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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extensions of the Extension Theorem
The Extension Theorem (Theorem 2.3.1) will be our main tool for proving the existence of complicated probability triples. While (2.3.2) is generally easy to verify, $(2.3 .3)$ can be more challenging. Thus, we present some alternative formulations here.
Corollary 2.5.1. Let $\mathcal{J}$ be a semialgebra of subsets of $\Omega$. Let $\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$ $[0,1]$ with $\mathbf{P}(\emptyset)=0$ and $\mathbf{P}(\Omega)=1$, satisfying (2.3.2), and the “monotonicity on $\mathcal{J}^{\prime \prime}$ property that
$$
\mathbf{P}(A) \leq P(B) \text { whenever } A, B \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq B
$$
and also the “countable subadditivity on $\mathcal{J}$ ” property that
$$
\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \quad \text { for } B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } \bigcup_n B_n \in \mathcal{J} .
$$
Then there is a $\sigma$-algebra $\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$, and a countably additive probability measure $\mathbf{P}^$ on $\mathcal{M}$, such that $\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$ for all $A \in \mathcal{J}$.
Proof. In light of Theorem 2.3.1, we need only verify (2.3.3). To that end, let $A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J}$ with $A \subseteq \bigcup_n A_n$. Set $B_n=A \cap A_n$. Then since $A \subseteq \bigcup_n A_n$, we have $A=\bigcup_n\left(A \cap A_n\right)=\bigcup_n B_n$, whence (2.5.3) and (2.5.2) give that
$$
\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right)
$$
Another version assumes countable additivity of $\mathbf{P}$ on $\mathcal{J}$ :
Corollary 2.5.4. Let $\mathcal{J}$ be a semialgebra of subsets of $\Omega$. Let $\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$ $[0,1]$ with $\mathbf{P}(\Omega)=1$, satisfying the countable additivity property that $\mathbf{P}\left(\bigcup_n D_n\right)=\sum_n \mathbf{P}\left(D_n\right)$ for $D_1, D_2, \ldots \in \mathcal{J}$ disjoint with $\bigcup_n D_n \in \mathcal{J}$
Then there is a $\sigma$-algebra $\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$, and a countably additive probability measure $\mathbf{P}^$ on $\mathcal{M}$, such that $\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$ for all $A \in \mathcal{J}$.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Coin tossing and other measures
Now that we have Theorem 2.3 .1 to help us, we can easily construct other probability triples as well.
For example, of frequent mention in probability theory is (independent, fair) coin tossing. To model the flipping of $n$ coins, we can simply take $\Omega=\left{\left(r_1, r_2, \ldots, r_n\right) ; r_i=0\right.$ or 1$}$ (where 0 stands for tails and 1 stands for heads), let $\mathcal{F}=2^{\Omega}$ be the collection of all subsets of $\Omega$, and define $\mathbf{P}$ by $\mathbf{P}(A)=|A| / 2^n$ for $A \subseteq \mathcal{F}$. This is another example of a discrete probability space; and we know from Theorem 2.2 .1 that these spaces present no difficulties.
But suppose now that we wish to model the flipping of a (countably) infinite number of coins. In this case we can let
$$
\Omega=\left{\left(r_1, r_2, r_3, \ldots\right) ; r_i=0 \text { or } 1\right}
$$
be the collection of all binary sequences. But what about $\mathcal{F}$ and $\mathbf{P}$ ?
Well, for each $n \in \mathbf{N}$ and each $a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}$, let us define subsets $A_{a_1 a_2 \ldots a_n} \subseteq \Omega$ by
$$
A_{a_1 a_2 \ldots a_n}=\left{\left(r_1, r_2, \ldots\right) \in \Omega ; r_i=a_i \text { for } 1 \leq i \leq n\right}
$$
(Thus, $A_0$ is the event that the first coin comes up tails; $A_{11}$ is the event that the first two coins both come up heads; and $A_{101}$ is the event that the first and third coins are heads while the second coin is tails.) Then we clearly want $\mathbf{P}\left(A_{a_1 a_2 \ldots a_n}\right)=1 / 2^n$ for each set $A_{a_1 a_2 \ldots a_n}$. Hence, if we set
$$
\mathcal{J}=\left{A_{a_1 a_2 \ldots a_n} ; n \in \mathbf{N}, a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}\right} \cup{\emptyset, \Omega}
$$
then we already know how to define $\mathbf{P}(A)$ for each $A \in \mathcal{J}$. To apply the Extension Theorem (in this case, Corollary 2.5.4), we need to verify that certain conditions are satisfied.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Extensions of the Extension Theorem
扩展定理(定理2.3.1)将是我们证明复杂概率三元组存在性的主要工具。虽然(2.3.2)通常很容易验证，但$(2.3 .3)$可能更具挑战性。因此，我们在这里提出一些可供选择的公式。
推论2.5.1。设$\mathcal{J}$是$\Omega$的子集的半代数。设$\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$$[0,1]$与$\mathbf{P}(\emptyset)=0$和$\mathbf{P}(\Omega)=1$，满足(2.3.2)，且“$\mathcal{J}^{\prime \prime}$上的单调性”属性为
$$
\mathbf{P}(A) \leq P(B) \text { whenever } A, B \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq B
$$
还有” $\mathcal{J}$上的可数子可加性”性质
$$
\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \quad \text { for } B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } \bigcup_n B_n \in \mathcal{J} .
$$
然后有一个$\sigma$ -代数$\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$，和一个可数加性概率测度$\mathbf{P}^$在$\mathcal{M}$上，使得$\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$对于所有$A \in \mathcal{J}$。
证明。根据定理2.3.1，我们只需要验证(2.3.3)。为此，让$A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J}$与$A \subseteq \bigcup_n A_n$。设置$B_n=A \cap A_n$。然后，由于$A \subseteq \bigcup_n A_n$，我们有$A=\bigcup_n\left(A \cap A_n\right)=\bigcup_n B_n$，由(2.5.3)和式(2.5.2)给出
$$
\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_n B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(B_n\right) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right)
$$
另一个版本假设$\mathcal{J}$上的$\mathbf{P}$具有可数可加性:
推论2.5.4。设$\mathcal{J}$是$\Omega$的子集的半代数。令$\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow$$[0,1]$与$\mathbf{P}(\Omega)=1$，满足$\mathbf{P}\left(\bigcup_n D_n\right)=\sum_n \mathbf{P}\left(D_n\right)$对于$D_1, D_2, \ldots \in \mathcal{J}$与$\bigcup_n D_n \in \mathcal{J}$不相交的可数可加性
然后有一个$\sigma$ -代数$\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$，和一个可数加性概率测度$\mathbf{P}^$在$\mathcal{M}$上，使得$\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$对于所有$A \in \mathcal{J}$。
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Coin tossing and other measures
现在我们有了定理2.3 .1的帮助，我们也可以很容易地构造其他概率三元组。
例如，在概率论中经常提到的是(独立的，公平的)抛硬币。的翻转模型 $n$ 硬币，我们可以简单地拿走 $\Omega=\left{\left(r_1, r_2, \ldots, r_n\right) ; r_i=0\right.$ 或者1$}$ (0代表反面，1代表正面)，设 $\mathcal{F}=2^{\Omega}$ 的所有子集的集合 $\Omega$，并定义 $\mathbf{P}$ 通过 $\mathbf{P}(A)=|A| / 2^n$ 为了 $A \subseteq \mathcal{F}$． 这是离散概率空间的另一个例子;根据定理2.2 .1，我们知道这些空间没有困难。
但现在假设我们希望为(可数)无限个硬币的抛掷建模。在这种情况下，我们可以
$$
\Omega=\left{\left(r_1, r_2, r_3, \ldots\right) ; r_i=0 \text { or } 1\right}
$$
是所有二进制序列的集合。但是$\mathcal{F}$和$\mathbf{P}$呢?
对于每个$n \in \mathbf{N}$和$a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}$，让我们定义子集$A_{a_1 a_2 \ldots a_n} \subseteq \Omega$
$$
A_{a_1 a_2 \ldots a_n}=\left{\left(r_1, r_2, \ldots\right) \in \Omega ; r_i=a_i \text { for } 1 \leq i \leq n\right}
$$
(因此，$A_0$是第一枚硬币反面出现的事件;$A_{11}$是前两枚硬币都正面向上的事件;$A_{101}$是第一枚和第三枚硬币是正面，而第二枚硬币是反面的事件。)那么我们显然需要对每个集合$A_{a_1 a_2 \ldots a_n}$设置$\mathbf{P}\left(A_{a_1 a_2 \ldots a_n}\right)=1 / 2^n$。因此，如果我们设
$$
\mathcal{J}=\left{A_{a_1 a_2 \ldots a_n} ; n \in \mathbf{N}, a_1, a_2, \ldots, a_n \in{0,1}\right} \cup{\emptyset, \Omega}
$$
那么我们已经知道如何为每个$A \in \mathcal{J}$定义$\mathbf{P}(A)$。要应用可拓定理(在本例中是推论2.5.4)，我们需要验证某些条件是否满足。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。