的空间$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$。这个空间是$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$的一个子空间，所以它的傅里叶变换是由通常的具体公式给出的;$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$会变成$L^2$之外的另一个空间通过傅里叶变换进行自身运算。使用$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$为将傅里叶变换和导数结合使用提供了一种方便的方法，当研究偏微分方程时，这一点变得更加清晰。

如果$Q$是$\mathbb{R}^N$上的复值多项式，则定义$Q(D)$为常系数的偏微分算子，通过将每个$j$用$1 \leq j \leq N$替换为$x_j$的算子$D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}$而得到。$\mathbb{R}^N$上的Schwartz函数是一个平滑函数，使得$P(x) Q(D) f$对于每对多项式$P$和$Q$都是有界的。一个例子是函数$e^{-\pi|x|^2}$，因为它的迭代偏导数对于某个多项式$R$都是$R(x) e^{-\pi|x|^2}$的形式。Schwartz空间$\mathcal{S}=\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$是所有Schwartz函数的集合。

Schwartz空间$\mathcal{S}$显然是一个向量空间，它在偏微分和多项式乘法下是封闭的。偏微分下的闭包实际上是内置于定义中的。要查看多项式乘法下的闭包，只需检查每个单项乘法下的闭包$x_j$即可。这个闭包很容易从公式$Q(D)\left(x_j f\right)=Q^{#}(D) f+x_j Q(D) f$推导出来，其中$Q^{#}$为0，或者是一个次数严格低于$Q$的多项式。

如果$f$是Schwartz函数，那么对于每一对多项式$P$和$Q$, $P(x) Q(D) f$实际上是可积的，并且是有界的。事实上，$\left(1+|x|^2\right)^N P(x) Q(D) f$是有界的，因此$P(x) Q(D) f$是$\leq$是可积函数$\left(1+|x|^2\right)^{-N}$的倍数。其中，$L^1, L^2$和$L^{\infty}$中包含$\mathcal{S}$。

最后，傅里叶变换$\mathcal{F}$将$\mathcal{S}$带入自身。事实上，提案8.1的(f)和(g)部分给出
$$
P(x) Q(D) \widehat{f}=P(x) \mathcal{F}(Q(-2 \pi i x) f)=\mathcal{F}\left(P\left((2 \pi i)^{-1} D\right) Q(-2 \pi i x) f\right),
$$
右边是$L^1$函数的傅里叶变换因此是有界的。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH331

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Series and the Riesz–Fischer Theorem

As mentioned at the beginning of Chapter $\mathrm{V}$, the use of the Riemann integral imposes some limitations on the subject of Fourier series that no longer apply when one uses the Lebesgue integral. In this section we shall redo the elementary theory of Fourier series of Section I.10 with the Lebesgue integral in place, with particular attention to the improved theorems that we obtain. It will be assumed that the reader knows the theory of that section.

The underlying measure space with be $[-\pi, \pi]$ with the $\sigma$-algebra of Borel sets and with the measure $\frac{1}{2 \pi} d x$, where $d x$ is 1 -dimensional Lebesgue measure. The complex-valued functions under consideration will be periodic of period $2 \pi$, thus assuming the same value at $\pi$ as at $-\pi$. The spaces $L^1, L^2$, and $L^{\infty}$ will refer to this measure space when no other parameters are given. Since the measure of the whole space is finite, these spaces satisfy the inclusions $L^{\infty} \subseteq L^2 \subseteq L^1$. The functions in $L^{\infty}$ being essentially bounded, they are certainly integrable and square integrable. The inclusion $L^2 \subseteq L^1$ follows from the Schwarz inequality: $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi|f| 1 d x \leq\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi|f|^2 d x\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi 1 d x\right)^{1 / 2}$.

There is another way of viewing this measure space that will be especially helpful in relating convolution to the theory. Namely, a periodic function on the line of period $2 \pi$ may be viewed as a function on the unit circle of $\mathbb{C}$ with the angle as parameter. In fact, convolution is a construction that combines group theory with measure theory when the measure is invariant under the group, and that is why convolution appears more natural on the circle than on $[-\pi, \pi]$. The limits of integration do not have to be written differently from the way they are written on the line, but we must remember that functions are to be extended periodically when we interpret integrands. The factor $\frac{1}{2 \pi}$ in front of the measure means that all convolutions of functions are to contain this factor. Thus the definition of convolution for nonnegative $f$ and $g$ is
$$
(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-y) g(y) d y .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Stieltjes Measures on the Line

A Stieltjes measure ${ }^2$ is a Borel measure on $\mathbb{R}^1$. Lebesgue measure $d x$ is an example, as is any measure $f(x) d x$ in which $f$ is nonnegative and Borel measurable and is integrable on every bounded interval. A completely different kind of Stieltjes measure is one that attaches nonnegative weights to countably many points in such a way that the sum of the weights in any bounded interval is finite. In this section we shall see that the Stieltjes measures stand in one-one correspondence with a class of monotone functions on the line that we describe shortly. We shall also obtain an integration-by-parts formula in which a Stieltjes measure plays the role of the derivative of its corresponding monotone function.
If a Stieltjes measure $\mu$ is given, we associate to $\mu$ the function $F: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}^1$ defined by
$$
F(x)= \begin{cases}-\mu(x, 0] & \text { if } x \leq 0, \ \mu(0, x] & \text { if } x \geq 0 .\end{cases}
$$
The function $F$ is called the distribution function of $\mu$. It has the following properties: $^3$
(i) $F$ is nondecreasing, i.e., is monotone increasing,
(ii) $F$ is continuous from the right in the sense that $F\left(x_0\right)=\lim {x \downarrow x_0} F(x)$ for every $x_0$ in $\mathbb{R}^1$, i.e., $\lim _n F\left(x_n\right)=F\left(x_0\right)$ whenever $\left{x_n\right}{n \geq 1}$ is a sequence tending to $x_0$ such that $x_n>x_0$ for all $n \geq 1$,
(iii) $F(0)=0$.

Properties (i) and (iii) are immediate from the definition. With (ii), there are two cases according as the limit $x_0$ is $\leq 0$ or $>0$, and both cases are settled by the complete additivity of $\mu$.

The measure $\mu$ is completely determined by its distribution function $F$. In fact, the definition of $F$ forces $\mu((a, b])=F(b)-F(a)$, and Proposition 6.6 implies that $\mu$ is determined as a Borel measure by this formula.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Series and the Riesz–Fischer Theorem

正如$\mathrm{V}$章开头所提到的，黎曼积分的使用对傅里叶级数的主题施加了一些限制，当人们使用勒贝格积分时，这些限制不再适用。在本节中，我们将用勒贝格积分重新介绍第I.10节中傅立叶级数的基本理论，并特别注意我们得到的改进定理。我们假定读者知道这一部分的理论。

底层的测度空间是$[-\pi, \pi]$和Borel集合的$\sigma$ -代数以及测度$\frac{1}{2 \pi} d x$，其中$d x$是1维勒贝格测度。所考虑的复值函数将是周期为$2 \pi$的周期性函数，因此假设$\pi$处的值与$-\pi$处的值相同。当没有给出其他参数时，空格$L^1, L^2$和$L^{\infty}$将指代这个度量空间。由于整个空间的测度是有限的，这些空间满足包含物$L^{\infty} \subseteq L^2 \subseteq L^1$。$L^{\infty}$中的函数本质上是有界的，它们当然是可积和平方可积的。包含$L^2 \subseteq L^1$来自于Schwarz不等式:$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi|f| 1 d x \leq\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi|f|^2 d x\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi 1 d x\right)^{1 / 2}$。

还有另一种看待这个度量空间的方式，它将特别有助于将卷积与理论联系起来。也就是说，在周期为$2 \pi$的直线上的周期函数可以看作是在以角度为参数的$\mathbb{C}$的单位圆上的函数。实际上，当测度在群下不变时，卷积是群论与测度论相结合的构造，这就是为什么卷积在圆上比在$[-\pi, \pi]$上显得更自然。积分的极限不一定要写得和在线上写的不一样，但是我们必须记住，当我们解释被积函数时，函数是要定期扩展的。在度量前面的因子$\frac{1}{2 \pi}$意味着所有函数的卷积都包含这个因子。因此，对于非负的$f$和$g$，卷积的定义为
$$
(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-y) g(y) d y .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Stieltjes Measures on the Line

Stieltjes测度${ }^2$是$\mathbb{R}^1$上的Borel测度。勒贝格测度$d x$就是一个例子，任何测度$f(x) d x$也是一个例子，其中$f$是非负的、Borel可测的并且在每一个有界区间上是可积的。另一种完全不同的Stieltjes测度是一种赋予可数点非负权的测度，使得任何有界区间内的权和都是有限的。在本节中，我们将看到Stieltjes测度与我们简要描述的直线上的一类单调函数是一一对应的。我们还将得到一个分部积分公式，其中Stieltjes测度扮演其对应单调函数的导数的角色。
如果给出了Stieltjes测度$\mu$，我们将由定义的函数$F: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}^1$与$\mu$联系起来
$$
F(x)= \begin{cases}-\mu(x, 0] & \text { if } x \leq 0, \ \mu(0, x] & \text { if } x \geq 0 .\end{cases}
$$
函数$F$称为$\mu$的分布函数。它具有以下属性:$^3$
(i) $F$是非递减的，即单调递增的;
(ii) $F$自右连续，即$F\left(x_0\right)=\lim {x \downarrow x_0} F(x)$对于$\mathbb{R}^1$中的每一个$x_0$，即$\lim _n F\left(x_n\right)=F\left(x_0\right)$，当$\left{x_n\right}{n \geq 1}$是一个趋向于$x_0$的序列时，使得$x_n>x_0$对于所有$n \geq 1$，
(iii) $F(0)=0$。

属性(i)和(iii)直接来自定义。对于(ii)，根据极限$x_0$为$\leq 0$或$>0$，存在两种情况，并且两种情况均由$\mu$的完全可加性解决。

测度$\mu$完全由其分布函数$F$决定。事实上，$F$的定义力$\mu((a, b])=F(b)-F(a)$，命题6.6暗示$\mu$是由这个公式决定的一个Borel测度。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Math444

Posted on 2023年7月18日2023年8月24日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis是数学的一个分支，用于定义对数字和函数的研究，以及分析极限和连续性等关键概念。微积分及其应用就是基于这些思想。在广泛的应用中，实物分析已成为一个重要的工具。现在，让我们简要地看一下实际分析中涉及的一些重要概念。

实分析Real Analysis是数学中的一个领域，主要研究实数、序列和函数的性质。这个数学分支包括极限和收敛的概念，微积分和函数的性质，如连续性。它还包括测量理论。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure and Other Borel Measures

Lebesgue measure on $\mathbb{R}^1$ was constructed in Section V.1 on the ring of “elementary” sets – the finite disjoint unions of bounded intervals – and extended from there to the $\sigma$-algebra of Borel sets by the Extension Theorem (Theorem 5.5), which was proved in Section V.5. Fubini’s Theorem (Theorem 5.47) would have allowed us to build Lebesgue measure in $\mathbb{R}^N$ as an iterated product of 1-dimensional Lebesgue measure, but we postponed the construction in $\mathbb{R}^N$ until the present chapter in order to show that it can be carried out in a fashion independent of how we group 1-dimensional factors.

The Borel sets of $\mathbb{R}^1$ are, by definition, the sets in the smallest $\sigma$-algebra containing the elementary sets, and we saw readily that every set that is open or compact is a Borel set. We write $\mathcal{B}_1$ for this $\sigma$-algebra. In fact, $\mathcal{B}_1$ may be described as the smallest $\sigma$-algebra containing the open sets of $\mathbb{R}^1$ or as the smallest $\sigma$-algebra containing the compact sets. The reason that the open sets generate $\mathcal{B}_1$ is that every open interval is an open set, and every interval is a countable intersection of open intervals. Similarly the compact sets generate $\mathcal{B}_1$ because every closed bounded interval is a compact set, and every interval is the countable union of closed bounded intervals.

Now let us turn our attention to $\mathbb{R}^N$. We have already used the word “rectangle” in two different senses in connection with integration – in Chapter III to mean an $\mathrm{N}$-fold product along coordinate directions of open or closed bounded intervals, and in Chapter V to mean a product of measurable sets. For clarity let us refer to any product of bounded intervals as a geometric rectangle and to any product of measurable sets as an abstract rectangle or an abstract rectangle in the sense of Fubini’s Theorem. In $\mathbb{R}^N$, every geometric rectangle under our definition is an abstract rectangle, but not conversely.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Convolution

Convolution is an important operation available for functions on $\mathbb{R}^N$. On a formal level, the convolution $f * g$ of two functions $f$ and $g$ is
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^N} f(x-y) g(y) d y .
$$

One place convolution arises is as a limit of a linear combination of translates: We shall see in Proposition 6.13 that the convolution at $x$ may be written also as $\int_{\mathbb{R}^N} f(y) g(x-y) d y$. If $f$ is fixed and if finite sets of translation operators $\tau_{y_i}$ and of weights $f\left(y_i\right)$ are given, then the value at $x$ of the linear combination $\sum_i f\left(y_i\right) \tau_{y_i}$ applied to $g$ and evaluated at $x$ is $\sum_i f\left(y_i\right) g\left(x-y_i\right)$. Corollary 6.17 will show a sense in which we can think of $\int_{\mathbb{R}^N} f(y) g(x-y) d y$ as a limit of such expressions.

To make mathematical sense out of $f * g$, let us begin with the case that $f$ and $g$ are nonnegative Borel functions on $\mathbb{R}^N$. The assertion is that $f * g$ is meaningful as a Borel function $\geq 0$. In fact, $(x, y) \mapsto f(x-y)$ is the composition of the continuous function $F: \mathbb{R}^{2 N} \rightarrow \mathbb{R}^N$ given by $F(x, y)=x-y$, followed by the Borel function $f: \mathbb{R}^N \rightarrow[0,+\infty]$. If $U$ is open in $[0,+\infty]$, then $f^{-1}(U)$ is in $\mathcal{B}N$, and Proposition 6.8 shows that $(f \circ F)^{-1}(U)=F^{-1}\left(f^{-1}(U)\right)$ is in $\mathcal{B}{2 N}$. Then the product $(x, y) \mapsto f(x-y) g(y)$ is a Borel function, and Fubini’s Theorem (Theorem 5.47) and Proposition 6.1 combine to show that $x \mapsto(f * g)(x)$ is a Borel function $\geq 0$.
Proposition 6.13. For nonnegative Borel functions on $\mathbb{R}^N$,
(a) $f * g=g * f$,
(b) $f *(g * h)=(f * g) * h$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure and Other Borel Measures

在第V.1节中，在“初等”集环上——有界区间的有限不相交并——构造了$\mathbb{R}^1$上的Lebesgue测度，并由第V.5节证明的可拓定理(定理5.5)将其推广到Borel集的$\sigma$ -代数。富比尼定理(定理5.47)将允许我们在$\mathbb{R}^N$中构建勒贝格测度作为一维勒贝格测度的迭代产物，但我们将$\mathbb{R}^N$中的构建推迟到本章，以表明它可以以一种独立于我们如何对一维因素进行组合的方式进行。

$\mathbb{R}^1$的Borel集合，根据定义，是包含初等集合的最小的$\sigma$ -代数中的集合，我们很容易看到每个开或紧的集合都是Borel集合。我们把$\sigma$ -代数写成$\mathcal{B}_1$。事实上，$\mathcal{B}_1$可以被描述为包含$\mathbb{R}^1$的开集的最小的$\sigma$ -代数或包含紧集的最小的$\sigma$ -代数。开集生成$\mathcal{B}_1$的原因是每个开区间都是一个开集，每个区间都是开区间的可数交集。类似地，紧集生成$\mathcal{B}_1$，因为每个闭有界区间都是紧集，并且每个区间都是闭有界区间的可数并。

现在让我们把注意力转向$\mathbb{R}^N$。关于积分，我们已经在两种不同的意义上使用了“矩形”一词——在第三章中，它指的是沿开或闭有界区间的坐标方向的$\mathrm{N}$ -折叠积，在第五章中，它指的是可测集合的积。为清楚起见，我们将有界区间的乘积称为几何矩形，将可测集合的乘积称为抽象矩形或富比尼定理意义上的抽象矩形。在$\mathbb{R}^N$中，根据我们的定义，每个几何矩形都是抽象矩形，但反过来却不是。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Convolution

卷积是$\mathbb{R}^N$上函数可用的重要操作。在形式层面上，两个函数$f$和$g$的卷积$f * g$是
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^N} f(x-y) g(y) d y .
$$

出现卷积的一个地方是作为平移的线性组合的极限:我们将在命题6.13中看到，$x$处的卷积也可以写成$\int_{\mathbb{R}^N} f(y) g(x-y) d y$。如果$f$是固定的，并且给定了有限的平移运算符$\tau_{y_i}$和权值$f\left(y_i\right)$，那么应用于$g$并在$x$评估的线性组合$\sum_i f\left(y_i\right) \tau_{y_i}$在$x$处的值为$\sum_i f\left(y_i\right) g\left(x-y_i\right)$。推论6.17将显示一种意义，在这种意义上我们可以把$\int_{\mathbb{R}^N} f(y) g(x-y) d y$看作这类表达式的极限。

为了从数学上理解$f * g$，让我们从$f$和$g$是$\mathbb{R}^N$上的非负Borel函数的情况开始。断言$f * g$作为Borel函数$\geq 0$是有意义的。实际上，$(x, y) \mapsto f(x-y)$是由$F(x, y)=x-y$给出的连续函数$F: \mathbb{R}^{2 N} \rightarrow \mathbb{R}^N$和Borel函数$f: \mathbb{R}^N \rightarrow[0,+\infty]$组成的。如果在$[0,+\infty]$中打开$U$，则$f^{-1}(U)$在$\mathcal{B}N$中，命题6.8显示$(f \circ F)^{-1}(U)=F^{-1}\left(f^{-1}(U)\right)$在$\mathcal{B}{2 N}$中。则积$(x, y) \mapsto f(x-y) g(y)$为Borel函数，结合富比尼定理(定理5.47)和命题6.1可知$x \mapsto(f * g)(x)$为Borel函数$\geq 0$。
提案6.13对于$\mathbb{R}^N$上的非负Borel函数，
(a) $f * g=g * f$;
(b) $f *(g * h)=(f * g) * h$。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MA50400

Posted on 2023年7月18日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measurable Functions

In this section, $X$ denotes a nonempty set, and $\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra of subsets of $X$. The measurable sets are the members of $\mathcal{A}$.
We say that a function $f: X \rightarrow \mathbb{R}^*$ is measurable if
(i) $f^{-1}([-\infty, c))$ is a measurable set for every real number $c$.
Equivalently the measurability of $f$ may be defined by any of the following conditions:
(ii) $f^{-1}([-\infty, c])$ is a measurable set for every real number $c$,
(iii) $f^{-1}((c,+\infty])$ is a measurable set for every real number $c$,
(iv) $f^{-1}([c,+\infty])$ is a measurable set for every real number $c$.
In fact, the implications (i) implies (ii), (ii) implies (iii), (iii) implies (iv), and (iv) implies (i) follow from the identities ${ }^4$
$$
\begin{aligned}
f^{-1}([-\infty, c]) & =\bigcap_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left(\left[-\infty, c+\frac{1}{n}\right)\right), \
f^{-1}((c,+\infty]) & =\left(f^{-1}([-\infty,-c])\right)^c, \
f^{-1}([c,+\infty]) & =\bigcap_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left(\left(c-\frac{1}{n},+\infty\right]\right), \
f^{-1}([-\infty, c)) & =\left(f^{-1}([-c,+\infty])\right)^c .
\end{aligned}
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Integral

Throughout this section, $(X, \mathcal{A}, \mu)$ denotes a measure space. The measurable sets continue to be those in $\mathcal{A}$. Our objective in this section is to define the Lebesgue integral. We defer any systematic discussion of properties of the integral to Section 4 .

Just as with the Riemann integral, the Lebesgue integral is defined by means of an approximation process. In the case of the Riemann integral, the process is to use upper sums and lower sums, which capture an approximate value of an integral by adding contributions influenced by proximity in the domain of the integrand. The process is qualitatively different for the Lebesgue integral, which captures an approximate value of an integral by adding contributions based on what happens in the image of the integrand.

Let $s$ be a simple function $\geq 0$. By our convention at the end of the previous section, we have incorporated measurability into the definition of simple function. Let $E$ be a measurable set, and let $s=\sum_{n=1}^N c_n I_{A_n}$ be the canonical expansion of $s$. We define $\mathcal{I}E(s)=\sum{n=1}^N c_n \mu\left(A_n \cap E\right)$. This kind of object will be what we use as an aproximation in the definition of the Lebesgue integral; the formula shows the sense in which $\mathcal{I}_E(s)$ is built from the image of the integrand.

If $f \geq 0$ is a measurable function and $E$ is a measurable set, we define the Lebesgue integral of $f$ on the set $E$ with respect to the measure $\mu$ to be
$$
\int_E f d \mu=\int_E f(x) d \mu(x)=\sup _{\substack{0 \leq s \leq f, s \text { simple }}} \mathcal{I}_E(s) .
$$

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Measurable Functions

在本节中，$X$表示非空集，$\mathcal{A}$是$X$的子集的$\sigma$ -代数。可测集合是$\mathcal{A}$的成员。
我们说一个函数$f: X \rightarrow \mathbb{R}^*$是可测量的，如果
(i) $f^{-1}([-\infty, c))$是每个实数$c$的可测集。
同样，$f$的可测量性可以用下列任何条件来定义:
(ii) $f^{-1}([-\infty, c])$是每个实数$c$的可测集;
(iii) $f^{-1}((c,+\infty])$是每个实数$c$的可测集;
(iv) $f^{-1}([c,+\infty])$是每个实数$c$的可测集。
事实上，(i)暗示(ii)， (ii)暗示(iii)， (iii)暗示(iv)， (iv)暗示(i)遵循同一性 ${ }^4$
$$
\begin{aligned}
f^{-1}([-\infty, c]) & =\bigcap_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left(\left[-\infty, c+\frac{1}{n}\right)\right), \
f^{-1}((c,+\infty]) & =\left(f^{-1}([-\infty,-c])\right)^c, \
f^{-1}([c,+\infty]) & =\bigcap_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left(\left(c-\frac{1}{n},+\infty\right]\right), \
f^{-1}([-\infty, c)) & =\left(f^{-1}([-c,+\infty])\right)^c .
\end{aligned}
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Integral

在本节中，$(X, \mathcal{A}, \mu)$表示度量空间。可测量的集合仍然是$\mathcal{A}$中的那些。本节的目标是定义勒贝格积分。我们把对积分性质的系统讨论推迟到第4节。

就像黎曼积分一样，勒贝格积分是通过近似过程来定义的。在黎曼积分的情况下，该过程是使用上和和下和，通过添加受被积域内接近度影响的贡献来获取积分的近似值。勒贝格积分的过程在性质上是不同的，勒贝格积分是根据被积函数的图像中发生的情况，通过添加贡献来获取一个积分的近似值。

假设$s$是一个简单的函数$\geq 0$。根据我们在上一节末尾的约定，我们已经将可度量性合并到简单函数的定义中。设$E$为可测集，设$s=\sum_{n=1}^N c_n I_{A_n}$为$s$的正则展开式。我们定义$\mathcal{I}E(s)=\sum{n=1}^N c_n \mu\left(A_n \cap E\right)$。这种对象就是我们在勒贝格积分的定义中所使用的近似;这个公式说明了$\mathcal{I}_E(s)$是由被积函数的图像构建的。

如果$f \geq 0$是一个可测函数，$E$是一个可测集合，我们定义$f$在集合$E$上对测度$\mu$的勒贝格积分为
$$
\int_E f d \mu=\int_E f(x) d \mu(x)=\sup _{\substack{0 \leq s \leq f, s \text { simple }}} \mathcal{I}_E(s) .
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH450

Posted on 2023年7月18日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Qualitative Features and Examples

To introduce the subject of ordinary differential equations, this section gives examples of some qualitative features and complicated phenomena that can occur in such equations.

If $F$ is a complex-valued function of $n+2$ variables, a function $y(t)$ is said to be a solution of the ordinary differential equation
$$
F\left(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(m)}\right)=0
$$
of $m^{\text {th }}$ order on the open interval $(a, b)$ if
$$
F\left(t, y(t), y^{\prime}(t), \ldots, y^{(m)}(t)\right)=0
$$
identically for $a<t<b$. The equation is “ordinary” in the sense that there is only one independent variable. The equation is said to be linear if it is of the form
$$
a_m(t) y^{(m)}+a_{m-1}(t) y^{(m-1)}+\cdots+a_1(t) y^{\prime}+a_0(t) y=q(t),
$$
and it is homogeneous linear if in addition, $q$ is the 0 function. A linear ordinary differential equation has constant coefficients if $a_m(t), \ldots, a_0(t)$ are all constant functions.

Let us come to examples, which will point toward the enormous variety of phenomena that can occur. We stick to the first-order case, and all the examples will have $F$ real-valued. Let us look only for real-valued solutions. Pictures indicating the qualitative behavior of the solutions of each of the examples are in Figure 4.1.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Existence and Uniqueness

In this section we state and prove the main existence and uniqueness theorems for solutions of ordinary differential equations. First let us establish an appropriate setting more general than the one in Section 1.

The examples in Section 1 were all of the first order. They could all have been written in the form $y=F(t, y)$ with $F$ real-valued, and we considered real-valued solutions $y(t)$. From equations as simple as $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$, whose real-valued solutions are
$$
y(t)=a_1 e^{-t / 2} \cos (t \sqrt{3} / 2)+a_2 e^{-t / 2} \sin (t \sqrt{3} / 2),
$$
we know that it can be easier to work, at least initially, with complex-valued solutions. In this particular case, it is easier as a first step to find all complexvalued solutions, namely
$$
y(t)=c_1 \exp \left(\frac{1}{2}(-1+i \sqrt{3}) t\right)+c_2 \exp \left(\frac{1}{2}(-1-i \sqrt{3}) t\right),
$$

and then to extract the real-valued solutions from them. The solution method, which will be discussed in more detail in Section 6 below, involves finding all complex solutions of a certain polynomial equation with real coefficients, and the method is more natural if the coefficients of the polynomial equation are allowed to be complex.

Thus right away, it is natural to consider first-order equations $y^{\prime}=F(t, y)$ with $F$ complex-valued and to look for complex-valued solutions. The theory in Chapter III avoided working with functions of several variables in which some of the variables are complex, and we can update the theory of Chapter III here. The technique, which is to consider the complex variable $y$ as two real variables $\operatorname{Re} y$ and $\operatorname{Im} y$, is again applicable. Thus we have only to think of $F(t, y)$ as a function of three real variables, even if we do not separate $y$ into its two components in writing $F(t, y)$, and the theory of Chapter III applies directly. In adopting the point of view that $y$ is actually two real variables, we need to apply the same consideration to $y^{\prime}$, and we are led to view $y^{\prime}=F(t, y)$ as a system of two simultaneous equations, namely $\operatorname{Re} y^{\prime}=\operatorname{Re} F(t, y)$ and $\operatorname{Im} y^{\prime}=\operatorname{Im} F(t, y)$. This viewpoint merely makes our functions conform to the prescriptions of Chapter III. It is not necessary to work with the expanded notation; all we have to remember is that in this part of the theory we never differentiate a function with respect to a complex variable.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Qualitative Features and Examples

为了介绍常微分方程的主题，本节给出了常微分方程中可能出现的一些定性特征和复杂现象的例子。

如果$F$是$n+2$变量的复值函数，则称函数$y(t)$是常微分方程的解
$$
F\left(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(m)}\right)=0
$$
在开放区间$(a, b)$ if上的$m^{\text {th }}$顺序
$$
F\left(t, y(t), y^{\prime}(t), \ldots, y^{(m)}(t)\right)=0
$$
$a<t<b$也一样。这个方程是“普通的”，因为只有一个自变量。如果方程是这样的形式，我们就说它是线性的
$$
a_m(t) y^{(m)}+a_{m-1}(t) y^{(m-1)}+\cdots+a_1(t) y^{\prime}+a_0(t) y=q(t),
$$
它是齐次线性的，如果$q$是0函数。如果$a_m(t), \ldots, a_0(t)$都是常数函数，则线性常微分方程具有常系数。

让我们来看一些例子，这些例子将指出可能发生的各种各样的现象。我们坚持一阶情况，所有的例子都是$F$实值。让我们只看实值解。图4.1显示了每个例子的解的定性行为。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Existence and Uniqueness

本节叙述并证明了常微分方程解的主要存在唯一性定理。首先，让我们建立一个比第1节更一般的适当设置。

第1节中的示例都是一级的。它们都可以写成$y=F(t, y)$的形式$F$是实值的，我们考虑的是实值解$y(t)$。从$y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$这样简单的方程，它的实值解是
$$
y(t)=a_1 e^{-t / 2} \cos (t \sqrt{3} / 2)+a_2 e^{-t / 2} \sin (t \sqrt{3} / 2),
$$
我们知道用复值解更容易，至少一开始是这样。在这种特殊情况下，第一步更容易找到所有复值解，即
$$
y(t)=c_1 \exp \left(\frac{1}{2}(-1+i \sqrt{3}) t\right)+c_2 \exp \left(\frac{1}{2}(-1-i \sqrt{3}) t\right),
$$

然后从中提取实值解。下面第6节将详细讨论的解法是求某多项式方程的实系数的所有复解，如果允许多项式方程的系数为复，则该方法更为自然。

因此，考虑一阶方程$y^{\prime}=F(t, y)$和$F$的复值和寻找复值解是很自然的。第三章的理论避免了处理多变量函数，其中一些变量是复杂的，我们可以在这里更新第三章的理论。将复杂变量$y$视为两个实变量$\operatorname{Re} y$和$\operatorname{Im} y$的技术同样适用。因此，我们只需要考虑$F(t, y)$作为三个真实变量的函数，即使我们不把$y$分成它的两个组成部分来写$F(t, y)$，第三章的理论直接适用。在采用$y$实际上是两个实变量的观点时，我们需要对$y^{\prime}$应用同样的考虑，并且我们被引导将$y^{\prime}=F(t, y)$视为两个联立方程的系统，即$\operatorname{Re} y^{\prime}=\operatorname{Re} F(t, y)$和$\operatorname{Im} y^{\prime}=\operatorname{Im} F(t, y)$。这种观点仅仅使我们的职能符合第三章的规定。没有必要使用扩展符号;我们要记住的是在这部分理论中我们从不对复变量求导。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Operator Norm

Posted on 2023年7月3日2023年7月3日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中，实分析是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。

实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Operator Norm

This section works with linear functions from $n$-dimensional column-vector space to $m$-dimensional column-vector space. It will have applications within this chapter both when the scalars are real and when the scalars are complex. To be neutral let us therefore write $\mathbb{F}$ for $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$. Material on the correspondence between linear functions and matrices may be found in Section A7 of the appendix.
Specifically let $L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$ be the vector space of all linear functions from $\mathbb{F}^n$ into $\mathbb{F}^m$. This space corresponds to the vector space of $m$-by- $n$ matrices with entries in $\mathbb{F}$, as follows: In the notation in Section $A 7$ of the appendix, we let $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ be the standard ordered basis of $\mathbb{F}^n$, and $\left(u_1, \ldots, u_m\right)$ the standard ordered basis of $\mathbb{F}^m$. We define a dot product in $\mathbb{F}^m$ by
$$
\left(a_1, \ldots, a_m\right) \cdot\left(b_1, \ldots, b_m\right)=a_1 b_1+\cdots+a_m b_m
$$
with no complex conjugations involved. The correspondence of a linear function $T$ in $L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$ to a matrix $A$ with entries in $\mathbb{F}$ is then given by $A_{i j}=T\left(e_j\right) \cdot u_i$.
Let $|\cdot|$ denote the Euclidean norm on $\mathbb{F}^n$ or $\mathbb{F}^m$, given as in Section II.1 by the square root of the sum of the absolute values squared of the entries. The Euclidean norm makes $\mathbb{F}^n$ and $\mathbb{F}^m$ into metric spaces, the distance between two points being the Euclidean norm of the difference.

Proposition 3.1. If $T$ is a member of the space $L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$ of linear functions from $\mathbb{F}^n$ to $\mathbb{F}^m$, then there exists a finite $M$ such that $|T(x)| \leq M|x|$ for all $x$ in $\mathbb{F}^n$. Consequently $T$ is uniformly continuous on $\mathbb{F}^n$.

PROOF. Each $x$ in $\mathbb{F}^n$ has $x=\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) e_j$, and linearity gives $T(x)=$ $\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) T\left(e_j\right)$. Thus
$$
|T(x)|=\left|\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) T\left(e_j\right)\right| \leq \sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|\left|x \cdot e_j\right| .
$$
The expression $x \cdot e_j$ is just the $j^{\text {th }}$ entry of $x$, and hence $\left|x \cdot e_j\right| \leq|x|$. Therefore $|T(x)| \leq\left(\sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|\right)|x|$, and the first conclusion has been proved with $M=\sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|$. Replacing $x$ by $x-y$ gives
$$
|T(x)-T(y)|=|T(x-y)| \leq M|x-y|,
$$
and uniform continuity of $T$ follows with $\delta=\epsilon / M$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Nonlinear Functions and Differentiation

We begin a discussion of more general functions between Euclidean spaces by defining the multivariable derivative for such a function and giving conditions for its existence. Let $E$ be an open set in $\mathbb{R}^n$, and let $f: E \rightarrow \mathbb{R}^m$ be a function. We can write $f(x)=\left(\begin{array}{c}f_1(x) \ \vdots \ f_m(x)\end{array}\right)$, where $f_i(x)=f(x) \cdot u_i$. Then $f(x)=\sum_{i=1}^m f_i(x) u_i$. The functions $f_i: E \rightarrow \mathbb{R}$ are called the components of $f$. The associated partial derivatives are given by
$$
\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)=\left.\frac{d}{d t} f_i\left(x+t e_j\right)\right|{t=0} $$ We say that $f$ is differentiable at $x$ in $E$ if there is some $T$ in $L\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m\right)$ with $$ \lim {h \rightarrow 0} \frac{|f(x+h)-f(x)-T(h)|}{|h|}=0 .
$$
The linear function $T$ is unique if it exists. In fact, if $T_1$ and $T_2$ both serve as $T$ in this limit relation, then we write
$$
T_2(h)-T_1(h)=\left(f(x+h)-f(x)-T_1(h)\right)-\left(f(x+h)-f(x)-T_2(h)\right)
$$
and find that
$$
\begin{aligned}
\frac{\left|T_1(h)-T_2(h)\right|}{|h|} & \leq \frac{\left|f(x+h)-f(x)-T_1(h)\right|}{|h|}+\frac{\left|f(x+h)-f(x)-T_2(h)\right|}{|h|} \
& \longrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

If $T_1 \neq T_2$, choose some $v \in \mathbb{R}^n$ with $|v|=1$ and $T_1(v) \neq T_2(v)$. As a nonzero real parameter $t$ tends to 0 , we must have
$$
\begin{aligned}
& \left|T_1(v)-T_2(v)\right| \
& \quad=|t v|^{-1}\left|\left(f(x+t v)-f(x)-T_1(t v)\right)-\left(f(x+t v)-f(x)-T_2(t v)\right)\right| \
& \longrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Operator Norm

本节使用从$n$维列向量空间到$m$维列向量空间的线性函数。它将在本章中应用于实标量和复标量的情况。为了保持中立，我们将$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$写成$\mathbb{F}$。关于线性函数和矩阵之间对应关系的材料可以在附录的A7节中找到。
特别设$L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$为所有从$\mathbb{F}^n$到$\mathbb{F}^m$的线性函数的向量空间。这个空间对应于含有$\mathbb{F}$项的$m$ -by- $n$矩阵的向量空间，如下所示:在附录$A 7$节的表示法中，我们设$\left(e_1, \ldots, e_n\right)$为$\mathbb{F}^n$的标准有序基，$\left(u_1, \ldots, u_m\right)$为$\mathbb{F}^m$的标准有序基。我们在$\mathbb{F}^m$ by中定义一个点积
$$
\left(a_1, \ldots, a_m\right) \cdot\left(b_1, \ldots, b_m\right)=a_1 b_1+\cdots+a_m b_m
$$
没有复杂的结合。在$L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$中的线性函数$T$与在$\mathbb{F}$中有条目的矩阵$A$的对应关系由$A_{i j}=T\left(e_j\right) \cdot u_i$给出。
设$|\cdot|$表示$\mathbb{F}^n$或$\mathbb{F}^m$上的欧几里得范数，如第II.1节中给出的，用项的绝对值平方和的平方根表示。欧几里得范数使$\mathbb{F}^n$和$\mathbb{F}^m$成为度量空间，两点之间的距离是差的欧几里得范数。

提案3.1。如果$T$是$\mathbb{F}^n$到$\mathbb{F}^m$的线性函数空间$L\left(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m\right)$的成员，则存在一个有限的$M$，使得$|T(x)| \leq M|x|$对于$\mathbb{F}^n$中的所有$x$。因此$T$在$\mathbb{F}^n$上是一致连续的。

证明。$\mathbb{F}^n$中的每个$x$都有$x=\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) e_j$，线性得到$T(x)=$$\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) T\left(e_j\right)$。因此
$$
|T(x)|=\left|\sum_{j=1}^n\left(x \cdot e_j\right) T\left(e_j\right)\right| \leq \sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|\left|x \cdot e_j\right| .
$$
表达式$x \cdot e_j$只是$x$的$j^{\text {th }}$条目，因此是$\left|x \cdot e_j\right| \leq|x|$。因此$|T(x)| \leq\left(\sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|\right)|x|$和第一个结论已经被$M=\sum_{j=1}^n\left|T\left(e_j\right)\right|$证明了。用$x-y$代替$x$给出
$$
|T(x)-T(y)|=|T(x-y)| \leq M|x-y|,
$$
$T$与$\delta=\epsilon / M$一致连续。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Nonlinear Functions and Differentiation

我们通过定义函数的多变量导数并给出其存在的条件，开始讨论欧几里得空间之间更一般的函数。让 $E$ 做一个开放的人 $\mathbb{R}^n$，让 $f: E \rightarrow \mathbb{R}^m$ 是一个函数。我们可以写 $f(x)=\left(\begin{array}{c}f_1(x) \ \vdots \ f_m(x)\end{array}\right)$，其中 $f_i(x)=f(x) \cdot u_i$．然后 $f(x)=\sum_{i=1}^m f_i(x) u_i$．函数 $f_i: E \rightarrow \mathbb{R}$ 的组成 $f$．相关的偏导数由
$$
\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)=\left.\frac{d}{d t} f_i\left(x+t e_j\right)\right|{t=0} $$ 我们说 $f$ 是可微的 $x$ 在 $E$ 如果有的话 $T$ 在 $L\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m\right)$ 有 $$ \lim {h \rightarrow 0} \frac{|f(x+h)-f(x)-T(h)|}{|h|}=0 .
$$
线性函数 $T$ 如果存在，则是唯一的。事实上，如果 $T_1$ 和 $T_2$ 两者都是 $T$ 在这个极限关系中，我们写
$$
T_2(h)-T_1(h)=\left(f(x+h)-f(x)-T_1(h)\right)-\left(f(x+h)-f(x)-T_2(h)\right)
$$
然后找到
$$
\begin{aligned}
\frac{\left|T_1(h)-T_2(h)\right|}{|h|} & \leq \frac{\left|f(x+h)-f(x)-T_1(h)\right|}{|h|}+\frac{\left|f(x+h)-f(x)-T_2(h)\right|}{|h|} \
& \longrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

如果 $T_1 \neq T_2$，选择一些 $v \in \mathbb{R}^n$ 有 $|v|=1$ 和 $T_1(v) \neq T_2(v)$．作为一个非零实参数 $t$ 趋向于0，我们必须有
$$
\begin{aligned}
& \left|T_1(v)-T_2(v)\right| \
& \quad=|t v|^{-1}\left|\left(f(x+t v)-f(x)-T_1(t v)\right)-\left(f(x+t v)-f(x)-T_2(t v)\right)\right| \
& \longrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

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