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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Convergence of random variables

If $Z, Z_1, Z_2, \ldots$ are random variables defined on some $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, what does it mean to say that $\left{Z_n\right}$ converges to $Z$ as $n \rightarrow \infty$ ?

One notion we have already seen (cf. Theorem 4.2.2) is pointwise convergence, i.e. $\lim {n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)$. A slightly weaker notion which often arises is convergence almost surely (or, a.s. or with probability 1 or w.p. 1 or almost everywhere), meaning that $\mathbf{P}\left(\lim {n \rightarrow \infty} Z_n=Z\right)=1$, i.e. that $\mathbf{P}\left{\omega \in \Omega: \lim _{n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)\right}=1$. As an aid to establishing such convergence, we have the following:

Lemma 5.2.1. Let $Z, Z_1, Z_2, \ldots$ be random variables. Suppose for each $\epsilon>0$, we have $\mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $)=0$. Then $\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=1$, i.e. $\left{Z_n\right}$ converges to $Z$ almost surely.
Proof. It follows from Proposition A.3.3 that
$$
\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=\mathbf{P}\left(\forall \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right|<\epsilon \text { a.a. }\right)=1-\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)
$$

By countable subadditivity, we have that
$$
\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0, \epsilon \text { rational, }\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right) \leq \sum_{\substack{\epsilon>0 \ \epsilon \text { rational }}} \mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)=0 .
$$
But given any $\epsilon>0$, there exists a rational $\epsilon^{\prime}>0$ with $\epsilon^{\prime}<\epsilon$. For this $\epsilon^{\prime}$, we have that $\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $} \subseteq\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}\right.$ i.o. $}$. It follows that $\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $) \leq \mathbf{P}\left(\exists \epsilon^{\prime}>0, \epsilon^{\prime}\right.$ rational, $\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}$ i.o. $)=0$, thus giving the result.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Laws of large numbers

Here we prove a first form of the weak law of large numbers.
Theorem 5.3.1. (Weak law of large numbers – first version.) Let $X_1, X_2, \ldots$ be a sequence of independent random variables, each having the same mean $m$, and each having variance $\leq v<\infty$. Then for all $\epsilon>0$,
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right)=0
$$
In words, the partial averages $\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$ converge in probability to $m$.

Proof. Set $S_n=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$. Then using linearity of expected value, and also properties (4.1.5) and (4.1.6) of variance, we see that $\mathbf{E}\left(S_n\right)=m$ and $\operatorname{Var}\left(S_n\right) \leq v / n$. Hence by Chebychev’s inequality (Theorem 5.1 .2 ), we have
$$
\mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right) \leq v / \epsilon^2 n \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$
as required.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Convergence of random variables

这里我们证明了弱大数定律的第一种形式。
定理5.3.1。(弱大数定律——第一版)设$X_1, X_2, \ldots$是一个独立随机变量序列，每个变量都有相同的均值$m$，每个变量都有方差$\leq v<\infty$。那么对于所有$\epsilon>0$，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right)=0
$$
换句话说，部分平均值$\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$在概率上收敛于$m$。

证明。设置$S_n=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$。然后使用期望值的线性，以及方差的属性(4.1.5)和(4.1.6)，我们看到$\mathbf{E}\left(S_n\right)=m$和$\operatorname{Var}\left(S_n\right) \leq v / n$。因此，根据Chebychev不等式(定理5.1 .2)，我们有
$$
\mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right) \leq v / \epsilon^2 n \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$
根据需要。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Laws of large numbers

这里我们证明了弱大数定律的第一种形式。
定理5.3.1。(弱大数定律——第一版)设$X_1, X_2, \ldots$是一个独立随机变量序列，每个变量都有相同的均值$m$，每个变量都有方差$\leq v<\infty$。那么对于所有$\epsilon>0$，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right)=0
$$
换句话说，部分平均值$\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$在概率上收敛于$m$。

证明。设置$S_n=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)$。然后使用期望值的线性，以及方差的属性(4.1.5)和(4.1.6)，我们看到$\mathbf{E}\left(S_n\right)=m$和$\operatorname{Var}\left(S_n\right) \leq v / n$。因此，根据Chebychev不等式(定理5.1 .2)，我们有
$$
\mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\ldots+X_n\right)-m\right| \geq \epsilon\right) \leq v / \epsilon^2 n \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$
根据需要。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Tail fields

Given a sequence of events $A_1, A_2, \ldots$, we define their tail field by
$$
\tau=\bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(A_n, A_{n+1}, A_{n+2}, \ldots\right) .
$$
In words, an event $A \in \tau$ must have the property that for any $n$, it depends only on the events $A_n, A_{n+1}, \ldots$; in particular, it does not care about any finite number of the events $A_n$.

One might think that very few events could possibly be in the tail field, but in fact it sometimes contains many events. For example, if we are considering infinite fair coin tossing (Subsection 2.6), and $H_n$ is the event that the $n^{\text {th }}$ coin comes up heads, then $\tau$ includes the event $\lim \sup n H_n$ that we obtain infinitely many heads; the event $\lim \inf _n H_n$ that we obtain only finitely many tails; the event $\lim \sup _n H{2^n}$ that we obtain infinitely many heads on tosses $2,4,8, \ldots$; the event $\left{\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{i=1}^n r_i \leq \frac{1}{4}\right}$ that the limiting fraction of heads is $\leq \frac{1}{4}$; the event $\left{r_n \stackrel{n}{=} r_{n+1}=r_{n+2}\right.$ i.o. $}$ that we infinitely often obtain the same result on three consecutive coin flips; etc. So we see that $\tau$ contains many interesting events.
A surprising theorem is
Theorem 3.5.1. (Kolmogorov Zero-One Law.) If events $A_1, A_2, \ldots$ are independent, with tail-field $\tau$, and if $A \in \tau$, then $\mathbf{P}(A)=0$ or 1 .

To prove this theorem, we need a technical result about independence.
Lemma 3.5.2. Let $B, B_1, B_2, \ldots$ be independent. Then ${B}$ and $\sigma\left(B_1, B_2, \ldots\right)$ are independent classes, i.e. if $S \in \sigma\left(B_1, B_2, \ldots\right)$, then $\mathbf{P}(S \cap$ $B)=\mathbf{P}(S) \mathbf{P}(B)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Simple random variables

Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be a probability triple, and let $X$ be a random variable defined on this triple. We begin with a definition.

Definition 4.1.1. A random variable $X$ is simple if range $(X)$ is finite, where range $(X) \equiv{X(\omega) ; \omega \in \Omega}$.

That is, a random variable is simple if it takes on only a finite number of different values. If $X$ is a simple random variable, then listing the distinct elements of its range as $x_1, x_2, \ldots, x_n$, we can then write $X=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}$ where $A_i=\left{\omega \in \Omega ; X(\omega)=x_i\right}=X^{-1}\left(\left{x_i\right}\right)$, and where the $1{A_i}$ are indicator functions. We note that the sets $A_i$ form a finite partition of $\Omega$.
For such a simple random variable $X=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}$, we define its expected value or expectation or mean by $\mathbf{E}(X)=\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right)$. That is,
$$
\mathbf{E}\left(\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}\right)=\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right), \quad\left{A_i\right} \text { a finite partition of } \Omega .
$$
We sometimes write $\mu_X$ for $\mathbf{E}(X)$.
Exercise 4.1.3. Prove that (4.1.2) is well-defined, in the sense that if $\left{A_i\right}$ and $\left{B_j\right}$ are two different finite partitions of $\Omega$, such that $\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}=$ $\sum{j=1}^m y_j \mathbf{1}{B_j}$, then $\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right)=\sum_{j=1}^m y_j \mathbf{P}\left(B_j\right)$. [Hint: collect together those $A_i$ and $B_j$ corresponding to the same values of $x_i$ and $\left.y_j.\right]$

For a quick example, let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be Lebesgue measure on $[0,1]$, and define simple random variables $X$ and $Y$ by
$$
X(\omega)=\left{\begin{array}{ll}
5, & \omega>1 / 3 \
3, & \omega \leq 1 / 3,
\end{array} \quad Y(\omega)= \begin{cases}2, & \omega \text { rational } \
4, & \omega=1 / \sqrt{2} \
6, & \text { other } \omega \leq 1 / 4 \
8, & \text { otherwise }\end{cases}\right.
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Tail fields

给定一系列事件$A_1, A_2, \ldots$，我们用
$$
\tau=\bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(A_n, A_{n+1}, A_{n+2}, \ldots\right) .
$$
换句话说，事件$A \in \tau$必须具有这样的属性:对于任何$n$，它只取决于事件$A_n, A_{n+1}, \ldots$;特别是，它不关心任何有限数量的事件$A_n$。

有人可能会认为尾部字段中可能只有很少的事件，但实际上它有时包含许多事件。例如，如果我们考虑无限次公平抛硬币(第2.6节)，$H_n$是$n^{\text {th }}$枚硬币正面向上的事件，那么$\tau$包括我们获得无限次正面的事件$\lim \sup n H_n$;事件$\lim \inf n H_n$我们只得到有限个反面;事件$\lim \sup _n H{2^n}$我们在投掷中得到无限次正面$2,4,8, \ldots$;事件$\left{\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{i=1}^n r_i \leq \frac{1}{4}\right}$头的极限分数为$\leq \frac{1}{4}$;事件$\left{r_n \stackrel{n}{=} r{n+1}=r_{n+2}\right.$ i.o. $}$我们在连续三次投掷硬币时无限次得到相同的结果;等等。所以我们看到$\tau$包含了许多有趣的事件。
一个令人惊讶的定理是
定理3.5.1。(柯尔莫哥洛夫零一定律)如果事件$A_1, A_2, \ldots$是独立的，尾部字段为$\tau$，如果事件$A \in \tau$，则为$\mathbf{P}(A)=0$或1。

为了证明这个定理，我们需要一个关于独立性的技术性结果。
引理3.5.2。让$B, B_1, B_2, \ldots$独立。那么${B}$和$\sigma\left(B_1, B_2, \ldots\right)$是独立的类，即如果$S \in \sigma\left(B_1, B_2, \ldots\right)$，那么$\mathbf{P}(S \cap$$B)=\mathbf{P}(S) \mathbf{P}(B)$。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Simple random variables

设$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$为概率三元组，设$X$为在这个三元组上定义的随机变量。我们从定义开始。

4.1.1.定义如果范围$(X)$是有限的，则随机变量$X$是简单的，其中范围$(X) \equiv{X(\omega) ; \omega \in \Omega}$。

也就是说，如果一个随机变量只取有限个不同的值，那么它就是简单的。如果$X$是一个简单的随机变量，那么将其范围内的不同元素列出为$x_1, x_2, \ldots, x_n$，那么我们可以写$X=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}$，其中$A_i=\left{\omega \in \Omega ; X(\omega)=x_i\right}=X^{-1}\left(\left{x_i\right}\right)$和$1{A_i}$是指示函数。我们注意到集合$A_i$形成了$\Omega$的有限划分。
对于这样一个简单的随机变量$X=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}$，我们用$\mathbf{E}(X)=\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right)$定义它的期望值或期望或平均值。也就是说，
$$
\mathbf{E}\left(\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}\right)=\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right), \quad\left{A_i\right} \text { a finite partition of } \Omega .
$$
我们有时把$\mathbf{E}(X)$写成$\mu_X$。
练习4.1.3。证明(4.1.2)是定义良好的，即如果$\left{A_i\right}$和$\left{B_j\right}$是$\Omega$的两个不同的有限分区，使得$\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{1}{A_i}=$$\sum{j=1}^m y_j \mathbf{1}{B_j}$，那么$\sum{i=1}^n x_i \mathbf{P}\left(A_i\right)=\sum_{j=1}^m y_j \mathbf{P}\left(B_j\right)$。[提示:将$x_i$和对应相同值的$A_i$和$B_j$收集在一起。 $\left.y_j.\right]$

举个简单的例子，让$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$成为Lebesgue对$[0,1]$的度量，并定义简单的随机变量$X$和$Y$
$$
X(\omega)=\left{\begin{array}{ll}
5, & \omega>1 / 3 \
3, & \omega \leq 1 / 3,
\end{array} \quad Y(\omega)= \begin{cases}2, & \omega \text { rational } \
4, & \omega=1 / \sqrt{2} \
6, & \text { other } \omega \leq 1 / 4 \
8, & \text { otherwise }\end{cases}\right.
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extensions of the Extension Theorem

The Extension Theorem (Theorem 2.3.1) will be our main tool for proving the existence of complicated probability triples. While (2.3.2) is generally easy to verify, $(2.3 .3)$ can be more challenging. Thus, we present some alternative formulations here.

Corollary 2.5.1. Let $\mathcal{J}$ be a semialgebra of subsets of $\Omega$. Let $\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$ $[0,1]$ with $\mathbf{P}(\emptyset)=0$ and $\mathbf{P}(\Omega)=1$, satisfying (2.3.2), and the “monotonicity on $\mathcal{J}^{\prime \prime}$ property that
$$
\mathbf{P}(A) \leq P(B) \text { whenever } A, B \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq B
$$
and also the “countable subadditivity on $\mathcal{J}$ ” property that
$$
\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \quad \text { for } B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } \bigcup_n B_n \in \mathcal{J} .
$$
Then there is a $\sigma$-algebra $\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$, and a countably additive probability measure $\mathbf{P}^$ on $\mathcal{M}$, such that $\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$ for all $A \in \mathcal{J}$.

Proof. In light of Theorem 2.3.1, we need only verify (2.3.3). To that end, let $A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J}$ with $A \subseteq \bigcup_n A_n$. Set $B_n=A \cap A_n$. Then since $A \subseteq \bigcup_n A_n$, we have $A=\bigcup_n\left(A \cap A_n\right)=\bigcup_n B_n$, whence (2.5.3) and (2.5.2) give that
$$
\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right)
$$
Another version assumes countable additivity of $\mathbf{P}$ on $\mathcal{J}$ :
Corollary 2.5.4. Let $\mathcal{J}$ be a semialgebra of subsets of $\Omega$. Let $\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$ $[0,1]$ with $\mathbf{P}(\Omega)=1$, satisfying the countable additivity property that $\mathbf{P}\left(\bigcup_n D_n\right)=\sum_n \mathbf{P}\left(D_n\right)$ for $D_1, D_2, \ldots \in \mathcal{J}$ disjoint with $\bigcup_n D_n \in \mathcal{J}$
Then there is a $\sigma$-algebra $\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$, and a countably additive probability measure $\mathbf{P}^$ on $\mathcal{M}$, such that $\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$ for all $A \in \mathcal{J}$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Coin tossing and other measures

Now that we have Theorem 2.3 .1 to help us, we can easily construct other probability triples as well.

For example, of frequent mention in probability theory is (independent, fair) coin tossing. To model the flipping of $n$ coins, we can simply take $\Omega=\left{\left(r_1, r_2, \ldots, r_n\right) ; r_i=0\right.$ or 1$}$ (where 0 stands for tails and 1 stands for heads), let $\mathcal{F}=2^{\Omega}$ be the collection of all subsets of $\Omega$, and define $\mathbf{P}$ by $\mathbf{P}(A)=|A| / 2^n$ for $A \subseteq \mathcal{F}$. This is another example of a discrete probability space; and we know from Theorem 2.2 .1 that these spaces present no difficulties.

But suppose now that we wish to model the flipping of a (countably) infinite number of coins. In this case we can let
$$
\Omega=\left{\left(r_1, r_2, r_3, \ldots\right) ; r_i=0 \text { or } 1\right}
$$
be the collection of all binary sequences. But what about $\mathcal{F}$ and $\mathbf{P}$ ?
Well, for each $n \in \mathbf{N}$ and each $a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}$, let us define subsets $A_{a_1 a_2 \ldots a_n} \subseteq \Omega$ by
$$
A_{a_1 a_2 \ldots a_n}=\left{\left(r_1, r_2, \ldots\right) \in \Omega ; r_i=a_i \text { for } 1 \leq i \leq n\right}
$$
(Thus, $A_0$ is the event that the first coin comes up tails; $A_{11}$ is the event that the first two coins both come up heads; and $A_{101}$ is the event that the first and third coins are heads while the second coin is tails.) Then we clearly want $\mathbf{P}\left(A_{a_1 a_2 \ldots a_n}\right)=1 / 2^n$ for each set $A_{a_1 a_2 \ldots a_n}$. Hence, if we set
$$
\mathcal{J}=\left{A_{a_1 a_2 \ldots a_n} ; n \in \mathbf{N}, a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}\right} \cup{\emptyset, \Omega}
$$
then we already know how to define $\mathbf{P}(A)$ for each $A \in \mathcal{J}$. To apply the Extension Theorem (in this case, Corollary 2.5.4), we need to verify that certain conditions are satisfied.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extensions of the Extension Theorem

扩展定理(定理2.3.1)将是我们证明复杂概率三元组存在性的主要工具。虽然(2.3.2)通常很容易验证，但$(2.3 .3)$可能更具挑战性。因此，我们在这里提出一些可供选择的公式。

推论2.5.1。设$\mathcal{J}$是$\Omega$的子集的半代数。设$\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$$[0,1]$与$\mathbf{P}(\emptyset)=0$和$\mathbf{P}(\Omega)=1$，满足(2.3.2)，且“$\mathcal{J}^{\prime \prime}$上的单调性”属性为
$$
\mathbf{P}(A) \leq P(B) \text { whenever } A, B \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq B
$$
还有” $\mathcal{J}$上的可数子可加性”性质
$$
\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \quad \text { for } B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } \bigcup_n B_n \in \mathcal{J} .
$$
然后有一个$\sigma$ -代数$\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$，和一个可数加性概率测度$\mathbf{P}^$在$\mathcal{M}$上，使得$\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$对于所有$A \in \mathcal{J}$。

证明。根据定理2.3.1，我们只需要验证(2.3.3)。为此，让$A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J}$与$A \subseteq \bigcup_n A_n$。设置$B_n=A \cap A_n$。然后，由于$A \subseteq \bigcup_n A_n$，我们有$A=\bigcup_n\left(A \cap A_n\right)=\bigcup_n B_n$，由(2.5.3)和式(2.5.2)给出
$$
\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right)
$$
另一个版本假设$\mathcal{J}$上的$\mathbf{P}$具有可数可加性:
推论2.5.4。设$\mathcal{J}$是$\Omega$的子集的半代数。令$\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$$[0,1]$与$\mathbf{P}(\Omega)=1$，满足$\mathbf{P}\left(\bigcup_n D_n\right)=\sum_n \mathbf{P}\left(D_n\right)$对于$D_1, D_2, \ldots \in \mathcal{J}$与$\bigcup_n D_n \in \mathcal{J}$不相交的可数可加性
然后有一个$\sigma$ -代数$\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$，和一个可数加性概率测度$\mathbf{P}^$在$\mathcal{M}$上，使得$\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$对于所有$A \in \mathcal{J}$。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Coin tossing and other measures

现在我们有了定理2.3 .1的帮助，我们也可以很容易地构造其他概率三元组。

例如，在概率论中经常提到的是(独立的，公平的)抛硬币。的翻转模型 $n$ 硬币，我们可以简单地拿走 $\Omega=\left{\left(r_1, r_2, \ldots, r_n\right) ; r_i=0\right.$ 或者1$}$ (0代表反面，1代表正面)，设 $\mathcal{F}=2^{\Omega}$ 的所有子集的集合 $\Omega$，并定义 $\mathbf{P}$ 通过 $\mathbf{P}(A)=|A| / 2^n$ 为了 $A \subseteq \mathcal{F}$． 这是离散概率空间的另一个例子;根据定理2.2 .1，我们知道这些空间没有困难。

但现在假设我们希望为(可数)无限个硬币的抛掷建模。在这种情况下，我们可以
$$
\Omega=\left{\left(r_1, r_2, r_3, \ldots\right) ; r_i=0 \text { or } 1\right}
$$
是所有二进制序列的集合。但是$\mathcal{F}$和$\mathbf{P}$呢?
对于每个$n \in \mathbf{N}$和$a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}$，让我们定义子集$A_{a_1 a_2 \ldots a_n} \subseteq \Omega$
$$
A_{a_1 a_2 \ldots a_n}=\left{\left(r_1, r_2, \ldots\right) \in \Omega ; r_i=a_i \text { for } 1 \leq i \leq n\right}
$$
(因此，$A_0$是第一枚硬币反面出现的事件;$A_{11}$是前两枚硬币都正面向上的事件;$A_{101}$是第一枚和第三枚硬币是正面，而第二枚硬币是反面的事件。)那么我们显然需要对每个集合$A_{a_1 a_2 \ldots a_n}$设置$\mathbf{P}\left(A_{a_1 a_2 \ldots a_n}\right)=1 / 2^n$。因此，如果我们设
$$
\mathcal{J}=\left{A_{a_1 a_2 \ldots a_n} ; n \in \mathbf{N}, a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}\right} \cup{\emptyset, \Omega}
$$
那么我们已经知道如何为每个$A \in \mathcal{J}$定义$\mathbf{P}(A)$。要应用可拓定理(在本例中是推论2.5.4)，我们需要验证某些条件是否满足。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Formal Logical Content

undefined things. This aspect is well illustrated by the game of chess. It is impossible to “define” chess otherwise than by stating a set of rules. The conventional shape of the pieces may be described to some extent, but it will not always be obvious which piece is intended for “king.” The chessboard and the pieces are helpful, but they can be dispensed with. The essential thing is to know how the pieces move and act. It is meaningless to talk about the “definition” or the “true nature” of a pawn or a king. Similarly, geometry does not care what a point and a straight line “really are.” They remain undefined notions, and the axioms of geometry specify the relations among them: two points determine a line, etc. These are the rules, and there is nothing sacred about them. Different forms of geometry are based on different sets of axioms, and the logical structure of non-Euclidean geometries is independent of their relation to reality. Physicists have studied the motion of bodies under laws of attraction different from Newton’s, and such studies are meaningful even if Newton’s law of attraction is accepted as true in nature.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Intuitive Background

In contrast to chess, the axioms of geometry and of mechanics have an intuitive background. In fact, geometrical intuition is so strong that it is prone to run ahead of logical reasoning. The extent to which logic, intuition, and physical experience are interdependent is a problem into which we need not enter. It is certain that intuition can be trained and developed. The bewildered novice in chess moves cautiously, recalling individual rules, whereas the experienced player absorbs a complicated situation at a glance and is unable to account rationally for his intuition. In like manner mathematical intuition grows with experience, and it is possible to develop a natural feeling for concepts such as four-dimensional space.

Even the collective intuition of mankind appears to progress. Newton’s notions of a field of force and of action at a distance and Maxwell’s concept of electromagnetic waves were at first decried as “unthinkable’ and “contrary to intuition.” Modern technology and radio in the homes have popularized these notions to such an extent that they form part of the ordinary vocabulary. Similarly, the modern student has no appreciation of the modes of thinking, the prejudices, and other difficulties against which the theory of probability had to struggle when it was new. Nowadays newspapers report on samples of public opinion, and the magic of statistics embraces all phases of life to the extent that young girls watch the statistics of their chances to get married. Thus everyone has acquired a feeling for the meaning of statements such as “the chances are three in five.” Vague as it is, this intuition serves as background and guide for the first step. It will be developed as the theory progresses and acquaintance is made with more sophisticated applications.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Formal Logical Content

未定义的东西。国际象棋很好地说明了这一点。除了陈述一套规则，我们不可能“定义”国际象棋。棋子的传统形状在某种程度上可以描述，但它并不总是很明显，哪一个棋子是“国王”。棋盘和棋子是有用的，但它们可以被省略。最重要的是要知道棋子如何移动和行动。谈论棋子和国王的“定义”或“本质”是没有意义的。同样，几何并不关心点和直线“到底是什么”。它们仍然是未定义的概念，几何学公理规定了它们之间的关系:两点决定一条线，等等。这些就是规则，没有什么神圣的。不同形式的几何基于不同的公理集，非欧几里得几何的逻辑结构独立于它们与现实的关系。物理学家在不同于牛顿的引力定律下研究了物体的运动，即使牛顿的引力定律在自然界被认为是正确的，这些研究也是有意义的。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Intuitive Background

与象棋不同的是，几何公理和力学公理具有直观的背景。事实上，几何直觉是如此强大，以至于它很容易跑在逻辑推理之前。逻辑、直觉和物理经验在多大程度上是相互依存的，这是一个我们不需要介入的问题。可以肯定的是，直觉是可以训练和发展的。在国际象棋中，不知所措的新手会小心翼翼地移动，回忆各自的规则，而经验丰富的棋手一眼就能理解复杂的情况，无法理性地解释自己的直觉。同样，数学直觉随着经验的增长而增长，对诸如四维空间之类的概念产生自然的感觉是可能的。

甚至人类的集体直觉似乎也在进步。牛顿关于力场和超距作用场的概念，以及麦克斯韦关于电磁波的概念，起初都被认为是“不可想象的”和“与直觉相反的”。现代科技和家中的收音机使这些概念普及到如此程度，以至于它们形成了日常词汇的一部分。同样地，现代的学生也不了解概率论在创立之初必须与之斗争的思维方式、偏见和其他困难。如今，报纸对民意样本进行报道，统计数据的魔力涵盖了生活的各个阶段，以至于年轻女孩都在观察有关她们结婚机会的统计数据。因此，每个人都对诸如“机会是五分之三”这样的语句的含义有了一种感觉。虽然它很模糊，但这种直觉可以作为第一步的背景和指导。随着理论的发展和对更复杂的应用的熟悉，它将得到发展。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recurrence

A basic question about the random walk is the range of the whole process: $\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n(\omega)$ for a.e. $\omega$; or, “where does it ever go?” Theorem 8.2.5 tells us that, ignoring the trivial case where it stays put at 0 , it either goes off to $-\infty$ or $+\infty$, or fluctuates between them. But how does it fluctuate? Exercise 9 below will show that the random walk can take large leaps from one end to the other without stopping in any middle range more than a finite number of times. On the other hand, it may revisit every neighborhood of every point an infinite number of times. The latter circumstance calls for a definition.

DEFINITION. The number $x \in \mathscr{R}^1$ is called a recurrent value of the random walk $\left{S_n, n \in N\right}$, iff for every $\epsilon>0$ we have
$$
\mathscr{P}\left{\left|S_n-x\right|<\epsilon \text { i.o. }\right}=1
$$
The set of all recurrent values will be denoted by $\mathfrak{R}$.
Taking a sequence of $\epsilon$ decreasing to zero, we see that (1) implies the apparently stronger statement that the random walk is in each neighborhood of $x$ i.o. a.e.

Let us also call the number $x$ a possible value of the random walk iff for every $\epsilon>0$, there exists $n \in N$ such that $\mathscr{P}\left{\left|S_n-x\right|<\epsilon\right}>0$. Clearly a recurrent value is a possible value of the random walk (see Exercise 2 below).

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Fine structure

In this section we embark on a probing in depth of the r.v. $\alpha$ defined in (11) of Sec. 8.2 and some related r.v.’s.

The r.v. $\alpha$ being optional, the key to its introduction is to break up the time sequence into a pre- $\alpha$ and a post- $\alpha$ era, as already anticipated in the terminology employed with a general optional r.v. We do this with a sort of characteristic functional of the process which has already made its appearance in the last section:
$$
\varepsilon\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}=\sum_{n=0}^{\infty} r^n f(t)^n=\frac{1}{1-r f(t)},
$$
where $0<r<1, t$ is real, and $f$ is the ch.f. of $X$. Applying the principle just enunciated, we break this up into two parts:
$$
\left{\sum_{n=0}^{\alpha-1} r^n e^{i t S_n}\right}+\varepsilon\left{\sum_{n=\alpha}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}
$$

with the understanding that on the set ${\alpha=\infty}$, the first sum above is $\sum_{n=0}^{\infty}$ while the second is empty and hence equal to zero. Now the second part may be written as
$$
\mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^{\alpha+n} e^{i t S_{\alpha+n}}\right}=\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha} \sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t\left(S_{\alpha+n}-S_\alpha\right)}\right} .
$$
It follows from (7) of Sec. 8.2 that
$$
S_{\alpha+n}-S_\alpha=S_{n^o} \tau^\alpha
$$
has the same distribution as $S_n$, and by Theorem 8.2.2 that for each $n$ it is independent of $S_\alpha$. [Note that the same fact has been used more than once before, but for a constant $\alpha$.] Hence the right member of (2) is equal to
$$
\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right} \mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}=\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right} \frac{1}{1-r f(t)},
$$
where $r^\alpha e^{i t S_\alpha}$ is taken to be 0 for $\alpha=\infty$. Substituting this into (1), we obtain
$$
\frac{1}{1-r f(t)}\left[1-\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right}\right]=\mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\alpha-1} r^n e^{i t S_n}\right}
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recurrence

关于随机漫步的一个基本问题是整个过程的范围:A .e. $\omega$为$\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n(\omega)$;或者，“它到底去了哪里?”定理8.2.5告诉我们，忽略它停留在0处的平凡情况，它要么跑到$-\infty$或$+\infty$，要么在它们之间波动。但它是如何波动的呢?下面的练习9将展示随机漫步可以从一端跳到另一端，而不会在任何中间范围内停留超过有限次。另一方面，它可以无限次地访问每个点的每个邻域。后一种情况需要一个定义。

定义。数字$x \in \mathscr{R}^1$被称为随机漫步$\left{S_n, n \in N\right}$的循环值，对于我们拥有的每个$\epsilon>0$
$$
\mathscr{P}\left{\left|S_n-x\right|<\epsilon \text { i.o. }\right}=1
$$
所有循环值的集合将用$\mathfrak{R}$表示。
取$\epsilon$递减到0的序列，我们看到(1)暗示了一个明显更强的陈述，即随机漫步在$x$ i.o.a.e的每个邻域中。

让我们也称数字$x$为随机游走的可能值，如果对于每个$\epsilon>0$，存在$n \in N$，使得$\mathscr{P}\left{\left|S_n-x\right|<\epsilon\right}>0$。显然，循环值是随机游走的可能值(参见下面的练习2)。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Fine structure

在本节中，我们开始深入探讨第8.2节(11)中定义的r.v. $\alpha$和一些相关的r.v.。

r.v. $\alpha$是可选的，其介绍的关键是将时间序列分解为$\alpha$之前和$\alpha$之后的时代，正如在通用可选r.v.所使用的术语中已经预料到的那样。我们用一种已经在上一节中出现的过程的特征功能来做到这一点:
$$
\varepsilon\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}=\sum_{n=0}^{\infty} r^n f(t)^n=\frac{1}{1-r f(t)},
$$
其中$0<r<1, t$是真实的，$f$是chf。$X$的。运用刚才阐述的原则，我们将其分为两部分:
$$
\left{\sum_{n=0}^{\alpha-1} r^n e^{i t S_n}\right}+\varepsilon\left{\sum_{n=\alpha}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}
$$

在片场的理解是 ${\alpha=\infty}$，上面的第一个和是 $\sum_{n=0}^{\infty}$ 而第二个是空的，因此等于零。第二部分可以写成
$$
\mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^{\alpha+n} e^{i t S_{\alpha+n}}\right}=\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha} \sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t\left(S_{\alpha+n}-S_\alpha\right)}\right} .
$$
由第8.2节第(7)段可知
$$
S_{\alpha+n}-S_\alpha=S_{n^o} \tau^\alpha
$$
有相同的分布 $S_n$，根据定理8.2.2，每个 $n$ 它独立于 $S_\alpha$． [注意，同样的事实在以前已经使用了不止一次，但对于一个常数 $\alpha$因此(2)的右元素等于
$$
\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right} \mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{i t S_n}\right}=\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right} \frac{1}{1-r f(t)},
$$
在哪里 $r^\alpha e^{i t S_\alpha}$ 等于0 $\alpha=\infty$． 把这个代入(1)得到
$$
\frac{1}{1-r f(t)}\left[1-\mathscr{E}\left{r^\alpha e^{i t S_\alpha}\right}\right]=\mathscr{E}\left{\sum_{n=0}^{\alpha-1} r^n e^{i t S_n}\right}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Ramifications of the central limit theorem

As an illustration of a general method of extending the central limit theorem to certain classes of dependent r.v.’s, we prove the following result. Further elaboration along the same lines is possible, but the basic idea, attributed to $S$. Bernstein, consists always in separating into blocks and neglecting small ones.
Let $\left{X_n, n \geq 1\right}$ be a sequence of r.v.’s; let $\mathscr{F}n$ be the Borel field generated by $\left{X_k, 1 \leq k \leq n\right}$, and $\mathscr{F}_n^{\prime}$ that by $\left{X_k, n{n+m}^{\prime}$ are independent. When $m=0$, this reduces to independence.
Theorem 7.3.1. Suppose that $\left{X_n\right}$ is a sequence of $m$-dependent, uniformly bounded r.v.’s such that
$$
\frac{\sigma\left(S_n\right)}{n^{1 / 3}} \rightarrow+\infty
$$
as $n \rightarrow \infty$. Then $\left[S_n-\varepsilon\left(S_n\right)\right] / \sigma\left(S_n\right)$ converges in dist. to $\Phi$.
PROOF. Let the uniform bound be $M$. Without loss of generality we may suppose that $\varepsilon\left(X_n\right)=0$ for each $n$. For an integer $k \geq 1$ let $n_j=[j n / k]$, $0 \leq j \leq k$, and put for large values of $n$ :
$$
\begin{aligned}
& Y_j=X_{n_j+1}+X_{n_j+2}+\cdots+X_{n_j+1-m}, \
& Z_j=X_{n_{j+1}-m+1}+X_{n_{j+1}-m+2}+\cdots+X_{n_{j+1}} .
\end{aligned}
$$
We have then
$$
S_n=\sum_{j=0}^{k-1} Y_j+\sum_{j=0}^{k-1} Z_j=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}, \text { say }
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Error estimation

Questions of convergence lead inevitably to the question of the “speed” of convergence – in other words, to an investigation of the difference between the approximating expression and its limit. Specifically, if a sequence of d.f.’s $F_n$ converge to the unit normal d.f. $\Phi$, as in the central limit theorem, what can one say about the “remainder term” $F_n(x)-\Phi(x)$ ? An adequate estimate of this term is necessary in many mathematical applications, as well as for numerical computation. Under Liapounov’s condition there is a neat “order bound” due to Berry and Esseen, who improved upon Liapounov’s older result, as follows.

Theorem 7.4.1. Under the hypotheses of Theorem 7.1.2, there is a universal constant $A_0$ such that
$$
\sup _x\left|F_n(x)-\Phi(x)\right| \leq A_0 \Gamma_n
$$
where $F_n$ is the d.f. of $S_n$.

In the case of a single sequence of independent and identically distributed r.v.’s $\left{X_j, j \geq 1\right}$ with mean 0 , variance $\sigma^2$, and third absolute moment $\gamma<\infty$, the right side of (1) reduces to
$$
A_0 \frac{n \gamma}{\left(n \sigma^2\right)^{3 / 2}}=\frac{A_0 \gamma}{\sigma^3} \frac{1}{n^{1 / 2}} \text {. }
$$
H. Cramér and P. L. Hsu have shown that under somewhat stronger conditions, one may even obtain an asymptotic expansion of the form:
$$
F_n(x)=\Phi(x)+\frac{H_1(x)}{n^{1 / 2}}+\frac{H_2(x)}{n}+\frac{H_3(x)}{n^{3 / 2}}+\cdots,
$$
where the $H$ ‘s are explicit functions involving the Hermite polynomials. We shall not go into this, as the basic method of obtaining such an expansion is similar to the proof of the preceding theorem, although considerable technical complications arise. For this and other variants of the problem see Cramér [10], Gnedenko and Kolmogorov [12], and Hsu’s paper cited at the end of this chaptcr.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Ramifications of the central limit theorem

作为一种将中心极限定理推广到某些相依rv类的一般方法的例证。，我们证明了以下结果。沿着同样的思路进一步阐述是可能的，但基本的想法，归因于$S$。伯恩斯坦(Bernstein)的观点在于，总是把事情分成几个部分，而忽略小的部分。
设$\left{X_n, n \geq 1\right}$为rv的序列;设$\mathscr{F}n$为$\left{X_k, 1 \leq k \leq n\right}$生成的Borel字段，$\left{X_k, n{n+m}^{\prime}$生成的$\mathscr{F}n^{\prime}$为独立字段。当$m=0$出现时，这就变成了独立。 定理7.3.1。假设$\left{X_n\right}$是一个与$m$相关、一致有界的rv序列。是这样的 $$ \frac{\sigma\left(S_n\right)}{n^{1 / 3}} \rightarrow+\infty $$ 如$n \rightarrow \infty$。然后$\left[S_n-\varepsilon\left(S_n\right)\right] / \sigma\left(S_n\right)$在区域内收敛到$\Phi$。 证明。让统一的界限是$M$。在不失一般性的前提下，我们可以假设$\varepsilon\left(X_n\right)=0$对于每个$n$。对于整数$k \geq 1$, let $n_j=[j n / k]$, $0 \leq j \leq k$，对于较大的$n$值，put: $$ \begin{aligned} & Y_j=X{n_j+1}+X_{n_j+2}+\cdots+X_{n_j+1-m}, \
& Z_j=X_{n_{j+1}-m+1}+X_{n_{j+1}-m+2}+\cdots+X_{n_{j+1}} .
\end{aligned}
$$
我们有
$$
S_n=\sum_{j=0}^{k-1} Y_j+\sum_{j=0}^{k-1} Z_j=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}, \text { say }
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Error estimation

收敛问题不可避免地导致了收敛“速度”的问题——换句话说，导致了对近似表达式与其极限之间差异的研究。具体来说，如果d.f。的$F_n$收敛于单位法向d.f. $\Phi$，在中心极限定理中，对于“余数项”$F_n(x)-\Phi(x)$我们能说些什么呢?在许多数学应用和数值计算中，对这一项的适当估计是必要的。在Liapounov的条件下，由于Berry和Esseen改进了Liapounov的旧结果，有一个整洁的“序界”，如下所示。

定理7.4.1。在定理7.1.2的假设下，存在一个普适常数$A_0$，使得
$$
\sup _x\left|F_n(x)-\Phi(x)\right| \leq A_0 \Gamma_n
$$
其中$F_n$是$S_n$的d.f.。

对于一个独立且同分布的rv序列。s $\left{X_j, j \geq 1\right}$，均值为0，方差为$\sigma^2$，第三绝对矩为$\gamma<\infty$，则(1)的右侧约为 $$ A_0 \frac{n \gamma}{\left(n \sigma^2\right)^{3 / 2}}=\frac{A_0 \gamma}{\sigma^3} \frac{1}{n^{1 / 2}} \text {. } $$ H. cram和P. L. Hsu已经证明，在较强的条件下，人们甚至可以得到形式的渐近展开式:
$$
F_n(x)=\Phi(x)+\frac{H_1(x)}{n^{1 / 2}}+\frac{H_2(x)}{n}+\frac{H_3(x)}{n^{3 / 2}}+\cdots,
$$
其中$H$是包含埃尔米特多项式的显式函数。我们将不深入讨论这个问题，因为获得这种展开的基本方法与前面定理的证明类似，尽管会出现相当复杂的技术问题。关于这个问题和其他变体，请参见cram [10]， Gnedenko和Kolmogorov[12]，以及本章末尾引用的Hsu的论文。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong law of large numbers

To return to the strong law of large numbers, the link is furnished by the following lemma on “summability”.

Kronecker’s lemma. Let $\left{x_k\right}$ be a sequence of real numbers, $\left{a_k\right}$ a sequence of numbers $>0$ and $\uparrow \infty$. Then
$$
\sum_n \frac{x_n}{a_n}<\text { converges } \Rightarrow \frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow 0 .
$$
PROOF. For $1 \leq n \leq \infty$ let
$$
b_n=\sum_{j=1}^n \frac{x_j}{a_j} .
$$

If we also write $a_0=0, b_0=0$, we have
$$
x_n=a_n\left(b_n-b_{n-1}\right)
$$
and
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j=\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n a_j\left(b_j-b_{j-1}\right)=b_n-\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1} b_j\left(a_{j+1}-a_j\right)
$$
(Abel’s method of partial summation). Since $a_{j+1}-a_j \geq 0$,
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1}\left(a_{j+1}-a_j\right)=1
$$
and $b_n \rightarrow b_{\infty}$, we have
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow b_{\infty}-b_{\infty}=0 .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Applications

The law of large numbers has numerous applications in all parts of probability theory and in other related fields such as combinatorial analysis and statistics. We shall illustrate this by two examples involving certain important new concepts.

The first deals with so-called “empiric distributions” in sampling theory. Let $\left{X_n, n \geq 1\right}$ be a sequence of independent, identically distributed r.v.’s with the common d.f. $F$. This is sometimes referred to as the “underlying” or “theoretical distribution” and is regarded as “unknown” in statistical lingo. For each $\omega$, the values $X_n(\omega)$ are called “samples” or “observed values”, and the idca is to get some information on $F$ by looking at the samples. For each $n$, and each $\omega \in \Omega$, let the $n$ real numbers $\left{X_j(\omega), 1 \leq j \leq n\right}$ be arranged in increasing order as
$$
Y_{n 1}(\omega) \leq Y_{n 2}(\omega) \leq \cdots \leq Y_{n n}(\omega)
$$
Now define a discrete d.f. $F_n(\cdot, \omega)$ as follows:
$$
\begin{array}{ll}
F_n(x, \omega)=0, & \text { if } x<Y_{n 1}(\omega), \
F_n(x, \omega)=\frac{k}{n}, & \text { if } Y_{n k}(\omega) \leq x<Y_{n \cdot k+1}(\omega), 1 \leq k \leq n-1 . \
F_n(x, \omega)=1, & \text { if } x \geq Y_{n n}(\omega) .
\end{array}
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong law of large numbers

回到强大数定律，下面关于“可和性”的引理提供了这种联系。

克罗内克引理。设$\left{x_k\right}$为实数序列，$\left{a_k\right}$为数字序列$>0$和$\uparrow \infty$。然后
$$
\sum_n \frac{x_n}{a_n}<\text { converges } \Rightarrow \frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow 0 .
$$
证明。对于$1 \leq n \leq \infty$，让
$$
b_n=\sum_{j=1}^n \frac{x_j}{a_j} .
$$

如果我们也写$a_0=0, b_0=0$，我们有
$$
x_n=a_n\left(b_n-b_{n-1}\right)
$$
和
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j=\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n a_j\left(b_j-b_{j-1}\right)=b_n-\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1} b_j\left(a_{j+1}-a_j\right)
$$
(阿贝尔部分求和法)。自$a_{j+1}-a_j \geq 0$以来，
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1}\left(a_{j+1}-a_j\right)=1
$$
$b_n \rightarrow b_{\infty}$，我们有
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow b_{\infty}-b_{\infty}=0 .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Applications

大数定律在概率论的各个部分以及其他相关领域，如组合分析和统计中都有大量的应用。我们将用两个涉及某些重要新概念的例子来说明这一点。

第一部分处理抽样理论中所谓的“经验分布”。设$\left{X_n, n \geq 1\right}$为独立的、同分布的r.v.序列。的共同d.f. $F$。这有时被称为“潜在”或“理论分布”，在统计学术语中被视为“未知”。对于每个$\omega$，值$X_n(\omega)$被称为“样本”或“观察值”，而idca是通过查看样本来获取有关$F$的一些信息。对于每个$n$和每个$\omega \in \Omega$，将$n$实数$\left{X_j(\omega), 1 \leq j \leq n\right}$按递增顺序排列为
$$
Y_{n 1}(\omega) \leq Y_{n 2}(\omega) \leq \cdots \leq Y_{n n}(\omega)
$$
现在定义离散d.f. $F_n(\cdot, \omega)$如下:
$$
\begin{array}{ll}
F_n(x, \omega)=0, & \text { if } x<Y_{n 1}(\omega), \
F_n(x, \omega)=\frac{k}{n}, & \text { if } Y_{n k}(\omega) \leq x<Y_{n \cdot k+1}(\omega), 1 \leq k \leq n-1 . \
F_n(x, \omega)=1, & \text { if } x \geq Y_{n n}(\omega) .
\end{array}
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写概率论Probability theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写概率论Probability theory代写方面经验极为丰富，各种代写概率论Probability theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Continuation

We proceed to discuss another kind of criterion, which is becoming ever more popular in measure theory as well as functional analysis. This has to do with classes of continuous functions on $\mathscr{R}^1$.
$C_K=$ the class of continuous functions $f$ each vanishing outside a compact set $K(f)$
$C_0=$ the class of continuous functions $f$ such that
$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$
$C_B=$ the class of bounded continuous functions;
$C=$ the class of continuous functions.
We have $C_K \subset C_0 \subset C_B \subset C$. It is well known that $C_0$ is the closure of $C_K$ with respect to uniform convergence.

An arbitrary function $f$ defined on an arbitrary space is said to have support in a subset $S$ of the space iff it vanishes outside $S$. Thus if $f \in C_K$, then it has support in a certain compact set, hence also in a certain compact interval. A step function on a finite or infinite interval $(a, b)$ is one with support in it such that $f(x)=c_j$ for $x \in\left(a_j, a_{j+1}\right)$ for $1 \leq j \leq \ell$, where $\ell$ is finite, $a=a_1<\cdots<a_{\ell}=b$, and the $c_j$ ‘s are arbitrary real numbers. It will be called $D$-valued iff all the $a_j$ ‘s and $c_j$ ‘s belong to a given set $D$. When the interval $(a, b)$ is $\Re^1, f$ is called just a step function. Note that the values of $f$ at the points $a_j$ are left unspecified to allow for flexibility; frequently they are defined by right or left continuity. The following lemma is basic.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Approximation Lemma

Approximation Lemma. Suppose that $f \in C_K$ has support in the compact interval $[a, b]$. Given any dense subset $A$ of $\mathscr{R}^1$ and $\epsilon>0$, there exists an $A$-valued step function $f_\epsilon$ on $(a, b)$ such that
$$
\sup {x \in \mathscr{R}^1}\left|f(x)-f\epsilon(x)\right| \leq \epsilon
$$
If $f \in C_0$, the same is true if $(a, b)$ is replaced by $\mathscr{R}^1$.
This lemma becomes obvious as soon as its geometric meaning is grasped. In fact, for any $f$ in $C_K$, one may even require that either $f_\epsilon \leq f$ or $f_\epsilon \geq f$.

The problem is then that of the approximation of the graph of a plane curve by inscribed or circumscribed polygons, as treated in elementary calculus. But let us remark that the lemma is also a particular case of the Stone-Weierstrass theorem (see, e.g., Rudin [2]) and should be so verified by the reader. Such a sledgehammer approach has its merit, as other kinds of approximation soon to be needed can also be subsumed under the same theorem. Indeed, the discussion in this section is meant in part to introduce some modern terminology to the relevant applications in probability theory. We can now state the following alternative criterion for vague convergence.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Continuation

我们接着讨论另一类判据，它在测度理论和泛函分析中越来越流行。这与$\mathscr{R}^1$上的连续函数类有关。
$C_K=$连续函数的类$f$每个函数在紧集合外消失$K(f)$
$C_0=$连续函数的类$f$满足
$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$
$C_B=$有界连续函数类;
$C=$连续函数的类。
我们有$C_K \subset C_0 \subset C_B \subset C$。众所周知，$C_0$是$C_K$关于一致收敛的闭包。

定义在任意空间上的任意函数$f$，如果它在$S$之外消失，则在该空间的子集$S$中具有支持。因此，如果$f \in C_K$，则它在某紧集上有支持，因此在某紧区间上也有支持。在有限或无限区间$(a, b)$上的阶跃函数是这样一种支持:$f(x)=c_j$对于$x \in\left(a_j, a_{j+1}\right)$对于$1 \leq j \leq \ell$，其中$\ell$是有限的，$a=a_1<\cdots<a_{\ell}=b$，并且$c_j$是任意实数。如果所有的$a_j$和$c_j$都属于一个给定的集合$D$，那么它将被称为$D$ -value。当区间$(a, b)$为$\Re^1, f$时，它被称为阶跃函数。请注意，$f$在$a_j$处的值未指定，以允许灵活性;它们通常被定义为右连续性或左连续性。下面的引理是基本的。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Approximation Lemma

近似引理。假设$f \in C_K$在压缩区间$[a, b]$中有支持。给定$\mathscr{R}^1$和$\epsilon>0$的任意密集子集$A$，在$(a, b)$上存在一个$A$值阶跃函数$f_\epsilon$，使得
$$
\sup {x \in \mathscr{R}^1}\left|f(x)-f\epsilon(x)\right| \leq \epsilon
$$
如果是$f \in C_0$，那么将$(a, b)$替换为$\mathscr{R}^1$也是如此。
一旦掌握了它的几何意义，这个引理就变得显而易见了。事实上，对于$C_K$中的任何$f$，甚至可以要求$f_\epsilon \leq f$或$f_\epsilon \geq f$。

那么问题就是用内切多边形或外切多边形近似平面曲线的图形，就像初等微积分中处理的那样。但是我们要注意，引理也是Stone-Weierstrass定理的一个特例(参见Rudin[2])，应该由读者来验证。这种大锤式的方法有它的优点，因为很快需要的其他种类的近似也可以包含在同一定理下。事实上，本节的讨论部分是为了向概率论中的相关应用介绍一些现代术语。我们现在可以陈述以下模糊收敛的备选准则。

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• Statistical Inference 统计推断
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability measures and their distribution functions

Let $\Omega$ be a space, $\mathscr{F}$ a B.F. of subsets of $\Omega$. A probability measure $\mathscr{P}(\cdot)$ on $\mathscr{F}$ is a numerically valued set function with domain $\mathscr{F}$, satisfying the following axioms:
(i) $\forall E \in \mathscr{F}: \mathscr{P}(E) \geq 0$.
(ii) If $\left{E_j\right}$ is a countable collection of (pairwise) disjoint sets in $\bar{F}$, then
$$
\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right)=\sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right) .
$$
(iii) $\mathscr{P}(\Omega)=1$.
The abbreviation “p.m.” will be used for “probability measure”.
These axioms imply the following consequences, where all sets are members of $\mathscr{F}$.
(iv) $\mathscr{P}(E) \leq 1$.
(v) $\mathscr{P}(\varnothing)=0$.
(vi) $\mathscr{P}\left(E^c\right)=1-\mathscr{P}(E)$.
(vii) $\mathscr{P}(E \cup F)+\mathscr{P}(E \cap F)=\mathscr{P}(E)+\mathscr{P}(F)$.
(viii) $E \subset F \Rightarrow \mathscr{P}(E)=\mathscr{P}(F)-\mathscr{P}(F \backslash E) \leq \mathscr{P}(F)$.
(ix) Monotone property. $E_n \uparrow E$ or $E_n \downarrow E \Rightarrow \mathscr{P}\left(E_n\right) \rightarrow \mathscr{P}(E)$.
(x) Boole’s inequality. $\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right) \leq \sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|General definitions

real line, $\mathscr{B}^=[-\infty,+\infty]$ the extended real line, $\mathscr{B}^1=$ the Euclidean Borel field on $\mathscr{R}^1, \mathscr{B}^=$ the extended Borel field. A set in $\mathscr{B}^*$ is just a set in $\mathscr{B}$ possibly enlarged by one or both points $\pm \infty$.

DEFINITION OF A RANDOM VARIABLE. A real, extended-valued random variable is a function $X$ whose domain is a set $\Delta$ in $\mathscr{F}$ and whose range is contained in $\mathscr{R}^=[-\infty,+\infty]$ such that for each $B$ in $\mathcal{B}^$, we have
$$
{\omega: X(\omega) \in B} \in \Delta \cap \bar{K}
$$
where $\Delta \cap \bar{\pi}$ is the trace of $\bar{\pi}$ on $\Delta$. A complex-valued random variable is a function on a set $\Delta$ in $\bar{W}$ to the complex plane whose real and imaginary parts are both real, finite-valued random variables.

This definition in its generality is necessary for logical reasons in many applications, but for a discussion of basic properties we may suppose $\Delta=\Omega$ and that $X$ is real and finite-valued with probability one. This restricted meaning of a “random variable”, abbreviated as “r.v.”, will be understood in the book unless otherwise specified. The general case may be reduced to this one by considering the trace of $(\Omega, \bar{\pi}, \mathscr{P})$ on $\Delta$, or on the “domain of finiteness” $\Delta_0={\omega:|X(\omega)|<\infty}$, and taking real and imaginary parts.

Consider the “inverse mapping” $X^{-1}$ from $\mathscr{R}^1$ to $\Omega$, defined (as usual) as follows:
$$
\forall A \subset \mathscr{R}^1: X^{-1}(A)={\omega: X(\omega) \in A} .
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability measures and their distribution functions

设$\Omega$是一个空间，$\mathscr{F}$是$\Omega$子集的B.F.。在$\mathscr{F}$上的概率测度$\mathscr{P}(\cdot)$是域为$\mathscr{F}$的数值集合函数，满足以下公理:
(i) $\forall E \in \mathscr{F}: \mathscr{P}(E) \geq 0$。
(ii)如果$\left{E_j\right}$是$\bar{F}$中(成对)不相交集合的可数集合，则
$$
\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right)=\sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right) .
$$
(iii) $\mathscr{P}(\Omega)=1$。
缩写“p.m.”将用于“概率度量”。
这些公理暗示了以下结果，其中所有集合都是$\mathscr{F}$的成员。
(四)$\mathscr{P}(E) \leq 1$。
(v) $\mathscr{P}(\varnothing)=0$。
(vi) $\mathscr{P}\left(E^c\right)=1-\mathscr{P}(E)$。
(vii) $\mathscr{P}(E \cup F)+\mathscr{P}(E \cap F)=\mathscr{P}(E)+\mathscr{P}(F)$。
(viii) $E \subset F \Rightarrow \mathscr{P}(E)=\mathscr{P}(F)-\mathscr{P}(F \backslash E) \leq \mathscr{P}(F)$。
(ix)单调性。$E_n \uparrow E$或$E_n \downarrow E \Rightarrow \mathscr{P}\left(E_n\right) \rightarrow \mathscr{P}(E)$。
(x)布尔不等式。$\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right) \leq \sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right)$。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|General definitions

实数线，$\mathscr{B}^=[-\infty,+\infty]$扩展实数线，$\mathscr{B}^1=$上的欧几里得波雷尔场$\mathscr{R}^1, \mathscr{B}^=$扩展波雷尔场。$\mathscr{B}^*$中的一个集合就是$\mathscr{B}$中的一个集合，可能被一个点或两个点放大$\pm \infty$。

随机变量的定义。一个实的扩展值随机变量是一个函数$X$，它的域是$\mathscr{F}$中的集合$\Delta$，它的范围包含在$\mathscr{R}^=[-\infty,+\infty]$中，因此对于$\mathcal{B}^$中的每个$B$，我们有
$$
{\omega: X(\omega) \in B} \in \Delta \cap \bar{K}
$$
其中$\Delta \cap \bar{\pi}$是$\bar{\pi}$在$\Delta$上的轨迹。复值随机变量是在$\bar{W}$的复平面集合$\Delta$上的函数，其实部和虚部都是实的有限值随机变量。

在许多应用中，由于逻辑原因，这个广义的定义是必要的，但为了讨论基本性质，我们可以假设$\Delta=\Omega$和$X$是实数和有限值，概率为1。“随机变量”(简称为“r.v.”)的这种限定含义，除非另有说明，否则将在本书中理解。一般情况可以简化为这种情况，只要考虑$(\Omega, \bar{\pi}, \mathscr{P})$在$\Delta$上或在“有限域”$\Delta_0={\omega:|X(\omega)|<\infty}$上的轨迹，并取实部和虚部。

考虑从$\mathscr{R}^1$到$\Omega$的“反向映射”$X^{-1}$，定义如下:
$$
\forall A \subset \mathscr{R}^1: X^{-1}(A)={\omega: X(\omega) \in A} .
$$

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function

In previous sections we analyzed distributions $J$ on a locally compact metric space $(S, d)$ in terms of their values $J g$ at basis functions $g$ in a partition of unity. In the special case where $(S, d)$ is the Euclidean space $R$, the basis functions can be replaced by the exponential functions $h_\lambda$, where $\lambda \in R$, where $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ for each $x \in R$, and where $i \equiv \sqrt{-1}$. The result is characteristic functions, which are most useful in the study of distributions of r.r.v.’s.

The classical development of this tool, such as in [Chung 1968] or [Loeve 1960], is constructive, except for infrequent and nonessential appeals to the principle of infinite search. The bare essentials of this material are presented here for completeness and for ease of reference. The reader who is familiar with the topic and is comfortable with the notion that the classical treatment is constructive, or easily made so, can skip over this and the next section and come back only for reference.

We will be working with complex-valued measurable functions. Let $\mathbb{C}$ denote the complex plane equipped with the usual metric.

Definition 5.8.1. Complex-valued integrable function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$, and let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. A function $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ whose real part $U$ and imaginary part $V$ are measurable on $(S, \Lambda, I)$ is said to be measurable on $(S, \Lambda, I)$. If both $U, V$ are integrable, then $X$ is said to be integrable, with integral $I X \equiv I U+i I V$.

By separation into real and imaginary parts, the complex-valued functions immediately inherit the bulk of the theory of integration developed hitherto in this book for real-valued functions. One exception is the very basic inequality $|I X| \leq I|X|$ when $|X|$ is integrable. Its trivial proof in the case of real-valued integrable functions relies on the linear ordering of $R$, which is absent in $\mathbb{C}$. The next lemma gives a proof for complex-valued integrable functions.

Lemma 5.8.2. $|I X| \leq I|X|$ for complex-valued integrable function $X$. Use the notations in Definition 5.8.1. Let $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ be an arbitrary complex-valued function. Then the function $X$ is measurable in the sense of Definition 5.8.1 iff it is measurable in the sense of Definition 5.8.1. In other words, the former is consistent with the latter. Moreover, if $X$ is measurable and if $|X| \in L$, then $X$ is integrable with $|I X| \leq I|X|$.

Proof. Write $X \equiv I U+i I V$, where $U, V$ are the real and imaginary parts of $X$, respectively.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem

Let $X_1, \ldots, X_n$ be independent r.r.v.’s with mean 0 and standard deviations $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, respectively. Define $\sigma$ by $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ and consider the distribution $F$ of the scaled sum $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. By replacing $X_i$ with $X_i / \sigma$ we may assume that $\sigma=1$. The Central Limit Theorem says that if each individual summand $X_i$ is small relative to the sum $X$, then $F$ is close to the standard normal distribution $\Phi_{0,1}$.

One criterion, due to Lindberg and Feller, for the summands $X_k(k=1, \ldots, n)$ to be individually small relative to the sum, is for
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
to be small for some $r \geq 0$.
Lemma 5.9.1. Lindberg-Feller bound. Suppose $r \geq 0$ is such that $\theta(r)<\frac{1}{8}$. Then $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ Proof. Consider each $k=1, \ldots, n$. Then, since $\theta(r)<\frac{1}{8}$ by hypothesis, we have $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ and $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. A consequence is that $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, which can be seen by noting that the two sides are equal at $z=0$ and by comparing first derivatives relative to $z$ on $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. Lyapunov’s inequality then implies that $$ \begin{aligned} \sigma_k^3 & =\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \
& \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \
& \equiv\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a \equiv E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)} .
\end{aligned}
$$
Summing over $k$, we obtain inequality 5.9.1.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function

在前面的部分中，我们分析了分布 $J$ 在局部紧度量空间 $(S, d)$ 在他们的价值观方面 $J g$ 在基函数 $g$ 在统一的 分区中。在特殊情况下 $(S, d)$ 是欧氏空间 $R$, 基函数可以用指数函数代替 $h_\lambda$ ， 在哪里 $\lambda \in R$ ， 在哪里 $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ 每个 $x \in R$, 在哪里 $i \equiv \sqrt{-1}$. 结果是特征函数，它在 rrv 分布的研究中最有用。
该工具的经典开发，例如 [Chung 1968] 或 [Loeve 1960]，是建设性的，除了不经常和非必要地诉诸无限 搜索原则。为了完整性和便于参考，此处提供了该材料的基本要点。熟悉该主题并且对经典处理具有建设 性或易于实现这一概念感到满意的读者可以跳过本节和下一节，返回仅供参考。
我们将使用复值可测量函数。让 $\mathbb{C}$ 表示配备常用度量的复平面。
定义 5.8.1。复值可积函数。让 $I$ 是局部紧度量空间上的积分 $(S, d)$ ，然后让 $(S, \Lambda, I)$ 表示积分空间的完 成 $(S, C(S), I)$.一个功能 $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ 谁的真实部分 $U$ 和虚部 $V$ 是可衡量的 $(S, \Lambda, I)$ 据 说是可测量的 $(S, \Lambda, I)$. 如果两者 $U, V$ 是可积的，那么 $X$ 据说是可积的，具有积分 $I X \equiv I U+i I V$.
通过分离成实部和虚部，复值函数立即继承了本书迄今为实值函数发展的大部分积分理论。一个例外是非 常基本的不平等 $|I X| \leq I|X|$ 什么时候 $|X|$ 是可积的。它在实值可积函数情况下的简单证明依赖于线性 排序 $R$, 在中不存在 $\mathbb{C}$. 下一个引理给出了复值可积函数的证明。
引理 5.8.2。 $|I X| \leq I|X|$ 对于复值可积函数 $X$. 使用定义 5.8.1 中的符号。让 $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个任意的 复值函数。然后是函数 $X$ 在定义 5.8.1 的意义上是可测量的当且仅当它在定义 5.8 .1 的意义上是可测量 的。也就是说，前者与后者是一致的。此外，如果 $X$ 是可测量的，如果 $|X| \in L$ ，然后 $X$ 可积于 $|I X| \leq I|X|$
证明。写 $X \equiv I U+i I V$ ，在哪里 $U, V$ 是实部和虚部 $X$ ，分别。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem

让 $X_1, \ldots, X_n$ 是具有均值 0 和标准差的独立 $\operatorname{rrv} \sigma_1, \ldots, \sigma_n$ ，分别。定义 $\sigma$ 经过 $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ 并考虑分布 $F$ 比例总和 $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. 通过更换 $X_i$ 和 $X_i / \sigma$ 我们可 以假设 $\sigma=1$. 中心极限定理说如果每个单独的被加数 $X_i$ 相对于总和来说很小 $X$ ，然后 $F$ 接近于标准正 态分布 $\Phi_{0,1}$.
一个标准，由于 Lindberg 和 Feller，用于被加数 $X_k(k=1, \ldots, n)$ 相对于总和个别较小，是为了
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
对某些人来说很小 $r \geq 0$.
引理 5.9.1。林德伯格-费勒绑定。认为 $r \geq 0$ 是这样的 $\theta(r)<\frac{1}{8}$. 然后 $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ 证明。考虑每个 $k=1, \ldots, n$. 然后，因为 $\theta(r)<\frac{1}{8}$ 根据假设，我们有 $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ 和 $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. 一个后果是 $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, 这可以通过注意到两侧在 $z=0$ 并通 过比较一阶导数相对于 $z$ 在 $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. 李亚普诺夫不等式意味着 $$ \sigma_k^3=\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2}
$$
总结结束 $k$ ，我们得到不等式 5.9.1。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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