如果你也在 怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis定理依赖于实数系的性质，必须建立实数系的性质。实数系统由一个不可数集合(R)、两个二进制运算(+和⋅)和一个阶数(<)组成。
实分析Real Analysis实数具有复数所没有的各种格理论性质。此外，实数形成一个有序域，其中正数的和和积也是正的。实数的排序是全的，实数具有最小上界性质R的每一个有上界的非空子集R都有一个最小上界也是实数。这些序理论性质导致了实分析中的一些基本结果，如单调收敛定理、中间值定理和中值定理。
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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Transform on L2, Plancherel Formula
We mentioned in Section 1 that the Fourier transform is of great importance in analyzing operators that commute with translations. The initial analysis of such operators is done on $L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$, and this section describes some of how that analysis comes about. The first result is the theorem for $\mathbb{R}^N$ that is the analog of Parseval’s Theorem for the circle.
Theorem 8.6 (Plancherel formula). If $f$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$, then $|\widehat{f}|_2=$ $|f|_2$.
REMARKS. There is a formal computation that is almost a proof, namely
$$
\begin{aligned}
\int|f(x)|^2 d x & =\int f^(-x) f(x) d x=\left(f^ * f\right)(0) \
& =\int \widehat{f^* * f}(y) d y=\int \widehat{f^*}(y) \widehat{f}(y) d y=\int|\widehat{f}(y)|^2 d y,
\end{aligned}
$$
the middle equality using the Fourier inversion formula (Theorem 8.4). What is needed in order to make this computation into a proof is a verification that the Fourier inversion formula actually applies. We know that $f^* * f$ is in $L^1$ since $f^$ and $f$ are in $L^1$, and we know from Proposition 6.18 that $f^ * f$ is continuous, being in $L^2 * L^2$. But it is not immediately obvious that the Fourier transform to which the inversion formula is to be applied, namely $\widehat{f^* * f}=|\widehat{f}|^2$, is in $L^1$. We handle this question by proving a lemma that is a little more general than necessary.
Lemma 8.7. Suppose $f$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$, is bounded on $\mathbb{R}^N$, and is continuous at 0 . If $\widehat{f}(y) \geq 0$ for all $y$, then $\widehat{f}$ is in $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$.
Proof. Put $\varphi(x)=e^{-\pi|x|^2}$ and $\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-N} \varphi\left(\varepsilon^{-1} x\right)$. Then the function $\varphi_{\varepsilon} * f$ is continuous by Proposition 6.18 since $\varphi_{\varepsilon}$ is in $L^{\infty}$ and $f$ is in $L^1$, and
$$
\lim {\varepsilon \downarrow 0}\left(\varphi{\varepsilon} * f\right)(0)=f(0)
$$
by Theorem 6.20c. The function $\widehat{\varphi_{\varepsilon}}$ is in $L^1$, and $\widehat{f}$ is bounded. Hence $\widehat{\varphi_{\varepsilon} * f}=$ $\widehat{\varphi_{\varepsilon}} \widehat{f}$ is in $L^1$. By the Fourier inversion formula (Theorem 8.4),
$$
\left(\varphi_{\varepsilon} * f\right)(0)=\int_{\mathbb{R}^N} \widehat{f}(y) e^{-\pi \varepsilon^2|y|^2} d y
$$
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Schwartz Space
This section introduces the space $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ of Schwartz functions on $\mathbb{R}^N$. This space is a vector subspace of $L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$, so that the Fourier transform is given on it by the usual concrete formula; $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ will turn out to be another space besides $L^2$ that is carried onto itself by the Fourier transform. Working with $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ provides a convenient way for using the Fourier transform and derivatives together, as becomes clearer when one studies partial differential equations.
If $Q$ is a complex-valued polynomial on $\mathbb{R}^N$, define $Q(D)$ to be the partial differential operator with constant coefficients obtained by substituting, for each $j$ with $1 \leq j \leq N$, the operator $D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}$ for $x_j$. A Schwartz function on $\mathbb{R}^N$ is a smooth function such that $P(x) Q(D) f$ is bounded for each pair of polynomials $P$ and $Q$. An example is the function $e^{-\pi|x|^2}$, since its iterated partial derivatives are all of the form $R(x) e^{-\pi|x|^2}$ for some polynomial $R$. The Schwartz space $\mathcal{S}=\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$ is the set of all Schwartz functions.
The Schwartz space $\mathcal{S}$ is evidently a vector space, and it is closed under partial differentiation and under multiplication by polynomials. Closure under partial differentiation is in effect built into the definition. To see closure under multiplication by polynomials, it is enough to check closure under multiplication by each monomial $x_j$. This closure follows readily from the formula $Q(D)\left(x_j f\right)=Q^{#}(D) f+x_j Q(D) f$, where $Q^{#}$ is 0 or is a polynomial having degree strictly lower than $Q$ has.
If $f$ is a Schwartz function, then $P(x) Q(D) f$ is actually integrable, as well as bounded, for each pair of polynomials $P$ and $Q$. In fact, $\left(1+|x|^2\right)^N P(x) Q(D) f$ is bounded, and therefore $P(x) Q(D) f$ is $\leq$ a multiple of the integrable function $\left(1+|x|^2\right)^{-N}$. In particular, $\mathcal{S}$ is contained in $L^1, L^2$, and $L^{\infty}$.
Finally the Fourier transform $\mathcal{F}$ carries $\mathcal{S}$ into itself. In fact, parts (f) and (g) of Proposition 8.1 give
$$
P(x) Q(D) \widehat{f}=P(x) \mathcal{F}(Q(-2 \pi i x) f)=\mathcal{F}\left(P\left((2 \pi i)^{-1} D\right) Q(-2 \pi i x) f\right),
$$
and the right side is the Fourier transform of an $L^1$ function and therefore is bounded.
实分析代写
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Fourier Transform on L2, Plancherel Formula
我们在第1节中提到，傅里叶变换在分析与平移交换的算子时非常重要。对这些操作符的初步分析是在$L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$上完成的，本节将介绍如何进行分析。第一个结果是$\mathbb{R}^N$的定理，它类似于圆的Parseval定理。
定理8.6 (Plancherel公式)。如果$f$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$中，则是$|\widehat{f}|_2=$$|f|_2$。
备注。有一个形式化的计算，几乎是一个证明，即
$$
\begin{aligned}
\int|f(x)|^2 d x & =\int f^(-x) f(x) d x=\left(f^ * f\right)(0) \
& =\int \widehat{f^* * f}(y) d y=\int \widehat{f^*}(y) \widehat{f}(y) d y=\int|\widehat{f}(y)|^2 d y,
\end{aligned}
$$
利用傅里叶反求公式(定理8.4)求中间等式。为了使这个计算变成证明需要的是验证傅里叶反变换公式的实际应用。我们知道$f^* * f$在$L^1$中，因为$f^$和$f$在$L^1$中，并且我们从命题6.18中知道$f^ * f$是连续的，在$L^2 * L^2$中。但要应用反转公式的傅里叶变换，也就是$\widehat{f^* * f}=|\widehat{f}|^2$，并不明显，它在$L^1$。我们通过证明一个引理来解决这个问题，这个引理比必要的引理更一般一些。
引理8.7。假设$f$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$中，在$\mathbb{R}^N$上有界，在0处连续。如果$\widehat{f}(y) \geq 0$代表所有$y$，那么$\widehat{f}$在$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$中。
证明。输入$\varphi(x)=e^{-\pi|x|^2}$和$\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-N} \varphi\left(\varepsilon^{-1} x\right)$。则根据命题6.18，函数$\varphi_{\varepsilon} * f$是连续的，因为$\varphi_{\varepsilon}$在$L^{\infty}$中，$f$在$L^1$中，且
$$
\lim {\varepsilon \downarrow 0}\left(\varphi{\varepsilon} * f\right)(0)=f(0)
$$
根据定理6.20c。函数$\widehat{\varphi_{\varepsilon}}$在$L^1$中，$\widehat{f}$是有界的。因此$\widehat{\varphi_{\varepsilon} * f}=$$\widehat{\varphi_{\varepsilon}} \widehat{f}$在$L^1$中。通过傅里叶反变换公式(定理8.4)
$$
\left(\varphi_{\varepsilon} * f\right)(0)=\int_{\mathbb{R}^N} \widehat{f}(y) e^{-\pi \varepsilon^2|y|^2} d y
$$
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Schwartz Space
介绍$\mathbb{R}^N$上Schwartz函数的空间$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$。这个空间是$L^1\left(\mathbb{R}^N\right)$的一个子空间，所以它的傅里叶变换是由通常的具体公式给出的;$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$会变成$L^2$之外的另一个空间通过傅里叶变换进行自身运算。使用$\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$为将傅里叶变换和导数结合使用提供了一种方便的方法，当研究偏微分方程时，这一点变得更加清晰。
如果$Q$是$\mathbb{R}^N$上的复值多项式，则定义$Q(D)$为常系数的偏微分算子，通过将每个$j$用$1 \leq j \leq N$替换为$x_j$的算子$D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}$而得到。$\mathbb{R}^N$上的Schwartz函数是一个平滑函数，使得$P(x) Q(D) f$对于每对多项式$P$和$Q$都是有界的。一个例子是函数$e^{-\pi|x|^2}$，因为它的迭代偏导数对于某个多项式$R$都是$R(x) e^{-\pi|x|^2}$的形式。Schwartz空间$\mathcal{S}=\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^N\right)$是所有Schwartz函数的集合。
Schwartz空间$\mathcal{S}$显然是一个向量空间，它在偏微分和多项式乘法下是封闭的。偏微分下的闭包实际上是内置于定义中的。要查看多项式乘法下的闭包，只需检查每个单项乘法下的闭包$x_j$即可。这个闭包很容易从公式$Q(D)\left(x_j f\right)=Q^{#}(D) f+x_j Q(D) f$推导出来，其中$Q^{#}$为0，或者是一个次数严格低于$Q$的多项式。
如果$f$是Schwartz函数，那么对于每一对多项式$P$和$Q$, $P(x) Q(D) f$实际上是可积的，并且是有界的。事实上，$\left(1+|x|^2\right)^N P(x) Q(D) f$是有界的，因此$P(x) Q(D) f$是$\leq$是可积函数$\left(1+|x|^2\right)^{-N}$的倍数。其中，$L^1, L^2$和$L^{\infty}$中包含$\mathcal{S}$。
最后，傅里叶变换$\mathcal{F}$将$\mathcal{S}$带入自身。事实上，提案8.1的(f)和(g)部分给出
$$
P(x) Q(D) \widehat{f}=P(x) \mathcal{F}(Q(-2 \pi i x) f)=\mathcal{F}\left(P\left((2 \pi i)^{-1} D\right) Q(-2 \pi i x) f\right),
$$
右边是$L^1$函数的傅里叶变换因此是有界的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。