## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|The norm or length of a vector

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写线性代数linear algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写线性代数linear algebra代写方面经验极为丰富，各种代写线性代数linear algebra相关的作业也就用不着说。

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|The norm or length of a vector

Let $\mathbf{u}$ be a vector in $\mathbb{R}^n$. The length or norm of a vector $\mathbf{u}$ is denoted by $|\mathbf{u}|$. We can use Pythagoras’ theorem to find a way to define the norm of a vector. Consider a vector $\mathbf{u}$ in $\mathbb{R}^2$ (Fig. 2.6):

The length or norm of a vector $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)^T$ in $\mathbb{R}^2$ is given by:
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

The length or norm of a vector $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right)^T$ in $\mathbb{R}^3$ is given by
$$|\mathbf{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
Pythagoras’ Theorem. Let $\mathbf{u}$ be a vector in $\mathbb{R}^n$ then the length of $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}u_1 \ \vdots \ u_n\end{array}\right)$ is given by:
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2+\left(u_3\right)^2+\cdots+\left(u_n\right)^2}$$
The norm of a vector $\mathbf{u}$ is a real number which gives the length of the vector $\mathbf{u}$.

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of the norm of a vector

For a scalar $k$ we define the modulus of $k$ denoted $|k|$ as
$$|k|=\sqrt{k^2}$$
Proposition (2.10). Let $\mathbf{u}$ be a vector in $\mathbb{R}^n$ and $k$ be a real scalar. We have the following:
(i) $|\mathbf{u}| \geq 0$ [positive] and $|\mathbf{u}|=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$.
(ii) $|k \mathbf{u}|=|k||\mathbf{u}|$

Proof.
Let $\mathbf{u}$ be a vector in $\mathbb{R}^n$; therefore we can write this as $\mathbf{u}=\left(u_1 \cdots u_n\right)^T$.
(i) Required to prove $|\mathbf{u}| \geq 0$. By Pythagoras’ theorem (2.7), we have the length of $\mathbf{u}$ :
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2+\left(u_3\right)^2+\cdots+\left(u_n\right)^2}$$
Since the square root is positive, $|\mathbf{u}| \geq 0$.
Next we prove the equality; that is $|\mathbf{u}|=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$. We have $|\mathbf{u}|=0$, which means that
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}=0 \Leftrightarrow \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=0$$
By Proposition (2.6) part (iv), we have $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$. We have proven our equality.
(ii) Expanding the left hand side of $|k \mathbf{u}|=|k||\mathbf{u}|$ by applying definition; (2.8) $|\mathbf{v}|=\sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$ gives
\begin{aligned} |k \mathbf{u}|=\sqrt{k \mathbf{u} \cdot k \mathbf{u}} & =\sqrt{k^2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})} \ & =\sqrt{k^2} \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \ & =|k||\mathbf{u}| \end{aligned}
[because $k^2$ and $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}$ are real, so $\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}$ ] [from above we have $\sqrt{k^2}=|k|$ ]

Normally, to obtain the length (norm) of a given vector $\mathbf{v}$ you will find it easier to determine $|\mathbf{v}|^2=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$ and then take the square root of your result to find $|\mathbf{v}|$.

# 线性代数代考

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|The norm or length of a vector

$\mathbb{R}^2$中向量$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)^T$的长度或范数由下面给出:
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

$\mathbb{R}^3$中向量$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right)^T$的长度或范数由下式给出
$$|\mathbf{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2+\left(u_3\right)^2+\cdots+\left(u_n\right)^2}$$

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of the norm of a vector

$$|k|=\sqrt{k^2}$$

(i) $|\mathbf{u}| \geq 0$[正数]和$|\mathbf{u}|=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$。
(ii) $|k \mathbf{u}|=|k||\mathbf{u}|$

(i)必须证明$|\mathbf{u}| \geq 0$。根据毕达哥拉斯定理(2.7)，我们得到$\mathbf{u}$的长度:
$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2+\left(u_3\right)^2+\cdots+\left(u_n\right)^2}$$

$$|\mathbf{u}|=\sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}=0 \Leftrightarrow \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=0$$

\begin{aligned} |k \mathbf{u}|=\sqrt{k \mathbf{u} \cdot k \mathbf{u}} & =\sqrt{k^2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})} \ & =\sqrt{k^2} \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \ & =|k||\mathbf{u}| \end{aligned}
[因为$k^2$和$\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}$是实数，所以$\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}$][从上面我们得到$\sqrt{k^2}=|k|$]

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Non-invertible (singular) matrices

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## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Non-invertible (singular) matrices

If the above approach of trying to convert (A|I) into the augmented matrix $\left(\mathbf{I} \mid \mathbf{A}^{-1}\right)$ cannot be achieved then the matrix $\mathbf{A}$ is non-invertible (singular). This means that the matrix A does not have an inverse. By Theorem (1.38), we know that the matrix $\mathbf{A}$ is invertible (has an inverse) $\Leftrightarrow$ the reduced row echelon form of $\mathbf{A}$ is the identity matrix I. Remember, the reduced row echelon form of an $n$ by $n$ matrix can only: (1) be an identity matrix or (2) have a row of zeros.
If we end up with a row of zeros then the given matrix is non-invertible.
Proposition (1.39). Let $\mathbf{A}$ be a square matrix and $\mathbf{R}$ be the reduced row echelon form of $\mathbf{A}$. Then $\mathbf{R}$ has at least one row of zeros $\Leftrightarrow \mathbf{A}$ is non-invertible (singular).
Proof.
See Exercises 1.8.
The proof of this result can be made a lot easier if we understand some mathematical logic. Generally to prove a statement of the type $P \Leftrightarrow Q$ we assume $P$ to be true and then deduce $Q$. Then we assume $Q$ to be true and deduce $P$.
However, in mathematical logic this can also be proven by showing:
$$(\operatorname{Not} P) \Leftrightarrow(\operatorname{Not} Q)$$
Means that $(\operatorname{Not} P) \Rightarrow(\operatorname{Not} Q)$ and $(\operatorname{Not} Q) \Rightarrow(\operatorname{Not} P)$. This is because statements $P \Leftrightarrow Q$ and $(\operatorname{Not} P) \Leftrightarrow($ Not $Q)$ are equivalent. See website for more details.
The following demonstrates this proposition.

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Applications to cryptography

Cryptography is the study of communication by stealth. It involves the coding and decoding of messages. This is a growing area of linear algebra applications because agencies such as the CIA use cryptography to encode and decode information.
One way to code a message is to use matrices.

For example, let $\mathbf{A}$ be an invertible matrix. The message is encrypted into a matrix $\mathbf{B}$ such that the matrix multiplication $\mathbf{A B}$ is a valid operation. Send the message generated by the matrix multiplication $\mathbf{A B}$. At the other end, they will need to know the inverse matrix $\mathbf{A}^{-1}$ in order to decode the message because $\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A B})=\mathbf{B}$. Remember that the matrix B contains the message.

A simple way of encoding messages is to represent each letter of the alphabet by its position in the alphabet and then add 3 to this. For example, we can create Table 1.3.

The final column represents space and we nominate this by a value of $27+3=30$.
To eliminate tedium from calculations, we use appropriate software to carry out the following example.

# 线性代数代考

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。