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数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS7103

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS7103

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Set, Operation, and Function

Set. In general, a set is a collection of objects equipped with an equality relation. To define a set is to specify how to construct an element of the set, and how to prove that two elements are equal. A set is also called a family.

A member $\omega$ in the collection $\Omega$ is called an element of the latter, or, in symbols, $\omega \in \Omega$

The usual set-theoretic notations are used. Let two subsets $A$ and $B$ of a set $\Omega$ be given. We will write $A \cup B$ for the union, and $A \cap B$ or $A B$ for the intersection. We write $A \subset B$ if each member $\omega$ of $A$ is a member of $B$. We write $A \supset B$ for $B \subset A$. The set-theoretic complement of a subset $A$ of the set $\Omega$ is defined as the set ${\omega \in \Omega: \omega \in A$ implies a contradiction $}$. We write $\omega \notin A$ if $\omega \in A$ implies a contradiction.

Nonempty set. A set $\Omega$ is said to be nonempty if we can construct some element $\omega \in \Omega$.

Empty set. A set $\Omega$ is said to be empty if it is impossible to construct an element $\omega \in \Omega$. We will let $\phi$ denote an empty set.

Operation. Suppose $A, B$ are sets. A finite, step-by-step, method $X$ that produces an element $X(x) \in B$ given any $x \in A$ is called an operation from $A$ to $B$. The element $X(x)$ need not be unique. Two different applications of the operation $X$ with the same input element $x$ can produce different outputs. An example of an operation is [. $]_1$, which assigns to each $a \in R$ an integer $[a]_1 \in$ $(a, a+2)$. This operation is a substitute of the classical operation [-] and will be used frequently in the present work.

Function. Suppose $\Omega, \Omega^{\prime}$ are sets. Suppose $X$ is an operation that, for each $\omega$ in some nonempty subset $A$ of $\Omega$, constructs a unique member $X(\omega)$ in $\Omega^{\prime}$. Then the operation $X$ is called a function from $\Omega$ to $\Omega^{\prime}$, or simply a function on $\Omega$. The subset $A$ is called the domain of $X$. We then write $X: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime}$, and write domain $(X)$ for the set $A$. Thus a function $X$ is an operation that has the additional property that if $\omega_1=\omega_2$ in $\operatorname{domain}(X)$, then $X\left(\omega_1\right)=X\left(\omega_2\right)$ in $\Omega^{\prime}$. To specify a function $X$, we need to specify its domain as well as the operation that produces the image $X(\omega)$ from each given member $\omega$ of $\operatorname{domain}(X)$.
Two functions $X, Y$ are considered equal, $X=Y$ in symbols, if
$\operatorname{domain}(X)=\operatorname{domain}(Y)$,
and if $X(\omega)=Y(\omega)$ for each $\omega \in \operatorname{domain}(X)$. When emphasis is needed, this equality will be referred to as the set-theoretic equality, in contradistinction to almost everywhere equality, to be defined later.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Metric Space

The definitions and notations related to metric spaces in [Bishop and Bridges 1985], with few exceptions, are familiar to readers of classical texts. A summary of these definitions and notations follows.

Metric complement. Let $(S, d)$ be a metric space. If $J$ is a subset of $S$, its metric complement is the set ${x \in S: d(x, y)>0$ for all $y \in J}$. Unless otherwise specified, $J_c$ will denote the metric complement of $J$.

Condition valid for all but countably many points in metric space. A condition is said to hold for all but countably many members of $S$ if it holds for each member in the metric complement $J_c$ of some countable subset $J$ of $S$.

Inequality in a metric space. We will say that two elements $x, y \in S$ are unequal, and write $x \neq y$, if $d(x, y)>0$.

Metrically discrete subset of a metric space. We will call a subset $A$ of $S$ metrically discrete if, for each $x, y \in A$ we have $x=y$ or $d(x, y)>0$. Classically, each subset $A$ of $S$ is metrically discrete.

Limit of a sequence of functions with values in a metric space. Let $\left(f_n\right){n=1,2, \ldots .}$ be a sequence of functions from a set $\Omega$ to $S$ such that the set $$ D \equiv\left{\omega \in \bigcap{i=1}^{\infty} \operatorname{domain}\left(f_i\right): \lim {i \rightarrow \infty} f_i(\omega) \text { exists in } S\right} $$ is nonempty. Then $\lim {i \rightarrow \infty} f_i$ is defined as the function with domain $\left(\lim {i \rightarrow \infty} f_i\right) \equiv D$ and with value $$ \left(\lim {i \rightarrow \infty} f_i\right)(\omega) \equiv \lim {i \rightarrow \infty} f_i(\omega) $$ for each $\omega \in D$. We emphasize that $\lim {i \rightarrow \infty} f_i$ is well defined only if it can be shown that $D$ is nonempty.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS7103

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Set, Operation, and Function

一般来说,集合是具有相等关系的对象的集合。定义一个集合就是指定如何构造集合的一个元素,以及如何证明两个元素相等。集合也称为族。
成员 $\omega$ 在收藏中 $\Omega$ 被称为后者的一个元素,或者,在符号中, $\omega \in \Omega$
使用通常的集合论符号。让两个子集 $A$ 和 $B$ 一组的 $\Omega$ 被给予。我们会写 $A \cup B$ 为工会,和 $A \cap B$ 或者 $A B$ 为十字 路口。我们写 $A \subset B$ 如果每个成员 $\omega$ 的 $A$ 是成员 $B$. 我们写 $A \supset B$ 为了 $B \subset A$. 子集的集合论补集 $A$ 集合的 $\Omega$ 被 定义为集合 $\omega \in \Omega: \omega \in A$ \$impliesacontradiction $\$$. 我们写 $\omega \notin A$ 如果 $\omega \in A$ 暗示矛盾。
非空集。一套 $\Omega$ 如果我们可以构造某个元素,就说它是非空的 $\omega \in \Omega$.
空集。一套 $\Omega$ 如果无法构造元素,则称其为空 $\omega \in \Omega$. 我们会让 $\phi$ 表示一个空集。
手术。认为 $A, B$ 是集合。一种有限的、逐步的方法 $X$ 产生一个元素 $X(x) \in B$ 给定任何 $x \in A$ 被称为操作 $A$ 至 $B$. 元素 $X(x)$ 不必是唯一的。操作的两种不同应用 $X$ 具有相同的输入元素 $x$ 可以产生不同的输出。一个操作的例子是 [.] $]_1$ ,它分配给每个 $a \in R$ 一个整数 $[a]_1 \in(a, a+2)$. 此操作是经典操作 $[-]$ 的替代品,将在当前工作中频䋣使 用。
功能。认为 $\Omega, \Omega^{\prime}$ 是集合。认为 $X$ 是一个操作,对于每个 $\omega$ 在一些非空子集中 $A$ 的 $\Omega$, 构造一个唯一的成员 $X(\omega)$ 在 $\Omega^{\prime}$. 然后操作 $X$ 被称为一个函数 $\Omega$ 至 $\Omega^{\prime}$ ,或者只是一个函数 $\Omega$. 子集 $A$ 被称为域 $X$. 然后我们写 $X: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime}$ ,并写 域 $(X)$ 对于集合 $A$. 因此一个函数 $X$ 是一个具有附加属性的操作,如果 $\omega_1=\omega_2$ 在domain $(X)$ ,然后
$X\left(\omega_1\right)=X\left(\omega_2\right)$ 在 $\Omega^{\prime}$. 指定函数 $X$ ,我们需要指定它的域以及产生图像的操作 $X(\omega)$ 从每个给定的成员 $\omega$ 的 domain $(X)$.
两个功能 $X, Y$ 被认为是平等的, $X=Y$ 在符号中,如果
domain $(X)=\operatorname{domain}(Y)$,
如果 $X(\omega)=Y(\omega)$ 对于每个 $\omega \in \operatorname{domain}(X)$. 当需要强调时,这种等式将被称为集合论等式,与稍后定义的几 乎处处等式形成对比。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Metric Space

[Bishop and Bridges 1985] 中与度量空间相关的定义和符号,除了少数例外,对古典文本的读者来说是熟系的。 这些定义和符号的总结如下。
公制补码。让 $(S, d)$ 是一个度量空间。如果 $J$ 是的一个子集 $S$ ,它的度量补码是集合 $x \in S: d(x, y)>0 \$$ forall $\$ y \in J$. 除非另有规定, $J_c$ 将表示的度量补码 $J$.
条件对度量空间中的所有点都有效,但可数很多。据说一个条件对除了可数的许多成员之外的所有成员都成立 $S$ 如果它适用于度量补码中的每个成员 $J_c$ 一些可数子集的 $J$ 的 $S$.
度量空间中的不等式。我们会说两个元素 $x, y \in S$ 不相等,写 $x \neq y$ ,如果 $d(x, y)>0$.
度量空间的度量离散子集。我们将调用一个子集 $A$ 的 $S$ 度量离散如果,对于每个 $x, y \in A$ 我们有 $x=y$ 或者 $d(x, y)>0$. 经典地,每个子集 $A$ 的 $S$ 是度量离散的。
在度量空间中具有值的函数序列的极限。让 $\left(f_n\right) n=1,2, \ldots$ 是一组函数的序列 $\Omega$ 至 $S$ 这样集合
是非空的。然后 $\lim i \rightarrow \infty f_i$ 定义为具有域的函数 $\left(\lim i \rightarrow \infty f_i\right) \equiv D$ 并具有价值
$$
\left(\lim i \rightarrow \infty f_i\right)(\omega) \equiv \lim i \rightarrow \infty f_i(\omega)
$$
对于每个 $\omega \in D$. 我们强调 $\lim i \rightarrow \infty f_i$ 只有当它可以证明 $D$是非空的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4528

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recognizing Nonconstructive Theorems

Consider the simple theorem “if $a$ is a real number, then $a \leq 0$ or $0<a$,” which may be called the principle of excluded middle for real numbers. We can see that this theorem implies the principle of infinite search by the following argument. Let $(x){i=1,2, \ldots}$, be any given sequence of 0 -or-1 integers. Define the real number $a=\sum{i=1}^{\infty} x_i 2^{-i}$. If $a \leq 0$, then all members of the given sequence are equal to 0 ; if $0<a$, then some member is equal to 1 . Thus the theorem implies the principle of infinite search, and therefore cannot have a constructive proof.

Consequently, any theorem that implies this limited principle of excluded middle cannot have a constructive proof. This observation provides a quick test to recognize certain theorems as nonconstructive. Then it raises the interesting task of examining the theorem for constructivization of a part or the whole, or the task of finding a constructive substitute of the theorem that will serve all future purposes in its stead.

For the aforementioned principle of excluded middle of real numbers, an adequate constructive substitute is the theorem “if $a$ is a real number, then, for arbitrarily small $\varepsilon>0$, we have $a<\varepsilon$ or $0<a$.” Heuristically, this is a recognition that a general real number $a$ can be computed with arbitrarily small, but nonzero, error.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Notations and Conventions

If $x, y$ are mathematical objects, we write $x \equiv y$ to mean ” $x$ is defined as $y$,” ” $x$, which is defined as $y, ” ~ ” x$, which has been defined earlier as $y$,” or any other grammatical variation depending on the context.

Unless otherwise indicated, $N, Q$, and $R$ will denote the set of integers, the set of rational numbers in the decimal or binary system, and the set of real numbers, respectively. We will also write ${1,2, \ldots}$ for the set of positive integers. The set $R$ is equipped with the Euclidean metric $d \equiv d_{\text {ecld }}$. Suppose $a, b, a_i \in R$ for $i=m, m+1, \ldots$ for some $m \in N$. We will write $\lim {i \rightarrow \infty} a_i$ for the limit of the sequence $a_m, a{m+1}, \ldots$ if it exists, without explicitly referring to $m$. We will write $a \vee b, a \wedge b, a_{+}$, and $a_{-}$for $\max (a, b), \min (a, b), a \vee 0$, and $a \wedge 0$, respectively. The sum $\sum_{i=m}^n a_i \equiv a_m+\cdots+a_n$ is understood to be 0 if $n{n \rightarrow \infty} \sum{i=m}^n a_i$. In other words, unless otherwise specified, convergence of a series of real numbers means absolute convergence. Regarding real numbers, we quote Lemma $2.18$ from [Bishop and Bridges 1985] which will be used, extensively and without further comments, in the present book. Limited proof by contradiction of an inequality of real numbers. Let $x, y$ be real numbers such that the assumption $x>y$ implies a contradiction. Then $x \leq y$. This lemma remains valid if the relations $>$ and $\leq$ are replaced by $<$ and $\geq$, respectively.

We note, however, that if the relations $>$ and $\leq$ are replaced by $\geq$ and $<$ respectively, then the lemma would not have a constructive proof. Roughly speaking, the reason is that a constructive proof of $x0$ such that $y-x>\varepsilon$, which is more than a proof of $x \leq y$; the latter requires only a proof that $x>y$ is impossible and does not require the calculation of anything. The reader should ponder on the subtle but important difference.

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概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recognizing Nonconstructive Theorems

考虑一个简单的定理“如果一个是实数,那么一个≤0或者0<一个,”这可以称为实数的排中原理。我们可以看到,这个定理通过以下论证暗示了无限搜索的原则。让(X)一世=1,2,…, 是任何给定的 0 或 1 整数序列。定义实数一个=∑一世=1∞X一世2−一世. 如果一个≤0, 那么给定序列的所有成员都等于 0 ; 如果0<一个, 那么某个成员等于 1 。因此,该定理暗示了无限搜索的原则,因此不能有建设性的证明。

因此,任何暗示这个有限排中原理的定理都不能有建设性的证明。这个观察提供了一个快速测试来识别某些定理是非建设性的。然后,它提出了一项有趣的任务,即检验该定理以构建部分或整体,或者找到一个可以替代该定理的建设性替代物,以代替它为所有未来目的服务。

对于前面提到的实数排中原理,一个适当的建设性替代是定理“如果一个是一个实数,那么,对于任意小e>0, 我们有一个<e或者0<一个。” 启发式地,这是对一般实数的认识一个可以用任意小但非零的误差计算。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Notations and Conventions

如果 $x, y$ 是数学对象,我们写 $x \equiv y$ 意思是 ” $x$ 定义为 $y$,” ” $x$, 定义为 $y, “$ ” $x$, 前面已经定义为 $y$,” 或任何其他语法变 化,具体取决于上下文。
除非另有说明, $N, Q$ ,和 $R$ 将分别表示整数集、十进制或二进制系统中的有理数集和实数集。我们也会写 $1,2, \ldots$ 对于正整数的集合。套装 $R$ 配备欧几里得度量 $d \equiv d_{\text {ecld }}$ 认为 $a, b, a_i \in R$ 为了 $i=m, m+1, \ldots$ 对于 一些 $m \in N$. 我们将写 $\$ V$ lim {i Irightarrow linfty} a_iforthelimitofthesequencea_m, a ${\mathrm{m}+1}$, Vdots ifitexists, withoutexplicitlyre ferringto米. Wewillwritea Ivee b, a Iwedge b, a_{+}, and一个{-} for $\backslash \max (a, b)$, Imin $(a, b)$, a \vee 0, and一个 \楔形 0 , respectively. Thesum $\backslash$ Isum{i=m}^ $n$ a_i lequiv a_m+\cdots+a_nisunderstoodtobe 0 if $n{\mathrm{n} \backslash$ \ightarrow $\backslash$ infty $}$ Isum{i=m $} \wedge \mathrm{n}$ a_i
. Inotherwords, unlessotherwisespecified, convergenceofaseriesofrealnumbersmeansabsolute $2.18$
from [BishopandBridges 1985$]$ whichwillbeused, extensivelyandwithoutfurthercomments, inthe $\mathrm{x}$ 和 yberealnumberssuchthattheassumption $\mathrm{x}>\mathrm{y}$ impliesacontradiction. Then $\mathrm{x}$ ฟeq $\mathrm{y}$ . Thislemmaremainsvalidiftherelations $>$ and $\mathrm{l}$ leqarereplacedby $<$ and $\backslash$ geq $\$$ ,分别。 然而,我们注意到,如果关系 $>$ 和 $\leq$ 被替换为 $\geq$ 和 $<$ 分别,那么引理将没有建设性的证明。粗略地说,原因是一个 建设性的证明 $x 0$ 这样 $y-x>\varepsilon$, 这不仅仅是一个证明 $x \leq y$; 后者只需要证明 $x>y$ 是不可能的,不需要计算任 何东西。读者应该思考微妙但重要的区别。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Natural Numbers

We start with the natural numbers as known in elementary schools. All mathematical objects are constructed from natural numbers, and every theorem is ultimately a calculation on the natural numbers. From natural numbers are constructed the integers and the rational numbers, along with the arithmetical operations, in the manner taught in elementary schools.

We claim to have a natural number only when we have provided a finite method to calculate it, i.e., to find its decimal representation. This is the fundamental difference from classical mathematics, which requires no such finite method; an infinite procedure in a proof is considered just as good in classical mathematics.
The notion of a finite natural number is so simple and so immediate that no attempt is needed to define it in even simpler terms. A few examples would suffice as clarification: 1,2 , and 3 are natural numbers. So are $9^9$ and $9^{9^9}$; the multiplication method will give, at least in principle, their decimal expansion in a finite number of steps. In contrast, the “truth value” of a particular mathematical statement is a natural number only if a finite method has been supplied that, when carried out, would prove or disprove the statement.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Calculation and Theorem

An algorithm or a calculation means any finite, step-by-step procedure. A mathematical object is defined when we specify the calculations that need to be done to produce this object. We say that we have proved a theorem if we have provided a step-by-step method that translates the calculations doable in the hypothesis to a calculation in the conclusion of the theorem. The statement of the theorem is merely a summary of the algorithm contained in the proof.

Although we do not, for good reasons, write mathematical proofs in a computer language, the reader would do well to compare constructive mathematics to the development of a large computer software library, with successive objects and library functions being built from previous ones, each with a guarantee to finish in a finite number of steps.

There is a trivial form of proof by contradiction that is valid and useful in constructive mathematics. Suppose we have already proved that one of two given alternatives, $A$ and $B$, must hold, meaning that we have given a finite method, that, when unfolded, gives either a proof for $A$ or a proof for $B$. Suppose subsequently we also prove that $A$ is impossible. Then we can conclude that we have a proof of $B$; we need only exercise said finite method, and see that the resulting proof is for $B$.

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概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Natural Numbers

我们从小学已知的自然数开始。所有的数学对象都是由自然数构成的,每一个定理最终都是对自然数的计算。从自然数构造整数和有理数,以及算术运算,以小学教的方式。

只有当我们提供了一种有限的方法来计算它,即找到它的十进制表示时,我们才声称有一个自然数。这是与经典数学的根本区别,经典数学不需要这种有限方法;证明中的无限过程在经典数学中被认为是一样好的。
有限自然数的概念是如此简单和直接,以至于不需要尝试用更简单的术语来定义它。几个例子足以说明: 1,2 和 3 是自然数。也是如此99和999; 至少在原则上,乘法方法将在有限步数内给出它们的十进制扩展。相反,特定数学陈述的“真值”只有在提供了一种有限方法时才是自然数,该方法在执行时将证明或反驳该陈述。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Calculation and Theorem

算法或计算意味着任何有限的、逐步的过程。当我们指定生成该对象所需进行的计算时,就定义了一个数学对象。如果我们提供了一个逐步的方法,将假设中可行的计算转换为定理结论中的​​计算,我们就说我们已经证明了一个定理。定理的陈述只是证明中包含的算法的总结。

尽管出于充分的理由,我们不会用计算机语言编写数学证明,但读者最好将建设性数学与大型计算机软件库的开发进行比较,其中连续的对象和库函数是从以前的对象和库函数构建的,每个都有保证在有限的步骤中完成。

有一种简单的矛盾证明形式在构造数学中是有效且有用的。假设我们已经证明了两个给定的选择之一,一个和乙, 必须成立,这意味着我们给出了一个有限的方法,当展开时,它给出了一个证明一个或证明乙. 假设随后我们也证明一个是不可能的。然后我们可以得出结论,我们有一个证明乙; 我们只需要练习所述有限方法,并看到结果证明是乙.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|POPH90148

如果你也在 怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写概率论Probability theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写概率论Probability theory代写方面经验极为丰富,各种代写概率论Probability theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|EXAMPLES OF RANDOM VARIABLES

Thus, above we fixed the probabilistic space ${\Omega, F, P}$ and defined a random variable $\xi=\xi(\omega)$ on it. For each random variable $\xi$ the distribution function
$$
F(x)=F_{\xi}(x)=P(\xi<x)
$$
is determined. As an example of the such function can be taken any function $F(x)$ that satisfies the following properties:
$$
0 \leq F(x) \leq 1 ;
$$

$$
F(-\infty)=\lim {x \rightarrow-\infty}(x)=0, F(+\infty)=\lim {x \rightarrow \infty} F(x)=1 ;
$$
$F(x)$ is a non-decreasing function;
$F(x)$ is left continuous at each point $x,-\infty<x<\infty$.
There are three types of distributions: discrete, absolutely continuous and singular. Discrete random variable $\xi$ is presented by some set (finite or countable) of its possible values
$$
-\infty<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}<\cdots<\infty
$$
and the corresponding set of probabilities
$$
p_{n}=P\left(\xi=x_{n}\right), n=1,2, \ldots
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|GENERATING FUNCTIONS AND THEIR PROPERTIES

For the discrete random variables considered before that take integer non-negative values, it is convenient to use the so-called generating functions. If $\xi$ takes values $0,1,2, \ldots$ with probabilities $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots$ then its generating function $P(s)$ at each point $s$ is defined as the mathematical expectation of a random variable $s^{\xi}$ i.e., random variable, which already takes on values of $s^{k}$ with probabilities $p_{k}, k=0,1,2, \ldots$. Thus for each fixed value of $s$ (usually limited to $s$ lying in the interval $[0,1]$ ) the corresponding generating function of a random variable $\xi$ is given as the sum
$$
P(s)=E s^{\xi}=\sum_{k} p_{k} s^{k}
$$
Obviously, for values $s \in[-1,1]$ the convergence of the series on the right-hand side of equality (3.1.1) is guaranteed. Later we will return to a more detailed discussion of the properties of generating functions. We first consider these functions for some discrete distributions.

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概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|EXAMPLES OF RANDOM VARIABLES

因此,上面我们固定了概率空间 $\Omega, F, P$ 并定义了一个随机变量 $\xi=\xi(\omega)$ 在上面。对于每个随机变量 $\xi$ 分布函数
$$
F(x)=F_{\xi}(x)=P(\xi<x)
$$
决心,决意,决定。作为此类函数的示例,可以采用任何函数 $F(x)$ 满足以下性质:
$$
\begin{gathered}
0 \leq F(x) \leq 1 \
F(-\infty)=\lim x \rightarrow-\infty(x)=0, F(+\infty)=\lim x \rightarrow \infty F(x)=1 ;
\end{gathered}
$$
$F(x)$ 是非减函数;
$F(x)$ 在每个点保持连续 $x,-\infty<x<\infty$.
分布有三种类型: 离散的、绝对连续的和奇异的。离散随机变量 $\xi$ 由其可能值的某个集合 (有限或可数) 表示
$$
-\infty<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}<\cdots<\infty
$$
和相应的一组概率
$$
p_{n}=P\left(\xi=x_{n}\right), n=1,2, \ldots
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|GENERATING FUNCTIONS AND THEIR PROPERTIES

对于之前考虑的离散随机变量取整数非负值,使用所谓的生成函数是很方便的。如果 $\xi$ 取值 $0,1,2, \ldots$ 有概率 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots$ 那么它的生成函数 $P(s)$ 在每个点 $s$ 定义为随机变量的数学期望 $s^{\xi}$ 即,随机变量,它已经取值为 $s^{k}$ 有概率 $p_{k}, k=0,1,2, \ldots$ 因此对于每个固定值 $s$ (通常限于 $s$ 位于区间 $[0,1]$ ) 对应的随机变量生成函数 $\xi$ 作为总 和给出
$$
P(s)=E s^{\xi}=\sum_{k} p_{k} s^{k}
$$
显然,对于价值观 $s \in[-1,1]$ 保证等式 (3.1.1) 右侧的级数收敛。稍后我们将返回对生成函数属性的更详细讨 论。我们首先考虑一些离散分布的这些函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
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EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4528

如果你也在 怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

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  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|DISCRETE GENERALIZATIONS OF THE CLASSICAL SCHEME

In the classical probabilistic model considered above, we are dealing with $n$ outcomes of some experiment having equal chances for their appearances. The simplest examples of such classical schemes are connected, for example, with throwing of the “correct” dices or some symmetrical coins, as well as with the random selection of one or several playing cards from a well-mixed deck. However, there are substantially more situations when the possible outcomes of the carrying out experiment are not equally probable. For example, imagine that two “correct” dices are throwing, but we are interested in the sum of the readings of the two fallen faces only, then the outcomes of this experiment $\omega_{2}, \omega_{3}, \ldots, \omega_{12}$, where $\omega_{k}$ corresponds to the sum, which is equal to $\mathrm{k}$, no longer will be equally probable. Therefore, the first simplest generalization of the classical probability model presented above is fairly obvious.

Now let us consider the set of the elementary outcomes $\Omega=$ $\left{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\right}$ in the case, when each outcome $\omega_{k}$ has its own (not necessarily equal to $1 / \mathrm{n}$ ) weight $p_{k}$ and the sum of all these $n$ nonnegative weights is equal to one. Then the total weight (probability)
$$
P(A)=p_{\alpha(1)}+p_{\alpha(2)}+\cdots+p_{\alpha(m)}
$$
corresponds to event $\mathrm{A}$, which is formed from the “bricks” (elementary outcomes)
$$
\left{\omega_{\alpha(1)}, \omega_{\alpha(2)}, \ldots, \omega_{\alpha(m)}\right}
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|THE GENERAL CONSTRUCTION OF THE PROBABILITY SPACE

We have considered the variants of probabilistic spaces in situations where the number of outcomes of some experiment is finite or even countable. It should be noted that such schemes are very popular. Elementary events in such situations may be, for example, the following:
“the appearance of the six when throwing a die,”
“getting a ticket with the number 7 during a random selection of 24 examination tickets,”
“three defeats of a football team before its first victory in the championship,”
“the five-time appearance of the letter ” $\mathrm{s}$ ” on the first page of a readable newspaper,”
“the winning combination of numbers $(2,8,11,22,27,31)$ falls out in the draw of a lotttery.”
However, many experiments do not fit into these discrete schemes. For example, the result of some experiment may be the coordinate of a randomly thrown point on a real line or the coordinates of a randomly thrown point on a unit square. Therefore, a further generalization of our construction of probability spaces must be useful.

Now let $\Omega={\omega}$ be an arbitrary (not necessarily, finite or countable) set of elementary events. When moving from $\Omega$ to a set of random events, problems may arise of the type,” which combinations of elementary outcomes can be taken as elements of $F$ ?.” The examples from the previous paragraph suggest that this choice is sufficiently arbitrary. The only condition is that the elements (random events) contained in $F$ must present some kind of configurations which could be called $\sigma$-algebra. The “poorest” and very exotic will be the $\sigma$-algebra, which includes only two elements – an impossible event $\theta$ and the authentic event $\Omega$. The next in simplicity but already actually used there may be an $\sigma$-algebra composed of 4 events $A, \bar{A}, \theta$ and, where as the event $A$ one can take an arbitrary union of elementary outcomes. Naturally, to solve any specific problems we must work with some more eventful set $F$. The only condition, as already was noted, is that this set must form an $\sigma$-algebra. For example, if $\Omega$ contains all the points of the real axis, then it is convenient (but not at all necessary!) to take the Borel $\sigma$-algebra containing all segments and their various combinations.

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概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|DISCRETE GENERALIZATIONS OF THE CLASSICAL SCHEME

在上面考虑的经典概率模型中,我们正在处理 $n$ 一些实验的结果有相同的出现机会。此类经典方案的最简单示例 与投郑“正确”骰子或一些对称硬币以及从混合良好的牌爼中随机选择一张或几张扑克牌有关。然而,当进行实验 的可能结果不是同样可能时,还有更多的情况。例如,假设两个“正确”的骰子正在投掷,但我们只对两个落下的 面的读数之和感兴趣,那么这个实验的结果 $\omega_{2}, \omega_{3}, \ldots, \omega_{12}$ , 在哪里 $\omega_{k}$ 对应于总和,等于 $\mathbf{k}$ ,不再是同样可能 的。因此,上面介绍的经典概率模型的第一个最简单的推广是相当明显的。
现在让我们考虑一组基本结果 $\Omega=$ left{1omega_{1}, lomega_{2}, Vdots, lomega_{n}\right} 在这种情况下,当每个 结果 $\omega_{k}$ 有自己的 (不一定等于 $1 / \mathrm{n}$ ) 重量 $p_{k}$ 以及所有这些的总和 $n$ 非负权重等于一。那么总重量(概率)
$$
P(A)=p_{\alpha(1)}+p_{\alpha(2)}+\cdots+p_{\alpha(m)}
$$
对应事件A,它由“砖块” (基本结果) 组成

数学代写|概率论代写Probability theory代考|THE GENERAL CONSTRUCTION OF THE PROBABILITY SPACE

我们已经考虑了在某些实验的结果数量是有限甚至可数的情况下概率空间的变体。应该指出的是,这种方案非常
受欢迎。例如,在这种情况下的基本事件可能如下:
“掷骰子时六人的出现”、
在随机选择 24 张考试票时获得编号为 7 的票”、“
足球的三败球队在夺冠前的第一场胜利,“
五次出场的信” $\mathrm{s}$ “在可读报纸的第一页上,”
“数字的中奖组合 $(2,8,11,22,27,31)$ 在抽签中掉出来了。”
然而,许多实验不适合这些离散方案。例如,某个实验的结果可能是一个随机抛点在实线上的坐标,也可能是一 个随机抛点在单位正方形上的坐标。因此,我们构建概率空间的进一步概括一定是有用的。
现在让 $\Omega=\omega$ 是任意的(不一定是有限的或可数的)基本事件集。从搬家时 $\Omega$ 对于一组随机事件,可能会出现类 型问题”,可以将基本结果的组合视为 $F$ ?.” 上一段中的例子表明,这种选择是足够随意的。唯一的条件是元素(随 机事件) 包含在 $F$ 必须呈现某种可以称为的配置 $\sigma$-代数。“最公穷”和最奇特的将是 $\sigma$-代数,它只包括两个元素 一一一个不可能的事件 $\theta$ 和真实的事件 $\Omega$. 下一个简单但已经实际使用过的可能是 $\sigma-$ 由 4 个事件组成的代数
$A, \bar{A}, \theta$ 并且,作为事件 $A$ 可以任意结合基本结果。自然,要解决任何特定问题,我们必须使用一些更重要的集合 $F$. 正如已经提到的,唯一的条件是这个集合必须形成一个 $\sigma$-代数。例如,如果 $\Omega$ 包含实轴的所有点,那么取 Borel很方便(但完全没有必要!) $\sigma$ – 包含所有段及其各种组合的代数。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

如果你也在 怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写概率论Probability theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写概率论Probability theory代写方面经验极为丰富,各种代写概率论Probability theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

数学代写|概率论代写Probability theory代考|COMBINATORICS

The theory of probability, in fact, began with the solution of the great number of combinatorial problems. Several classical situations are connected with the situations when it is necessary to choose randomly $\mathrm{m}$ objects from the set which includes $n(m \leq n)$ available items.
1) If we are interested in the question of how many different groups including $\mathrm{m}$ items can be formed under the condition that the order of their arrival to the created group is important for us, then we naturally find that this number of arrangements $\mathrm{N}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ is given as follows:
$$
\mathrm{N}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=A_{n}^{m}=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2) \ldots(\mathrm{n}-\mathrm{m}+1)=\mathrm{n} ! /(\mathrm{n}-\mathrm{m}) ! .
$$
2) Here we should especially note the case when $m=n$. In this situation, we get the number of rearrangements of $n$ items on $n$ places:
$$
\mathrm{N}(\mathrm{n}, \mathrm{n})=A_{n}^{n}=\mathrm{n} ! .
$$

3) Not always we are interested to know the order of the arrival of these $\mathrm{m}$ items. In this case the number $\mathrm{N}$ of possible groups (without taking into account the order of the objects chosen by us in these groups) coincides with the corresponding number of combinations:
$$
\mathrm{N}=C_{n}^{m}=\mathrm{n} ! / \mathrm{m} !(\mathrm{n}-\mathrm{m}) ! .
$$
4) Very often we have to deal with the so-called “samples with replacement,” when the selected object is returned to the original group and can be selected repeatedly (and even more than once). In this situation, the number $\mathrm{N}$ of possible different ways of selecting $\mathrm{m}$ objects (here $\mathrm{m}$ can be greater than $\mathrm{n}$ ) is given by
$$
\mathrm{N}=n^{m} .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|THE SIMPLEST PROBABILISTIC MODELS

For the simplest situations, discussed before methods were proposed to rate the chances of the occurrences of events. It would be quite natural to introduce some characteristic, which makes it possible to compare the chances of the success in carrying out various experiments. Such sufficiently convenient characteristic is a certain measure of the success of the experiment (the probability of occurrence of the desired event) turned out to be the ratio $m / n$, where $n$ is the possible number of outcomes of this experiment, and $m$ is the number of outcomes that suit us.

In order to consider more complex situations in which this measure of the success can be evaluated for various events of interest to us, we will try to give some scientific form to the classical model already considered before, in which this measure is determined by the ratio $m / n$.

So, we are conducting some experiment, the result of which can be (with equal chances for any of them!) $n$ outcomes. These outcomes we treat as elementary events and denote them $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$. Thus, we define the first element of the probabilistic space – the so-called set of elementary events
$$
\Omega=\left{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\right}
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|COMBINATORICS

事实上,概率论是从解决大量组合问题开始的。几种经典情况与需要随机选择的情况有关 $\mathrm{m}$ 集合中的对象,其中 包括 $n(m \leq n)$ 可用的项目。
1) 如果我们对有多少不同组的问题感兴趣,包括m项目可以在它们到达创建组的顺序对我们很重要的条件下形 成,那么我们自然会发现这个排列的数量 $\mathrm{N}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 给出如下:
$$
\mathrm{N}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=A_{n}^{m}=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2) \ldots(\mathrm{n}-\mathrm{m}+1)=\mathrm{n} ! /(\mathrm{n}-\mathrm{m}) ! .
$$
2) 这里要特别注意的情况是 $m=n$. 在这种情况下,我们得到重排的次数 $n$ 上的项目 $n$ 地方:
$$
\mathrm{N}(\mathrm{n}, \mathrm{n})=A_{n}^{n}=\mathrm{n} !
$$
3) 我们并不总是有兴趣知道这些到达的顺序 $\mathrm{m}$ 项目。在这种情况下,数字 $\mathrm{N}$ 可能组的数量 (不考虑我们在这些组 中选择的对象的顺序) 与相应的组合数量一致:
$$
\mathrm{N}=C_{n}^{m}=\mathrm{n} ! / \mathrm{m} !(\mathrm{n}-\mathrm{m}) ! .
$$
4) 很多时候我们不得不处理所谓的“有替换的样本”,当被选中的对象被返回到原来的组并且可以被重复选择(甚 至不止一次)。在这种情况下,数 $N$ 可能的不同选择方式 $m$ 对象 (这里m可以大于n) 是 (准) 给的
$$
\mathrm{N}=n^{m} .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|THE SIMPLEST PROBABILISTIC MODELS

对于最简单的情况,之前讨论过的方法被提出来评估事件发生的机会。引入一些特征是很自然的,这样就可以比 较进行各种实验的成功机会。这种足够方便的特性是实验成功的某种度量 (期望事件发生的概率) 结果是比率 $m / n$ ,在哪里 $n$ 是该实验的可能结果数,并且 $m$ 是适合我们的结果的数量。
为了考虑更复杂的情况,在这些情况下,可以针对我们感兴趣的各种事件评估这种成功的衡量标准,我们将尝试 为之前已经考虑过的经典模型提供一些科学形式,其中这个衡量标准由比率决定 $m / n$.
因此,我们正在进行一些实验,其结果可能是(其中任何一个机会均等!) $n$ 结果。我们将这些结果视为基本事 件并表示它们 $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$. 因此,我们定义了概率空间的第一个元素一一所谓的基本事件集

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|MAST90019

如果你也在 怎样代写离散时间鞅理论martingale这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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我们提供的离散时间鞅理论martingale及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|MAST90019

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

Central Limit Theorems for martingales can be found in many textbooks, Billingsley (1995); Durrett (1996); Ethier and Kurtz (1986); Varadhan (2001), for instance. We refer to Whitt (2007) for a recent account.

To our knowledge, the first central limit theorem for Markov chains goes back to Doeblin (1938) who reduced the problem to the case of independent identically distributed random variables. We refer to Nagaev (1957) for a proof along the line of Doeblin’s idea. Gordin (1969) and Gordin and Lifšic (1978) showed that
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges to a mean zero Gaussian random variable if $V$ belongs to the range of the operator $I-P$ in $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) proved an invariance principle for a Markov chain in random environment.

Kozlov (1985) and Kipnis and Varadhan (1986) proposed independently a general method to prove central limit theorems for additive functionals of Markov chains from martingale central limit theorems. The approach presented here follows Kipnis and Varadhan (1986). This seminal paper has been the starting point of much research on asymptotic normality of additive functionals of ergodic Markov chains which is reviewed in the following chapters. De Masi et al. (1989) and Goldstein (1995) considered anti-symmetric additive functionals of reversible Markov chains. Maxwell and Woodroofe $(2000)$ proved that the sequence (1.27) is asymptotically normal for stationary ergodic Markov chains $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ provided $V$ has mean zero with respect to the stationary measure $\pi$ and
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

On a probability space $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ consider a right continuous, square-integrable martingale $\left{M_{t}: t \geq 0\right}$ with respect to a given filtration $\left{\mathscr{F}{t}: t \geq 0\right}$ satisfying the usual conditions. We refer to Jacod and Shiryaev (1987) for the terminology adopted and some elementary properties of martingales used without further comments. Assume that $M{0}=0$ and denote by $\langle M, M\rangle_{t}$ its predictable quadratic variation. Denote by $\mathbb{E}$ expectation with respect to $\mathbb{P}$.

Theorem 2.1 Assume that the increments of the martingale $M_{t}$ are stationary: for every $t \geq 0, n \geq 1$ and $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$, the random vectors $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-\right.$ $\left.M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ have the same distribution. Assume also that the predictable quadratic variation converges in $L^{1}(\mathbb{P})$ to $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle{n}}{n}-\sigma^{2}\right|=0 .
$$
Then, the distribution of $M_{t} / \sqrt{t}$ conditioned on $\mathscr{F}{0}$ converges in probability, as $t \uparrow \infty$, to a mean zero Gaussian law with variance $\sigma^{2}$ : $$ \lim {t \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0 $$ for all $\theta$ in $\mathbb{R}$. The proof of this theorem relies on the next lemma which reduces the problem to proving the central limit theorem for integer times. Lemma 2.2 Under the assumptions of Theorem 2.1, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\sup {n \leq t \leq n+1}\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}{0}\right]\right|\right]=0 $$ Proof The difference of conditional expectations appearing in the statement of the lemma equals $$ \mathbb{E}\left[\left(\exp \left{i \theta\left[M{t} / \sqrt{t}-M_{n} / \sqrt{n}\right]\right}-1\right) e^{i \theta M_{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}_{0}\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

Fix a function $V$ in $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}{-1}, \lambda>0$ and consider the resolvent equation $$ \lambda f{\lambda}-L f_{\lambda}-V
$$
Note that $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ belongs to the domain of the generator $L$. Taking the scalar product with respect to $f_{\lambda}$ on both sides of this equation we get that
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2}=\left\langle V, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$

Hence, by Schwarz inequality ( $2.9)$,
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq\left|f_{\lambda}\right|_{1}|V|_{-1}
$$
so that $\left|f_{\lambda}\right|_{1} \leq|V|_{-1}$. Combining the two previous bounds we easily obtain the stronger estimate
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq|V|_{-1}^{2} .
$$
From the above estimate we conclude that $\lambda f_{\lambda}$ vanishes in $L^{2}(\pi)$ as $\lambda \downarrow 0$ and that $\left{f_{\lambda}: 0<\lambda \leq 1\right}$ forms a bounded sequence in $\mathscr{H}_{1}$ and is therefore weakly precompact.

Another simple consequence of $(2.15)$ is that $(\lambda-L)^{-1}$ extends to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$ :

Lemma 2.3 The operator $(\lambda-L)^{-1}$ extends from $L^{2}(\pi)$ to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$. Moreover, for any $V \in \mathscr{H}{-1}$ we have $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right|{1} \leq|V|_{-1}
$$
We wish to formulate sufficient conditions for the central limit theorem of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ in terms of the asymptotic behavior, as $\lambda \downarrow 0$, of the solutions $f_{\lambda}$ of the resolvent equation (2.13). We first observe in Sect. $2.5$ that the condition $V \in \mathscr{H}{-1}$ guarantees that the $L^{2}\left(\mathbb{P}{\pi}\right)$ norm of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ remains bounded for large $t$. Next, in Theorem 2.7, we show that a central limit theorem is valid, provided the following two conditions are satisfied:
$$
\lim {\lambda \rightarrow 0} \lambda\left|f{\lambda}\right|_{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim {\lambda \rightarrow 0}\left|f{\lambda}-f\right|_{1}=0
$$
for some $f$ in $\mathscr{H}{1}$. In Theorem $2.14$, we prove that the bound $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f_{\lambda}\right|_{-1}<\infty$ implies the previous two conditions. Therefore, a central limit theorem holds if $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f{\lambda}\right|_{-1}<+\infty$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|MAST90019

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

鞅的中心极限定理可以在许多教科书中找到,Billingsley (1995);达雷特(1996);Ethier 和库尔茨 (1986);例 如,瓦拉丹 (2001)。我们参考了 Whitt (2007) 的最新报道。
据我们所知,马尔可夫链的第一个中心极限定理可以追溯到 Doeblin (1938),他将问题简化为独立同分布随机变量 的情况。我们参考 Nagaev (1957) 来获得与 Doeblin 的想法一致的证明。Gordin (1969) 和 Gordin 和 Lifšic (1978) 表明
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛到一个均值为零的高斯随机变量,如果 $V$ 属于算子的范围 $I-P$ 在 $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) 证明了随机环境中马 尔可夫链的不变性原理。

Kozlov (1985) 和 Kipnis 和 Varadhan (1986) 分别提出了一种通用方法,用于从鞅中心极限定理证明马尔可夫链的 加性泛函的中心极限定理。这里介绍的方法遒循 Kipnis 和 Varadhan (1986)。这篇开创性的论文是对遍历马尔可夫 链的加性泛函的渐近正态性进行大量研究的起点,后续章节将对此进行回顾。德马西等人。(1989) 和 Goldstein (1995) 考虑了可逆马尔可夫链的反对称加性泛函。麦克斯韦和伍德屋顶(2000)证明了序列 (1.27) 对于静止遍历马 尔可夫链是渐近正态的 Veft {X_{j}: \geq O\right } 假如 $V$ 相对于静止测量的平均值为零 $\pi$ 和
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

在概率空间上 $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ 考虑一个右连续的平方可积靮 $\backslash$ left{M_{t}: t lgeq 0\right } } \text { 关于给定的过滤 }
$\mathrm{~ V e f t { \ m a t h s c r { F } { t : ~ t ~ \ g e q ~ O \ r i g h t } ~ 满 足 一 般 条 件 。 我 们 参 考 了 J a c o d ~ 和}$ 鞅的一些基本性质,没有进一步的评论。假使,假设 $M 0=0$ 并表示为 $\langle M, M\rangle_{t}$ 其可预测的二次变化。表示为 $\mathbb{E}$ 关于期望 $\mathbb{P}$.
定理 $2.1$ 假设鞅的增量 $M_{t}$ 是静止的: 对于每个 $t \geq 0, n \geq 1$ 和 $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$ ,随机向量 $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ 具有相同的分布。还假设可预 测的二次变化收敛于 $L^{1}(\mathbb{P})$ 至 $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle n}{n}-\sigma^{2}\right|=0
$$
那么,分布 $M_{t} / \sqrt{t}$ 以 $\mathscr{F} 0$ 在概率上收敛,如 $t \uparrow \infty$ ,到具有方差的均值零高斯定律 $\sigma^{2}$ :
$$
\lim t \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0
$$
对所有人 $\theta$ 在 $\mathbb{R}$. 该定理的证明依赖于下一个引理,该引理将问题简化为证明整数次的中心极限定理。引理 $2.2$ 在定 理 $2.1$ 的假设下,
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\sup n \leq t \leq n+1\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M t / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M n / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F} 0\right]\right|\right]=0
$$
证明引理的陈述中出现的条件期望的差等于
\mathbb ${$ E $} \backslash$ left[Veft(\exp \left{i \theta $\backslash \mathrm{~ e f t}$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

修复一个函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}-1, \lambda>0$ 并考虑求解方程
$$
\lambda f \lambda-L f_{\lambda}-V
$$
注意 $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ 属于生成器的域 $L$. 取相对于的标量积 $f_{\lambda}$ 在这个等式的两边,我们得到
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2}=\left\langle V, f{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$
因此,通过 Schwarz 不等式 (2.9),
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq\left|f{\lambda}\right|{1}|V|{-1}
$$
以便 $\left|f_{\lambda}\right|{1} \leq|V|{-1}$. 结合前面的两个界限,我们很容易得到更强的估计
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq|V|{-1}^{2} .
$$
根据上述估计,我们得出结论 $\lambda f_{\lambda}$ 消失在 $L^{2}(\pi)$ 作为 $\lambda \downarrow 0 \mathrm{~ 然 后 ~ V e f t { f _ { \ l a m b d a } : ~ 0 < \ a m b d a ~ \ l e q ~ 1}$ 有界序列 $\mathscr{H}{1}$ 因此是嫋预压实的。 另一个简单的结果 $(2.15)$ 就是它 $(\lambda-L)^{-1}$ 扩展到从 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$ : 引理 $2.3$ 算子 $(\lambda-L)^{-1}$ 从延伸 $L^{2}(\pi)$ 到有界映射 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$. 此外,对于任何 $V \in \mathscr{H}-1$ 我们有 $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right| 1 \leq|V|{-1}
$$
我们希望为中心极限定理制定充分条件 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 就斩近行为而言,如 $\lambda \downarrow 0$ ,的解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程 (2.13) 。我们首先在 Sect 中观察。 $2.5$ 那个条件 $V \in \mathscr{H}-1$ 保证 $L^{2}(\mathbb{P} \pi)$ 规范 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 仍然有界大 $t$. 接下来,在定理 $2.7$ 中,我们证明中心极限定理是有效的,前提是满足以下两个条件:
$$
\lim \lambda \rightarrow 0 \lambda|f \lambda|{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim \lambda \rightarrow 0|f \lambda-f|{1}=0
$$
对于一些 $f$ 在 $\mathscr{H} 1$. 定理 $2.14$ ,我们证明有界sup $0<\lambda \leq 1\left|L f_{\lambda}\right|{-1}<\infty$ 暗示了前两个条件。因此,中心极限 定理成立,如果 $\sup 0<\lambda \leq 1|L f \lambda|{-1}<+\infty$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

Fix a probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and an increasing filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$. Denote by $\mathbb{E}$ the expectation with respect to the probability measure $\mathbb{P}$. Let $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ be a stationary and ergodic sequence of random variables adapted to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}\right}$ and such that $$ \mathbb{E}\left[Z{1}^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0, \quad j \geq 0 . $$ The variables $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ are usually called martingale differences because the process $\left{M_{j}: j \geq 0\right}$ defined as $M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1$, is a zero-mean, square integrable martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}_{j}: j \geq 0\right}$.

Theorem 1.2 Let $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ be a sequence of stationary, ergodic random variables satisfying (1.10). Then, $N^{-1 / 2} \sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}$ converges in distribution, as $N \uparrow \infty$, to a Gaussian law with zero mean and variance $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.

Proof If one assumes that the martingale differences $\left{Z_{j}\right}$ are bounded, the proof is elementary and follows from the ergodic assumption. Suppose therefore that $\left|Z_{1}\right| \leq$ $C_{0}, \mathbb{P}$-a.s. for some finite constant $C_{0}$.

We first build exponential martingales. Since $\left{Z_{j}\right}$ are martingale differences, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0$ for all $j \geq 0, K \geq 1$. Therefore, since $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq$ $x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, subtracting $\mathbb{E}\left[i \theta \sum{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]$ from the expression on the lefthand side in the next formula we obtain that $$ \left|\mathbb{E}\left[\exp \left{i \theta \sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right} \mid \mathscr{F}{j}\right]-1\right| \leq \frac{\theta^{2}}{2} \mathbb{E}\left[\left(\sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right)^{2} \mid \mathscr{F}_{j}\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

In this section, we examine the asymptotic behavior of the variance of
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
for square integrable functions $V$ in the context of reversible Markov chains. Reversibility with respect to $\pi$ means that $P$ is a symmetric operator in $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
for all $f, g$ in $L^{2}(\pi)$. It is easy to check that a probability measure $\pi$ is reversible if and only if it satisfies the detailed balance condition:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
for all $x, y$ in $E$, which means that
$$
\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=y, X_{n+1}=x\right]
$$
A reversible measure is necessarily invariant since
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x) .
$$
In this section, we prove that the following limit exists:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim {N \rightarrow \infty} \mathbb{E}{\pi}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
where we admit $+\infty$ as a possible value, and we find necessary and sufficient conditions for $\sigma^{2}(V)$ to be finite. We also introduce Hilbert spaces associated to the transition operator $P$ which will play a central role in the following chapters.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

In this section, we prove a central limit theorem for additive functionals of reversible Markov chains. Fix a zero-mean function $V$ in $L^{2}(\pi)$. We have seen in the beginning of this chapter that a central limit theorem for the additive functional $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ follows easily from a central limit theorem for martingales if $V$ belongs to the range of $I-P$, i.e., if there is a solution in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation $(I-P) f=V$. This assumption is too strong and should be relaxed. A natural condition to impose on $V$ is to require that its time-variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. In this case we may try to repeat the approach presented in the beginning of the chapter replacing the solution of the Poisson equation $(I-P) f=V$, which may not exist, by the solution $f_{\lambda}$ of the resolvent equation $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ which always exists.

Fix therefore a zero-mean function $V$ and assume that its variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. Let $f_{\lambda}$ be the solution of the resolvent equation (1.16). For $N \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right) &=\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)+\sum_{j=0}^{N-1}\left{f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j}\right)\right} \
&=M_{N}^{\lambda}+f_{\lambda}\left(X_{0}\right)-f_{\lambda}\left(X_{N}\right)+\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)
\end{aligned}
$$
where $\left{M_{N}^{\lambda}: N \geq 0\right}$ is the martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$, $\mathscr{F}{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, defined by $M_{0}^{\lambda}:=0$,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
for $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ for $j \geq 1$

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离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

修正一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 和不断增加的过滤 $\$ left:{mathscr{F}{j}: \geq Olright }. 表示为 $\mathbb{E}$ 关于概率测度的期望 $\mathbb{P}$.
$\mathrm{~ 让 ~ U l e f t { Z { j } : ~ j g e q ~ 1 | r i g h t } ~ 是 适 应 过 滤 的 随 机 变 量 的 平 稳 和 遍 历 序 列 【 V e f t {}$
$$
\mathbb{E}\left[Z 1^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F} j\right]=0, \quad j \geq 0 .
$$
变量 $\mathrm{~ I l e f t { Z { j } : ~ \ g e q ~ 1 | r i g h t ~ }}$
$M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1 \mathrm{~ , ~ 是 关 于 过 滤 的 零 均 值 平 方 可 积 䩗 祥 ⿰}$
定理 $1.2$ 让 $\mathrm{~ M e f t { Z _ { j } : ~ j g e q ~ 1}$ 上收敛,如 $N \uparrow \infty$ ,到零均值和方差的高斯定律 $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.
证明 如果假设鞅差 left{Z_{j} \right } } \text { 是有界的,证明是基本的,并且遵循遍历假设。因此假设 } | Z _ { 1 } | \leq C _ { 0 } , \mathbb { P } \text { – 至于一 } 些有限常数 $C_{0}$.
我们首先建立指数鞅。自从Uleft{Z_fj}right $}$ 是鞅差, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]=0$ 对所有人 $j \geq 0, K \geq 1$. 因此,由于 $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, 减去 $\mathbb{E}\left[i \theta \sum j+1 \leq k \leq j+K Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]$ 从下一个公式左侧的 表达式中,我们得到

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

在本节中,我们检查方差的渐近行为
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
对于平方可积函数 $V$ 在可逆马尔可夫链的背景下。关于可逆性 $\pi$ 意思是 $P$ 是一个对称算子 $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
对所有人 $f, g$ 在 $L^{2}(\pi)$. 很容易检查概率测度 $\pi$ 是可逆的当且仅当它满足详细平衡条件:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
对所有人 $x, y$ 在 $E$ ,意思就是
$$
\mathbb{P} \pi\left[X n=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P} \pi\left[X n=y, X_{n+1}=x\right]
$$
可逆测度必然是不变的,因为
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x)
$$
在本节中,我们证明存在以下限制:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim N \rightarrow \infty \mathbb{E} \pi\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
我们承认的地方 $+\infty$ 作为一个可能的值,我们发现充要条件 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。我们还介绍了与转移算子相关的希 尔伯特空间 $P$ 这将在接下来的章节中发挥核心作用。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

在本节中,我们证明了可逆马尔可夫链的加性泛函的中心极限定理。修复零均值函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$. 我们在本章开头 已经看到,加性泛函的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ 很容易从鞅的中心极限定理得出,如果 $V$ 属于范围 $I-P$ ,即,如果在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程的 $(I-P) f=V$. 这个假设太强了,应该放宽。强加于人的自然条件 $V$ 是要 求它的时变 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。在这种情况下,我们可以尝试重复本章开头提出的方法来代替泊松方程的解 $(I-P) f=V$ ,这可能不存在,由解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程的 $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ 它始终存在。
因此修复一个零均值函数 $V$ 并假设它的方差 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。让 $f_{\lambda}$ 是求解方程 $(1.16)$ 的解。为了 $N \geq 1$ ,
\begin{对斉 } } \mathrm { ~ \ s u m _ { j = 0 } ^ { N – 1 } ~ V
$\mathrm{~ 在 哪 里 ~ \ l e f t { M _ { N } ^ { N l a m b d a } : ~ N ~ I g e q ~ O \ r i g h t ~}$
$\mathscr{F} j=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$ , 被定义为 $M_{0}^{\lambda}:=0$ ,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
为了 $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ 为了 $j \geq 1$

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

The purpose of this chapter is to present, in the simplest possible context, some of the ideas that will appear recurrently in this book. We assume that the reader is familiar with the basic theory of Markov chains (e.g. Chap. 7 of Breiman 1968 or Chap. 5 of Durrett 1996) and with the spectral theory of bounded symmetric operators (Sect. 107 in Riesz and Sz.-Nagy 1990, Sect. XI.6 in Yosida 1995).

Consider a Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$, stationary and ergodic with respect to a probability measure $\pi$. The problem is to find necessary and sufficient conditions on a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ to guarantee a central limit theorem for
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
We assume that $E_{\pi}[V]=0$, where $E_{\pi}$ stands for the expectation with respect to the probability measure $\pi$. The idea is to relate this question to the well-known martingale central limit theorems.

Denote by $P$ the transition probability of the Markov chain and fix a function $V$ in $L^{2}(\pi)$, the space of functions $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ square integrable with respect to $\pi$. Assume the existence of a solution of the Poisson equation
$$
V=(I-P) f
$$
for some function $f$ in $L^{2}(\pi)$, where $I$ stands for the identity. For $j \geq 1$, let
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
It is easy to check that $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$, is a martingale with respect to the filtration $\left{F_{j}: j \geq 0\right}, F_{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, and that
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

In this section, we present some elementary results on Markov chains. Fix a countable state space $E$ and a transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
A sequence of random variables $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ defined on some probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and taking values in $E$ is a time-homogeneous Markov chain on $E$ if
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$ for all $j \geq 0, y$ in E. $P(x, y)$ is called the probability of jump from $x$ to $y$ in one step. Notice that it does not depend on time, which explains the terminology of a time-homogeneous chain. The law of $X_{0}$ is called the initial state of the chain.
Assume furthermore that on $(\Omega, \mathscr{F})$ we are given a family of measures $\mathbb{P}{z}$, $z \in E$, each satisfying (1.5) and such that $\mathbb{P}{x}\left[X_{0}=x\right]=1$. We call it a Markov family that corresponds to the transition probabilities $P(\cdot, \cdot)$. For a given probability measure $\mu$ on $E$, let $\mathbb{P}{\mu}=\sum{x \in E} \mu(x) \mathbb{P}{x}$. Observe that $\mu$ is the initial state of the chain under $\mathbb{P}{\mu}$. We shall denote by $\mathbb{E}{\mu}$ the expectation with respect to that measure and by $\mathbb{E}{x}$ the expectation with respect to $\mathbb{P}_{x}$.

The transition probability $P$ can be considered as an operator on $C_{b}(E)$, the space of (continuous) bounded functions on $E$. In this case, for $f$ in $C_{b}(E)$, $P f: E \rightarrow E$ is defined by
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

Consider a time-homogeneous irreducible (or indecomposable in the terminology of Breiman 1968) Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$ with transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}{+}$. Assume that there exists a stationary probability measure, denoted by $\pi$. By (Breiman, 1968 , Theorem $7.16$ ), $\pi$ is unique and ergodic. In particular, for any bounded function $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ and any $x$ in $E$, $$ \lim {N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. In this section, we prove a central limit theorem for the sequence $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ assuming that the solution of the Poisson equation (1.2) belongs to $L^{2}(\pi)$. Under this hypothesis we obtain a central limit theorem which holds $\pi$-a.s. with respect to the initial state.

Theorem 1.1 Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. Assume that there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2).

Then, for all $x$ in $E$, as $N \uparrow \infty$,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges in $\mathbb{I}{X}$ distribution to a mean zero Gaussian random variable with variance $\sigma^{2}(V)=E{\pi}\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$

Proof Fix a mean zero function $V$ in $L^{2}(\pi)$ and an initial state $x$ in $E$. By assumption, there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2). Consider the sequence $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ of random variables defined by
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-P f\left(X_{j-1}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

本章的目的是在尽可能简单的背景下,介绍本书中经常出现的一些想法。我们假设读者熟惑马尔可夫链的基本理论 (例如 Breiman 1968 的第 7 章或 Durrett 1996 的第 5 章) 和有界对称算子的谱理论 (Riesz 和 Sz.-Nagy 的第 107 节) 1990 年,Yosida 1995 年第 XI.6节)。
考虑马尔可夫链 lleft $\left{X \mathrm{~ _ f j } : ~ \ ~ l g e q ~ O}\right.$ 条件 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 保证中心极限定理
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
我们假设 $E_{\pi}[V]=0$ , 在哪里 $E_{\pi}$ 代表关于概率测度的期望 $\pi$. 想法是将这个问题与著名的鞅中心极限定理联系起 来。
表示为 $P$ 马尔可夫链的转移概率和固定函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$, 函数空间 $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ 平方可积关于 $\pi$. 假设存在泊松方程的 解
$$
V=(I-P) f
$$
对于某些功能 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ ,在哪里 $I$ 代表身份。为了 $j \geq 1$ ,让
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
很容易检查 $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$ ,是关于过滤的鞅
$\mathrm{~ L e f t { F _ { j } : ~ j ~ l g e q ~ O \ r i g h t } , ~ F _ { j } = I s i g m a l l e f t ( X _ { 0 } , ~ I d o t s , ~ X _ { j }}$
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

在本节中,我们将介绍一些关于马尔可夫链的基本结果。修复可数状态空间 $E$ 和转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
一系列随机变量 lleft{X_{j: j |geq OIright $}$ 在某个概率空间上定义 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 并接受价值观 $E$ 是一个时间齐次马尔可 夫链 $E$ 如果
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$
对所有人 $j \geq 0, y$ 在 $\mathrm{E}^{\circ} P(x, y)$ 被称为跳跃的概率 $x$ 至 $y$ 一步。请注意,它不依赖于时间,这解释了时间齐次链的 术语。的法律 $X_{0}$ 称为链的初始状态。
进一步假设 $(\Omega, \mathscr{F})$ 我们得到了一系列措施 $\mathbb{P} z, z \in E$ ,每个都满足 (1.5) 并且使得 $\mathbb{P} x\left[X_{0}=x\right]=1$. 我们称其为 对应于转移概率的马尔可夫族 $P(\cdot, \cdot)$. 对于给定的概率测度 $\mu$ 上,让 $\mathbb{P} \mu=\sum x \in E \mu(x) \mathbb{P} x$. 请注意 $\mu$ 是链下 的初始状态 $\mathbb{P} \mu$. 我们将表示为 $\mathbb{E} \mu$ 对该措施的期望,并通过 $\mathbb{E} x$ 关于的期望 $\mathbb{P}{x}$. 转移概率 $P$ 可以认为是一个运算符 $C{b}(E)$ ,(连续) 有界函数的空间 $E$. 在这种情况下,对于 $f$ 在 $C_{b}(E)$ , $P f: E \rightarrow E$ 定义为
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

考虑一个时间齐次不可约 (或用 Breiman 1968 的术语不可分解) 马尔可夫链 lleft{X_{j}: j lgeq OIright }在可数状态 空间上 $E$ 具有转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}+$. 假设存在一个平稳的概率测度,记为 $\pi$. 由 (Breiman, 1968,定理 $7.16$ ), $\pi$ 是独特的和遍历的。特别是对于任何有界函数 $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ 和任何 $x$ 在 $E$ ,
$$
\lim N \rightarrow \infty \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
修复一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 在本节中,我们证明了序列的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ 假设泊松方程 $(1.2)$ 的解属于 $L^{2}(\pi)$. 在这个假设下,我们得到一个中心极限定理,它成 立 $\pi$ – 与初始状态一样。
定理 $1.1$ 修正一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 假设存在解 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $(1.2)$ 。
那么,对于所有人 $x$ 在 $E$ ,作为 $N \uparrow \infty$ ,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛于 $\mathbb{I} X$ 分布到具有方差的均值零高斯随机变量 $\sigma^{2}(V)=E \pi\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$
证明 修正一个均值零函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$ 和一个初始状态 $x$ 在 $E$. 通过假设,存在一个解决方案 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $\mathrm{~ ( 1 . 2 ) 。 考 虑 序 列 ~ l e f t { Z _ { j } : j ~ l g e q ~ 1 ~ 1 r i g h t ~ }}$
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-\operatorname{Pf}\left(X_{j-1}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

This chapter requires some basic knowledge in stochastic analysis (not so much, mainly stochastic integration and Itô’s formula).

As in Chapter 2, we assume a zero interest rate (non-zero rates are briefly considered in Section 3.3.4). The price of an asset at time $t,\left(S_{t}\right){t \in[0, T]}$, will be modeled by a continuous semi-martingales. The semi-martingale property is imposed as we want to give a meaning to the limit when $n \rightarrow \infty$ of the discrete delta-hedging $$ \sum{t_{0}=0}^{T} H_{t_{i}}\left(S_{t_{i+1}}-S_{t_{i}}\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \int_{0}^{T} H_{t} d S_{t}
$$
Good integrator processes are precisely provided by semi-martingales. Below, we describe our probabilistic framework.

Let $\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}$ be the canonical space equipped with the uniform norm $|\omega|_{\infty} \equiv \sup {0 \leq t \leq T}|\omega(t)|, B$ the canonical process, i.e., $B{t}(\omega) \equiv \omega(t)$ and $\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}$ the filtration generated by $B$ : $\mathcal{F}{t}=$ $\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} . \mathbb{P O}$ is the Wiener measure. $S_{0}$ is some given initial value in $\mathbb{R}{+}$, and we denote $$ S{t} \equiv S_{0}+B_{t} \text { for } t \in[0, T] .
$$
For any $\mathcal{F}$-adapted process $\sigma$ and satisfying $\int_{0}^{T} \sigma_{s}^{2} d s<\infty, \mathbb{P}^{0}$-a.s., we define the probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ :
$$
\mathbb{P}^{\sigma} \equiv \mathbb{P}^{0} \circ\left(S^{\sigma}\right)^{-1} \text { where } S_{t}^{\sigma} \equiv S_{0}+\int_{0}^{t} \sigma_{r} d B_{r}, t \in[0, T], \mathbb{P}^{0}-\text { a.s. }
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

It is well-known that the process $\ln S_{t}+\frac{1}{2}\langle\ln S\rangle_{t}$ is a martingale. As an important consequence in finance, this leads to the exact replication of a

variance swap (within the class $\mathcal{M}^{c}$ ) in terms of a log-contract. A discretemonitoring variance swap pays at a maturity $T$ the sum of daily squared log-returns, mainly
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}, \quad t_{0}=0, \quad t_{n}=T
$$
and $\Delta t=t_{i+1}-t_{i}=$ one day. In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges $\mathbb{P}$-almost surely to the quadratic variation $\langle\ln S\rangle_{T}$ of $\ln S$ :
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{T}\langle\ln S\rangle_{T}
$$
REMARK 3.1 Note that in practice, $t_{k+1}-t_{k}=1$ day and the approximation of a discrete-monitored variance swap by its continuous-time version is valid. Indeed,
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}\right]=\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(-\frac{1}{2}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t+\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}} \Delta B_{t_{i}}\right)^{2}\right]
$$
where $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}$ is the realized (log-normal) volatility between $\left[t_{i}, t_{i+1}\right], \Delta B_{t_{i}} \equiv$ $B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}$ and $T=n \Delta t$. This gives
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\frac{1}{4}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{4}(\Delta t)^{2}+\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)\right]
$$
By taking $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}=\sigma^{\mathrm{LN}}$ constant, we get
$$
\sqrt{\mathrm{VS}} \equiv\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)\left(1+\frac{1}{4}\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)^{\frac{1}{2}}
$$
If we impose a relative error of $10^{-3}$ between the continuous and the discrete version, we obtain $\Delta t=810^{-3} /\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2}$. For $\sigma^{\mathrm{LN}} \sim 100 \%$, we get $\Delta t \approx 3$ days.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

We consider two liquid European options with payoffs $F_{1}$ and $F_{2}$ and maturity $T$, possibly depending on different assets. We denote $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) the $t$-value of this option quoted on the market. The market uses a priori two (different) risk-neutral probability measures $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$. We will assume

that they coincide and belong to $\mathcal{M}^{c}$. $\mathbb{P}$ is not known, we have only a partial characterization through the values $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$. We assume also that the payoff $F_{1} F_{2}$ with maturity $T$ can be bought at $t=0$ with market prices $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$

A covariance option pays at a maturity $T$ the daily realized covariance between the prices $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ :
$$
\sum_{i=0}^{n-1}\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]\right)\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{P}\left[F_{2}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right)
$$
In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges to
$$
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}
$$
From Itô’s lemma, we have for all $\mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c}$ :
$$
\begin{array}{r}
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}=\left(F_{1} F_{2}-\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right) \
+\left(\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]\right) \
-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]
\end{array}
$$
As observed in $[76]$, this equality indicates that a covariance option can be replicated by doing a delta-hedging on $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) with $H_{t}^{1} \equiv$ $-\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ (resp. $H_{t}^{2} \equiv-\mathbb{E}{t}^{\mathrm{P}}\left[F{1}\right]$ ) and statically holding the $T$-European payoff $F_{1} F_{2}$ with market price $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$. The model-independent price of this option is therefore
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \
& \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right}
\end{aligned}
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

本章需要一些随机分析的基础知识(不多,主要是随机积分和伊藤公式)。

与第 2 章一样,我们假设利率为零(第 3.3.4 节简要考虑了非零利率)。资产当时的价格吨,(小号吨)吨∈[0,吨], 将由一个连续的半鞅建模。半鞅属性是强加的,因为我们想给极限一个意义,当n→∞离散 delta 对冲

∑吨0=0吨H吨一世(小号吨一世+1−小号吨一世)⟶n→∞∫0吨H吨d小号吨
半鞅精确地提供了良好的积分器过程。下面,我们描述我们的概率框架。

让\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}是具有统一范数的规范空间|ω|∞≡支持0≤吨≤吨|ω(吨)|,乙规范过程,即乙吨(ω)≡ω(吨)和\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}产生的过滤乙 : F吨= \sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}是维纳度量。小号0是一些给定的初始值R+,我们表示

小号吨≡小号0+乙吨 为了 吨∈[0,吨].
对于任何F-适应过程σ并且令人满意∫0吨σs2ds<∞,磷0-as,我们将概率度量定义为(Ω,F) :

磷σ≡磷0∘(小号σ)−1 在哪里 小号吨σ≡小号0+∫0吨σrd乙r,吨∈[0,吨],磷0− 作为 

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

众所周知,这个过程ln⁡小号吨+12⟨ln⁡小号⟩吨是鞅。作为金融领域的一个重要结果,这导致了

方差交换(类内米C) 根据对数合同。离散监控方差掉期在到期时支付吨每日对数回报的平方和,主要是

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2,吨0=0,吨n=吨
和Δ吨=吨一世+1−吨一世=一天。在极限n→∞, 它收敛磷- 几乎肯定是二次变分⟨ln⁡小号⟩吨的ln⁡小号 :

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2⟶n→∞1吨⟨ln⁡小号⟩吨
备注 3.1 请注意,在实践中,吨ķ+1−吨ķ=1天,并且离散监控方差交换与其连续时间版本的近似是有效的。的确,

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2]=1吨∑一世=0n−1和[(−12(σ吨一世大号ñ)2Δ吨+σ吨一世大号ñΔ乙吨一世)2]
在哪里σ吨一世大号ñ是之间的已实现(对数正态)波动率[吨一世,吨一世+1],Δ乙吨一世≡ 乙吨一世+1−乙吨一世和吨=nΔ吨. 这给

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(14(σ吨一世大号ñ)4(Δ吨)2+(σ吨一世大号ñ)2Δ吨)]
通过采取σ吨一世大号ñ=σ大号ñ常数,我们得到

在小号≡(σ大号ñ)(1+14(σ大号ñ)2Δ吨)12
如果我们施加一个相对误差10−3在连续版本和离散版本之间,我们得到Δ吨=810−3/(σ大号ñ)2. 为了σ大号ñ∼100%,我们得到Δ吨≈3天。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

我们考虑两种具有回报的流动欧式期权F1和F2和成熟吨,可能取决于不同的资产。我们表示和吨磷[F1](分别。和吨磷[F2]) 这吨-该期权在市场上报价的价值。市场使用先验的两个(不同的)风险中性概率测度磷1和磷2. 我们将假设

他们重合并且属于米C. 磷未知,我们仅通过值进行部分表征和吨磷[F1]和和吨磷[F2]. 我们还假设收益F1F2成熟的吨可以在吨=0以市场价格和μ[F1F2]

协方差期权在到期时支付吨价格之间每日实现的协方差和吨磷[F1]和和吨磷[F2] :

∑一世=0n−1(和吨一世+1磷[F1]−和吨一世磷[F1])(和吨一世+1磷[F2]−和吨一世磷[F2])
在极限n→∞,它收敛到

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨
根据伊藤引理,我们有磷∈米C:

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨=(F1F2−和μ[F1F2]) +(和μ[F1F2]−和0磷[F1]和0磷[F2]) −∫0吨和吨磷[F1]d和吨磷[F2]−∫0吨和吨磷[F2]d和吨磷[F1]
正如观察到的[76], 这个等式表明协方差选项可以通过对和吨磷[F1](分别。和吨磷[F2]) 和H吨1≡ −和吨磷[F2](分别。H吨2≡−和吨磷[F1]) 并静态地持有吨-欧洲回报F1F2以市场价和μ[F1F2]. 因此,该选项的与模型无关的价格为

\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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