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组合学代写Combinatorics代考
组合学是数学的一个分支，属于离散数学领域，研究满足某些既定条件的配置属性的枚举、构造和存在性。 此外，它还研究一定数量元素的排列或分组。
组合学的方面包括计算给定类型和大小的结构（枚举组合学），决定何时可以满足某些标准，以及构建和分析满足标准的对象（如组合设计和拟阵理论）以及查找对象。 、“更小”或“最优”（极端组合学和组合优化），研究代数背景中出现的组合结构，或将代数技术应用于组合问题（代数组合学）。
组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑和几何中，并且组合学在数学优化、计算机科学、遍历理论和统计物理学中也有许多应用。
许多组合问题历来都是孤立考虑的，为某些数学背景下出现的问题提供了适当的解决方案。 然而，到 20 世纪末，强大而通用的理论方法得到了发展，使组合数学本身成为数学的一个独立分支。 图论是组合学中最古老、最容易理解的部分之一，它与其他领域也有许多天然的联系。 组合数学在计算机科学中经常用于获取算法分析中的公式和估计。
组合学包含几个不同的主题，列举如下：
分析组合学Analytic combinatorics代写代考
分析组合学涉及使用复杂分析和概率论工具来枚举组合结构。 与使用显式组合公式和生成函数来描述结果的枚举组合学不同，解析组合学旨在获得渐近公式。
划分理论Partition theory代写代考
划分理论研究与整数划分相关的各种枚举和渐近问题，与q级数、特殊函数和正交多项式密切相关。 它最初是数论和分析的一部分，现在被认为是组合数学的一部分或一个独立领域。 它结合了双射方法和分析和解析数论中的各种工具，并与统计力学有联系。 分区可以使用 Young 图或 Ferrers 图以图形方式可视化。 它们出现在数学和物理学的许多分支中，包括对称多项式和对称群以及一般群表示论的研究。
其他相关科目课程代写：
- 图论Graph theory
- 有限几何Finite geometry
- 拟阵理论Matroid theory
组合学Combinatorics历史
组合问题自古以来就被研究，但组合数学作为数学的一个重要领域直到最近五十年才被认识。 第一篇重视组合学的文章出自 Netto。 1915 年珀西·亚历山大·麦克马洪 (Percy Alexander MacMahon) 出版了《组合分析》一文后，组合学获得了一定的自主性。在接下来的几年里，它的重要性逐渐增长：König 关于图论和马歇尔·霍尔 (Marshall Hall) 的文本应该被记住。
它的发展受到了 Gian-Carlo Rota 工作的推动，他从 20 世纪 60 年代开始为范围广泛、形式清晰的统一理论的基础做出了贡献。 另一位有影响力的人物是马塞尔·保罗·舒岑伯格。 一种不同但非常有效的行动归功于保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）及其提出和解决问题的能力，他的贡献主要涉及极端问题。
Combinatorial problems have been studied since ancient times, but combinatorics as an important field of mathematics has only been recognized in the last fifty years. The first article focusing on combinatorics was by Netto. Combinatorics gained a certain autonomy after Percy Alexander MacMahon published Combinatorial Analysis in 1915. Over the following years its importance gradually grew: König’s texts on graph theory and Marshall Hall should be remembered.
Its development was stimulated by the work of Gian-Carlo Rota, who from the 1960s contributed to the basis of a wide-ranging and clearly formalized unified theory. Another influential figure was Marcel Paul Schuzenberg. A different but very effective action was attributed to Paul Erdős and his ability to raise and solve problems, his contribution mainly concerned extreme problems.
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组合学Combinatorics的重难点
什么是极值组合学Extremal combinatorics？
大多数极值组合学都涉及集合的类别。 这称为极值集合论。 例如，在一个包含 n 个元素的集合中，可以有两两交集的包含 k 个元素的子集的最大数量是多少？ 不包含另一个子集的最大数量是多少？ 最后一个问题在斯佩纳定理中得到了解答，该定理极大地推动了极值集合论的发展。
另一个例子：你可以邀请多少人参加一个聚会，每组三人中有两个互相认识的人，两个互相不认识的人？ 拉姆齐的理论表明，最多可以有五个人参加这个聚会。 或者，假设我们有一个有限的非零整数集合，并且要求我们标记该集合的最大可能子集，但受到任何一对标记整数之和未被标记的限制。 似乎（无论给定的整数实际上是什么！）人们总是可以标记其中的至少三分之一。
什么是概率组合学Probabilistic combinatorics？
概率证明或概率方法是通过概率考虑对数学对象的确定存在进行非构造性数学证明的技术。
该方法由 Paul Erdős 提出，应用于组合学、数论、线性代数、分析以及其他应用学科，例如计算机科学或信息论。
一般来说，它利用了这样一个事实：如果集合中的所有对象都不具有特定属性，则集合中随机选择的对象满足该属性的概率为零。 如果概率严格小于一，则集合中至少有一个对象不满足该属性。 相反，考虑随机变量（对享有思想属性的对象进行计数的随机变量）的期望值，如果证明该变量可以取低于期望值的值，那么它也必须取大于期望值的值比它（因此计数变量大于 1 的概率为正）。
什么是代数组合学Algebraic combinatorics？
代数组合学已被更广泛地视为数学领域，其中组合和代数方法的相互作用特别强烈和重要。 因此，组合主题本质上可以是枚举的，或者涉及拟阵、多面体、偏序集或有限几何。 在代数方面，除了群论和表示论之外，还常用格论和交换代数。
组合学Combinatorics的相关课后作业范例
这是一篇关于组合学Combinatorics的作业
For $n$ and $r$ positive integers with $r \leq n$,
$$
P(n, r)=n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1) .
$$
Proof. In constructing an $r$-permutation of an $n$-element set, we can choose the first item in $n$ ways, the second item in $n-1$ ways, whatever the choice of the first item, . . . , and the $r$ th item in $n-(r-1)$ ways, whatever the choice of the first $r-1$ items. By the multiplication principle the $r$ items can be chosen in $n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1)$ ways.
For a nonnegative integer $n$, we define $n !($ read $n$ factorial $)$ by
$$
n !=n \times(n-1) \times \cdots \times 2 \times 1,
$$
with the convention that $0 !=1$. We may then write
$$
P(n, r)=\frac{n !}{(n-r) !} .
$$
For $n \geq 0$, we define $P(n, 0)$ to be 1 , and this agrees with the formula when $r=0$. The number of permutations of $n$ elements is
$$
P(n, n)=\frac{n !}{0 !}=n !
$$
最后的总结：
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