统计作业 - 统计代写答疑辅导

分类：统计作业

澳洲代写随机过程Stochastic process代考2023

Posted on 2023年10月10日2023年10月10日 by statistics-lab

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随机过程Stochastic process代考

在数学中，更确切地说，在概率论中，随机过程（或随机过程）是动态系统概念的概率版本。随机过程是某个参数（通常是时间）的实函数的有序集合，具有某些统计特性。一般来说，可以将这一过程确定为实数随机变量 $X(t)$ 的单参数族，代表从初始状态到一定时间 $t$ 之后的状态的变换。更精确地说，这是基于实数极限上的随机变量（如 $\mathbb{R}^n$，或函数空间，或实数的连续）。当时间参数也被考虑在内时，随机过程就是随机变量概念的扩展。

随机过程Stochastic process包含几个不同的主题，列举如下：

泛函分析Functional analysis代写代考

函数分析（也写作函数分析，Analyse fonctionnelle，法语。也称拓扑分析）。是数学（尤其是分析）的一个分支，起源于对傅立叶变换、微分方程和积分方程的研究。它研究函数空间的结构，为由某类函数组成的向量空间定义了某种拓扑结构，并研究由其公理化得到的线性拓扑空间。主要兴趣在于通过各种函数空间上由积分和微分定义的线性算子的行为，对积分和微分方程进行线性代数处理，这通常被视为无穷维向量空间上的线性代数。它也可被视为无穷维空间上的微分和积分微积分，因为它涉及无穷维空间上的导数（如弗雷谢特导数）。

傅立叶分析Fourier analysis代写代考

在数学分析中，傅里叶分析，也称为调和分析，是一个研究分支，始于让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶的研究，他在十九世纪初成功地用数学方法证明了如何将任何周期函数分解为无限“适当”正弦函数或分量（正弦和余弦）的总和，称为谐波。从这一观察中诞生了将复杂函数分解为一系列函数（称为傅里叶级数）的想法，使它们的分析更简单、更有利。傅里叶变换的概念以及相关的频域概念也源自傅里叶级数的数学概念。

其他相关科目课程代写：

数学模型Mathematical model
线性代数Linear algebra
概率学Probability

随机过程Stochastic process定义

随机或随机过程可以定义为由某个数学集合索引的随机变量集合，这意味着随机过程中的每个随机变量都与集合中的某个元素唯一相关。从历史上看，索引集是实线的某个子集，如自然数，这就赋予了索引集时间的解释[1]。例如，状态空间可以是整数、实线或……。n 维欧几里得空间]。增量是随机过程在两个指数值之间的变化量，通常被解释为两个时间点。由于随机性，随机过程可以有很多结果，随机过程的单一结果被称为样本函数或实现。

许多领域使用观测值作为时间的函数（或者，更罕见的是，空间变量）。在最简单的情况下，这些观察结果会产生一条明确的曲线。事实上，从地球科学到人文学科，观测或多或少都会出现不稳定的情况。因此，对这些观察结果的解释存在一定的不确定性，这可能反映在使用概率来表示它们上。

随机过程概括了概率中使用的随机变量的概念。它被定义为与所有值 t ∈ T（通常是时间）相关的一系列随机变量 X(t)。

从统计的角度来看，我们将所有可用的观测值x(t)视为过程的实现，这会带来一定的困难。第一个问题涉及以下事实：构建过程的持续时间通常是无限的，而实现则涵盖有限的持续时间。因此，不可能完美地再现现实。第二个更严重的困难是，与随机变量问题不同，有关过程的可用信息通常被简化为单个实现。

A stochastic or stochastic process can be defined as a collection of random variables indexed by some mathematical set, which means that each random variable in the stochastic process is uniquely related to some element in the set. Historically, the index set was some subset of the real lines, such as the natural numbers, which gave the index set a temporal interpretation. For example, the state space can be integers, solid lines, or… n-dimensional Euclidean space]. An increment is the amount of change of a random process between two exponential values, usually interpreted as two points in time. Due to randomness, a random process can have many outcomes, and a single outcome of a random process is called a sample function or realization.

Many fields use observations as functions of time (or, more rarely, spatial variables). In the simplest case, these observations yield a well-defined curve. In fact, from the earth sciences to the humanities, observations are more or less unstable. Therefore, there is a certain uncertainty in the interpretation of these observations, which may be reflected in the use of probabilities to express them.

Stochastic processes generalize the concept of random variables used in probability. It is defined as a sequence of random variables X(t) related to all values t ∈ T (usually time).

From a statistical perspective, we treat all available observations x(t) as realizations of the process, which creates certain difficulties. The first problem concerns the fact that the duration of the build process is usually infinite, whereas the implementation covers a finite duration. Therefore, it is impossible to perfectly reproduce reality. A second, more serious difficulty is that, unlike random variable problems, the available information about the process is often reduced to a single realization.

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随机过程Stochastic process的重难点

什么是伯努利过程Bernoulli process？

每个单一随机变量 $X_{mathrm{i}}$ 只能提供两种结果：成功 (1) 或失败 $(0)$，概率分别为 $p$ 和 $q=1$ – $p$ ：

$p$ e $q=1$ – $p$ :
$$
\begin{aligned}
& P\left(X_i=1\right)=p ; \
& P\left(X_i=0\right)=q=1-p .
\end{aligned}
$$

遵循二项式定律 $B(n,p)$，概率为

$$
P\left(S_n=k\right)=\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) p^k q^{n-k}
$$

等于$k$成功和$n-k$失败的序列数乘以其中任何一个出现的概率。
获得一次成功所需的投掷次数由随机变量 $N$ 给出，该随机变量遵循几何比率定律 $q$。

$$
P(N=n)=P\left(S_{n-1}=0\right) \cdot P\left(X_n=1\right)=q^n \frac{p}{q} .
$$

更一般地说，获得 $k$ 成功所需的投掷次数由随机变量 $N_k$ 给出，其规律为
$P\left(N_k=n\right)=P\left(S_{n-1}=k-1\right) \cdot P\left(X_n=1\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \ k-1\end{array}\right) p^k q^{n-k}$
特别是，失败的次数由帕斯卡定律（或负二项式）的随机变量 $P_k=N_k-n$ $P(p, k)$ 给出

$$
P\left(P_k=r\right)=P\left(N_k=r+k\right)=\left(\begin{array}{c}
r+k-1 \
k-1
\end{array}\right) p^k q^r=(-1)^k\left(\begin{array}{c}
-r \
k
\end{array}\right) p^k q^r
$$
Applicazioni
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什么是随机漫步Random walk？

在一维随机游走中，研究了被约束在两个允许方向上沿直线移动的点粒子的运动。每次移动时，它都会（随机）向右移动一步（以固定概率 $p$）或以概率 $1-p$ 向左移动，并且每一步长度相等且彼此独立。我们的目标是计算在 $\mathrm{N}$ 运动后粒子将返回（如果它返回的话！）到起点的概率。我们引入以下随机变量 $X(N)$，它提供 $N$ 运动后向左迈出的步数；特别是，它模拟了经过适当操纵的硬币投掷 $N$ 后出现的正面的数量。显然这是一个二项式分布的离散随机变量。我们还注意到，事件“返回原点”相当于在 $2 N$ 总步数中向左精确走了 $N$ 步；因此，所寻求的概率相当于 $P{X=N}$，其中二项式 $X$ 的参数为 $n=2 N, k=N, p$ 因此

什么是因子分析Factor analysis？

该模型试图用一组 $k$ 的公共因子 $\left(f_{i, j}\right)$ 来解释 $n$ 个体中每个个体的 $p$ 观察值，其中每个单位的因子数量少于每个单位的观察值 $(k<p)$。每个个体都有自己的 $k$ 共同因子，这些因子通过因子载荷矩阵 $(left(L)(in\mathbb{R}^{p\times k}\right)$与观测值相关，对于单个观测值，根据

$$
P{X=N}=\frac{(2 N) !}{N !(2 N-N) !} p^N(1-p)^N=\left(\begin{array}{c}
2 N \
N
\end{array}\right)\left(p-p^2\right)^N .
$$

例如，如果粒子在每一步 $(p=1 / 2)$ 向左或向右移动的机会均等，则在 $2 N$ 步骤后返回原点的概率为

$$
P{X=N}=\left(\begin{array}{c}
2 N \
N
\end{array}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{2 N} \approx \frac{1}{\sqrt{N \pi}},
$$我们对足够大的 $N$ 应用斯特林近似，

$$
N ! \sim \sqrt{2 \pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N .
$$现在记住随机变量的期望值由下式给出

$$
E[X]=\sum_{n=0}^{\infty} n P(n)
$$

随机过程Stochastic process的相关课后作业范例

这是一篇关于多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的作业

问题 1.

Show that in successive tosses of a fair die indefinitely, the probability of obtaining no 6 is 0 .

Solution: For $n \geq 1$, let $E_n$ be the event of at least one 6 in the first $n$ tosses of the die. Clearly,
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \subseteq \cdots .
$$
Therefore, $E_n$ ‘s form an increasing sequence of events. Note that $\lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup{i=1}^{\infty} E_i$ is the event that in successive tosses of the die indefinitely, eventually a 6 will occur. By the Continuity of the Probability Function (Theorem 1.8), we have
$$
P\left(\lim {n \rightarrow \infty} E_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(E_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\right]=1-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n=1-0=1 .
$$
This shows that, with probability 1 , eventually a 6 will occur. Therefore, the probability of no 6 ever is 0 .

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澳洲代写多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考2023

Posted on 2023年10月10日2023年10月17日 by statistics-lab

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多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考

多元统计是统计学的一个分支，包括同时观察和分析一个以上的结果变量，即多元随机变量。多元统计涉及了解每种不同形式的多元分析的不同目的和背景，以及它们之间的关系。将多元统计实际应用于某一特定问题时，可能会涉及几种类型的单变量和多元分析，以便了解变量之间的关系及其与所研究问题的相关性。

此外，多元统计还涉及多元概率分布，既包括

如何使用它们来表示观测数据的分布；
如何将它们用作统计推断的一部分，特别是在同一分析涉及多个不同数量的情况下。
涉及多元数据的某些类型的问题，例如简单线性回归和多元回归，通常不被视为多元统计的特例，因为分析是通过考虑给定其他变量的单一结果变量的（单变量）条件分布来处理的。

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis包含几个不同的主题，列举如下：

概率论Probability distribution代写代考

在概率论中，当随机变量单独成为概率讨论的主题时，就要考虑该变量的分布。例如，如果知道变量的分布，就可以计算出随机变量取某值的概率、期望值和方差等量。反之，如果考虑分布，变量 $\omega$ 与随机变量之间就失去了对应关系，与其他随机变量的关系也变得不明确。例如，如果给出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布分别为 $P_X$ 和 $P_Y$，由于不知道两个变量之间的关系，因此无法计算 $X+Y$ 取某值的概率、乘积 $X Y$ 的期望值和 $X+Y$ 的方差等量。要计算这些量，需要同时得到 $X$ 和 $Y$ 的概率分布 $P_{X，Y}$。
常用的概率分布都有自己的名称，其性质也得到了很好的研究。研究成果可用于具有此类分布的随机变量。例如，如果随机变量的分布是均值为 0、方差为 1 的正态分布，那么从表中可以看出变量值为 2 或 2 以上的概率为 2.28%$。

简单线性回归Simple linear regression代写代考

在统计学中，简单线性回归是一种具有单一解释变量的线性回归模型。也就是说，它涉及具有一个自变量和一个因变量（通常是直角坐标系中的 x 坐标和 y 坐标）的二维样本点，并找到一个线性函数（非垂直直线），尽可能准确地预测因变量值与自变量的函数关系。形容词 “简单 “指的是结果变量与单一预测因子相关。

通常还规定应使用普通最小二乘法（OLS）：每个预测值的准确性由其残差平方（数据集点与拟合线之间的垂直距离）来衡量，目标是使这些平方差之和尽可能小。其他可替代普通最小二乘法的回归方法包括最小绝对偏差法（最小化残差绝对值之和）和 Theil-Sen 估计法（选择一条斜率为样本点对确定的斜率中值的直线）。戴明回归（总最小二乘法）也能找到一条与二维样本点集合拟合的直线，但（与普通最小二乘法、最小绝对偏差和中位斜率回归不同）它并不是真正的简单线性回归，因为它没有将坐标分为一个因变量和一个自变量，有可能返回一条垂直线作为拟合结果。

其他相关科目课程代写：

回归分析Regression analysis
因变量和自变量Dependent and independent variables
统计推断Statistical inference

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis定义

多变量分析（MVA）以多变量统计原理为基础。通常，多变量分析用于处理对每个实验单元进行多次测量的情况，这些测量之间的关系及其结构非常重要：

正态和一般多元模型及分布理论
关系的研究与测量
多维区域的概率计算
数据结构和模式的探索
多变量分析可能会因希望进行物理分析以计算变量对分层 “系统体系 “的影响而变得复杂。希望使用多变量分析的研究常常因问题的维度而停滞不前。使用代用模型（基于物理的代码的高精度近似值）往往可以缓解这些问题。由于代用模型采用方程形式，因此可以非常快速地进行评估。这为大规模 MVA 研究提供了有利条件：在设计空间内进行蒙特卡罗模拟对于基于物理的代码来说非常困难，而在评估代用模型（通常采用响应面方程的形式）时则变得微不足道。

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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的重难点

什么是多变量方差分析Multivariate analysis of variance？

在统计学中，多元方差分析（MANOVA）是一种比较多元样本均值的程序。作为一种多变量程序，它适用于有两个或两个以上因变量的情况，并且通常会对各个因变量分别进行显著性检验。

在与图像无关的情况下，因变量可以是在连续时间点测量的 k 个生活满意度得分和在连续时间点测量的 p 个工作满意度得分。在这种情况下，有 k+p 个因变量，它们的线性组合遵循多元正态分布、多元方差-协方差矩阵同质性和线性关系，不存在多重共线性，且每个因变量都没有异常值。

假设有 $n q$ 维观测值，其中第 $i^{prime}$ 个观测值 $y_i$ 被分配到组 $g(i) \in{1, \ldots, m}$ 中，并围绕组中心 $\mu^{(g(i))} 分布。\in \mathbb{R}^q$ 与多变量高斯噪声：
$$
y_i=\mu^{(g(i))}+\varepsilon_i \quad \varepsilon_i \stackrel{text { i.i.d. }}{\sim} \mathcal{N}_q(0, \Sigma) \quad \text { for } i=1, \ldots, n
$$
其中 $\Sigma$ 是协方差矩阵。然后，我们将零假设表述为
$$
H_0: \mu^{(1)}=\mu^{(2)}=\cdots=\mu^{(m)}
$$

什么是主成分分析Principal component analysis？

PCA 被定义为一种正交线性变换，它将数据转换到一个新的坐标系中，使数据的某个标量投影的最大方差位于第一个坐标上（称为第一个主成分），第二个最大方差位于第二个坐标上，以此类推${ }^{[12]}$
考虑一个$n \times p$ 的数据矩阵, $\mathrm{X}$,其列的经验平均值为零（每列的样本平均值已被移至零），其中每行 $n$ 表示实验的不同重复，每列 $p$ 表示一种特定的特征（例如，来自特定传感器的结果）。
在数学上，变换由一组大小为 $l$ 的 $p$ 维权重或系数向量定义 s $\mathbf{w}{(k)}=\left(w_1, \ldots, w_p\right){(k)}$、将$\mathbf{x}_{(i)}$的每个行向量 $\mathbf{X}$映射到一个新的主成分得分向量s $\mathbf{t}{(i)}=\left(t_1, \ldots, t_l\right){(i)}$。
上图是一个树枝图，用于帮助解释 PCA 并决定保留多少个成分。折线的起点（拐点）应表示保留多少个成分，因此在本例中，应保留三个因子。

$$
t_{k(i)}=\mathbf{x}{(i)} \cdot \mathbf{w}{(k)} \quad \text { for } \quad i=1, \ldots, n \quad k=1, \ldots, l
$$

这样，在数据集上考虑$t_1, \ldots, t_l$ of $\mathbf{t}$ 的单个变量 $t_1，\ldots，t_l$ 将连续地从 $\mathbf{X}$ 继承可能的最大方差，每个系数向量 $\mathbf{w}$ 被约束为一个单位向量（通常选择 $l$ 严格小于 $p$，以降低维度）。

什么是因子分析Factor analysis？

$$
x_{i, m}-\mu_i=l_{i, 1} f_{1, m}+\cdots+l_{i, k} f_{k, m}+\varepsilon_{i, m}
$$
其中

$x_{i, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $i$ 次观测值、
$mu_i$ 是第 i 个观测值的观测平均值、
$l_{i, j}$ 是 $i$ 观测值在 $j$ 因子中的负荷、
$f_{j, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $j$ 个因子的值，以及
$varepsilon_{i, m}$ 是第 $(i, m)$ 个未观测到的随机误差项，其均值为零，方差有限。
用矩阵符号表示
$$
X-\mathrm{M}=L F+\varepsilon
$$
其中，观测矩阵$X \in \mathbb{R}^{p \times n}$，加载矩阵$L \in \mathbb{R}^{p \times k}$，因子矩阵$F \in \mathbb{R}^{k \times n}$，误差项矩阵$\varepsilon \in \mathbb{R}^{p \times n}$，均值矩阵$\mathrm{M} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 个元素为 $\mathrm{M}_{i, m}=\mu_i$。
同时，我们将对 $F$ 作如下假设：
$F$ 和 $\varepsilon$ 是独立的。
$\mathrm{E}(F)=0$; 其中 $\mathrm{E}$ 是期望值。
$operatorname{Cov}(F)=I$；其中，$operatorname{Cov}$ 是协方差矩阵，以确保各因子互不相关，而 $I$ 是同一矩阵。
假设 $\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\Sigma$。那么
$$
\Sigma=\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\operatorname{Cov}(L F+\varepsilon)、
$$
因此，根据上述施加于 $F$ 的条件 1 和 2，$E[L F]=L E[F]=0$ 和 $\operatorname{Cov}(L F+\epsilon)=\operatorname{Cov}(L F)+\operatorname{Cov}(\epsilon)$ ，得出
$$
\Sigma=L \operatorname{Cov}(F) L^T+\operatorname{Cov}(\varepsilon)
$$
或者，设置 $\Psi:=\operatorname{Cov}(\varepsilon)$、
$$
\Sigma=L L^T+\Psi .
$$
请注意，对于任意正交矩阵 $Q$，如果我们设置 $L^{\prime}=L Q$ 和 $F^{\prime}=Q^T F$，因子和因子载荷的标准仍然成立。因此，一组因子和因子载荷只有在正交变换时才是唯一的。

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的相关课后作业范例

这是一篇关于多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的作业

问题 1.

If $\mathbf{\Sigma}$ is positive definite, so that $\Sigma^{-1}$ exists, then
$$
\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\lambda \mathbf{e} \text { implies } \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=\left(\frac{1}{\lambda}\right) \mathbf{e}
$$
so $(\lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}$ corresponding to the pair $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.

Proof. For $\Sigma$ positive definite and $\mathbf{e} \neq \mathbf{0}$ an eigenvector, we have $0<\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\mathbf{e}^{\prime}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})$ $=\mathbf{e}^{\prime}(\lambda \mathbf{e})=\lambda \mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e}=\lambda$. Moreover, $\mathbf{e}=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\lambda \mathbf{e})$, or $\mathbf{e}=\lambda \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}$, and division by $\lambda>0$ gives $\mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=(1 / \lambda)$ e. Thus, $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, for any $p \times 1 \mathbf{x}$, by $(2-21)$
$$
\begin{aligned}
\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{x} & =\mathbf{x}^{\prime}\left(\sum_{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right) \mathbf{e}i \mathbf{e}_i^{\prime}\right) \mathbf{x} \ & =\sum{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}i\right)^2 \geq 0 \end{aligned} $$ since each term $\lambda_i^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2$ is nonnegative. In addition, $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i=0$ for all $i$ only if $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. So $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ implies that $\sum{i=1}^p\left(1 / \lambda_i\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2>0$, and it follows that $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.
The following summarizes these concepts:
Contours of constant density for the $p$-dimensional normal distribution are ellipsoids defined by $\mathbf{x}$ such the that
$$
(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})=c^2
$$
These ellipsoids are centered at $\boldsymbol{\mu}$ and have axes $\pm c \sqrt{\lambda_i} \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}_i=\lambda_i \mathbf{e}_i$ for $i=1,2, \ldots, p$.

A contour of constant density for a bivariate normal distribution with $\sigma_{11}=\sigma_{22}$ is obtained in the following example.

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多尺度模型代写Multilevel Models代考2023

Posted on 2023年10月9日2023年10月9日 by statistics-lab

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多尺度模型代写Multilevel Models代考

多层次模型（MLM），又称层次线性模型（HLM）、线性混合效应模型、混合模型、嵌套数据模型、随机系数模型、随机效应模型、随机参数模型、拆分模型。也称小区设计，是一种参数在多个层次上变化的统计模型。由学生个人成绩和学生所属班级成绩组成的学生成绩模型就是一个例子。它可以看作是线性模型（特别是线性回归）的一般化，但也可以扩展到非线性模型。自从有了足够的计算能力和软件之后，这些模型变得越来越普遍。

多层次模型特别适用于将参与者数据分为多个层次（嵌套数据）的研究设计。分析单位通常是个人（较低层次），嵌套在上下文和集体单位（较高层次）中。多层次模型的最低层次通常是个体，但也可以对个体进行重复测量。因此，多层次模型为重复测量的单变量或多变量分析提供了另一种选择。可以研究生长曲线的个体差异。此外，多层次模型还可用作方差分析的替代方法，即在根据协变量（如个体差异）调整因变量得分后，检验处理方法的差异。多层次模型可以分析这些实验，而无需假设协方差分析所要求的回归系数的一致性。

虽然多层次模型可以应用于多层次数据，但本文将只讨论最常见的两层模型。因变量需要在最低的分析层次上考虑。

多尺度模型Multilevel Models包含几个不同的主题，列举如下：

随机截距模型Random Intercept Model代写代考

随机截距模型是一种允许截距在组间变化的模型。该模型假定斜率在各组间是恒定的。此外，该模型还提供了类内相关性的信息。这有助于确定是否首先需要多层次模型。

随机斜率模型Random Slope Model代写代考

随机斜率模型是一种允许斜率变化的模型；在这种模型中，不同组间的斜率不同，但假定不同组间的截距不变。

其他相关科目课程代写：

广义线性模型Generalized linear model
广义线性混合模型 Generalized linear mixed model
贝叶斯分层模型Bayesian hierarchical modeling

多尺度模型Multilevel Models分析手法

分析分层数据的方法有几种，其中大多数都存在问题。

首先，根据传统的统计方法，可以将高阶变量分解为个体层次，并在个体层次上进行分析（为每个个体分配类变量）。这种方法的问题在于它违反了独立性假设，可能会使结果产生偏差。这就是所谓的原子谬误。

传统统计方法的另一种可行替代方法是将个体层面的变量汇总为高阶变量，并在高阶变量上进行分析。在这种方法中，由于取的是个体变量的平均值，组内的所有信息都被丢弃了；多达 80-90% 的方差被浪费掉了，汇总变量之间的关系被夸大，从而被扭曲。这就是所谓的生态谬误，从统计学角度看，会导致信息丢失和能力下降。

另一种分析分层数据的方法是使用随机系数模型。该模型假定每个组都有一个不同的回归模型，每个模型都有自己的截距和斜率。由于分组是抽样的，该模型还假设截距和斜率是从分组截距和斜率群体中随机抽取的。这样，分析就可以假设斜率是固定的，但截距可以变化。然而，这样做也有问题。这是因为个体成分和独立成分是独立的，而群体成分只是群体之间独立，群体内部依存。也可以分析斜率是随机的，但误差项的相关性取决于个体水平变量的值。因此，使用随机系数模型分析层次数据的问题在于无法纳入高阶变量。

There are several ways to analyse stratified data, most of which are problematic.

First, according to traditional statistical methods, higher order variables can be decomposed into individual levels and analysed at the individual level (assigning class variables to each individual). The problem with this approach is that it violates the assumption of independence and may bias the results. This is known as the atomic fallacy.

Another viable alternative to the traditional statistical approach is to aggregate the individual level variables into higher order variables and analyse them at the higher order variables. In this approach, all information within the group is discarded as the average of the individual variables is taken; up to 80-90% of the variance is wasted, and the relationships between the aggregated variables are exaggerated and thus distorted. This is known as the ecological fallacy and statistically leads to lost information and reduced power.

Another way to analyse stratified data is to use a random coefficient model. This model assumes that each group has a different regression model, each with its own intercept and slope. Since the groups are sampled, the model also assumes that the intercepts and slopes are randomly drawn from the grouped intercept and slope populations. In this way, the analysis can assume that the slopes are fixed, but the intercepts can vary. However, there are problems with this. This is because the individual and independent components are independent, whereas the group components are only independent between groups and dependent within groups. It is also possible to analyse the slope as random, but the correlation of the error term depends on the value of the individual level variable. The problem with using a random coefficient model to analyse hierarchical data is therefore the inability to incorporate higher order variables.

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多尺度模型Multilevel Models的重难点

什么是第 1 级回归方程Level 1 regression equation？

如果第 1 层有一个自变量，则第 1 层模型如下。
$$
Y_{i j}=\beta_{0 j}+\beta_{1 j} X_{i j}+e_{i j}
$$
$$Y_{i j}$$ – 每个观察值在第 1 层的因变量得分，其中 i 是个案，j 是组。

$X_{i j}$$-第 1 层的预测因子
$\beta_{0 j}$-因变量在第 j 组的截距（第 2 层）
$\beta_{1 j}$- 因变量 $Y_{i j}$ 与第 1 层预测因子 $X_{i j}$ 在第 j 组（第 2 层）之间的斜率
▪ $E_{i j}$-预测第 1 层方程的随机误差 $\left(r_{i j}\right.$)
第 1 级假设一组内的截距和斜率要么没有变化（现实中很少见），要么是非随机变化（可从第 2 级自变量中预测），要么是随机变化（有自己的总体分布）[2]。
如果存在多个一级自变量，则可以通过将向量或矩阵代入方程来扩展模型。
如果响应 $Y_{i j}$ 与预测变量 $X_{i j}$ 之间的关系是非线性的，则可以用非线性函数来表示这种关系，从而将模型扩展为非线性混合效应模型。例如，如果响应 $Y_{i j}$ 代表第 i 个国家的累积感染轨迹，而 $X_{i j}$ 代表第 j 个时间点，则每个国家的有序对 $\left(X_{i j}, Y_{i j}\right)$ 的形式可能类似于 logistic 函数。

什么是开发多层次模型Developing multi-level models？

要进行多层次模型分析，应从固定系数（截距和斜率）开始。每次只能改变一个方面，并与之前的模型进行比较。当研究人员评估一个模型时，他们会检查三件事。第一，它是一个好模型吗？第二，更复杂的模型是否更好？第三，各个预测因子对模型有什么贡献？

为了评估一个模型，需要检查各种模型拟合统计量[2]。其中一种统计量是卡方似然比检验，用于评估模型之间的差异。似然比检验可用于一般模型的建立、检验模型中的效应变化时的情况、将虚拟代码分类变量作为单一效应进行检验等。然而，只有当模型是嵌套的（一个更复杂的模型包括一个更简单模型的所有效应）时，才能使用这种检验。在测试非嵌套模型时，可以使用 Akaike 信息准则（AIC）或贝叶斯信息准则（BIC）对模型进行比较。

什么是2级回归方程Level 2 regression equation？

图形着色是为图形中的某些元素分配颜色，使其满足某些约束条件。最简单地说，就是给所有顶点着色，使相邻顶点不具有相同颜色。这就是顶点着色。同样，边着色是给所有边着色，使相邻边不具有相同颜色的问题；面着色是给平面图中边所围成的每个区域（面）着色，使相邻面不具有相同颜色的问题。

因变量是㧍到第 2 级组的第 1 级自变量的截距和斜率。

$$
\begin{aligned}
& \beta_{0 j}=\gamma_{00}+\gamma_{01} W_j+u_{0 j} \
& \beta_{1 j}=\gamma_{10}+u_{1 j}
\end{aligned}
$$

$\gamma_{00}$ -总截距（当所有预测因子等于 0 时，所有组的因变量得分平均值）

$W_j$ – 二级预测因子。
$\gamma_{01}$ – 因变量 $\beta_{1 j}$与二级预测因子 $W_j$ 之间的总体回归系数（斜率
$u_{0 j}$- 组截距与总体截距之差的随机误差
$\gamma_{10}$ – 因变量$\beta_{1 j}$ 与第 1 层预测因子$X_{i j}$ 之间的总体回归系数（斜率
$u_{1 j}$斜率的误差成分${ }^{[2]}$（总体斜率与组斜率之差）

多尺度模型Multilevel Models的相关课后作业范例

这是一篇关于图论Graph Theoryry的作业

问题 1.

This box summarizes the terminology for the various algebraic terms used in the models i

$y_{i j}$ is the dependent variable: the outcome for individual $i$ living in neighbourhood $j$. Individuals are numbered from $i=1, \ldots, N$ and each lives in one neighbourhood $j=1, \ldots, J$. There are $n_j$ individuals from neighbourhood $j$ so $N=\sum_{j=1}^J n_j$.
$x_{p i j}$ are the independent variables, measured on individual $i$ in neighbourhood $j$. The subscript $p$ is used to distinguish between the variables.
$x_{p j}$ are independent variables, measured at the neighbourhood level; this variable takes the same value for all individuals living in neighbourhood $j$.
$\beta_0$ is used to denote the intercept.
$\beta_p$ is the regression coefficient associated with $x_{p i j}$ or $x_{p j}$.
$u_{0 j}$ is the estimated effect or residual for area $j$. This is the difference in the outcome for an individual in neighbourhood $j$ compared to an individual in the average neighbourhood, after taking into account those characteristics that have been included in the model. The 0 in the subscript denotes that this is a random intercept residual, a departure from the overall intercept $\beta_0$ applying equally to everyone in neighbourhood $j$ regardless of individual characteristics.
$u_{p j}$ is the slope residual for neighbourhood $j$ that is associated with the independent variable $x_{p i j}$ or $x_{p j}$. Just as $u_{0 j}$ denotes a departure from the overall intercept $\beta_0, u_{p j}$ indicates the extent of a departure from the overall slope in a random slope model.
$e_{0 i j}$ is the individual-level residual or error term for individual $i$ in neighbourhood $j$.
$\sigma_{u 0}^2$ is the| variance of the neighbourhood-level intercept residuals $u_{0 j}$.
$\sigma_{u p}^2$ is the variance of the neighbourhood-level slope residuals $u_{p j}$.
$\sigma_{u 0 p}$ is the covariance between the neighbourhood-level intercept residuals $u_{0 j}$ and slope residuals $u_{p j}$.
$\sigma_{e 0}^2$ is the variance of the individual-level errors $e_{0 i j}$.
$\rho_{\mathrm{I}}$ is the intraclass correlation coefficient or the proportion of the total variation in the outcome that is attributable to differences between areas.

最后的总结：

通过对多尺度模型Multilevel Models各方面的介绍，想必您对这门课有了初步的认识。如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。

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图论代写Graph Theory代考2023

Posted on 2023年10月7日2023年10月7日 by statistics-lab

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图论代写Graph Theory代考

图形可用于显示不同事物之间的关系。

由六个节点和七条边组成的图形示例
例如，在考虑铁路或公共汽车线路图时，问题是车站（节点）如何通过线路（边）连接起来，而铁路线的具体弯曲度往往不是一个重要问题。

因此，线路图对车站之间的距离、微妙的布局和线路形状的描述往往与地理实际情况不同。换句话说，对于线路图的用户来说，车站之间 “如何 “连接才是最重要的信息。

图论探讨了图的各种特性。

当问题不仅是 “如何连接”，而且是 “从哪里连接到哪里 “时，就会在边上附加箭头。这种图称为有向图或数字图。没有箭头的图称为无向图。

图论Graph Theory包含几个不同的主题，列举如下：

数学结构Mathematical structure代写代考

在数学中，集合的结构是由额外的数学对象组成的，这些对象在某种程度上与集合重叠，使集合可视化、可研究、可用作计算工具，并为集合及其元素赋予特定的意义。

一些可能的结构包括度量、代数结构（群、场等）、拓扑、度量、排序、等价和微分结构。有时，一个集合会同时被赋予几种结构，这使得数学家可以研究结构之间丰富的协同作用。例如，阶诱导拓扑。另一个例子是，集合既是群又具有拓扑结构，如果这两种结构以某种方式相关联，它们就会成为拓扑群。

在数学的许多领域中，保留某些结构的集合之间的应用（如域上的结构映射到代域上的等效结构）都非常重要，被称为态。例如，保留代数结构的同态；保留拓扑结构的同态；以及保留微分结构的差分同态。

离散数学Discrete mathematics代写代考

离散数学是原则上处理离散（换句话说，非连续、零星）对象的数学。它有时也被称为有限数学或离散数学。

在涉及图论、组合学、优化问题、计算几何、程序设计和算法理论的应用领域中，它经常被用来全面而抽象地描述相关领域[1]。当然，离散数学也包括数论，但除了初等数论之外，它还与分析和其他领域（解析数论）相关，超出了离散数学的范围。

其他相关科目课程代写：

多图式Multigraph
代数图论Algebraic graph theory

图论Graph Theory历史

欧拉发表的 “哥尼斯堡七桥 “是第一篇将图形视为数学实体的文章。这篇文章也代表了拓扑几何中一个不依赖于任何测量的问题：哥尼斯堡桥问题的首次讨论。

19 世纪，人们提出并讨论了四色问题，事实证明这个问题非常具有挑战性，直到 20 世纪下半叶才得到解决。汉密尔顿路径问题也被提出。直到 20 世纪中叶，几乎没有其他发现。

20 世纪下半叶，随着组合学和自动计算的蓬勃发展，研究和成果也得到了广泛的发展。一方面，计算机的引入使图论的实验研究得以发展（特别是四色定理的证明），另一方面，图论需要研究具有强大应用影响力的算法和模型。短短五十年间，图论已成为数学中高度发达的一章，成果丰富而深刻，应用影响巨大。

The first text to consider graphs as mathematical entities is Euler’s publication on the ‘Seven Bridges of Königsberg’. This text also represents the first time that a problem in topological geometry, which does not depend on any measurement, is addressed: the Königsberg bridges problem.

In the 19th century, the four-colour problem was posed and discussed, which proved to be very challenging and was only solved in the second half of the 20th century. The problem of Hamiltonian paths was also introduced. Until the middle of the 20th century little else was discovered.

In the second half of the 20th century, studies and results developed extensively, in tune with the strong developments in combinatorics and automatic calculation. On the one hand, the introduction of the computer allowed for the development of experimental investigations of graphs (as, in particular, in the proof of the four-colour theorem) and, on the other hand, required graph theory to investigate algorithms and models with a strong application impact. Within fifty years, graph theory has become a highly developed chapter of mathematics, rich in profound results and with strong application influences.

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图论Graph Theory的重难点

什么是顶点（图形理论）Vertex (graph theory)？

在离散数学中，更具体地说，在图论中，顶点（复数顶点）或节点是构成图的基本单位：无向图由一组顶点和一组边（无序的顶点对）组成，而有向图由一组顶点和一组弧（有序的顶点对）组成。在图的示意图中，顶点通常用带有标签的圆来表示，而边则用从一个顶点延伸到另一个顶点的线或箭头来表示。

从图论的角度来看，顶点被视为无特征且不可分割的对象，但根据图的应用情况，顶点可能具有额外的结构；例如，语义网络就是一个顶点代表概念或对象类别的图。
有 6 个顶点和 7 条边的图，其中最左边的 6 号顶点是叶顶点或垂顶点
构成一条边的两个顶点称为这条边的端点，这条边称为顶点的入射边。如果图中包含一条边 $(v,w)$，则顶点 $w$ 与另一个顶点 $v$ 相邻。顶点 $v$ 的邻域是由与 $v$ 相邻的所有顶点组成的图的诱导子图。

什么是有向图Directed graph？

从形式上看，有向图是一对有序的 $G=（V，A）$，其中

$V$ 是一个集合，其元素称为顶点、节点或点、
简单有向图
$A$ 是一组有序的顶点对，称为弧、有向边（有时简称为边，相应的集合称为 $E$ 而不是 $A$）、箭或有向线。
它与普通或无向图不同，后者是由无序的顶点对定义的，通常称为边、链接或线。
上述定义不允许有向图具有具有相同源节点和目标节点的多条弧，但有些作者考虑了一个更宽泛的定义，允许有向图具有这样的多条弧（即允许弧集是一个多集）。有时，这些实体被称为有向多图（或多图）。
另一方面，上述定义允许有向图具有循环（即直接连接节点与自身的弧），但有些作者认为狭义的定义不允许有向图具有循环。没有循环的有向图可称为简单有向图，而有循环的有向图可称为循环图（参见 “有向图的类型 “一节）。

什么是图形着色Graph coloring？

图论Graph Theory的相关课后作业范例

这是一篇关于图论Graph Theoryry的作业

问题 1.

Let $T$ be a normal tree in $G$.
(i) Any two vertices $x, y \in T$ are separated in $G$ by the set $\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil$.
(ii) If $S \subseteq V(T)=V(G)$ and $S$ is down-closed, then the components of $G-S$ are spanned by the sets $\lfloor x\rfloor$ with $x$ minimal in $T-S$.

Proof. (i) Let $P$ be any $x-y$ path in $G$. Since $T$ is normal, the vertices of $P$ in $T$ form a sequence $x=t_1, \ldots, t_n=y$ for which $t_i$ and $t_{i+1}$ are always comparable in the tree oder of $T$. Consider a minimal such sequence of vertices in $P \cap T$. In this sequence we cannot have $t_{i-1}t_{i+1}$ for any $i$, since $t_{i-1}$ and $t_{i+1}$ would then be comparable and deleting $t_i$ would yield a smaller such sequence. $\mathrm{Sp}$
$$
x=t_1>\ldots>t_k<\ldots<t_n=y
$$
for some $k \in{1, \ldots, n}$. As $t_k \in\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil \cap V(P)$, the result follows.
(ii) Since $S$ is down-closed, the upper neighbours in $T$ of any vertex of $G-S$ are again in $G-S$ (and clearly in the same component), so the components $C$ of $G-S$ are up-closed. As $S$ is down-closed, minimal vertices of $C$ are also minimal in $G-S$. By (i), this means that $C$ has only one minimal vertex $x$ and equals its up-closure $\lfloor x\rfloor$.

Normal spanning trees are also called depth-first search trees, because of the way they arise in computer searches on graphs. This fact is often used to prove their existence. The following inductive proof, however, is simpler and illuminates nicely how normal trees capture the structure of their host graphs.

最后的总结：

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信息论代写Information Theory代考2023

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信息论代写Information Theory代考

信息论是对信息和通信的数学研究。它是应用数学的一个分支，主要研究数据的量化问题，目的是在媒介中存储尽可能多的数据或通过通信信道发送数据。一种被称为信息熵的数据测量方法是用存储或通信数据所需的平均比特数来表示的。例如，如果每天的天气用 3 比特的熵来表示，我们就可以说，经过足够天数的观察，”平均 “每天需要大约 3 比特（每个比特的值为 0 或 1）来表示每天的天气。

信息论的基本应用包括 ZIP 格式（无损压缩）、MP3（无损压缩）和 DSL（传输线编码）。该领域也是一个跨学科领域，与数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和电子学相互交叉。它的影响体现在各种事件中，如旅行者号深空探测任务的成功、CD 的发明、移动电话的实现、互联网的发展、语言学和人类感知的研究以及对黑洞的理解。

信息论包含几个不同的主题，列举如下：

概率论Probability theory代写代考

概率论（英语：probability theory，法语：théorie des probabilités，德语：Wahrscheinlichkeitstheorie）是数学的一个分支，提供并分析偶然现象的数学模型。

它最初起源于对赌博（如掷骰子）的研究。现在，它仍被用作保险和投资等领域的基础理论。

虽然 “概率论 “一词有时也用来指概率计算领域，但本文并不涉及。

计算机科学Computer science代写代考

计算机科学或计算机科学或 CS 是研究信息和计算的理论基础及其在计算机上的实现和应用的领域。计算机科学也被翻译为 “信息科学 “或 “信息工程”。计算机科学有许多不同的领域。一些领域以应用为导向，如计算机制图，而另一些领域则更具数学性质，如被称为理论计算机科学的领域。计算科学是一个响应科学和技术计算的 “计算需求 “的领域，研究实现这一需求的手段就是高性能计算。另一种看似简单的分类是 “硬件”（如计算机工程）和 “软件”（如程序设计），但有些领域可同时被描述为 “硬件 “和 “软件”，如可重构计算，因此这并不是一种简单的分类。

其他相关科目课程代写：

统计推断Statistical inference
统计力学Statistical mechanics
量子计算Quantum computing

信息论Information Theory历史

1948 年 7 月和 10 月，克劳德-香农（Claude Shannon）在《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal）上发表了《通信的数学理论》（A Mathematical Theory of Communication）一文，这是决定信息论诞生并立即引起世界关注的决定性事件。
在这篇文章发表之前，贝尔实验室几乎没有发展出什么信息理论概念，处理等价事件的假设也一直是隐含的。哈里-奈奎斯特（Harry Nyquist）在 1924 年发表的文章《影响电报速度的某些因素》（Certain Factors Affecting Telegraph Speed）中包含了一些理论部分，量化了 “情报 “及其在通信系统中传输的 “速度”，给出了 $W=K \log m$ 的关系式，其中 $W$ 是情报传输的速度，$m$ 是每一步可选择的不同电压水平的数量，而 K 是一个常数。1928 年拉尔夫-哈特利（Ralph Hartley）发表的文章《信息的传输》（Transmission of Information）用信息一词来表示一个可测量的量，反映了接收者将一个符号序列与另一个符号序列区分开来的能力；文中对信息的定义是：$H=\log S^n=n \log S$，其中 S 是可能的符号数，$n$ 是传输的符号数。因此，信息的自然计量单位是十进制数位，后来为了纪念他，改称为哈特里。阿兰-图灵在 1940 年对第二次世界大战中德军使用的英格玛密码的破译进行统计分析时使用了类似的想法。

In July and October 1948, Claude Shannon published A Mathematical Theory of Communication in the Bell System Technical Journal, which was the decisive event that determined the birth of information theory and immediately brought it to the attention of the world. This was the decisive event that determined the birth of information theory and brought it to the world’s attention immediately.
Prior to this article, Bell Labs had developed few information-theoretic concepts, and the assumption of dealing with equivalent events had been implicit. Harry Nyquist’s 1924 article Certain Factors Affecting Telegraph Speed contained some theoretical parts that quantified “intelligence” and its “speed” of transmission through a communication system, giving $W=K \log m $ where $W$ is the speed at which the intelligence is transmitted, $m$ is the number of different voltage levels that can be selected at each step, and K is a constant.The 1928 article Transmission of Information by Ralph Hartley used the term information to denote a measurable quantity that It reflects the ability of a receiver to distinguish one sequence of symbols from another; information is defined in the article as $H=\log S^n=n \log S$, where S is the number of possible symbols and $n$ is the number of symbols transmitted. Thus, the natural unit of measurement for information is the decimal digit, later renamed Hartree in his honour. Alan Turing used a similar idea in 1940 when he statistically analysed the breaking of the Enigma code used by the Germans in World War II.

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信息论Information Theory的重难点

什么是概率质量函数Probability mass function？

概率质量函数（PMF）是概率论和统计学中的一种函数，它将离散随机变量映射为取该值的概率（有时简称为概率函数）。

给定离散随机变量 $X：S \rightarrow \mathbb{R}$，概率函数为
$$
p_X(x)=P(X=x)=P(\s \in S: X(s)=x))
$$
该函数将随机变量 $X$ 取的每个值 $x$ 与变量 $X$ 取该值的概率联系起来。此外，必须满足以下等式：$\Sigma_{i=1}^{\infty} p_X\left(x_i\right)=1$
为了将此定义扩展到整个实数直线，我们假设对于 $X$ 不能取的每个值 $x$（即不包含在 $X$ 的支持中），其值为 0，即
$$
p_X： \³mathbb{R} \longrightarrow[0,1], p_X(x)= \begin{cases}P(X=x), & x \in S, \ 0, & x \in \mathbb{R}. \backslash S .\end{cases}
$$
由于 $S$，即 $X$ 的支持，是一个可数集，$p_X(x)$ 几乎到处都是空函数。
在离散多元变量（即支持是 $\mathbb{R}^n$ 的离散子集）$X=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 的情况下，联合概率函数定义如下：
$$
p_X\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=P\left(\left(X_1=x_1\right) \cap \left(X_2=x_2\right) \cap \ldots \cap\left(X_n=x_n\right)\right)
$$
为了记号的方便，第二个成员通常被写成更简单的 $P\left(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_n=x_n\right)$

什么是定向信息Directed information？

有向信息是一种信息论度量，它量化了从随机字符串 $X^n=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 到随机字符串 $Y^n=\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)$ 的信息流。有向信息一词由詹姆斯-梅西（James Massey）提出，其定义为
$$
I\left(X^n \rightarrow Y^n\right) \triangleq \sum_{i=1}^n I\left(X^i ; Y_i \mid Y^{i-1}\right)
$$
其中 $I\left(X^i ; Y_i \mid Y^{i-1}\right)$ 是条件互信息 $I\left(X_1, X_2, \ldots, X_i ; Y_i \mid Y_1, Y_2, \ldots, Y_{i-1}\right)$ 。
有向信息可应用于因果关系起重要作用的问题，如具有反馈能力的离散无记忆网络的信道容量、具有块内记忆的网络容量、具有因果侧信息的赌博、具有因果侧信息的压缩、实时控制通信设置和统计物理学等。

什么是概率分布Probability distribution？

更正式地说，给定一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \nu$ ) （其中 $\Omega$ 是一个称为样本空间或事件集的集合、 $\mathcal{F}$是$\Omega$上的西格玛代数，$\nu$是概率度量），给定一个可测空间$(E, \mathcal{E})$，一个$(E, \mathcal{E})$变量随机是一个可测函数$X： \Omega \rightarrow E$ 从样本空间到 $E$。

在这个定义中，我们可以理解，如果对于每个 $A \ in \mathcal{E}$ 我们都有 $X^{-1}(A) \ in \mathcal{F}$ ，那么函数 $X$ 就是可测的。这个可测性定义是 Lindgren（1976）所定义的定义的一般化：当且仅当事件 $\omega \in \Omega: X(\omega) \leq \lambda}$ 对于每个 $\lambda$ 都属于 $\mathcal{B}$ 时，定义在样本空间 $\Omega$ 上的函数 $X$ 才被称为相对于 Borel 场 $\mathcal{B}$ 是可测的。
如果 $E$ 是拓扑空间，并且 $mathcal{E}$ 是波尔的西格玛代数，那么 $X$ 也被称为 $E$ 随机变量。此外，如果 $E=\mathbb{R}^n$，那么 $X$ 就被简单地称为随机变量。
换句话说，随机变量 $X$ 是由定义在事件集 $\Omega$ 上的概率度量诱导目标可测空间 $E$ 上的概率度量的一种方法。

一维随机变量（即值在 $\mathbb{R}$ 中）被称为简单或单变量。
多维随机变量被称为多变量或多元变量（双变量、三变量、$k$-uple）。
取决于参数 $t$（其中 $t$ 通常代表时间）的随机变量被视为随机过程。

信息论Information Theory的相关课后作业范例

这是一篇关于信息论Information Theory的作业

问题 1.

For nonnegative numbers, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ and $b_1, b_2, \ldots, b_n$,
$$
\sum_{i=1}^n a_i \log \frac{a_i}{b_i} \geq\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \log \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}
$$
with equality if and only if $\frac{a_i}{b_i}=$ const.

Proof: Assume without loss of generality that $a_i>0$ and $b_i>0$. The function $f(t)=t \log t$ is strictly convex, since $f^{\prime \prime}(t)=\frac{1}{t} \log e>0$ for all positive $t$. Hence by Jensen’s inequality, we have
$$
\sum \alpha_i f\left(t_i\right) \geq f\left(\sum \alpha_i t_i\right)
$$
for $\alpha_i \geq 0, \sum_i \alpha_i=1$. Setting $\alpha_i=\frac{b_i}{\sum_{j=1}^n b_j}$ and $t_i=\frac{a_i}{b_i}$, we obtain
$$
\sum \frac{a_i}{\sum b_j} \log \frac{a_i}{b_i} \geq \sum \frac{a_i}{\sum b_j} \log \sum \frac{a_i}{\sum b_j},
$$
which is the log sum inequality.
We now use the $\log$ sum inequality to prove various convexity results. We begin by reproving Theorem 2.6.3, which states that $D(p | q) \geq 0$ with equality if and only if $p(x)=q(x)$. By the log sum inequality,
$$
\begin{aligned}
D(p | q) & =\sum p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \
& \geq\left(\sum p(x)\right) \log \sum p(x) / \sum q(x) \
& =1 \log \frac{1}{1}=0
\end{aligned}
$$
with equality if and only if $\frac{p(x)}{q(x)}=c$. Since both $p$ and $q$ are probability mass functions, $c=1$, and hence we have $D(p | q)=0$ if and only if $p(x)=q(x)$ for all $x$.

最后的总结：

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有限元方法代写Finite Element Method代考2023

Posted on 2023年10月6日2023年10月7日 by statistics-lab

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有限元方法代写Finite Element Method代考

有限元法（FEM）是一种数值分析方法。它是一种通过数值方法获得难以解析求解的微分方程近似解的方法，由 Turner-Clough-Martin-Topp 提出。将定义方程的区域划分为小区域（元素），每个小区域中的方程由相对简单且通用的插值函数来近似。该方法是在结构力学领域发展起来的，并广泛应用于其他领域。其背后的理论在数学上组织良好，再加上泛函分析（Riess表示定理、Lax-Milgram定理等）。

使用 FEM 研究和分析现象有时称为“有限元分析 (FEA)”。

特征
如果我们在每个子区域内用线性函数进行插值（如果近似空间成为原始解空间的子空间，我们将寻求某种投影），那么在整个区域中它是适当范数的最佳近似。表明
它可以处理线性问题、非线性问题、动态分析等多种问题。这是由于如何创建近似方程和区域形状的自由度很高。
在 FEM 中，通过使用变分微分法最小化误差函数来近似解。

有限元方法包含几个不同的主题，列举如下：

偏微分方程Partial differential equation代写代考

微分方程通常有很多解，常常添加边界条件来限制解集。在常微分方程的情况下，每个解都有一系列由某些参数的值表征的解，但在偏微分方程的情况下，将参数视为取函数值更有用。除非方程组是超定的，否则这通常是正确的。

偏微分方程作为描述与流体、引力场和电磁场等场相关的自然现象的模型出现在自然科学领域。这些领域是在飞行模拟、计算机图形学或天气预报等处理中发挥重要作用的工具。广义相对论和量子力学的基本方程也是偏微分方程。它也是经济学尤其是金融工程中的一个重要概念。

初值问题Initial value problem代写代考

初值问题是一个微分方程
$y^{\prime}(t)=f(t, y(t))$ 与 $f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} ^n$ 其中$\Omega$ 是$\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 的开集，
与 $f$ 分布域中的点一起，也称为 Schwartz
$$
\left(t_0, y_0\right) \in \Omega \text {, }
$$
分布或广义函数是概括数学中称为初始条件的经典函数概念的对象。分析。分布使得有可能
初值问题的解是函数 $y$，它是微分方程的解并且满足
$$
y\left(t_0\right)=y_0\text {. }
$$
不存在于古典意义上。
在更高维度中，微分方程被方程组 $y_i^{\prime}(t)=f_i\left(t, y_1(t), y_2(t), \ldots\right)$ 和 $ 取代 y(t)$ 被视为向量 $\left(y_1(t), \ldots, y_n(t)\right)$，最常与空间位置相关。更一般地，未知函数 $y$ 可以在无限维空间上取值，例如巴纳赫空间或分布空间。
通过以与独立函数相同的方式处理导数，将初始值问题扩展到更高阶，例如 $y^{\prime \prime}(t)=f\left(t, y(t), y^{\prime}(t)\right)$。

其他相关科目课程代写：

常微分方程Ordinary differential equation
数值线性代数Numerical linear algebra
变分微积分Calculus of variations

有限元方法Finite Element Method历史

虽然很难引用有限元方法的发明日期，但该方法起源于解决土木和航空工程中复杂的弹性和结构分析问题的需要。它的发展可以追溯到 A. Hrennikoff 和 R 的工作库朗在20世纪40年代初。另一位先驱是扬尼斯·阿吉里斯 (Ioannis Argyris)。在苏联，该方法的实际应用介绍通常与Leonard Oganesyan的名字联系在一起。在中国，冯康也于20世纪50年代末和1960年代初根据大坝建设的计算独立地重新发现了该方法，其中它被称为基于变分原理的有限差分法。尽管这些先驱者使用的方法不同，但他们都有一个基本特征：将连续域网格离散化为一组离散子域（通常称为元素）。

Hrennikoff 的工作通过使用晶格类比来离散化域，而 Courant 的方法将域划分为有限的三角形子区域，以求解由圆柱体扭转问题引起的二阶椭圆偏微分方程。库朗的贡献是进化性的，借鉴了瑞利、里兹和伽辽金开发的大量早期偏微分方程结果。

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有限元方法Finite Element Method的重难点

什么是比例边界有限元法 (SBFEM)Scaled boundary finite element method (SBFEM)？

缩放边界有限元法 (SBFEM) 的引入来自 Song 和 Wolf (1997)。SBFEM 一直是断裂力学问题数值分析领域最有价值的贡献之一。它是一种半解析的基本无解方法，结合了有限元公式和程序以及边界元离散化的优点。然而，与边界元法不同，不需要基本的微分解。

什么是广义有限元法Generalized finite element method？

广义有限元方法 (GFEM) 使用由函数（不一定是多项式）组成的局部空间，这些函数反映了未知解的可用信息，从而确保良好的局部逼近。然后使用单位划分将这些空间“粘合”在一起以形成近似子空间。当应用于具有复杂边界的域问题、微尺度问题和边界层问题时，GFEM 的有效性已得到证明。

什么是混合有限元法Mixed finite element method？

混合有限元法是一种在偏微分方程问题离散化过程中引入额外的自变量作为节点变量的有限元方法。

有限元方法Finite Element Method的相关课后作业范例

这是一篇关于有限元方法Finite Element Method的作业

问题 1. a. Demonstrate the effects of the time step on the solution for a case where $\alpha=0, \beta=1 / 2, \gamma=1 / 4$,

Solution of part (a):
In case the numerical integration parameters are chosen as $\alpha=0, \beta=1 / 2$, $\gamma=\frac{1}{4}$, the $\alpha$-method presents an unconditionally stable and implicit solution algorithm. The transient solutions presented in are

obtained by using $\Delta t=10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}$, and $10^{-4}$ second-time steps. This figure compares the numerically calculated solution to the analytically predicted solution given in ; vibration response of the mid-point of the beam (top) and the vibration snapshots (bottom) of the whole beam are plotted as a function of time. We see that the solution remains stable for all four time step sizes, but the coarsest time step, $\Delta t=10^{-1}$, has significant period and amplitude errors. By using smaller time steps, the error is diminished significantly. For the case of $\Delta t=10^{-4}$, the numerical and analytical solutions become virtually identical.

最后的总结：

通过对有限元方法Finite Element Method各方面的介绍，想必您对这门课有了初步的认识。如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。

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组合学代写Combinatorics代考2023

Posted on 2023年10月6日2023年10月6日 by statistics-lab

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组合学代写Combinatorics代考

组合学是数学的一个分支，属于离散数学领域，研究满足某些既定条件的配置属性的枚举、构造和存在性。此外，它还研究一定数量元素的排列或分组。

组合学的方面包括计算给定类型和大小的结构（枚举组合学），决定何时可以满足某些标准，以及构建和分析满足标准的对象（如组合设计和拟阵理论）以及查找对象。、“更小”或“最优”（极端组合学和组合优化），研究代数背景中出现的组合结构，或将代数技术应用于组合问题（代数组合学）。

组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑和几何中，并且组合学在数学优化、计算机科学、遍历理论和统计物理学中也有许多应用。

许多组合问题历来都是孤立考虑的，为某些数学背景下出现的问题提供了适当的解决方案。然而，到 20 世纪末，强大而通用的理论方法得到了发展，使组合数学本身成为数学的一个独立分支。图论是组合学中最古老、最容易理解的部分之一，它与其他领域也有许多天然的联系。组合数学在计算机科学中经常用于获取算法分析中的公式和估计。

组合学包含几个不同的主题，列举如下：

分析组合学Analytic combinatorics代写代考

分析组合学涉及使用复杂分析和概率论工具来枚举组合结构。与使用显式组合公式和生成函数来描述结果的枚举组合学不同，解析组合学旨在获得渐近公式。

划分理论Partition theory代写代考

划分理论研究与整数划分相关的各种枚举和渐近问题，与q级数、特殊函数和正交多项式密切相关。它最初是数论和分析的一部分，现在被认为是组合数学的一部分或一个独立领域。它结合了双射方法和分析和解析数论中的各种工具，并与统计力学有联系。分区可以使用 Young 图或 Ferrers 图以图形方式可视化。它们出现在数学和物理学的许多分支中，包括对称多项式和对称群以及一般群表示论的研究。

其他相关科目课程代写：

图论Graph theory
有限几何Finite geometry
拟阵理论Matroid theory

组合学Combinatorics历史

组合问题自古以来就被研究，但组合数学作为数学的一个重要领域直到最近五十年才被认识。第一篇重视组合学的文章出自 Netto。 1915 年珀西·亚历山大·麦克马洪 (Percy Alexander MacMahon) 出版了《组合分析》一文后，组合学获得了一定的自主性。在接下来的几年里，它的重要性逐渐增长：König 关于图论和马歇尔·霍尔 (Marshall Hall) 的文本应该被记住。

它的发展受到了 Gian-Carlo Rota 工作的推动，他从 20 世纪 60 年代开始为范围广泛、形式清晰的统一理论的基础做出了贡献。另一位有影响力的人物是马塞尔·保罗·舒岑伯格。一种不同但非常有效的行动归功于保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）及其提出和解决问题的能力，他的贡献主要涉及极端问题。

Combinatorial problems have been studied since ancient times, but combinatorics as an important field of mathematics has only been recognized in the last fifty years. The first article focusing on combinatorics was by Netto. Combinatorics gained a certain autonomy after Percy Alexander MacMahon published Combinatorial Analysis in 1915. Over the following years its importance gradually grew: König’s texts on graph theory and Marshall Hall should be remembered.

Its development was stimulated by the work of Gian-Carlo Rota, who from the 1960s contributed to the basis of a wide-ranging and clearly formalized unified theory. Another influential figure was Marcel Paul Schuzenberg. A different but very effective action was attributed to Paul Erdős and his ability to raise and solve problems, his contribution mainly concerned extreme problems.

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组合学Combinatorics的重难点

什么是极值组合学Extremal combinatorics？

大多数极值组合学都涉及集合的类别。这称为极值集合论。例如，在一个包含 n 个元素的集合中，可以有两两交集的包含 k 个元素的子集的最大数量是多少？不包含另一个子集的最大数量是多少？最后一个问题在斯佩纳定理中得到了解答，该定理极大地推动了极值集合论的发展。

另一个例子：你可以邀请多少人参加一个聚会，每组三人中有两个互相认识的人，两个互相不认识的人？拉姆齐的理论表明，最多可以有五个人参加这个聚会。或者，假设我们有一个有限的非零整数集合，并且要求我们标记该集合的最大可能子集，但受到任何一对标记整数之和未被标记的限制。似乎（无论给定的整数实际上是什么！）人们总是可以标记其中的至少三分之一。

什么是概率组合学Probabilistic combinatorics？

概率证明或概率方法是通过概率考虑对数学对象的确定存在进行非构造性数学证明的技术。

该方法由 Paul Erdős 提出，应用于组合学、数论、线性代数、分析以及其他应用学科，例如计算机科学或信息论。

一般来说，它利用了这样一个事实：如果集合中的所有对象都不具有特定属性，则集合中随机选择的对象满足该属性的概率为零。如果概率严格小于一，则集合中至少有一个对象不满足该属性。相反，考虑随机变量（对享有思想属性的对象进行计数的随机变量）的期望值，如果证明该变量可以取低于期望值的值，那么它也必须取大于期望值的值比它（因此计数变量大于 1 的概率为正）。

什么是代数组合学Algebraic combinatorics？

代数组合学已被更广泛地视为数学领域，其中组合和代数方法的相互作用特别强烈和重要。因此，组合主题本质上可以是枚举的，或者涉及拟阵、多面体、偏序集或有限几何。在代数方面，除了群论和表示论之外，还常用格论和交换代数。

组合学Combinatorics的相关课后作业范例

这是一篇关于组合学Combinatorics的作业

问题 1.

For $n$ and $r$ positive integers with $r \leq n$,
$$
P(n, r)=n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1) .
$$

Proof. In constructing an $r$-permutation of an $n$-element set, we can choose the first item in $n$ ways, the second item in $n-1$ ways, whatever the choice of the first item, . . . , and the $r$ th item in $n-(r-1)$ ways, whatever the choice of the first $r-1$ items. By the multiplication principle the $r$ items can be chosen in $n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1)$ ways.
For a nonnegative integer $n$, we define $n !($ read $n$ factorial $)$ by
$$
n !=n \times(n-1) \times \cdots \times 2 \times 1,
$$
with the convention that $0 !=1$. We may then write
$$
P(n, r)=\frac{n !}{(n-r) !} .
$$
For $n \geq 0$, we define $P(n, 0)$ to be 1 , and this agrees with the formula when $r=0$. The number of permutations of $n$ elements is
$$
P(n, n)=\frac{n !}{0 !}=n !
$$

最后的总结：

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微积分代写Calculus代考2023

Posted on 2023年9月28日2023年10月6日 by statistics-lab

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微积分代写Calculus代考

微积分或微积分学是数学领域之一，是分析研究的基础部分。微积分由两个支柱组成：微分和积分，前者捕捉局部变化，后者处理局部量的全局聚合，虽然很难确定该领域的范围，但一般包括与多元实值函数的微分和积分有关的事项（包括反函数定理和向量分析）。

微分是考虑函数在某一点的切线或切面的操作。用其他数学术语来说，它基本上是通过线性近似来捕捉复变函数的思想。因此，导数是一种线性映射。然而，将多元函数的导数视为线性映射的想法直到 20 世纪才出现。微分方程是这一思想的自然延伸。

相比之下，积分在几何上等同于求曲线或曲面与坐标轴之间区域的面积（体积）。黎曼（Bernhard Riemann）将定积分（单变量）的值直接定义为矩形近似的极限，并证明了连续函数有积分。根据他的定义，积分被称为黎曼积分。

导数和积分是完全不同的概念，但又密切相关，在单变量的情况下，它们与另一变量的逆运算具有相同的含义（微积分基本定理）。导数是斜率，积分是面积。

微积分包含几个不同的主题，列举如下：

多元微积分Multivariable calculus代写代考

多变量微积分（也称为多元微积分）是一变量微积分到多变量函数微积分的扩展：涉及多个变量（多变量）的函数的微分和积分，而不仅仅是一个变量。

多元微积分可以被认为是高级微积分的基本部分。对于高级微积分，请参阅欧几里得空间上的微积分。三维空间中微积分的特殊情况通常称为向量微积分。

偏微分方程Partial Differential Equations代写代考

其他相关科目课程代写：

常微分方程Ordinary Differential Equations
微分几何学Differential Geometry

微积分Calculus近代史

在欧洲，博纳文图拉-卡瓦列里在他的论文中讨论了将面积和体积确定为极精细区域的面积和体积之和的方法，从而奠定了微分学和积分学的基础。

他在微积分表述方面的工作促使卡瓦列里的微积分与大约同时在欧洲出现的有限差分法相结合。约翰-沃利斯、艾萨克-巴罗和詹姆斯-格里高利进行了这一整合，巴罗和格里高利在 1675 年左右证明了微积分基本定理的第二定理。

艾萨克-牛顿以独特的符号引入了乘积微分定律、链式法则、高阶微分符号、泰勒级数和解析函数等概念，并用它们解决了数学物理中的问题。在出版时，牛顿用等效的几何科目取代了微分，以适应当时的数学术语并避免受到指责。牛顿在《自然哲学的数学原理》中用微分和积分的方法讨论了各种问题，包括天体的轨道、旋转流体表面的形状、地球的偏心率和重物在摆线上滑动的运动。除此之外，牛顿还发展了函数的级数展开，显然他了解泰勒级数的原理。

戈特弗里德-莱布尼兹最初被怀疑剽窃牛顿未发表的论文，但现在被公认为是微积分发展的原始贡献者之一。
正是戈特弗里德-莱布尼茨将这些思想系统化，并将微积分确立为一门严谨的学科。当时，他被指责剽窃牛顿，但今天，他已被公认为建立和发展微分学和积分学的最初贡献者之一。莱布尼茨明确定义了微量的操作规则，使二阶和高阶导数的计算成为可能，并定义了莱布尼茨法则和链式法则。与牛顿不同，莱布尼茨非常注重形式主义，他花了很多天来苦苦思索用什么符号来表示每个概念。

In Europe, Bonaventure Cavalieri laid the foundations of differential and integral calculus by discussing in his dissertation the method of determining the area and volume as the sum of the areas and volumes of very fine regions.

His work on the formulation of the calculus led to the combination of Cavalieri’s calculus with the finite difference method, which appeared in Europe at about the same time. This integration was carried out by John Wallis, Isaac Barrow, and James Gregory, with Barrow and Gregory proving the Second Theorem of the Fundamental Theorem of Calculus around 1675.

Isaac Newton introduced the concepts of the law of product differentiation, the chain rule, higher-order differential notation, Taylor series, and analytic functions in a unique notation, and used them to solve problems in mathematical physics. At the time of publication, Newton replaced differentiation with equivalent geometric subjects to accommodate the mathematical terminology of the time and to avoid censure. In Mathematical Principles of Natural Philosophy, Newton used differential and integral methods to discuss a variety of problems, including the orbits of celestial bodies, the shapes of the surfaces of rotating fluids, the eccentricity of the earth, and the motion of a heavy object sliding on a pendulum. In addition to this, Newton developed the series expansion of functions, and it is clear that he understood the principles of Taylor’s series.

Gottfried Leibniz was initially suspected of plagiarizing Newton’s unpublished papers, but is now recognized as one of the original contributors to the development of calculus.
It was Gottfried Leibniz who systematized these ideas and established calculus as a rigorous discipline. At the time, he was accused of plagiarizing Newton, but today he is recognized as one of the original contributors to the establishment and development of differential and integral calculus. Leibniz explicitly defined the rules for the operation of differentials, made possible the computation of second- and higher-order derivatives, and defined Leibniz’s law and the chain rule. Unlike Newton, Leibniz was very much a formalist and spent many days agonizing over what symbols to use for each concept.

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微积分Calculus的重难点

什么是极限和无穷小Limits and infinitesimals？

微积分通常是通过处理非常小的量而发展起来的。从历史上看，第一种方法就是无穷小。这些对象可以像实数一样处理，但在某种意义上是 “无限小 “的。例如，一个无穷小数可能大于 0，但小于序列 1,1 / 2,1 / 3, \ldots$中的任何数，因此小于任何正实数。从这个角度看，微积分就是处理无穷小数的一系列技术。符号 $d x$ 和 $d y$ 被认为是无穷小数，导数 $d y / d x$ 是它们的比值。${ }^{[37]}$

什么是差分微积分Differential calculus？

数学中的微积分（微分；微积分）是微分和积分微积分的一个分支，其研究重点是量的变化。微积分与积分微积分是一个历史领域，将微积分分为两个分支。

微积分的主要研究方向是函数微分（微分商、微分系数）和相关概念，如无穷小及其应用。函数在所选输入值中的微分商描述了函数在输入值附近的变化率。求微分商的过程也称为微分。从几何学角度看，图形上某一点的微分系数是函数图形切线在该点的斜率（如果存在并定义在该点上）。对于单变量实值函数，函数在某一点的导数通常定义了函数在该点的最佳线性近似值。

什么是莱布尼兹符号Leibniz’s notation？

在微积分中，莱布尼兹符号是为了纪念17世纪德国哲学家和数学家戈特弗里德-威廉-莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）而命名的，它使用符号$d x$和$d y$分别表示$x$和$y_1$的无限小（或无穷小）增量，正如$\Delta x$和$\Delta y$分别表示$x$和$y$的有限增量一样。

将 $y$ 视为变量 $x$ 的函数，即 $y=f(x)$。如果是这种情况，那么 $y$ 相对于 $x$ 的导数，也就是后来的极限
$$
\lim {Delta x \rightarrow 0} \frac{Delta y}{Delta x}=\lim {Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{Delta x}、
$$
根据莱布尼茨的说法，是$y$的无穷小增量与$x$的无穷小增量之商，或
$$
\frac{d y}{d x}=f^{prime}(x)、
$$
其中右边是约瑟夫-路易-拉格朗日关于 $f$ 在 $x$ 处导数的符号。无穷小的增量称为微分。与此相关的是将无穷小增量相加的积分（例如，将长度、面积和体积作为微小部分的总和来计算），莱布尼茨也为此提供了一个涉及相同微分的密切相关的符号，这种符号的效率在欧洲大陆数学的发展中被证明是决定性的。

微积分Calculus的相关课后作业范例

这是一篇关于微积分Calculus的作业

问题 1.

Let $P=(0,1,0), Q=(2,1,3), R=(1,-1,2)$. Compute $\overrightarrow{P Q} \times \overrightarrow{P R}$ and find the equation of the plane through $P, Q$, and $R$, in the form $a x+b y+c z=d$.

$\overrightarrow{P Q}=\langle 2,0,3\rangle ; \overrightarrow{P R}=\langle 1,-2,2\rangle ; \overrightarrow{P Q} \times \overrightarrow{P R}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & k \ 2 & 0 & 3 \ 1 & -2 & 2\end{array}\right|=6 \hat{\imath}-\hat{\jmath}-4 \hat{\boldsymbol{k}}$
Equation of the plane: $6 x-y-4 z=d$. Plane passing through $P: 6 \cdot 0-1-4 \cdot 0=d$.
Equation of the plane: $6 x-y-4 z=-1$.

最后的总结：

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时间序列分析代写Time Series Analysis代考2023

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时间序列分析代写Time Series Analysis代考

时间序列是通过连续（或以固定间隔不连续）观察某一现象随时间的变化而获得的一系列数值。例如，在统计或信号处理中，它是按照时间测量的数据序列，以一定的时间间隔（通常是恒定的）测量。如果时间间隔不均匀，则称为点过程。

时间序列分析或时间序列分析是一种解释此类时间序列的方法，目的是找出数据序列背后的理论（为什么时间序列会出现这样的结果？） )或进行预测。时间序列预测包括根据已知的过去事件建立一个未来模型，并在测量之前预测未来可能出现的数据点。例如，根据某只股票过去的价格趋势预测其未来的价格。

时间序列包含几个不同的主题，列举如下：

线性模型general linear model代写代考

时间序列数据有多种形式的模型。经典的著名线性模型是自回归移动平均模型（ARMA），它将自回归（autoregressive；AR）模型与移动平均（moving average；MA）模型相结合。此外，还有自回归求和移动平均模型（ARIMA），它结合了求和模型（综合；I）。这些模型都线性依赖于过去的数据序列和噪声。对过去数据的非线性依赖很有意思，因为它可能会产生混乱的时间序列。

状态空间（控制论）State Space代写代考

状态空间模型是按以下方式表示时间序列 y_t$ 的模型：x_t$ 为状态（不可观测），y_t$ 为观测值，v_t$ 为系统噪声（状态转换噪声），w_t$ 为观测噪声。

$$
\begin{aligned}
x_t & =f_t\left(x_{t-1}, v_t\right) \
y_t & =h_t\left(x_t, w_t\right)
\end{aligned}
$$

此模型可与粒子过滤器（蒙特卡罗方法）一起使用，以找到状态 $x_t$ 的概率分布。对 $f_t$ 和 $h_t$ 函数没有限制，但 $h_t$ 必须能够根据观测值反向计算可能性（概率密度或概率质量）。x_t$ 和 y_t$ 不必是实向量，可以是任何数据结构。
如果状态和值都是实数列向量，函数 $f_t$ 和 $h_t$ 是线性的（矩阵相乘），系统噪声 $v_t$ 和观测噪声 $w_t$ 遵循多元正态分布，则可得到以下结果。

$$
\begin{aligned}
& x_t=F_t x_{t-1}+G_t v_t \
& y_t=H_t x_t+w_t
\end{aligned}
$$

状态 $x_t$ 的概率分布（多元正态分布）可以通过卡尔曼滤波得到精确解；ARMA 和 ARIMA 也可以用这个线性模型来处理。

其他相关科目课程代写：

Exploratory data analysis探索性数据分析
Curve fitting曲线拟合

时间序列分析Time Series Analysis定义

一般来说，数列指的是将对某一现象的若干观察结果按质量特征进行分类。如果该特征是时间，则该数列称为历史数列或时间数列。
观察到的现象称为变量，可以在给定的时间瞬间观察到（状态变量：公司员工人数、证券交易所股票收盘价、利率水平等），也可以在规定长度的周期结束时观察到（流量变量：公司年销售额、季度国内生产总值等）。
我们用 $Y$ 表示现象，用 $Y_t$ 表示时间 $t$ 的观测值，用 $t$ 表示从 1 到 $T$ 的整数，其中 $T$ 是所考虑的时间间隔或时间段的总数。因此，时间序列表示为 $Y_t=left{Y_1，Y_2，Y_3，\ldots，Y_T\right}$，在这种情况下，长度为 $T$。

例如，如果要调查 1981 年第一季度至 2008 年第二季度以百万欧元为单位的环比季度国内生产总值（参考年份：2000 年；原始数据），则有 $T=110$ 的观测值，包括： ${ }^{[1]}$

$Y_1$：1981 年第一季度末的国内生产总值（193 505）；
$Y_{12}$：1983 年第 4 季度末的本地生產總值 (215 584)；
$Y_{55}$：1994 年第三季度末的本地生產總值（263 660）。

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时间序列分析Time Series Analysis的重难点

什么是线性近似linear approximation？

数学中的线性逼近是指用线性函数（或更准确地说，用仿射映射）逼近一般函数。
例如，根据泰勒定理，两次微分的单项式函数 $\mathrm{f}$ 在 $n=1$ 时的值为
$$
f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+R_2
$$
可表示为 $R_2$ 是均值项。线性近似丢掉了均值项。
$$
f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)
$$
即 $$f(x)+f^{\prime}(a)(x-a) $$。如果 $x$ 与 $a$ 足够接近，则该近似值成立。这个等式的右边只是 $f$ 图形在 $(a, f(a))$ 处的切线的表格表达式，因此也称为切线近似。
$$
f(x) \approx f(a)
$$
称为 f 在 a 处的标准线性近似值，$\mathrm{x}=\mathrm{a}$$ 称为中心。

什么是信号估算Signal processing？

信号处理（英语：signal processing）是使用数学方法处理（分析和处理）信号（光学、音频、图像信号等）的研究和技术的总称。

它可分为模拟信号处理和数字信号处理。信号处理的基础领域也称为信号理论。

从根本上说，它是从信号到信号的转换，不包括以信号以外的其他形式产生信息的任何工作（例如，产生推理信息的分类和联想、识别和理解）。压缩通常也不包括在内。然而，作为识别、理解和压缩的第一步，信号的转换被称为信号处理。因此，信号处理对这些技术非常重要，也与这些技术息息相关。如果输入和输出是同一类型（物理量）的信号（例如输入和输出具有相同的声压），也称为滤波。

什么是相关系数（Correlation）？

相关系数是两个数据或随机变量之间线性关系强度的度量。相关系数是一个无量纲量，取值介于 -1 和 1 之间的实数。当相关系数为正值时，随机变量具有正相关性；当相关系数为负值时，随机变量具有负相关性。当相关系数为零时，随机变量被认为是不相关的。

例如，发达国家的失业率和实际经济增长率呈强负相关，相关系数接近-1。

只有当两个数据（随机变量）呈线性关系时，相关系数的值才为±1。此外，如果两个随机变量相互独立，则相关系数为 0，反之则不成立。

时间序列分析Time Series Analysis的相关课后作业范例

这是一篇关于时间序列分析Time Series Analysis的作业

问题 1.

For an $A R(1)$ process the optimal forecast $k$ periods in the future is:
$$
E_t\left[Y_{t+k}\right]=\phi^k Y_t
$$

Proof. For an $\mathrm{AR}(1)$ process we have shifting (2.6) $k$ periods in the future that:
$$
Y_{t+k}=\phi Y_{t+k-1}+a_{t+k} .
$$
Applying $E_t$ to both sides we obtain:
$$
E_t\left[Y_{t+k}\right]=\phi E_t\left[Y_{t+k-1}\right]+\underbrace{E_t\left[a_{t+k}\right]}{=0} $$ where: $E_t\left[a{t+k}\right]=0$ since $a_{t+k}$ is $i . i . d$. and hence independent of the information at time $t$. Hence:
$$
E_t\left[Y_{t+k}\right]=\phi \underbrace{E_t\left[Y_{t+k-1}\right]}{=\phi E_t\left[Y{t+k-2}\right]} .
$$
Continuing this process of substitution we have:
$$
E_t\left[Y_{t+k}\right]=\phi^k E_t\left[Y_t\right] .
$$
Since $Y_t$ is observed at time $t$ and is thus in the information set, it follows that:
$$
E_t\left[Y_t\right]=Y_t
$$

最后的总结：

通过对时间序列分析Time Series Analysis各方面的介绍，想必您对这门课有了初步的认识。如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。

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贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考2023

Posted on 2023年9月27日2023年10月6日 by statistics-lab

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贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考

贝叶斯统计（贝叶斯统计）是指基于贝叶斯概率解释的统计（和理论）。

在这种概率的贝叶斯解释中，相关变量的概率（分布）代表了事件的直观置信度（假设模型的置信度）。因此，它的特点是它也是参数变量的概率，而不是一个固定值。
此外，这种概率会根据新收集到的现实世界信息和数据更新为更精确的形式，因此被视为忠实反映事实的函数。直觉信心可以基于有关事件的先前知识，如以前的实验结果或个人对事件的信心。
上述理论不同于基于其他许多概率解释的统计理论（英文版）。例如，频繁主义解释将概率视为多次试验后事件相对频率的极限。原则上，参数变量也被视为固定值。

数学包含几个不同的主题，列举如下：

贝叶斯推理Bayesian inference代写代考

贝叶斯推理（Bayesian inference）是指根据贝叶斯概率的概念，从概率论的意义上对观察到的事件（观察到的事实）所要推断的事项（作为其原因的因果事件）进行推理。

贝叶斯定理被用作基本方法，因此得名。它已被应用于统计学，是贝叶斯统计学的典型方法。

在贝叶斯估计中，获得参数$theta$的点估计值被视为给定沉函数值（如平均值或中值）的导数计算：在获得贝叶斯概率（分布函数）后，$p(\theta) \rightarrow \hat{\theta}$ 。术语 “真值 “是指给定值的值。
该术语依赖于 “真值是分布式的 “和 “我们不关心点估计 “等观点。

统计建模Statistical modeling代写代考

统计模型（statistical model）是一种数学模型，它体现了关于样本数据（以及来自更大统计群体的类似数据）生成的一系列统计假设。统计模型通常是对数据生成过程相当理想化的描述。

统计模型通常指定为一个或多个随机变量与其他非随机变量之间的数学关系。统计模型是 “理论的正式表述”（赫尔曼-阿德尔引用肯尼斯-博伦的话）。

所有统计假设检验和统计估计都是通过统计模型得出的。更广泛地说，统计模型是统计推断的基础。

贝叶斯实验设计Bayesian experimental design代写代考

贝叶斯实验设计提供了一个通用的概率论框架，从这个框架中可以衍生出其他实验设计理论。它以贝叶斯推理为基础，对实验过程中获得的观测结果/数据进行解释。这样既可以考虑到有关待确定参数的先验知识，也可以考虑到观测结果的不确定性。

贝叶斯实验设计理论在一定程度上基于在不确定情况下做出最优决策的理论。设计实验的目的是使实验结果的预期效用最大化。效用最常见的定义是对实验所提供信息准确性的衡量（如香农信息或方差的负值），但也可能涉及进行实验的财务成本等因素。最佳实验设计取决于所选择的特定效用标准。

其他相关科目课程代写：

Notation in probability and statistics概率和统计符号
Exploratory data analysis探索性数据分析

贝叶斯分析Bayesian Analysis相关

在贝叶斯环境中比较算法和分析数值问题，参见贝叶斯方法。
数值算法通常是针对具有某些共同特性的输入而开发和应用的。在算法的理论比较中，要么选择一类 $P$ 输入，并在该类 $P$ 输入的最坏情况下定义算法的成本和误差。或者，在贝叶斯数值分析中，人们对输入进行先验分布$\mu$，并在平均情况下定义算法的成本和误差，即通过对$\mu$的期望。例如，如果 $\epsilon(p, m)$ 表示应用于输入 $p$ 的方法 $m$ 的误差，那么
$$
\mathcal{E}{text {wor }}(P, m)=\sup {p \in P}|\epsilon(p, m)|
$$
称为 $m$ 在 $P$ 上的最坏（最大）误差，而
$$
\mathcal{E}_{text {avg }}(\mu, m)=\int|\epsilon(p, m)| d \mu(p)
$$
称为 $m$ 相对于 $\mu$ 的平均误差。算法的最优性和数值问题的复杂性这两个概念在最坏情况设置和贝叶斯设置中都有类似的定义，请参见计算算法的最优化和基于信息的复杂性。

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贝叶斯分析Bayesian Analysis的重难点

什么是贝叶斯定理？

在概率论和统计学中，贝叶斯定理（以托马斯-贝叶斯牧师的名字命名）、贝叶斯规则以及最近的贝叶斯价格定理，都是基于对可能与某一事件相关联的条件的先验知识而得出的事件概率贝叶斯概率描述的是基于对可能与某一事件相关的条件的先验知识而得出的该事件的概率。例如，如果已知罹患某种健康问题的风险会随着年龄的增长而增加，那么贝叶斯定理就能更准确地评估特定年龄个体的风险（以年龄为条件），而不是简单地假设该个体是整个人群的典型代表。

贝叶斯定理的数学表达式如下：.
$$
P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$
其中 $A$ 和 $B$ 为事件，$P(B) 为 0$。

$P(A \mid B)$$ 是当 $B$ 为真时，事件 $A$ 发生的条件概率。它也称为给定 $B$ 时 $A$ 的后验概率。
$P(B \mid A)$ 也是一种条件概率，即当 $A$ 为真时，$B$ 发生的概率。由于 $P(B 与中间 A)=L(A 与中间 B)$，所以也可以解作在固定 $B$ 的情况下 $A$ 发生的可能性。
$P(A)$ 和 $P(B)$ 分别是在不给定条件下观察到 $A$ 和 $B$ 的概率，称为边际概率和先验概率。
A$ 和 B$ 必须是不同的事件。
贝叶斯定理的证明源于$P(A, B)=P(A \mid B) P(B)=P(B \mid A) P(A)$。

什么是先验概率（Prior probability）？

在贝叶斯统计推理中，未知量 p 的先验概率分布（通常也称为先验分布）（例如，假设 p 是在未来选举中投票给政治家罗西的选民比例）是在考虑 “数据”（例如民意调查）之前表达 p 的不确定性的概率分布。其目的是将不确定性而非随机性归因于一个不确定的量。未知量可以是参数或潜在变量。

应用贝叶斯定理，将先验分布乘以似然函数，然后进行归一化处理，就得到了后验概率分布，即获得数据后不确定量的条件分布。

先验分布通常是专家的主观确定（诱导）。在可能的情况下，有些人会选择共轭先验分布，以简化后验分布的计算。

先验分布的参数称为超参数，以区别于基础数据模型的参数。例如，如果使用贝塔分布来模拟伯努利分布的参数 p 的分布，那么

p 是底层系统（伯努利分布）的参数，而
α 和 β 是先验分布（贝塔分布）的参数，因此它们是超参数。

什么是似然函数（英语：likelihood function）？

似然函数是一个数值，表示当结果按照某些先决条件出现时，根据观察结果推断先决条件是 “什么 “的可能性（可信度），是一个以 “什么 “为统计变量的函数。它是以 “什么 “为变量的函数。它也被简单地称为可能性。

相对值具有意义，用于最大似然法和似然比检验等。

当确定 $B=b$ 时，$A$ 发生的概率（条件概率）为
$$
P(A \mid B=b)
$$
让 $$ P(A \mid B=b) $$ 成为 $A$ 发生的条件概率。相反，基于 $A$ 通过观察得到证实这一事实，上述条件概率称为似然函数，是变量 b 的函数。一般来说，它也被称为由与之成正比的函数组成的同源函数。
$$
L(b \mid A)=\alpha P(A \mid B=b)
$$
(其中 $\alpha$ 是一个任意的正比例常数）。
重要的不是 $L(b\mid A)$ 本身，而是不包含比例常数的似然比 $L\left(b_2 \mid A\right) / L\left(b_1 \mid A\right)$ 。如果 $L\left(b_2 \mid A\right) / L\left(b_1 \mid A\right)>1$ ，那么考虑 $b_2$ 比考虑 $b_1$ 更可信。给定 $B$，那么要从中推断出 $A$，我们有条件概率 $P(A \mid B)$ 用于从中推断出 $A$。反之，给定 $A$，则用条件概率 $P(B（中间 A）$（后验概率）来推断 $B$，后验概率由似然函数 $P(A（中间 B）$ 或 $P(A（中间 B）/P(A)$ 通过下面的贝叶斯定理得到：.
$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) P(B)}{P(A)}
$$
不过，似然函数与概率密度函数是两个不同的概念，这一点稍后会说明。

贝叶斯分析Bayesian Analysis的相关课后作业范例

这是一篇关于贝叶斯分析Bayesian Analysis的作业

问题 1.

Consider the following Bayesian model:
$$
\begin{aligned}
& (y \mid \theta) \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta) \
& \theta \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) \quad \text { (prior). }
\end{aligned}
$$
Find the posterior distribution of $\theta$.

The posterior density is
$$
\begin{aligned}
f(\theta \mid y) \propto f(\theta) f(y \mid \theta) & \
& =\frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} \times\left(\begin{array}{l}
n \
y
\end{array}\right) \theta^y(1-\theta)^{n-y} \
& \propto \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1} \times \theta^y(1-\theta)^{n-y} \quad \text { ignoring constants which } \
& =\theta^{(\alpha+y)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-y)-1}, 0<\theta<1 .
\end{aligned}
$$
This is the kernel of the beta density with parameters $\alpha+y$ and $\beta+n-y$. It follows that the posterior distribution of $\theta$ is given by
$$
(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(\alpha+y, \beta+n-y),
$$
and the posterior density of $\theta$ is (exactly)
$$
f(\theta \mid y)=\frac{\theta^{(\alpha+y)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-y)-1}}{B(\alpha+y, \beta+n-y)}, 0<\theta<1 .
$$
For example, suppose that $\alpha=\beta=1$, that is, $\theta \sim \operatorname{Beta}(1,1)$.
Then the prior density is $f(\theta)=\frac{\theta^{1-1}(1-\theta)^{1-1}}{B(1,1)}=1,0<\theta<1$.
Thus the prior may also be expressed by writing $\theta \sim U(0,1)$.
Also, suppose that $n=2$. Then there are three possible values of $y$, namely 0,1 and 2 , and these lead to the following three posteriors, respectively:
$$
\begin{aligned}
& (\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+0,1+2-0)=\operatorname{Beta}(1,3) \
& (\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+1,1+2-1)=\operatorname{Beta}(2,2) \
& (\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+2,1+2-2)=\operatorname{Beta}(3,1) .
\end{aligned}
$$

最后的总结：

通过对贝叶斯分析Bayesian Analysis各方面的介绍，想必您对这门课有了初步的认识。如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。

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