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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Definition of inner product
How did we define the inner or dot product in chapter 2?
Let $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}u_1 \ \vdots \ u_n\end{array}\right)$ and $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}v_1 \ \vdots \ v_n\end{array}\right)$ be vectors in $\mathbb{R}^n$ then the inner product of $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ denoted by $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ is
$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{u}^T \mathbf{v}=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3+\cdots+u_n v_n
$$
Remember, the answer was a scalar not a vector. This inner product was named the dot product (also called the scalar product) in $\mathbb{R}^n$. This is the usual (or standard) inner product in $\mathbb{R}^n$ but there are many other types of inner products in $\mathbb{R}^n$.
For the general vector space, the inner product is denoted by $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$ rather than $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$. For the general vector space, the definition of inner product is based on Proposition (2.6) of chapter 2 and is given by:
Definition (4.1). An inner product on a real vector space $V$ is an operation which assigns to each pair of vectors, $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$, a unique real number $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$ which satisfies the following axioms for all vectors $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ and $\mathbf{w}$ in $V$ and all scalars $k$.
(i) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle \quad$ [commutative law]
(ii) $\langle\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \quad$ [distributive law]
(iii) $\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \quad$ [taking out the scalar $k$ ]
(iv) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle \geq 0$ and we have $\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$ [Means the inner product between the same vectors is zero or positive.]
A real vector space which satisfies these axioms is called a real inner product space. Note that evaluating $\langle$,$\rangle gives a real number (scalar) not a vector. Next we give some examples$ of inner product spaces.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of inner products
Proposition (4.2). Let $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ and $\mathbf{w}$ be vectors in a real inner product space $V$ and $k$ be any real scalar. We have the following properties of inner products:
(i) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{O}\rangle=\langle\mathbf{O}, \mathbf{v}\rangle=0$
(ii) $\langle\mathbf{u}, k \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$
(iii) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle$
How do we prove these properties?
We use the axioms of inner products stated in Definition (4.1).
Proof of (i).
We can write the zero vector as $0(\mathbf{O})$ because $0(\mathbf{O})=\mathbf{O}$. Using the axioms of definition (4.1) we have
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, \mathbf{O}\rangle & =\langle\mathbf{u}, 0(\mathbf{O})\rangle & & \
& =\langle 0(\mathbf{O}), \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (i) of (4.1) which is }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =0\langle\mathbf{O}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (iii) of (4.1) which is }\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle] } \
& =0 & &
\end{aligned}
$$
Similarly $\langle\mathbf{O}, \mathbf{v}\rangle=0$.
Proof of (ii).
The inner product is commutative, $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle$, which means we can switch the vectors around. We have
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, k \mathbf{v}\rangle & =\langle k \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =k\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (iii) of (4.1) which is }\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle] } \
& =k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] }
\end{aligned}
$$
Proof of (iii).
We have
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle & =\langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle & & {\left[\begin{array}{c}
\text { by part (ii) of }(4.1) \text { which is } \
\langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle
\end{array}\right] } \
& =\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] }
\end{aligned}
$$
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Definition of inner product
在第二章中我们是如何定义内积或点积的?
设$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}u_1 \ \vdots \ u_n\end{array}\right)$和$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}v_1 \ \vdots \ v_n\end{array}\right)$为$\mathbb{R}^n$中的向量，则$\mathbf{u}$与$\mathbf{v}$的内积表示为$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$
$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{u}^T \mathbf{v}=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3+\cdots+u_n v_n
$$
记住，答案是一个标量而不是一个向量。这个内积在$\mathbb{R}^n$中被称为点积(也称为标量积)。这是$\mathbb{R}^n$中常见的(或标准的)内积，但$\mathbb{R}^n$中还有许多其他类型的内积。
对于一般向量空间，内积用$\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$而不是$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$表示。对于一般向量空间，内积的定义基于第2章的命题(2.6)，由式给出:
定义(4.1)。实向量空间$V$上的内积是一个运算，它将一个唯一的实数$\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$赋给每一对向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$，该实数满足以下公理，适用于$V$中的所有向量$\mathbf{u}, \mathbf{v}$和$\mathbf{w}$以及所有标量$k$。
(i) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle \quad$[交换律]
(ii) $\langle\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \quad$[分配律]
(iii) $\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \quad$[取出标量$k$]
(iv) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle \geq 0$，我们有$\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{O}$[意味着相同向量之间的内积为零或正。]
满足这些公理的实向量空间称为实内积空间。注意计算内积空间的$\langle$, $\rangle gives a real number (scalar) not a vector. Next we give some examples$。
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of inner products
命题(4.2)。设$\mathbf{u}, \mathbf{v}$和$\mathbf{w}$是实内积空间中的向量$V$和$k$是任意实标量。我们有内积的下列性质:
(i) $\langle\mathbf{u}, \mathbf{O}\rangle=\langle\mathbf{O}, \mathbf{v}\rangle=0$
(ii) $\langle\mathbf{u}, k \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$
(三)$\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle$
我们如何证明这些性质?
我们使用定义(4.1)中所述的内积公理。
证明(i)。
我们可以把零向量写成$0(\mathbf{O})$因为$0(\mathbf{O})=\mathbf{O}$。使用定义公理(4.1)，我们有
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, \mathbf{O}\rangle & =\langle\mathbf{u}, 0(\mathbf{O})\rangle & & \
& =\langle 0(\mathbf{O}), \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (i) of (4.1) which is }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =0\langle\mathbf{O}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (iii) of (4.1) which is }\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle] } \
& =0 & &
\end{aligned}
$$
类似的$\langle\mathbf{O}, \mathbf{v}\rangle=0$。
证明(ii)。
内积是可交换的，$\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle$，这意味着我们可以交换向量。我们有
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, k \mathbf{v}\rangle & =\langle k \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =k\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { by part (iii) of (4.1) which is }\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle] } \
& =k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] }
\end{aligned}
$$
证明(iii)。
我们有
$$
\begin{aligned}
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle & =\langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] } \
& =\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle & & {\left[\begin{array}{c}
\text { by part (ii) of }(4.1) \text { which is } \
\langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle
\end{array}\right] } \
& =\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle & & {[\text { switching vectors }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle] }
\end{aligned}
$$
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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