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多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考
多元统计是统计学的一个分支，包括同时观察和分析一个以上的结果变量，即多元随机变量。多元统计涉及了解每种不同形式的多元分析的不同目的和背景，以及它们之间的关系。将多元统计实际应用于某一特定问题时，可能会涉及几种类型的单变量和多元分析，以便了解变量之间的关系及其与所研究问题的相关性。
此外，多元统计还涉及多元概率分布，既包括
如何使用它们来表示观测数据的分布；
如何将它们用作统计推断的一部分，特别是在同一分析涉及多个不同数量的情况下。
涉及多元数据的某些类型的问题，例如简单线性回归和多元回归，通常不被视为多元统计的特例，因为分析是通过考虑给定其他变量的单一结果变量的（单变量）条件分布来处理的。
多元统计分析Multivariate Statistical Analysis包含几个不同的主题，列举如下：
概率论Probability distribution代写代考
在概率论中，当随机变量单独成为概率讨论的主题时，就要考虑该变量的分布。 例如，如果知道变量的分布，就可以计算出随机变量取某值的概率、期望值和方差等量。 反之，如果考虑分布，变量 $\omega$ 与随机变量之间就失去了对应关系，与其他随机变量的关系也变得不明确。 例如，如果给出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布分别为 $P_X$ 和 $P_Y$，由于不知道两个变量之间的关系，因此无法计算 $X+Y$ 取某值的概率、乘积 $X Y$ 的期望值和 $X+Y$ 的方差等量。 要计算这些量，需要同时得到 $X$ 和 $Y$ 的概率分布 $P_{X，Y}$。
常用的概率分布都有自己的名称，其性质也得到了很好的研究。 研究成果可用于具有此类分布的随机变量。 例如，如果随机变量的分布是均值为 0、方差为 1 的正态分布，那么从表中可以看出变量值为 2 或 2 以上的概率为 2.28%$。
简单线性回归Simple linear regression代写代考
在统计学中，简单线性回归是一种具有单一解释变量的线性回归模型。也就是说，它涉及具有一个自变量和一个因变量（通常是直角坐标系中的 x 坐标和 y 坐标）的二维样本点，并找到一个线性函数（非垂直直线），尽可能准确地预测因变量值与自变量的函数关系。形容词 “简单 “指的是结果变量与单一预测因子相关。
通常还规定应使用普通最小二乘法（OLS）：每个预测值的准确性由其残差平方（数据集点与拟合线之间的垂直距离）来衡量，目标是使这些平方差之和尽可能小。其他可替代普通最小二乘法的回归方法包括最小绝对偏差法（最小化残差绝对值之和）和 Theil-Sen 估计法（选择一条斜率为样本点对确定的斜率中值的直线）。戴明回归（总最小二乘法）也能找到一条与二维样本点集合拟合的直线，但（与普通最小二乘法、最小绝对偏差和中位斜率回归不同）它并不是真正的简单线性回归，因为它没有将坐标分为一个因变量和一个自变量，有可能返回一条垂直线作为拟合结果。
其他相关科目课程代写：
- 回归分析Regression analysis
- 因变量和自变量Dependent and independent variables
- 统计推断Statistical inference
多元统计分析Multivariate Statistical Analysis定义
多变量分析（MVA）以多变量统计原理为基础。通常，多变量分析用于处理对每个实验单元进行多次测量的情况，这些测量之间的关系及其结构非常重要：
正态和一般多元模型及分布理论
关系的研究与测量
多维区域的概率计算
数据结构和模式的探索
多变量分析可能会因希望进行物理分析以计算变量对分层 “系统体系 “的影响而变得复杂。希望使用多变量分析的研究常常因问题的维度而停滞不前。使用代用模型（基于物理的代码的高精度近似值）往往可以缓解这些问题。由于代用模型采用方程形式，因此可以非常快速地进行评估。这为大规模 MVA 研究提供了有利条件：在设计空间内进行蒙特卡罗模拟对于基于物理的代码来说非常困难，而在评估代用模型（通常采用响应面方程的形式）时则变得微不足道。
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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的重难点
什么是多变量方差分析Multivariate analysis of variance？
在统计学中，多元方差分析（MANOVA）是一种比较多元样本均值的程序。作为一种多变量程序，它适用于有两个或两个以上因变量的情况，并且通常会对各个因变量分别进行显著性检验。
在与图像无关的情况下，因变量可以是在连续时间点测量的 k 个生活满意度得分和在连续时间点测量的 p 个工作满意度得分。在这种情况下，有 k+p 个因变量，它们的线性组合遵循多元正态分布、多元方差-协方差矩阵同质性和线性关系，不存在多重共线性，且每个因变量都没有异常值。
假设有 $n q$ 维观测值，其中第 $i^{prime}$ 个观测值 $y_i$ 被分配到组 $g(i) \in{1, \ldots, m}$ 中，并围绕组中心 $\mu^{(g(i))} 分布。\in \mathbb{R}^q$ 与多变量高斯噪声：
$$
y_i=\mu^{(g(i))}+\varepsilon_i \quad \varepsilon_i \stackrel{text { i.i.d. }}{\sim} \mathcal{N}_q(0, \Sigma) \quad \text { for } i=1, \ldots, n
$$
其中 $\Sigma$ 是协方差矩阵。然后，我们将零假设表述为
$$
H_0: \mu^{(1)}=\mu^{(2)}=\cdots=\mu^{(m)}
$$
什么是主成分分析Principal component analysis？
PCA 被定义为一种正交线性变换，它将数据转换到一个新的坐标系中，使数据的某个标量投影的最大方差位于第一个坐标上（称为第一个主成分），第二个最大方差位于第二个坐标上，以此类推${ }^{[12]}$
考虑一个$n \times p$ 的数据矩阵, $\mathrm{X}$,其列的经验平均值为零（每列的样本平均值已被移至零），其中每行 $n$ 表示实验的不同重复，每列 $p$ 表示一种特定的特征（例如，来自特定传感器的结果）。
在数学上，变换由一组大小为 $l$ 的 $p$ 维权重或系数向量定义 s $\mathbf{w}{(k)}=\left(w_1, \ldots, w_p\right){(k)}$、 将$\mathbf{x}_{(i)}$的每个行向量 $\mathbf{X}$映射到一个新的主成分得分向量s $\mathbf{t}{(i)}=\left(t_1, \ldots, t_l\right){(i)}$。
上图是一个树枝图，用于帮助解释 PCA 并决定保留多少个成分。折线的起点（拐点）应表示保留多少个成分，因此在本例中，应保留三个因子。
$$
t_{k(i)}=\mathbf{x}{(i)} \cdot \mathbf{w}{(k)} \quad \text { for } \quad i=1, \ldots, n \quad k=1, \ldots, l
$$
这样，在数据集上考虑$t_1, \ldots, t_l$ of $\mathbf{t}$ 的单个变量 $t_1，\ldots，t_l$ 将连续地从 $\mathbf{X}$ 继承可能的最大方差，每个系数向量 $\mathbf{w}$ 被约束为一个单位向量（通常选择 $l$ 严格小于 $p$，以降低维度）。
什么是因子分析Factor analysis？
该模型试图用一组 $k$ 的公共因子 $\left(f_{i, j}\right)$ 来解释 $n$ 个体中每个个体的 $p$ 观察值，其中每个单位的因子数量少于每个单位的观察值 $(k<p)$。每个个体都有自己的 $k$ 共同因子，这些因子通过因子载荷矩阵 $(left(L)(in\mathbb{R}^{p\times k}\right)$与观测值相关，对于单个观测值，根据
$$
x_{i, m}-\mu_i=l_{i, 1} f_{1, m}+\cdots+l_{i, k} f_{k, m}+\varepsilon_{i, m}
$$
其中
- $x_{i, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $i$ 次观测值、
- $mu_i$ 是第 i 个观测值的观测平均值、
- $l_{i, j}$ 是 $i$ 观测值在 $j$ 因子中的负荷、
- $f_{j, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $j$ 个因子的值，以及
- $varepsilon_{i, m}$ 是第 $(i, m)$ 个未观测到的随机误差项，其均值为零，方差有限。
用矩阵符号表示
$$
X-\mathrm{M}=L F+\varepsilon
$$
其中，观测矩阵$X \in \mathbb{R}^{p \times n}$，加载矩阵$L \in \mathbb{R}^{p \times k}$，因子矩阵$F \in \mathbb{R}^{k \times n}$，误差项矩阵$\varepsilon \in \mathbb{R}^{p \times n}$，均值矩阵$\mathrm{M} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 个元素为 $\mathrm{M}_{i, m}=\mu_i$。
同时，我们将对 $F$ 作如下假设：
$F$ 和 $\varepsilon$ 是独立的。
$\mathrm{E}(F)=0$; 其中 $\mathrm{E}$ 是期望值。
$operatorname{Cov}(F)=I$；其中，$operatorname{Cov}$ 是协方差矩阵，以确保各因子互不相关，而 $I$ 是同一矩阵。
假设 $\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\Sigma$。那么
$$
\Sigma=\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\operatorname{Cov}(L F+\varepsilon)、
$$
因此，根据上述施加于 $F$ 的条件 1 和 2，$E[L F]=L E[F]=0$ 和 $\operatorname{Cov}(L F+\epsilon)=\operatorname{Cov}(L F)+\operatorname{Cov}(\epsilon)$ ，得出
$$
\Sigma=L \operatorname{Cov}(F) L^T+\operatorname{Cov}(\varepsilon)
$$
或者，设置 $\Psi:=\operatorname{Cov}(\varepsilon)$、
$$
\Sigma=L L^T+\Psi .
$$
请注意，对于任意正交矩阵 $Q$，如果我们设置 $L^{\prime}=L Q$ 和 $F^{\prime}=Q^T F$，因子和因子载荷的标准仍然成立。因此，一组因子和因子载荷只有在正交变换时才是唯一的。
多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的相关课后作业范例
这是一篇关于多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的作业
If $\mathbf{\Sigma}$ is positive definite, so that $\Sigma^{-1}$ exists, then
$$
\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\lambda \mathbf{e} \text { implies } \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=\left(\frac{1}{\lambda}\right) \mathbf{e}
$$
so $(\lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}$ corresponding to the pair $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.
Proof. For $\Sigma$ positive definite and $\mathbf{e} \neq \mathbf{0}$ an eigenvector, we have $0<\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\mathbf{e}^{\prime}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})$ $=\mathbf{e}^{\prime}(\lambda \mathbf{e})=\lambda \mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e}=\lambda$. Moreover, $\mathbf{e}=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\lambda \mathbf{e})$, or $\mathbf{e}=\lambda \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}$, and division by $\lambda>0$ gives $\mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=(1 / \lambda)$ e. Thus, $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, for any $p \times 1 \mathbf{x}$, by $(2-21)$
$$
\begin{aligned}
\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{x} & =\mathbf{x}^{\prime}\left(\sum_{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right) \mathbf{e}i \mathbf{e}_i^{\prime}\right) \mathbf{x} \ & =\sum{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}i\right)^2 \geq 0 \end{aligned} $$ since each term $\lambda_i^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2$ is nonnegative. In addition, $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i=0$ for all $i$ only if $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. So $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ implies that $\sum{i=1}^p\left(1 / \lambda_i\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2>0$, and it follows that $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.
The following summarizes these concepts:
Contours of constant density for the $p$-dimensional normal distribution are ellipsoids defined by $\mathbf{x}$ such the that
$$
(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})=c^2
$$
These ellipsoids are centered at $\boldsymbol{\mu}$ and have axes $\pm c \sqrt{\lambda_i} \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}_i=\lambda_i \mathbf{e}_i$ for $i=1,2, \ldots, p$.
A contour of constant density for a bivariate normal distribution with $\sigma_{11}=\sigma_{22}$ is obtained in the following example.
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