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有限元法 Finite Element Method（FEM）是什么？

有限元法（FEM）是一种数值分析方法。它是由 Turner-Clough-Martin-Topp 提出的一种方法，用于从数值上获得难以分析求解的微分方程的近似解。定义方程的域被划分为若干子区域（元素），每个子区域中的方程都用一个相对简单和常见的插值函数来近似。这种方法是在结构力学领域发展起来的，并广泛应用于其他领域。 其背后的理论在数学上是条理清晰的，与函数分析（如 Ries 表示定理、Lux-Milgram 定理）相关联。

使用有限元分析对现象进行研究和分析有时被称为有限元分析（FEA）。

有限元法 Finite Element Method（FEM）的重要性和应用领域

将整个区域细分为较简单的部分有以下优点
可以准确表示复杂的形状。 可以给出不同材料的特性。 更容易表示整体解决方案 可以确定局部效应。
为计算目的划分成小区域称为 “切割网格”。 网格的适当性对分析结果的准确性有重要影响。
有限元模型也被广泛用作工程分析的计算工具，一些基于有限元模型的 CAE 软件会自动生成网格，将复杂的几何图形划分为小的元素。 不过，即使在这种情况下，也必须注意处理几何中的奇异点（如结构分析中的转角处）。 (例如结构分析中的转角）。
有限元特别适用于复杂分析，如汽车或石油管道分析，或当域变化时，如具有移动边界的固态反应，或当所需精度在整个域中变化时，或当求解不平滑时等。 可以通过调整网格粗糙度来降低分析的计算成本。 (变化大且重要的区域网格会更细，以提高预测精度，而变化小的区域不需要提高预测精度，因此网格会更粗，以降低计算成本）。 例如，在汽车正面碰撞模拟中，汽车前部等重要区域的网格划分得较细，而后部的网格划分得较粗。 在数值天气预报中，同样重要的是准确预测发生高度非线性现象的区域（如大气中的热带气旋或海洋涡旋），而不是相对平静的区域。

有限元法 Finite Element Method（FEM）基本概念

1. 弱表述weak formulation

在数学中，弱式是一种重要的分析工具，它允许使用线性代数的概念来解决其他领域的问题，例如偏微分方程。 在弱式计算中，方程的绝对性不再是必需的（甚至不必是适当的），取而代之的是关于某个测试向量或测试函数的弱解。 这等同于构造了一个需要超函数意义上的解的问题。

在此，我们将举出一些弱形式的例子，并说明其解的主要定理，即拉克斯-米尔格拉姆定理。

2.领域离散化Dynamic Program Analysis

给定一个 $ \Omega \subset \mathbb{R}^d$ 域，其边界在 Lipschitz 意义上是连续的，将其划分为 $n$ “有限元”，是 $n$ 子域的集合 $left{\Omega^{(e)}right}_{e=1}^n$，满足以下条件：

1.$Omega={e=1}^n \Omega^{(e)}$。

2.每个 $\Omega^{(e)}$ 都是一个紧凑集，其边界为 Lipschitz-continuous 边界。
3.$operatorname{int}left(\Omega^{(i)}right) \cap \operatorname{int}left(\Omega^{(j)}right)=emptyset, \quad i \neq j$.

3.解决方案的形状和空间函数
有很多方法可以选择一组函数来构成向量基础，在此基础上逼近问题的精确解。从实用的角度来看，定义一个有限维向量空间 $\hat{X}$ 是非常有用的，这个空间定义在参考域 $\hat{Omega}$ 上，由所有阶数等于或小于一定阶数的多项式构成：

$P_n(\Omega) \subset \hat{X}$

然后，通过将参考域应用于每个有限元的应用，我们定义了向量空间 $V^h \subset V$，它将用于近似求解，即 $$：
$V^h=\left{v^h \in V \mid \forall e: v^h \circ F^{(e)} \in \hat{X}\right}$

当 $F^{(e)}$ 是一个线性函数，且空间 $\hat{X}$ 由多项式构成时，那么 $v^h \in V^h$ 的限制也是一个多项式。向量空间 $\hat{X}$ 是一个多项式空间，其中向量空间的基础是由形式为 $\hat{N}_i$ 的函数构成的，给定参考域的节点集定义如下：
$\hat{N}_i\left(\xi_j\right)= \begin{cases}1 & i=j \ 0 & i \neq j\end{cases}$

这样，我们就可以在问题所处的实域上唯一定义一些形式函数：
$\forall \xi \in \hat{\Omega}: \hat{N}_i(\xi)=\left(N_i^{(e)} \circ F^{(e)}\right)(\xi)$
这些函数可以扩展到整个域，因为子域集或有限元集是整个域的一个分区：
$N_i: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d, \quad \forall x \in \Omega^{(e)} \subset \Omega: N_i(x)=N_i^e(x)$

形状函数允许通过 $\Pi^h$ 投影器将原域上定义的任何函数投射到有限元空间：
$\left(\Pi^h v\right)(\cdot)=\sum_{i=1}^n v\left(x_i\right) N_i(\cdot) \in V^h$

4.解方程
给定一个与给定域离散化相关的基础，如函数 $N_i(x)$，问题的弱形式（当函数 $a(\cdot, \cdot)$ 是双线性时）可以写成一个简单的矩阵方程：

$a\left(u^h, v^h\right)=\left\langle f, v^h\right\rangle, \quad \forall v^h \in V^h, \quad \Rightarrow \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N a_{i j}\left(u^h\right)i\left(v^h\right)_j=\sum{j=1}^N(f)_j\left(v^h\right)_j$

其中，N 是节点数。将这些项分组，并考虑到 v^h 是任意的，因此对于这个任意向量的任何值都必须满足上式，我们可以得出：

$\sum_{j=1}^N\left(\sum_{i=1}^N a_{i j}\left(u^h\right)i-(f)_j\right)\left(v^h\right)_j=0 \quad \Rightarrow \quad \sum{i=1}^N a_{i j}\left(u^h\right)_i-(f)_j=0 \quad \Rightarrow \mathbf{K u}-\mathbf{f}=0$

这是与线性、非时变微分方程相关的基本问题方程组的常见形式。后一种形式正是历史概述的 () 形式。方程组 () 通常由数千甚至数十万个方程组成，要对方程组 (*) 进行数值求解，就必须采用高效算法，优化运算次数，节省内存。

有限元法Finite Element Method（FEM）在工程和科学研究中的应用

工程师和科学家最重要的工作之一就是为物理现象建模。借助物理学或其他领域的定律和公理，自然界中几乎所有的现象–无论是航空航天、生物、化学、地质还是机械–都可以用代数、微分和/或积分方程来描述。例如，确定带有奇形怪状的孔和加强筋并承受机械、热和/或空气动力负荷的压力容器中的应力分布；找出湖泊或大气中污染物的浓度；模拟天气以了解和预测雷暴、海啸和龙卷风的形成，这些都是工程师要处理的许多重要实际问题中的几个例子。

用相关变量对物理或生理过程的分析描述被称为数学模型。一个过程的数学模型是在假定该过程是如何工作的基础上，利用适当的公理或管理该过程的定律建立起来的，其特点通常是在几何上复杂的域上提出一组非常复杂的代数方程、微分方程和/或积分方程。

因此，在电子计算机出现之前，需要研究的过程都被大大简化，以便通过分析来评估其数学模型。然而，在过去的三十年里，计算机在适当的数学模型和数值方法的帮助下，使分析许多实际工程问题成为可能。使用数值方法和计算机对某一过程的数学模型进行评估并估计其特征的方法称为数值模拟。目前，与物理系统数学模型的开发和数值模拟的使用有关的新知识体系正在不断发展，这就是计算力学。
任何数值模拟（如有限元法模拟）本身都不是目的，而是设计和制造的辅助工具。工程师或科学家研究数值方法，尤其是有限元法，有几个原因。

1. 大多数实际系统的分析都涉及复杂的领域（包括几何形状和材料构成）、载荷、边界条件以及系统响应各方面之间的相互作用，因此无法制定分析解决方案。因此，唯一的选择就是使用数值方法找到近似解。
2. 随着计算机的出现，数值方法可用于研究系统的各种参数（如几何形状、材料参数、载荷、相互作用等）对系统响应的影响，从而更好地了解所分析的系统。与获得相同程度的理解所需的大量物理实验相比，该方法具有成本效益，可节省时间和物力资源。
3. 由于数值方法和电子计算的强大功能，我们有可能在物理过程的数学模型中包含大多数相关特征，而不必担心用精确方法求解。
4. 那些急于使用计算机程序而不去思考要分析的问题的人，可能会发现很难解释或说明计算机生成的结果。即使要为计算机程序开发适当的输入数据，也需要对问题的基本理论和数值方法（计算机程序所依据的）有很好的理解。
5. 有限元法及其推广应用是有史以来用于分析实际工程系统的最强大的计算机方法。如今，有限元分析已成为许多工程设计和制造领域不可或缺的重要组成部分。汽车、航空航天、化工、制药、石油、电子和通信等主要老牌行业，以及新兴技术领域，如汽车、航空航天、化工、制药、石油、电子和通信等。
   通信等主要老牌行业，以及纳米技术和生物技术等新兴技术，都依靠有限元方法来模拟不同尺度的复杂现象，以设计和制造高科技产品。

有限元法Finite Element Method（FEM）的应用

1.非线性有限元分析Nonlinear Finite Element Analysis

线性分析主要要求线性弹性材料和小位移（无穷小应变理论），而非线性分析则考虑大位移和弹塑性材料，因此无法应用叠加效应。另一个重要区别是刚度矩阵。

在数值分析中，有限元法（FEM）用于数值求解偏微分方程。例如，可用于分析表示某些物理系统（机械、热力学、声学等）的动态行为。

例如，即使是非常复杂的物体，只要它们是连续的并由线性偏微分方程描述，这种方法也可以用来对其行为进行数值计算：由一端摇动的弦的运动、流体在障碍物上高速运动的行为、金属结构的变形等。

2.动态分析Dynamic Analysis

动态程序分析（DPA）是一种需要执行程序的程序分析。它用于研究计算机程序的行为及其执行对环境的影响。在物理或虚拟环境中应用时，它通常被用来对程序进行剖析。它可用于提取有关处理器使用时间、内存使用情况或程序消耗能量的信息。

它还可用于发现程序中的问题。例如，它可以检测程序是否访问了禁止访问的内存区域，或使用模糊器揭示程序中的错误。它还可用于实时调试程序，让你随时看到程序执行过程中内存和处理器中发生的情况。

3.多物理场分析Multiphysics

多物理场是计算机科学的一个分支，主要处理涉及多个物理模型和多个同步物理现象的模拟。例如，反应动力学与流体动力学的结合，或有限元方法与分子动力学的结合。多重物理一般涉及求解偏微分方程的耦合系统。

许多物理模拟都涉及耦合系统，例如电磁学中的电场和磁场、声波中的压力和速度，以及量子力学波方程中的实部和虚部。另一个例子是原子电子结构的均场近似，其中电场和电子波方程是耦合的。

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有限元法Finite Element Method（FEM）的相关课后作业范例

这是一篇关于有限元法Finite Element Method（FEM）的作业

The solution domain $\Omega$ for this problem spans $0<x<L$. The boundaries $\Gamma$ of the solution domain are located at $x=0$ and $x=L$. Internal forces develop in the bar in response to external loading. The internal normal force $N(x)$ at the cross-section $x$ can be defined as follows:
$$
N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)
$$
where the average normal stress $\bar{\sigma}$ is defined as follows:
$$
\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A
$$
and where $\sigma$ is the internal normal stress, $A$ is the cross-sectional area of the bar. The equation of motion of the bar can be obtained by using Newton’s second law on a small segment of the bar (Fig. 1.2). The balance of internal and inertial forces gives,
$$
\begin{aligned}
& \sum F_x=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& -N+q d x+\left(N+\frac{\partial N}{\partial x} d x\right)=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& \frac{\partial N}{\partial x}=-q+\rho A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
\end{aligned}
$$
(b)
Hooke’s law defines the constitutive relationship between the internal stress and strain for linear, elastic materials. For a slender bar, the Hooke’s law can be given as follows:
$$
\bar{\sigma}=E \varepsilon
$$
where $E$ is the elastic (Young’s) modulus of the material. The straindisplacement, $\varepsilon-u$, relationship is given as follows:
$$
\varepsilon=\frac{\partial u}{\partial x}
$$

Hooke’s law defines the constitutive relationship between the internal stress and strain for linear, elastic materials. For a slender bar, the Hooke’s law can be given as follows:
$$
\bar{\sigma}=E \varepsilon
$$
where $E$ is the elastic (Young’s) modulus of the material. The straindisplacement, $\varepsilon-u$, relationship is given as follows:
$$
\varepsilon=\frac{\partial u}{\partial x}
$$
Combining Eqs. (1.6-1.9), we find the internal force resultant as follows:
$$
N=\bar{\sigma} A=E A \frac{\partial u}{\partial x}
$$
The equation of motion can then be found by combining Eqs. (1.7c) and (1.10),
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left[E A \frac{\partial u}{\partial x}\right]=-q+\rho A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
$$

This is a PDE that governs the dynamics of axial deflection $u(x, t)$ along the bar. Its solution requires two boundary conditions and two initial conditions. The boundaries of this bar are located at $x=0, L$. At the $x=L$ boundary, the force resultant should be equal to the applied load, i.e., $N(L)=F$. By using Eq. (1.10), this condition can be expressed in terms of the bar deflection. The boundary

conditions for this problem then become,
Boundary conditions: $u(0)=0$
(a)
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|{x=L}=\frac{F}{E A(L)} $$ The initial conditions represent the state of deflection and velocity of the entire bar at $t=0$. In general, these conditions can be represented as follows: $$ \text { Initial conditions: } \begin{aligned} u(x, 0) & =u^{(0)}(x) \ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|{t=0} & =\dot{u}^{(0)}(x)
\end{aligned}
$$
where $u^{(0)}(x)$ and $\dot{u}^{(0)}(x)$ are known functions.

最后的总结：

通过对有限元法Finite Element Method（FEM）各方面的介绍，想必您对组合学有了初步的认识。有限元法Finite Element Method（FEM）对于学习数学知识起到了至关重要的作用。所以一定要打好坚实的基础去准备学习这门课程。但如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。