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在数学中，以海因茨-霍普夫命名的霍普夫代数是一种结构，它同时是一个（单ital联想）代数和一个（counital共联）联盟代数，这些结构的兼容性使它成为一个二元代数，此外，它还配备了一个满足某种属性的反同构体。

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数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Constructions in the category of coalgebras

Definition 1.4.1 Let $(C, \Delta, \varepsilon)$ be a coalgebra. A k-subspace $D$ of $C$ is called a subcoalgebra if $\Delta(D) \subseteq D \otimes D$.

It is clear that if $D$ is a subcoalgebra, then $D$ together with the map $\Delta_D: D \rightarrow D \otimes D$ induced by $\Delta$ and with the restriction $\varepsilon_D$ of $\varepsilon$ to $D$ is a coalgebra.

Proposition 1.4.2 If $\left(C_i\right){i \in I}$ a family of subcoalgebras of $C$, then $\sum{i \in I} C_i$ is a subcoalgebra.

Proof: $\Delta\left(\sum_{i \in I} C_i\right)=\sum_{i \in I} \Delta\left(C_i\right) \subseteq \sum_{i \in I} C_i \otimes C_i \subseteq\left(\sum_{i \in I} C_i\right) \otimes\left(\sum_{i \in I} C_i\right)$.
In the category $k-\operatorname{Cog}$ the notion of subcoalgebra coincides with the notion of subobject. We describe now the factor objects in this category.

Definition 1.4.3 Let $(C, \Delta, \varepsilon)$ be a coalgebra and I a k-subspace of $C$. Then $I$ is called:
i) a left (right) coideal if $\Delta(I) \subseteq C \otimes I$ (respectively $\Delta(I) \subseteq I \otimes C$ ).
ii) a coideal if $\Delta(I) \subseteq I \otimes C+C \otimes I$ and $\varepsilon(I)=0$.
Exercise 1.4.4 Show that if $I$ is a coideal it does not follow that $I$ is a left or right coideal.

Lemma 1.4.5 Let $V$ and $W$ two k-vector spaces, and $X \subseteq V, Y \subseteq W$ vector subspaces. Then $(V \otimes Y) \cap(X \otimes W)=X \otimes Y$.

Proof: Let $\left(x_j\right){j \in J}$ be a basis in $X$ which we complete with $\left(x_j\right){j \in J^{\prime}}$ up to a basis of $V$. Also consider $\left(y_p\right){p \in P}$ a basis of $Y$, which we complete with $\left(y_p\right){p \in P}$ to get a basis of $W$. Consider an element
$$
\begin{aligned}
q &=\sum_{j \in J, p \in P} a_{j p} x_j \otimes y_p+\sum_{j \in J, p \in P^{\prime}} b_{j p} x_j \otimes y_p+\
&+\sum_{j \in J^{\prime}, p \in P} c_{j p} x_j \otimes y_p+\sum_{j \in J^{\prime}, p \in P^{\prime}} d_{j p} x_j \otimes y_p
\end{aligned}
$$
in $(V \otimes Y) \cap(X \otimes W)$, where $a_{j p}, b_{j p}, c_{j p}, d_{j p}$ are scalars. Fix $j_0 \in J, p_0 \in P$ and choose $f \in V^, g \in W^$ such that $f\left(x_{j_0}\right)=1, f\left(x_j\right)=0$ for any $j \in J \cup J^{\prime}, j \neq j_0$, and $g\left(y_{p_0}\right)=1, g\left(y_p\right)=0$ for any $p \in P \cup P^{\prime}, p \neq p_0$. Since $q \in V \otimes Y$, it follows that $(f \otimes g)(q)=0$. But then denoting by $\phi: k \otimes k \rightarrow k$ the canonical isomorphism, we have $\phi(f \otimes g)(q)=b_{j_0 p_0}$, hence $b_{j_0 p_0}=0$.
Similarly, we obtain that all of the $b_{j p}, c_{j p}, d_{j p}$ are zero, and thus $q=0$. It follows that $(V \otimes Y) \cap(X \otimes W) \subseteq X \otimes Y$. The reverse inclusion is clear.

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|THE FINITE DUAL

Remark 1.4.23 The coalgebra defined in the previous proposition is called the co-opposite coalgebra of $C$ and it is denoted by $C^{c o p}$. This concept is dual to the one of opposite algebra of an algebra. We recall that if $(A, M, u)$ is a $k$-algebra, then the multiplication $M T: A \otimes A \rightarrow A$ and the unit $u$ define an algebra structure on the space $A$, called the opposite algebra of $A$. This is denoted by $A^{o p}$.

Proposition 1.4.24 Let $C$ be a coalgebra. Then the algebras $\left(C^{c o p}\right)^$ and $\left(C^\right)^{o p}$ are equal.

Proof: Denote by $M_1$ and $M_2$ the multiplications in $\left(C^{c o p}\right)^$ and $\left(C^\right)^{o p}$. Then for any $c^, d^ \in C^$ and $c \in C$ we have $$ \begin{gathered} M_1\left(c^ \otimes d^\right)(c)=\left(c^ \otimes d^\right)(T \Delta(c))=\sum c^\left(c_2\right) d^\left(c_1\right) \ M_2\left(c^ \otimes d^\right)(c)=\sum d^\left(c_1\right) c^*\left(c_2\right)
\end{gathered}
$$
which ends the proof.
We close this section by giving the dual version for coalgebras of the extension of scalars for algebras. Let $(C, \Delta, \varepsilon)$ be a $k$-coalgebra and $\phi: k \rightarrow$ $K$ a morphism of fields. We define $\Delta^{\prime}: K \otimes_k C \rightarrow\left(K \otimes_k C\right) \otimes_K\left(K \otimes_k C\right)$ and $\varepsilon^{\prime}: K \otimes_k C \rightarrow K$ by $\Delta^{\prime}(\alpha \otimes c)=\sum\left(\alpha \otimes c_1\right) \otimes\left(1 \otimes c_2\right)$ and $\varepsilon^{\prime}(\alpha \otimes c)=\alpha \phi(\varepsilon(c))$ for any $\alpha \in K, c \in C$. The following result is again easily checked
Proposition 1.4.25 $\left(K \otimes_k C, \Delta^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right)$ is a $K$-coalgebra.

霍普夫代数代考

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Constructions in the category of coalgebras

定义 1.4.1 让 $(C, \Delta, \varepsilon)$ 成为一个余代数。 $\mathrm{k}$-子空间 $D$ 的 $C$ 称为次代数，如果 $\Delta(D) \subseteq D \otimes D$.
很明显，如果 $D$ 是次代数，那么 $D$ 连同地图 $\Delta_D: D \rightarrow D \otimes D$ 由…介绍 $\Delta$ 并有限制 $\varepsilon_D$ 的 $\varepsilon$ 至 $D$ 是一个余代 数。
命题 1.4.2 如果 $\left(C_i\right) i \in I$ 的子代数族 $C$ ，然后 $\sum i \in I C_i$ 是一个次代数。
证明: $\Delta\left(\sum_{i \in I} C_i\right)=\sum_{i \in I} \Delta\left(C_i\right) \subseteq \sum_{i \in I} C_i \otimes C_i \subseteq\left(\sum_{i \in I} C_i\right) \otimes\left(\sum_{i \in I} C_i\right)$.
在类别中 $k-$ Cogsubcoalgebra 的概念与 subobject 的概念一致。我们现在描述这个类别中的因素对象。
定义 1.4.3 让 $(C, \Delta, \varepsilon)$ 是一个余代数，我是一个 $\mathrm{k}$-子空间 $C$. 然后 $I$ 被称为:
i) 一个左 (右) 共理想如果 $\Delta(I) \subseteq C \otimes I$ (分别 $\Delta(I) \subseteq I \otimes C$ ).
ii) 一个理想的如果 $\Delta(I) \subseteq I \otimes C+C \otimes I$ 和 $\varepsilon(I)=0$.
练习 1.4.4 证明如果 $I$ 是一个理想的它不遵循 $I$ 是左理想或右理想。
引理 1.4.5 让 $V$ 和 $W$ 两个 $\mathrm{k}$ 向量空间，和 $X \subseteq V, Y \subseteq W$ 向量子空间。然后 $(V \otimes Y) \cap(X \otimes W)=X \otimes Y$
证明: 让 $\left(x_j\right) j \in J$ 成为基础 $X$ 我们完成了 $\left(x_j\right) j \in J^{\prime}$ 直到一个基础 $V$. 还要考虑 $\left(y_p\right) p \in P$ 的基础 $Y$ ，我们 完成了 $\left(y_p\right) p \in P$ 获得一个基础 $W$. 考虑一个元素
$$
q=\sum_{j \in J, p \in P} a_{j p} x_j \otimes y_p+\sum_{j \in J, p \in P^{\prime}} b_{j p} x_j \otimes y_p+\quad+\sum_{j \in J^{\prime}, p \in P} c_{j p} x_j \otimes y_p+\sum_{j \in J^{\prime}, p \in P^{\prime}} d_{j p} x_j \otimes y_p
$$
这样 $f\left(x_{j_0}\right)=1, f\left(x_j\right)=0$ 对于任何 $j \in J \cup J^{\prime}, j \neq j_0$ ，和 $g\left(y_{p_0}\right)=1, g\left(y_p\right)=0$ 对于任何
$p \in P \cup P^{\prime}, p \neq p_0$. 自从 $q \in V \otimes Y$ ，它遵循 $(f \otimes g)(q)=0$. 但随后表示 $\phi: k \otimes k \rightarrow k$ 规范同构，我 们有 $\phi(f \otimes g)(q)=b_{j_0 p_0}$ ，因此 $b_{j_0 p_0}=0$.
类似地，我们得到所有的 $b_{j p}, c_{j p}, d_{j p}$ 为零，因此 $q=0$. 它遵循 $(V \otimes Y) \cap(X \otimes W) \subseteq X \otimes Y$. 反向包含 很清楚。

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|THE FINITE DUAL

备注 1.4.23 前面命题中定义的余代数称为 $C$ 它表示为 $C^{c o p}$. 这个概念与代数的相反代数之一是双重的。我们记 得如果 $(A, M, u)$ 是一个 $k$-代数，然后是乘法 $M T: A \otimes A \rightarrow A$ 和单位 $u$ 在空间上定义一个代数结构 $A$, 称为 的相反代数 $A$. 这表示为 $A^{o p}$. 我们有
证明结束。
我们通过给出代数标量扩展的余代数的对偶版本来结束本节。让 $(C, \Delta, \varepsilon)$ 是一个 $k$-余代数和 $\phi: k \rightarrow K$ 域的 态射。我们定义 $\Delta^{\prime}: K \otimes_k C \rightarrow\left(K \otimes_k C\right) \otimes_K\left(K \otimes_k C\right)$ 和 $\varepsilon^{\prime}: K \otimes_k C \rightarrow K$ 经过
$\Delta^{\prime}(\alpha \otimes c)=\sum\left(\alpha \otimes c_1\right) \otimes\left(1 \otimes c_2\right)$ 和 $\varepsilon^{\prime}(\alpha \otimes c)=\alpha \phi(\varepsilon(c))$ 对于任何 $\alpha \in K, c \in C$. 下面的结果再 次很容易验证
命题 1.4.25 $\left(K \otimes_k C, \Delta^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right)$ 是一个 $K$ – 代数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The dual (co)algebra

We will often use the following simple fact: if $X$ and $Y$ are $k$-vector spaces, and $t$ is an element of $X \otimes Y$, then $t$ can be represented as $t=\sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i$ for some positive integer $n$, some linearly independent $\left(x_i\right){i=1, n}$ in $X$, and some $\left(y_i\right){i=1, n} \subset Y$. Similarly, $t$ can be written as a sum of tensor monomials with the elements appearing on the second tensor position being linearly independent.

Exercise 1.3.1 Let $t$ be a non-zero element of $X \otimes Y$. Show that there exist a positive integer $n$, some linearly independent $\left(x_i\right){i=1, n} \subset X$, and some linearly independent $\left(y_i\right){i=1, n} \subset Y$ such that $t=\sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i$
The following lemma is well known from linear algebra.
Lemma 1.3.2 Let $k$ be a field, $M, N, V$ three $k$-vector spaces, and the linear maps $\phi: M^* \otimes V \rightarrow \operatorname{Hom}(M, V), \phi^{\prime}: \operatorname{Hom}\left(M, N^\right) \rightarrow(M \otimes N)^, \rho:$ $M^* \otimes N^* \rightarrow(M \otimes N)^$ defined by $$ \begin{gathered} \phi(f \otimes v)(m)=f(m) v \text { for } f \in M^, v \in V, m \in M, \
\phi^{\prime}(g)(m \otimes n)=g(m)(n) \text { for } g \in H o m\left(M, N^\right), m \in M, n \in N, \ \rho(f \otimes g)(m \otimes n)=f(m) g(n) \text { for } f \in M^, g \in N^*, m \in M, n \in N .
\end{gathered}
$$
Then:
i) $\phi$ is injective. If moreover $V$ is finite dimensional, then $\phi$ is an isomorphism.
ii) $\phi^{\prime}$ is an isomorphism.
iii) $\rho$ is injective. If moreover $N$ is finite dimensional, then $\rho$ is an isomorphism.

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|THE DUAL (CO)ALGEBRA

$H^$ is isomorphic to the algebra of formal power series $k[[X]]$, a canonical isomorphism being given by $$ \phi: H^ \rightarrow k[[X]], \phi(f)=\sum_{n \geq 0} f\left(c_n\right) X^n .
$$
The dual problem is the following: having an algebra $(A, M, u)$ can one introduce a canonical structure of a coalgebra on $A^$ ? We remark that is is not possible to perform a construction similar to the one of the dual algebra, due to the inexistence of a canonical morphism $(A \otimes A)^ \rightarrow A^* \otimes A^$. However, if $A$ is finite dimensional, the canonical morphism $\rho: A^ \otimes A^* \rightarrow$ $(A \otimes A)^$ is bijective and we can use $\rho^{-1}$. Thus, if the algebra $(A, M, u)$ is finite dimensional, we define the maps $\Delta: A^ \rightarrow A^* \otimes A^$ and $\varepsilon: A^ \rightarrow k$ by $\Delta=\rho^{-1} M^$ and $\varepsilon=\psi u^$, where $\psi: k^* \rightarrow k$ is the canonical isomorphism, $\psi(f)=f(1)$ for $f \in k^$. We remark that if $\Delta(f)=\sum_i g_i \otimes h_i$, where $g_i, h_i \in A^$, then $f(a b)=$ $\sum_i g_i(a) h_i(b)$ for any $a, b \in A$. Also if $\left(g_j^{\prime}, h_j^{\prime}\right)_j$ is a finite family of elements in $A^$ such that $f(a b)=\sum_j g_j^{\prime}(a) h_j^{\prime}(b)$ for any $a, b \in A$, then $\sum_i g_i \otimes h_i=$ $\sum_j g_j^{\prime} \otimes h_j^{\prime}$, following from the injectivity of $\rho$. In conclusion, we can define $\Delta(f)=\sum g_i \otimes h_i$ for any $\left(g_i, h_i\right) \in A^$ with the property that $f(a b)=\sum_i g_i(a) h_i(b)$ for any $a, b \in A$.

Proposition 1.3.9 If $(A, M, u)$ is a finite dimensional algebra, then we have that $\left(A^*, \Delta, \varepsilon\right)$ is a coalgebra.

霍普夫代数代考

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The dual (co)algebra

我们经常会用到以下简单的事实: 如果 $X$ 和 $Y$ 是 $k$-向量空间，和 $t$ 是一个元素 $X \otimes Y$ ，然后 $t$ 可以表示为 $t=\sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i$ 对于某个正整数 $n ，$ 一些线性独立的 $\left(x_i\right) i=1, n$ 在 $X$ ，还有一些 $\left(y_i\right) i=1, n \subset Y$. 相 似地， $t$ 可以写成张量单项式的总和，其中出现在第二个张量位置上的元素是线性独立的。
练习 $1.3 .1$ 让 $t$ 是的非零元素 $X \otimes Y$. 证明存在正整数 $n$, 一些线性独立的 $\left(x_i\right) i=1, n \subset X$ ，和一些线性独立 的 $\left(y_i\right) i=1, n \subset Y$ 这样 $t=\sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i$
下面的引理在线性代数中是众所周知的。
引理 $1.3 .2$ 让 $k$ 成为一个领域， $M, N, V$ 三 $k$-向量空间和线性映射 $M^{\wedge *}$ Iotimes $N^{\wedge *} \backslash$ Yightarrow( $M$ \otimes $\left.N\right)^{\wedge}$ 被定义为
然后：
我) $\phi$ 是单射的。如果还有 $V$ 是有限维的，那么 $\phi$ 是一个同构。
二) $\phi^{\prime}$ 是一个同构。
三) $\rho$ 是单射的。如果还有 $N$ 是有限维的，那么 $\rho$ 是一个同构。

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|THE DUAL (CO)ALGEBRA

^同构于形式幂级数的代数 $k[[X]]$, 由下式给出的规范同构
$$
\phi: H^{\rightarrow} k[[X]], \phi(f)=\sum_{n \geq 0} f\left(c_n\right) X^n .
$$
对偶问题如下: 有一个代数 $(A, M, u)$ 可以介绍一个余代数的规范结构吗一个^? 我们注意到，由于不存在规范 态射，不可能执行类似于对偶代数的构造 (A lotimes A)^ Irightarrow A^* lotimes A^. 然而，如果 $A$ 是有限维的， 规范态射 $\rho: A^{\otimes} A^* \rightarrow$ (Alotimes A)^ 是双射的，我们可以使用 $\rho^{-1}$. 因此，如果代数 $(A, M, u)$ 是有限维的， 在哪里 $\psi: k^* \rightarrow k$ 是规范同构， $\psi(f)=f(1)$ 为了 $\mathrm{flin} \mathrm{k}^{\wedge}$. 我们注意到，如果 $\Delta(f)=\sum_i g_i \otimes h_i$ ， 在哪 里 g_i, h_i \in A^ ， 然后 $f(a b)=\sum_i g_i(a) h_i(b)$ 对于任何 $a, b \in A$. 还有如果 $\left(g_j^{\prime}, h_j^{\prime}\right)_j$ 是一个有限的元素族 一个^ 这样 $f(a b)=\sum_j g_j^{\prime}(a) h_j^{\prime}(b)$ 对于任何 $a, b \in A ，$ 然后 $\sum_i g_i \otimes h_i=\sum_j g_j^{\prime} \otimes h_j^{\prime}$, 遵循的内射性 $\rho$. 总之，我们可以定义 $\Delta(f)=\sum g_i \otimes h_i$ 对于任何Uleft(g_i, h_ilright) \in A^ 与财产 $f(a b)=\sum_i g_i(a) h_i(b)$ 对 于任何 $a, b \in A$.
命题 $1.3 .9$ 如果 $(A, M, u)$ 是有限维代数，那么我们有 $\left(A^*, \Delta, \varepsilon\right)$ 是一个余代数。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在数学中，以海因茨-霍普夫命名的霍普夫代数是一种结构，它同时是一个（单ital联想）代数和一个（counital共联）联盟代数，这些结构的兼容性使它成为一个二元代数，此外，它还配备了一个满足某种属性的反同构体。

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数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Basic concepts

Let $k$ be a field. All unadorned tensor products are over $k$. The following alternative definition for the classical notion of a $k$-algebra sheds a new light on this concept, the ingredients of the new definition being objects (vector spaces), morphisms (linear maps), tensor products and commutative diagrams.

Definition 1.1.1 A $k$-algebra is a triple $(A, M, u)$, where $A$ is a $k$-vector space, $M: A \otimes A \longrightarrow A$ and $u: k \longrightarrow A$ are morphisms of $k$-vector spaces such that the following diagrams are commutative:

Remark 1.1.2 The definition is equivalent to the classical one, requiring $A$ to be a unitary ring, and the existence of a unitary ring morphism $\phi$ : $k \longrightarrow A$, with $\operatorname{Im} \phi \subseteq Z(A)$. Indeed, the multiplication $a \cdot b=M(a \otimes b)$ defines on A a structure of unitary ring, with identity element $u(1)$; the role of $\phi$ is played by $u$ itself. For the converse, we put $M(a \otimes b)=a \cdot b$ and $u=\phi$.
Due to the above, the map $M$ is called the multiplication of the algebra $A$, and $u$ is called its unit. The commutativity of the first diagram in the definition is just the associativity of the multiplication of the algebra.
The importance of the above definition resides in the fact that, due to its categorical nature, it can be dualized. We obtain in this way the notion of a coalgebra.

Example 1.1.4 1) Let $S$ be a nonempty set; $k S$ is the $k$-vector space with basis $S$. Then $k S$ is a coalgebra with comultiplication $\Delta$ and counit $\varepsilon$ defined by $\Delta(s)=s \otimes s, \varepsilon(s)=1$ for any $s \in S$. This shows that any vector space can be endowed with a $k$-coalgebra structure.
2) Let $H$ be a $k$-vector space with basis $\left{c_m \mid m \in \mathbf{N}\right}$. Then $H$ is a coalgebra with comultiplication $\Delta$ and counit $\varepsilon$ defined by
$$
\Delta\left(c_m\right)=\sum_{i=0, m} c_i \otimes c_{m-i}, \quad \varepsilon\left(c_m\right)=\delta_{0, m}
$$
for any $m \in \mathbf{N}$ ( $\delta_{i j}$ will denote throughout the Kronecker symbol). This coalgebra is called the divided power coalgebra, and we will come back to it later.
3) Let $(S, \leq)$ be a partially ordered locally finite set (i.e. for any $x, y \in S$, with $x \leq y$, the set ${z \in S \mid x \leq z \leq y}$ is finite). Let $T={(x, y) \in S \times S \mid$ $x \leq y}$ and $V k$-vector space with basis $T$. Then $V$ is a coalgebra with
$$
\begin{gathered}
\Delta(x, y)=\sum_{x \leq z \leq y}(x, z) \otimes(z, y) \
\varepsilon(x, y)=\delta_{x ; y}
\end{gathered}
$$
for any $(x, y) \in T$.

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The finite topology

Let $X$ and $Y$ be non-empty sets and $Y^X$ the set of all mappings from $X$ to $Y$. It is clear that we can regard $Y^X$ as the product of the sets $Y_x=Y$, where $x$ ranges over the index set $X$. The finite topology of $Y^X$ is obtained by taking the product space in the category of topological spaces, where each $Y_x$ is regarded as a discrete space. A basis for the open sets in this topology is given by the sets of the form
$$
\left{g \in Y^X \mid g\left(x_i\right)=f\left(x_i\right), 1 \leq i \leq n\right}
$$
where $\left{x_i \mid 1 \leq i \leq n\right}$ is a finite set of elements of $X$, and $f$ is a fixed element of $Y^X$, so that every open set is a union of open sets of this form.
Assume now that $k$ is a field, and $X$ and $Y$ are two $k$-vector spaces. The set $\operatorname{Hom}k(X, Y)$ of all $k$-homomorphisms from $X$ to $Y$, which is also a $k$-vector space, is a subset of $Y^X$. Thus we can consider on $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ the topology induced by the finite topology on $Y^X$. This topology on $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ is also called the finite topology. If $f \in \operatorname{Hom}_k(X, Y)$, the the sets $$ \mathcal{O}\left(f, x_1, \ldots, x_n\right)=\left{g \in \operatorname{Hom}_k(X, Y) \mid g\left(x_i\right)=f\left(x_i\right), 1 \leq i \leq n\right} $$ form a basis for the filter of neighbourhoods of $f$, where $\left{x_i \mid 1 \leq i \leq\right.$ $n}$ ranges over the finite subsets of $X$. Note that $\mathcal{O}\left(f, x_1, \ldots, x_n\right)=$ $\bigcap{i=1}^n \mathcal{O}\left(f, x_i\right)$, and $\mathcal{O}\left(f, x_1, \ldots, x_n\right)=f+\mathcal{O}\left(0, x_1, \ldots, x_n\right)$

Proposition 1.2.1 With the above notation we have the following results. a) $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ is a closed subspace of $Y^X$ (in the finite topology).
b) $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$, with the finite topology, is a topological $k$-vector space (the topology of $k$ is the discrete topology).
c) If $\operatorname{dim}_k(X)<\infty$, then the finite topology on Hom ${ }_k(X, Y)$ is discrete.
Proof: a) Pick $f$ in the closure of $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$, and let $x_1, x_2 \in X$, and $\lambda, \mu \in k$. The open set $U=\left{g \in Y^X \mid g\left(x_1\right)=f\left(x_1\right), g\left(x_2\right)=\right.$ $\left.f\left(x_2\right), g\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)\right}$ is a neighbourhood of $f$, and therefore $U \cap \operatorname{Hom}_k(X, Y) \neq \emptyset$. If $h \in U \cap \operatorname{Hom}_k(X, Y)$, then $h\left(x_1\right)=f\left(x_1\right)$, $h\left(x_2\right)=f\left(x_2\right)$, and $h\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)$. Since $h\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=$ $\lambda h\left(x_1\right)+\mu h\left(x_2\right)=\lambda f\left(x_1\right)+\mu f\left(x_2\right)$, we obtain that $f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=\lambda f\left(x_1\right)+$ $\mu f\left(x_2\right)$, so $f \in \operatorname{Hom}_k(X, Y)$.

霍普夫代数代考

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|Basic concepts

让 $k$ 成为一个领域。所有朴素的张量产品都结束了 $k$. 经典概念 $\mathrm{a}$ 的以下替代定义 $k$-代数为这个概念提供了新的思 路，新定义的成分是对象（向量空间）、态射 (线性映射)、张量积和交换图。
定义 1.1.1 Ak-代数是一个三元组 $(A, M, u)$ ，在哪里 $A$ 是一个 $k$-向量空间， $M: A \otimes A \longrightarrow A$ 和 $u: k \longrightarrow A$ 是的态射 $k$-向量空间使得下图是可交换的:
备注 1.1.2 定义等同于经典定义，要求 $A$ 是酉环，且存在酉环态射 $\phi: k \longrightarrow A$ ，和 $\operatorname{Im} \phi \subseteq Z(A)$. 确实，乘 法 $a \cdot b=M(a \otimes b)$ 在 A 上定义一个酉环结构，带有单位元素 $u(1)$; 的作用 $\phi$ 被玩 $u$ 本身。相反，我们把 $M(a \otimes b)=a \cdot b$ 和 $u=\phi$.
由于以上原因，地图 $M$ 称为代数的乘法 $A$ ，和 $u$ 称为它的单位。定义中第一个图的交换律就是代数乘法的结合 律。
上述定义的重要性在于，由于其绝对性质，它可以被二元化。这样我们就得到了余代数的概念。
例 1.1.4 1) 让 $S$ 是一个非空集； $k S$ 是个 $k$-有基础的向量空间 $S$. 然后 $k S$ 是具有复乘的余代数 $\Delta$ 和县 $\varepsilon$ 被定义为 $\Delta(s)=s \otimes s, \varepsilon(s)=1$ 对于任何 $s \in S$. 这表明任何向量空间都可以被赋予 $k$ – 代数结构。 被定义为
$$
\Delta\left(c_m\right)=\sum_{i=0, m} c_i \otimes c_{m-i}, \quad \varepsilon\left(c_m\right)=\delta_{0, m}
$$
对于任何 $m \in \mathbf{N}$ ( $\delta_{i j}$ 将在整个 Kronecker 符号中表示)。这个余代数被称为分次幂余代数，我们稍后再讲。
3) 让 $(S, \leq)$ 是部分有序的居部有限集（即对于任何 $x, y \in S$ ，和 $x \leq y$ ，集合 $z \in S \mid x \leq z \leq y$ 是有限
的)。让 $T=(x, y) \in S \times S \mid \$ \$ x \leq y$ 和 $V k$-有基础的向量空间 $T$. 然后 $V$ 是一个余代数
$$
\Delta(x, y)=\sum_{x \leq z \leq y}(x, z) \otimes(z, y) \varepsilon(x, y)=\delta_{x ; y}
$$
对于任何 $(x, y) \in T$.

数学代写|霍普夫代数代写Hopf algebra代考|The finite topology

让 $X$ 和 $Y$ 是非空集并且 $Y^X$ 所有映射的集合 $X$ 至 $Y$. 很明显，我们可以考虑 $Y^X$ 作为集合的产物 $Y_x=Y$ ，在哪 里 $x$ 范围超过索引集 $X$. 的有限拓扑 $Y^X$ 是通过在拓扑空间的范畴中取乘积空间获得的，其中每个 $Y_x$ 被视为一个 离散空间。此拓扑中开集的基础由以下形式的集合给出 形式的开集的并集。
现在假设 $k$ 是一个字段，并且 $X$ 和 $Y$ 是两个 $k$-向量空间。套装Hom $k(X, Y)$ 所有的 $k$-同态来自 $X$ 至 $Y$ ，这也是 一个 $k$-向量空间，是的子集 $Y^X$. 因此我们可以考虑 $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ 有限拓扑诱导的拓扑 $Y^X$. 此拓扑上 $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ 也称为有限拓扑。如果 $f \in \operatorname{Hom}_k(X, Y)$ ，集合 $\mathcal{O}\left(f, x_1, \ldots, x_n\right)=\bigcap i=1^n \mathcal{O}\left(f, x_i\right) ，$ 和 $\mathcal{O}\left(f, x_1, \ldots, x_n\right)=f+\mathcal{O}\left(0, x_1, \ldots, x_n\right)$
命题 1.2.1 有了上面的符号，我们得到以下结果。一个) $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ 是一个封闭的子空间 $Y^X$ (在有限拓扑 中) 。
二) $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ ，具有有限拓扑，是一个拓扑 $k$-向量空间（拓扑结构 $k$ 是离散拓扑）。
c) 如果 $\operatorname{dim}_k(X)<\infty$ ，那么 Hom 上的有限拓扑 $k(X, Y)$ 是离散的。
证明: a) 选择 $f$ 在关闭 $\operatorname{Hom}_k(X, Y)$ ，然后让 $x_1, x_2 \in X$ ，和 $\lambda, \mu \in k$. 开集
$h\left(x_2\right)=f\left(x_2\right)$ ，和 $h\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)$. 自从 $h\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=$
$\lambda h\left(x_1\right)+\mu h\left(x_2\right)=\lambda f\left(x_1\right)+\mu f\left(x_2\right)$ ， 我们得到 $f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right)=\lambda f\left(x_1\right)+\mu f\left(x_2\right)$ ，所以 $f \in \operatorname{Hom}_k(X, Y)$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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