分类：电动力学代写

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|FYS3500

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写电动力学Electrodynamics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。电动力学Electrodynamics研究运动中的带电体和变化的电场和磁场(参见charge;电);由于移动的电荷产生磁场，电动力学与磁学、电磁辐射和电磁感应等效应有关，包括发电机和电动机等实际应用。

电动力学Electrodynamics的这一领域，通常被称为经典电动力学，最早是由物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦系统地解释的。麦克斯韦方程组是一组微分方程，它概括地描述了这一领域的现象。最近的一个发展是量子电动力学，它被用来解释电磁辐射与物质的相互作用，量子理论的定律也适用于此。物理学家P. A. M.狄拉克、W.海森堡和W.泡利是量子电动力学公式的先驱。当所考虑的带电粒子的速度变得与光速相当时，必须进行涉及相对论的修正;这个理论的分支叫做相对论性电动力学。它适用于与粒子加速器和受高压和大电流影响的电子管有关的现象。

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

The Cauchy principal value is a generalized function defined by its action under an integral with an arbitrary function $f(x)$, namely,
$$
\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}=\lim {\epsilon \rightarrow 0}\left[\int{-\infty}^{x_0-\epsilon} d x \frac{f(x)}{x-x_0}+\int_{x_0+\epsilon}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}\right] .
$$
An important application where the principal value plays a role is the Plemelj formula:
$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \frac{1}{x-x_0} \mp i \pi \delta\left(x-x_0\right) .
$$
This expression is symbolic in the sense that it gains meaning when we multiply every term by an arbitrary function $f(x)$ and integrate over $x$ from $-\infty$ to $\infty$.
The correctness of (1.105) can be appreciated from Figure 1.4 and the identity
$$
\frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} \mp i \frac{\epsilon}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} .
$$
The real part of (1.106) generates the principal value in (1.105) because it is a symmetrically cut-off version of $1 /\left(x-x_0\right)$. The imaginary part of (1.106) generates the delta function in (1.105) by virtue of (1.97).

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Step Function and Sign Function

The Heaviside step function $\Theta(x)$ is defined by
$$
\Theta(x)= \begin{cases}0 & x<0, \ 1 & x>0 .\end{cases}
$$
The delta function is the derivative of the theta function,
$$
\frac{d \Theta(x)}{d x}=\delta(x) .
$$

A useful representation is
$$
\Theta(x)=\lim {\epsilon \rightarrow 0} \frac{i}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} d k \frac{1}{k+i \epsilon} e^{-i k x} .
$$
The sign function $\operatorname{sgn}(x)$ is defined by
$$
\operatorname{sgn}(x)=\frac{d}{d x}|x|= \begin{cases}-1 & x<0, \ 1 & x>0 .\end{cases}
$$
A convenient representation is
$$
\operatorname{sgn}(x)=-1+2 \int_{-\infty}^x d y \delta(y) .
$$

The definition (1.93) leads us to define a three-dimensional delta function using an integral over a volume $V$ and a smooth but otherwise arbitrary “test” function $f(\mathbf{r})$ :
$$
\int_V d^3 r f(\mathbf{r}) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)= \begin{cases}f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) & \mathbf{r}^{\prime} \in V, \ 0 & \mathbf{r}^{\prime} \notin V .\end{cases}
$$
A less formal definition consistent with (1.112) is
$$
\delta(\mathbf{r})=0 \text { for } \mathbf{r} \neq 0 \quad \text { but } \quad \int_V d^3 r \delta(\mathbf{r})= \begin{cases}1 & \mathbf{r}=0 \in V, \ 0 & \mathbf{r}=0 \notin V .\end{cases}
$$
These definitions tell us that $\delta(\mathbf{r})$ has dimensions of inverse volume. In Cartesian coordinates,
$$
\delta(\mathbf{r})=\delta(x) \delta(y) \delta(z)
$$
In curvilinear coordinates, the constraint on the right side of (1.113) and the form of the volume elements for cylindrical and spherical coordinates imply that
$$
\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)=\frac{\delta\left(\rho-\rho^{\prime}\right) \delta\left(\phi-\phi^{\prime}\right) \delta\left(z-z^{\prime}\right)}{\rho}=\frac{\delta\left(r-r^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}\right) \delta\left(\phi-\phi^{\prime}\right)}{r^2 \sin \theta} .
$$
The special case $\mathbf{r}^{\prime}=0$ requires that we define the one-dimensional radial delta function so
$$
\int_0^{\infty} d r \delta(r)=1
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

柯西主值是一个广义函数，由它在与任意函数$f(x)$的积分下的作用定义，即:
$$
\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}=\lim {\epsilon \rightarrow 0}\left[\int{-\infty}^{x_0-\epsilon} d x \frac{f(x)}{x-x_0}+\int_{x_0+\epsilon}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}\right] .
$$
主值起作用的一个重要应用是Plemelj公式:
$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \frac{1}{x-x_0} \mp i \pi \delta\left(x-x_0\right) .
$$
这个表达式是象征性的，因为当我们将每一项乘以任意函数$f(x)$并从$-\infty$到$\infty$对$x$积分时，它就有了意义。
(1.105)的正确性可以从图1.4和恒等式中看出
$$
\frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} \mp i \frac{\epsilon}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} .
$$
(1.106)的实部生成(1.105)中的主值，因为它是$1 /\left(x-x_0\right)$的对称截止版本。(1.106)的虚部通过(1.97)生成(1.105)中的函数。

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Step Function and Sign Function

Heaviside阶跃函数$\Theta(x)$定义为
$$
\Theta(x)= \begin{cases}0 & x<0, \ 1 & x>0 .\end{cases}
$$
函数是函数的导数，
$$
\frac{d \Theta(x)}{d x}=\delta(x) .
$$

一个有用的表示是
$$
\Theta(x)=\lim {\epsilon \rightarrow 0} \frac{i}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} d k \frac{1}{k+i \epsilon} e^{-i k x} .
$$
符号函数$\operatorname{sgn}(x)$定义为
$$
\operatorname{sgn}(x)=\frac{d}{d x}|x|= \begin{cases}-1 & x<0, \ 1 & x>0 .\end{cases}
$$
一个方便的表示是
$$
\operatorname{sgn}(x)=-1+2 \int_{-\infty}^x d y \delta(y) .
$$

定义(1.93)引导我们使用体积上的积分$V$和平滑但任意的“测试”函数$f(\mathbf{r})$来定义三维delta函数:
$$
\int_V d^3 r f(\mathbf{r}) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)= \begin{cases}f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) & \mathbf{r}^{\prime} \in V, \ 0 & \mathbf{r}^{\prime} \notin V .\end{cases}
$$
与(1.112)一致的不太正式的定义是
$$
\delta(\mathbf{r})=0 \text { for } \mathbf{r} \neq 0 \quad \text { but } \quad \int_V d^3 r \delta(\mathbf{r})= \begin{cases}1 & \mathbf{r}=0 \in V, \ 0 & \mathbf{r}=0 \notin V .\end{cases}
$$
这些定义告诉我们$\delta(\mathbf{r})$的尺寸是体积的倒数。在笛卡尔坐标系中，
$$
\delta(\mathbf{r})=\delta(x) \delta(y) \delta(z)
$$
在曲线坐标下，(1.113)右边的约束以及柱坐标和球坐标的体积元形式意味着
$$
\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)=\frac{\delta\left(\rho-\rho^{\prime}\right) \delta\left(\phi-\phi^{\prime}\right) \delta\left(z-z^{\prime}\right)}{\rho}=\frac{\delta\left(r-r^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}\right) \delta\left(\phi-\phi^{\prime}\right)}{r^2 \sin \theta} .
$$
特殊情况$\mathbf{r}^{\prime}=0$要求我们定义一维径向函数
$$
\int_0^{\infty} d r \delta(r)=1
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|NUC-303

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

The Cauchy principal value is a generalized function defined by its action under an integral with an arbitrary function $f(x)$, namely,
$$
\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}=\lim {\epsilon \rightarrow 0}\left[\int{-\infty}^{x_0-\epsilon} d x \frac{f(x)}{x-x_0}+\int_{x_0+\epsilon}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}\right] .
$$
An important application where the principal value plays a role is the Plemelj formula:
$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \frac{1}{x-x_0} \mp i \pi \delta\left(x-x_0\right) .
$$
This expression is symbolic in the sense that it gains meaning when we multiply every term by an arbitrary function $f(x)$ and integrate over $x$ from $-\infty$ to $\infty$.
The correctness of (1.105) can be appreciated from Figure 1.4 and the identity
$$
\frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} \mp i \frac{\epsilon}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} .
$$
The real part of (1.106) generates the principal value in (1.105) because it is a symmetrically cut-off version of $1 /\left(x-x_0\right)$. The imaginary part of (1.106) generates the delta function in (1.105) by virtue of (1.97).

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Step Function and Sign Function

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Step Function and Sign Function

Heaviside阶跃函数$\Theta(x)$定义为
$$
\Theta(x)= \begin{cases}0 & x<0, \ 1 & x>0 .\end{cases}
$$
函数是函数的导数，
$$
\frac{d \Theta(x)}{d x}=\delta(x) .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|PHYS102

Posted on 2023年8月4日2023年8月28日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Vector Identities in Curvilinear Components

Care is needed to interpret the vector identities in Examples 1.2 and 1.3 when the vectors in question are decomposed into spherical or cylindrical components such as $\mathbf{A}=A_r \hat{\mathbf{r}}+A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}$. This can be seen from Example 1.3 where the final step is no longer valid because $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}$, and $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ are not constant vectors. In other words,
$$
\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla \cdot \nabla\left(A_r \hat{\mathbf{r}}+A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right) \neq \hat{\mathbf{r}} \nabla^2 A_r+\hat{\boldsymbol{\theta}} \nabla^2 A_\theta+\hat{\boldsymbol{\phi}} \nabla^2 A_\phi
$$
One way to proceed is to work out the components of $\nabla\left(A_r \hat{\mathbf{r}}\right), \nabla\left(A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}\right)$, and $\nabla\left(A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right)$. Alternatively, we may simply define the meaning of the operation $\nabla^2 \mathbf{A}$ when $\mathbf{A}$ is expressed using curvilinear components. For example,
$$
\left[\nabla^2 \mathbf{A}\right]\phi \equiv \partial\phi(\nabla \cdot \mathbf{A})-[\nabla \times(\nabla \times \mathbf{A})]\phi, $$ and similarly for $\left(\nabla^2 \mathbf{A}\right)_r$ and $\left(\nabla^2 \mathbf{A}\right)\theta$.
Exactly the same issue arises when we examine the last step in Example 1.2, namely
$$
[\nabla \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]i=A_i \nabla \cdot \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \nabla) B_i+(\mathbf{B} \cdot \nabla) A_i-B_i \nabla \cdot \mathbf{A} . $$ By construction, this equation makes sense when $i$ stands for $x, y$, or $z$. It does not make sense if $i$ stands for, say, $r, \theta$, or $\phi$. On the other hand, the full vector version of the identity is correct as long as we retain the $r, \theta$, and $\phi$ variations of $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}$, and $\hat{\boldsymbol{\phi}}$. For example, $$ (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}=\left[A_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{A\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{A_\phi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}\right]\left(B_r \hat{\mathbf{r}}+B_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+B_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right) .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Functions of r and |r|

The position vector is $\mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}}$ with $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. If $f(r)$ is a scalar function and $f^{\prime}(r)=d f / d r$,
$$
\begin{array}{cc}
\nabla r=\hat{\mathbf{r}} & \nabla \times \mathbf{r}=0 \
\nabla f=f^{\prime} \hat{\mathbf{r}} & \nabla^2 f=\frac{\left(r^2 f^{\prime}\right)^{\prime}}{r^2} \
\nabla \cdot(f \mathbf{r})=\frac{\left(r^3 f\right)^{\prime}}{r^2} & \nabla \times(f \mathbf{r})=0 .
\end{array}
$$
Similarly, if $\mathbf{g}(r)$ is a vector function and $\mathbf{c}$ is a constant vector,
$$
\begin{array}{lr}
\nabla \cdot \mathbf{g}=\mathbf{g}^{\prime} \cdot \hat{\mathbf{r}} & \nabla \times \mathbf{g}=\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{g}^{\prime} \
(\mathbf{g} \cdot \nabla) \mathbf{r}=\mathbf{g} & (\mathbf{r} \cdot \nabla) \mathbf{g}=r \mathbf{g}^{\prime}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{cr}
\nabla(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g})=\mathbf{g}+\frac{\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g}^{\prime}\right) \mathbf{r}}{r} & \nabla \cdot(\mathbf{g} \times \mathbf{r})=0 \
\nabla \times(\mathbf{g} \times \mathbf{r})=2 \mathbf{g}+r \mathbf{g}^{\prime}-\frac{\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g}^{\prime}\right) \mathbf{r}}{r} & \nabla(\mathbf{c} \cdot \mathbf{r})=\mathbf{c} .
\end{array}
$$
Functions of $\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$
Let $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}=\left(x-x^{\prime}\right) \hat{\mathbf{x}}+\left(y-y^{\prime}\right) \hat{\mathbf{y}}+\left(z-z^{\prime}\right) \hat{\mathbf{z}}$. Then,
$$
\nabla f(R)=f^{\prime}(R) \hat{\mathbf{R}} \quad \nabla \cdot \mathbf{g}(R)=\mathbf{g}^{\prime}(R) \cdot \hat{\mathbf{R}} \quad \nabla \times \mathbf{g}(R)=\hat{\mathbf{R}} \times \mathbf{g}^{\prime}(R) .
$$
Moreover, because
$$
\nabla=\hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z} \quad \text { and } \quad \nabla^{\prime}=\hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y^{\prime}}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z^{\prime}},
$$
it it straightforward to confirm that
$$
\nabla^{\prime} f(R)=-\nabla f(R)
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Vector Identities in Curvilinear Components

当所讨论的向量被分解成球形或圆柱形分量时，需要小心解释例1.2和1.3中的向量恒等式，例如 $\mathbf{A}=A_r \hat{\mathbf{r}}+A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}$．从例1.3中可以看出，最后一步不再有效，因为 $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}$，和 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 不是常数向量。换句话说，
$$
\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla \cdot \nabla\left(A_r \hat{\mathbf{r}}+A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right) \neq \hat{\mathbf{r}} \nabla^2 A_r+\hat{\boldsymbol{\theta}} \nabla^2 A_\theta+\hat{\boldsymbol{\phi}} \nabla^2 A_\phi
$$
一种方法是计算出的分量 $\nabla\left(A_r \hat{\mathbf{r}}\right), \nabla\left(A_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}\right)$，和 $\nabla\left(A_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right)$．或者，我们可以简单地定义操作的含义 $\nabla^2 \mathbf{A}$ 什么时候 $\mathbf{A}$ 用曲线分量表示。例如，
$$
\left[\nabla^2 \mathbf{A}\right]\phi \equiv \partial\phi(\nabla \cdot \mathbf{A})-[\nabla \times(\nabla \times \mathbf{A})]\phi, $$ 类似地 $\left(\nabla^2 \mathbf{A}\right)r$ 和 $\left(\nabla^2 \mathbf{A}\right)\theta$．当我们检查例1.2中的最后一步时，也会出现完全相同的问题，即 $$ [\nabla \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]i=A_i \nabla \cdot \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \nabla) B_i+(\mathbf{B} \cdot \nabla) A_i-B_i \nabla \cdot \mathbf{A} . $$ 通过构造，当 $i$ 代表 $x, y$，或 $z$．这没有意义，如果 $i$ 代表，比如说， $r, \theta$，或 $\phi$．另一方面，恒等式的完整向量版本是正确的，只要我们保留 $r, \theta$，和 $\phi$ 的变体 $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}$，和 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$．例如， $$ (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}=\left[A_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{A\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{A\phi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}\right]\left(B_r \hat{\mathbf{r}}+B_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+B_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}\right) .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Functions of r and |r|

位置向量是$\mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}}$和$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。如果$f(r)$是标量函数，$f^{\prime}(r)=d f / d r$，
$$
\begin{array}{cc}
\nabla r=\hat{\mathbf{r}} & \nabla \times \mathbf{r}=0 \
\nabla f=f^{\prime} \hat{\mathbf{r}} & \nabla^2 f=\frac{\left(r^2 f^{\prime}\right)^{\prime}}{r^2} \
\nabla \cdot(f \mathbf{r})=\frac{\left(r^3 f\right)^{\prime}}{r^2} & \nabla \times(f \mathbf{r})=0 .
\end{array}
$$
类似地，如果$\mathbf{g}(r)$是矢量函数，$\mathbf{c}$是常数矢量，
$$
\begin{array}{lr}
\nabla \cdot \mathbf{g}=\mathbf{g}^{\prime} \cdot \hat{\mathbf{r}} & \nabla \times \mathbf{g}=\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{g}^{\prime} \
(\mathbf{g} \cdot \nabla) \mathbf{r}=\mathbf{g} & (\mathbf{r} \cdot \nabla) \mathbf{g}=r \mathbf{g}^{\prime}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{cr}
\nabla(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g})=\mathbf{g}+\frac{\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g}^{\prime}\right) \mathbf{r}}{r} & \nabla \cdot(\mathbf{g} \times \mathbf{r})=0 \
\nabla \times(\mathbf{g} \times \mathbf{r})=2 \mathbf{g}+r \mathbf{g}^{\prime}-\frac{\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{g}^{\prime}\right) \mathbf{r}}{r} & \nabla(\mathbf{c} \cdot \mathbf{r})=\mathbf{c} .
\end{array}
$$
$\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$的功能
让$\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}=\left(x-x^{\prime}\right) \hat{\mathbf{x}}+\left(y-y^{\prime}\right) \hat{\mathbf{y}}+\left(z-z^{\prime}\right) \hat{\mathbf{z}}$。然后，
$$
\nabla f(R)=f^{\prime}(R) \hat{\mathbf{R}} \quad \nabla \cdot \mathbf{g}(R)=\mathbf{g}^{\prime}(R) \cdot \hat{\mathbf{R}} \quad \nabla \times \mathbf{g}(R)=\hat{\mathbf{R}} \times \mathbf{g}^{\prime}(R) .
$$
此外，因为
$$
\nabla=\hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z} \quad \text { and } \quad \nabla^{\prime}=\hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y^{\prime}}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z^{\prime}},
$$
这很容易证实
$$
\nabla^{\prime} f(R)=-\nabla f(R)
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|General Discussion

Posted on 2023年7月11日2023年7月11日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写电动力学Electrodynamics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。电动力学Electrodynamics将光描述为频率范围约为1015赫兹的电磁辐射；在这个理论中，物质被视为连续的，主要的物质反应是电偏振。电动力学是关于变化的电场和磁场及其相互作用的理论，可广泛用于描述我们日常生活中遇到的许多现象。

电动力学Electrodynamics研究与运动中的带电体和变化的电场和磁场有关的现象（见电荷；电）；由于运动的电荷会产生磁场，所以电动力学关注磁、电磁辐射和电磁感应等效应，包括发电机和电动机等实际应用。电动力学的这一领域，通常被称为经典电动力学，是由物理学家詹姆斯-克拉克-麦克斯韦首次系统地解释的。麦克斯韦方程，一组微分方程，非常普遍地描述了这个领域的现象。最近的发展是量子电动力学，它的制定是为了解释电磁辐射与物质的相互作用，量子理论的规律适用于此。

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|General Discussion

We now turn to the consideration of the distribution of energy and momentum of electromagnetic fields within material media, following closely the development of Chapter 3 (however, here we will assume no magnetic charge is present). We will base our discussion on the macroscopic form of Maxwell’s equations, (4.60). Accordingly, the rate at which the electric field does work on the free charges is
$$
\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=\mathbf{E} \cdot\left[\frac{c}{4 \pi} \nabla \times \mathbf{H}-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}\right]
$$
If we add to this the parallel equation, appropriate to the absence of magnetic charge,
$$
0=\mathbf{H} \cdot\left[-\frac{c}{4 \pi} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right]
$$
we obtain the suggestive form
$$
\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot\left(\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}\right)-\frac{1}{4 \pi}\left(\mathbf{E} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right) .
$$
[Recall that if there were free magnetic currents, (7.2) would represent the work done on the magnetic charges.] Our aim is to write this result as a local energy conservation law. We immediately identify, from the divergence term, the energy flux or Poynting’s vector, $\mathbf{S}$, to be
$$
\mathbf{S}=\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}
$$
which has the same form as that of the microscopic flux, (3.5), except that here B is replaced by $\mathbf{H}$. More intractable is the identification of the last term in (7.3). To what extent is it the negative time derivative of an energy density, $-\partial U / \partial t$ ? If there does exist some quantity $U$ such that
$$
\frac{\partial}{\partial t} U \stackrel{?}{=} \frac{1}{4 \pi}\left(\mathbf{E} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right),
$$
we would have a local statement of energy conservation,
$$
\frac{\partial}{\partial t} U+\nabla \cdot \mathbf{S}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=0 .
$$
Similarly, we consider the rate at which momentum is transferred to the charges, or equivalently, the force density, $\mathbf{f}$,
$$
\mathbf{f}=\rho \mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{J} \times \mathbf{B} .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Nondispersive Medium

We cannot proceed further without specific assumptions about the properties of the material medium. The simplest hypothesis is that of a homogeneous, isotropic, nondispersive medium,
$$
\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}, \quad \mathbf{B}=\mu \mathbf{H},
$$
where $\epsilon$ and $\mu$ are constants. This is not an unrealistic situation for many substances over a sufficiently limited frequency range. For this case, the energy density and the stress tensor exist, and have the following forms:
$$
U=\frac{\epsilon E^2+\mu H^2}{8 \pi}, \quad \mathbf{T}=1 \frac{\epsilon E^2+\mu H^2}{8 \pi}-\frac{\epsilon \mathbf{E E}+\mu \mathbf{H H}}{4 \pi},
$$
while we recall that the energy flux and the momentum density are given by
$$
\mathbf{S}=\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}, \quad \mathbf{G}=\frac{\epsilon \mu}{4 \pi c} \mathbf{E} \times \mathbf{H}=\frac{\epsilon \mu}{c^2} \mathbf{S} .
$$
It is interesting that we can transform these expressions, as well as Maxwell’s equations, to look like those in vacuum, by redefining the fields, the charges, and the speed of light as follows:
$$
E^{\prime}=\sqrt{\epsilon} E, \quad H^{\prime}=\sqrt{\mu} H, \quad c^{\prime}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon \mu}}, \quad \rho^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} \rho, \quad J^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} J .
$$
(See Problem 7.1.) The ratio of $c$ to $c^{\prime}$ is the index of refraction for the medium,
$$
\frac{c}{c^{\prime}}=n=\sqrt{\epsilon \mu} \text {. }
$$
By this transformation we see that the speed of propagation of electromagnetic waves in the medium is $c^{\prime}$; for propagation in a definite direction, the transcription from the vacuum statement (see Section 3.4 ) that $\mathbf{E}^{\prime}$ and $\mathbf{B}^{\prime}$ are mutually perpendicular and equal in magnitude is
$$
\epsilon E^2=\mu H^2, \quad \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}=0 .
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|General Discussion

随着第3章的发展，我们现在转而考虑物质介质中电磁场的能量和动量的分布(然而，这里我们将假设不存在磁荷)。我们将以麦克斯韦方程组的宏观形式(4.60)为基础进行讨论。因此，电场对自由电荷做功的速率为
$$
\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=\mathbf{E} \cdot\left[\frac{c}{4 \pi} \nabla \times \mathbf{H}-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}\right]
$$
如果我们加上平行方程，适合于不存在磁荷，
$$
0=\mathbf{H} \cdot\left[-\frac{c}{4 \pi} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right]
$$
我们得到了提示式
$$
\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot\left(\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}\right)-\frac{1}{4 \pi}\left(\mathbf{E} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right) .
$$
回想一下，如果存在自由磁流，(7.2)就表示对磁荷所做的功。我们的目标是把这个结果写成地方性的节能法。从散度项中，我们立即确定，能量通量或波印廷矢量$\mathbf{S}$为
$$
\mathbf{S}=\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}
$$
它与微观通量(3.5)的形式相同，只是这里B用$\mathbf{H}$代替了。更棘手的是(7.3)中最后一项的识别。它在多大程度上是能量密度的负时间导数$-\partial U / \partial t$ ?如果确实存在一些数量$U$这样
$$
\frac{\partial}{\partial t} U \stackrel{?}{=} \frac{1}{4 \pi}\left(\mathbf{E} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}\right),
$$
我们会有一个关于节能的地方声明，
$$
\frac{\partial}{\partial t} U+\nabla \cdot \mathbf{S}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}=0 .
$$
同样地，我们考虑动量传递给电荷的速率，或者等价地，力密度，$\mathbf{f}$，
$$
\mathbf{f}=\rho \mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{J} \times \mathbf{B} .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Nondispersive Medium

如果没有对物质介质性质的具体假设，我们就不能进一步进行。最简单的假设是均匀的、各向同性的、非色散的介质，
$$
\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}, \quad \mathbf{B}=\mu \mathbf{H},
$$
其中$\epsilon$和$\mu$是常量。对于在足够有限的频率范围内的许多物质来说，这不是不现实的情况。在这种情况下，存在能量密度和应力张量，其形式为:
$$
U=\frac{\epsilon E^2+\mu H^2}{8 \pi}, \quad \mathbf{T}=1 \frac{\epsilon E^2+\mu H^2}{8 \pi}-\frac{\epsilon \mathbf{E E}+\mu \mathbf{H H}}{4 \pi},
$$
我们回想一下，能量通量和动量密度由
$$
\mathbf{S}=\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H}, \quad \mathbf{G}=\frac{\epsilon \mu}{4 \pi c} \mathbf{E} \times \mathbf{H}=\frac{\epsilon \mu}{c^2} \mathbf{S} .
$$
有趣的是，通过重新定义场、电荷和光速，我们可以将这些表达式以及麦克斯韦方程转换成真空中的表达式:
$$
E^{\prime}=\sqrt{\epsilon} E, \quad H^{\prime}=\sqrt{\mu} H, \quad c^{\prime}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon \mu}}, \quad \rho^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} \rho, \quad J^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} J .
$$
(见问题7.1)$c$与$c^{\prime}$的比值是介质的折射率，
$$
\frac{c}{c^{\prime}}=n=\sqrt{\epsilon \mu} \text {. }
$$
通过这种变换，我们看到电磁波在介质中的传播速度为$c^{\prime}$;对于在确定方向上的传播，从真空陈述(见3.4节)中得到$\mathbf{E}^{\prime}$和$\mathbf{B}^{\prime}$相互垂直且大小相等的转录为
$$
\epsilon E^2=\mu H^2, \quad \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}=0 .
$$

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Plasma

Posted on 2023年7月11日2023年7月11日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Plasma

Let us combine the results of the preceding two sections by considering the motion of free charge in a conducting dielectric material, for which the conduction current is
$$
\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}=\frac{\sigma}{\epsilon} \mathbf{D}
$$
First suppose that both $\sigma$ and $\epsilon$ are taken to be independent of frequency, an approximation which is valid for low frequencies. Then the local charge conservation equation,
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\nabla \cdot \mathbf{J}=0,
$$
becomes
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\nabla \cdot \frac{\sigma}{\epsilon} \mathbf{D}=0 .
$$

In the interior of a homogeneous substance, the use of $(4.60), \nabla \cdot \mathbf{D}=4 \pi \rho$, produces the differential equation
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\frac{\sigma}{\epsilon} 4 \pi \rho=0
$$
The solution to this equation, corresponding to an initial charge density $\rho(\mathbf{r}, 0)$, is
$$
\rho(\mathbf{r}, t)=\rho(\mathbf{r}, 0) e^{-4 \pi \sigma t / \epsilon},
$$
implying that the charge disappears from the interior of the conducting body at a rate measured by
$$
\gamma^{\prime}=\frac{4 \pi \sigma}{\epsilon}
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Polar Molecules

In the above model for the electric susceptibility, leading to (5.21), the dipole moments were induced by the applied electric field. But what about permanent electric dipole moments? Do individual atoms possess such static properties?

With the exception of atomic hydrogen where the orbital motion respects a preferred direction in space (as in the classical elliptical orbits), atomic electric dipole moments change direction in space so rapidly in response to the fast electronic motion that no average effect survives. But things are different with molecules, specifically those of a polar nature. In the example of $\mathrm{H}^{+} \mathrm{Cl}^{-}$, the hydrogenic electron is transferred to form the chlorine ion, and a dipole moment is associated with the relative motion of the heavy ions. Other examples of polar molecules associated with familiar substances are $\mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \mathrm{SO}_2, \mathrm{NH}_3$, and $\mathrm{CH}_3 \mathrm{Cl}$. For such molecules, in isolation, it is not misleading to think of a permanent electric dipole moment that changes its spatial orientation only in response to the slow rotation of the molecule.

But molecules are not ordinarily isolated; they exist in an environment in which other molecules collide with them at a rate determined by the temperature of the substance. The effect of these collisions is to remove any particular spatial orientation of the dipole moments; it still requires an electric field to provide a preferred direction. But now there is a competition between the organizing effect of the electric field, with its preference for lower values of the energy,
$$
E=-\mathbf{d} \cdot \mathbf{E}=-|\mathbf{d}||\mathbf{E}| \cos \theta
$$
and the disorganizing effect of the ambient temperature $T$. For a static field, the net balance of that competition is expressed by the Boltzmann factor, which gives the probability of finding a configuration of energy $E$,
$$
e^{-E / k T}
$$
where $k$, the constant of Ludwig Boltzmann (1844-1906) has the value
$$
k=1.381 \times 10^{-16} \mathrm{erg} / \mathrm{K}
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Plasma

让我们把前面两节的结果结合起来，考虑导电介质材料中自由电荷的运动，其中导电电流为
$$
\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}=\frac{\sigma}{\epsilon} \mathbf{D}
$$
首先假设$\sigma$和$\epsilon$都与频率无关，这种近似对低频有效。然后是局部电荷守恒方程，
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\nabla \cdot \mathbf{J}=0,
$$
变成
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\nabla \cdot \frac{\sigma}{\epsilon} \mathbf{D}=0 .
$$

在均质物质的内部，使用$(4.60), \nabla \cdot \mathbf{D}=4 \pi \rho$，产生微分方程
$$
\frac{\partial}{\partial t} \rho+\frac{\sigma}{\epsilon} 4 \pi \rho=0
$$
这个方程的解，对应于初始电荷密度$\rho(\mathbf{r}, 0)$，是
$$
\rho(\mathbf{r}, t)=\rho(\mathbf{r}, 0) e^{-4 \pi \sigma t / \epsilon},
$$
这意味着电荷从导电体内部消失的速率为
$$
\gamma^{\prime}=\frac{4 \pi \sigma}{\epsilon}
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Polar Molecules

在上述电磁化率模型中，偶极矩是由外加电场引起的，结果为(5.21)。但是永久电偶极矩呢?单个原子具有这样的静态特性吗?

除了氢原子的轨道运动遵循空间中的优先方向(如在经典椭圆轨道中)，原子电偶极矩在空间中响应快速的电子运动而迅速改变方向，以至于没有平均效应存在。但是分子就不一样了，特别是极性分子。在$\mathrm{H}^{+} \mathrm{Cl}^{-}$的例子中，氢电子被转移形成氯离子，偶极矩与重离子的相对运动有关。与我们熟悉的物质相关联的极性分子的其他例子有$\mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \mathrm{SO}_2, \mathrm{NH}_3$和$\mathrm{CH}_3 \mathrm{Cl}$。对于这样的分子，孤立地，认为一个永久的电偶极矩只响应分子的缓慢旋转而改变其空间方向并不会产生误导。

但是分子通常不是孤立的;它们存在于一个环境中，在这个环境中，其他分子以由物质温度决定的速率与它们碰撞。这些碰撞的效果是去除偶极矩的任何特定空间方向;它仍然需要电场来提供首选方向。但是现在有一种竞争，在电场的组织效应中，它偏爱较低的能量值，
$$
E=-\mathbf{d} \cdot \mathbf{E}=-|\mathbf{d}||\mathbf{E}| \cos \theta
$$
以及环境温度的破坏作用$T$。对于静态场，这种竞争的净平衡用玻尔兹曼因子表示，它给出了找到能量构型的概率$E$，
$$
e^{-E / k T}
$$
路德维希·玻尔兹曼(1844-1906)的常数$k$的值是多少
$$
k=1.381 \times 10^{-16} \mathrm{erg} / \mathrm{K}
$$

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Discussion

Posted on 2023年7月11日2023年7月11日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Discussion

We have arrived at the Maxwell-Lorentz electrodynamics by combining three ingredients: the laws of electrostatics; the Galileo-Newton principle of relativity (charges at rest, and charges with a common velocity viewed by a co-moving observer, are physically indistinguishable); and the existence of electromagnetic waves that travel in a vacuum at the speed $c$. The historical line of development was otherwise. Until the beginning of the nineteenth century, electricity and magnetism were unrelated phenomena. The discovery in 1820 by Hans Christian Oersted (1777-1851) that an electric current influences a magnet-creates a magnetic field-is formulated, for stationary currents, in the field equation
$$
\nabla \times B=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}
$$
The symbol $c$ that appears in this equation is the ratio of electromagnetic and electrostatic units of electricity (see Appendix A). Then, in 1831, Michael Faraday (1791-1867) discovered that relative motion of a wire and a magnet induces a voltage in the wire-creates an electric field. Such is the content of
$$
-\nabla \times \mathbf{E}=\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}
$$
which extends the magnetostatic relation
$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0
$$
that expresses the empirical absence of single magnetic poles. Finally, in 1864, James Clerk Maxwell (1831-1879) recognized that the restriction to stationary currents in (1.69), as expressed by $\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{j}=0$, was removed in
$$
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}
$$
when joined to the electrostatic equation
$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=4 \pi \rho .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|A Very Brief History of Magnetic Charge

It is said that Peregrinus in 1269 observed that magnets (lodestones) always have two poles, which he called north and south. This was elevated to a “hypothesis” by Ampère in the early 19th Century. The first theoretical calculation of the motion of a charged particle in the presence of a single magnetic pole was performed by Poincaré in 1896 to explain recent observations. A few years later, Thomson showed that a static system consisting of a magnetic pole and an electric charge possessed an angular momentum-see Problem 3.8. It was Dirac in 1931 who showed that magnetic charge was consistent with quantum mechanics only if electric and magnetic charges were quantized: For a system consisting of a pure magnetic charge $g$ and a pure electric charge $e, e g$ had to be an integral (or half-integral) multiple of $\hbar c$. Many people have contributed to the theory of magnetic charge subsequently; notable is the work of Schwinger in the 1960s and 1970s, especially his concept of dyons, particles which carry both electric and magnetic charge.

Many searches, both terrestrial and cosmic, have been carried out to find magnetic monopoles in nature, but, so far, to no avail. Worth mentioning is the induction technique of Luis Alvarez, et al. Positive reports were given by Price in 1975 [cited in the Reader’s Guide] and by Blas Cabrera in 1982. These, however, were never confirmed, and are no longer believed to offer any evidence for magnetic charge, even by their authors.

However, modern unified theories of fundamental interactions typically imply the existence of magnetic monopoles, or of dyons, often at extremely high mass scales $\left(\sim 10^{16} \mathrm{GeV}\right)$, but perhaps at nearly accessible energies $(\sim 10 \mathrm{TeV})$. Moreover, there appears to be no reason why an elementary monopole or dyon of the Dirac-Schwinger type could not exist. So experimental searches continue.

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Discussion

我们通过结合三个要素得出了麦克斯韦-洛伦兹电动力学:静电定律;伽利略-牛顿相对性原理(静止电荷和在共同运动的观察者看来具有共同速度的电荷在物理上是无法区分的);以及在真空中以$c$速度传播的电磁波的存在。历史的发展路线却不是这样。直到19世纪初，电和磁都是不相关的现象。1820年，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特(Hans Christian Oersted, 1777-1851)发现电流影响磁铁——产生磁场——这一发现在磁场方程中被表述为固定电流
$$
\nabla \times B=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}
$$
在这个方程中出现的符号$c$是电的电磁单位和静电单位之比(见附录A)。然后，在1831年，迈克尔·法拉第(1791-1867)发现导线和磁铁的相对运动在导线中产生电压，从而产生电场。这就是……的内容
$$
-\nabla \times \mathbf{E}=\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}
$$
哪一个扩展了静磁关系
$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0
$$
这表明经验上不存在单磁极。最后，在1864年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(1831-1879)认识到(1.69)中对固定电流的限制，如$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{j}=0$所示，在(1.69)中被取消了
$$
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}
$$
当加入静电方程时
$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=4 \pi \rho .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|A Very Brief History of Magnetic Charge

据说Peregrinus在1269年观察到磁铁(磁石)总是有两极，他称之为北极和南极。这在19世纪初被安佩尔提升为一种“假设”。1896年，庞加莱为解释最近的观测结果，首次从理论上计算了带电粒子在单磁极存在下的运动。几年后，汤姆逊证明了一个由磁极和电荷组成的静态系统具有角动量——参见问题3.8。狄拉克在1931年证明了磁荷只有在电荷和磁荷被量子化的情况下才符合量子力学:对于一个由纯磁荷$g$和纯电荷$e, e g$组成的系统来说，它必须是$\hbar c$的一个积分(或半积分)倍。随后，许多人对磁荷理论作出了贡献;值得注意的是Schwinger在20世纪60年代和70年代的工作，特别是他的dyons的概念，即同时携带电和磁电荷的粒子。

为了寻找自然界中的磁单极子，人们进行了许多陆地和宇宙的探索，但到目前为止，还没有任何结果。值得一提的是Luis Alvarez等人的归纳技术。1975年Price(引自《读者指南》)和1982年Blas Cabrera给出了积极的报告。然而，这些从未得到证实，即使是它们的作者也不再认为它们提供了磁荷的任何证据。

然而，基本相互作用的现代统一理论通常暗示磁单极子或dyons的存在，通常在极高的质量尺度$\left(\sim 10^{16} \mathrm{GeV}\right)$，但可能在接近可达的能量$(\sim 10 \mathrm{TeV})$。此外，似乎没有理由不存在狄拉克-施温格型的基本单极子或dyon。因此，实验研究仍在继续。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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随机分析代写

时间序列分析代写

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|A Time-Averaging Theorem

Posted on 2023年6月12日2023年6月12日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|A Time-Averaging Theorem

Let $A(\mathbf{r}, t)=a(\mathbf{r}) \exp (-i \omega t)$ and $B(\mathbf{r}, t)=b(\mathbf{r}) \exp (-i \omega t)$, where $a(\mathbf{r})$ and $b(\mathbf{r})$ are complex-valued functions. If $T=2 \pi / \omega$, it is useful to know that
$$
\langle\operatorname{Re}[A(\mathbf{r}, t)] \operatorname{Re}[B(\mathbf{r}, t)]\rangle=\frac{1}{T} \int_0^T d t \operatorname{Re}[A(\mathbf{r}, t)] \operatorname{Re}[B(\mathbf{r}, t)]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a(\mathbf{r}) b^(\mathbf{r})\right] $$ We prove (1.137) by writing $\operatorname{Re}[A]=\frac{1}{2}\left(A+A^\right)$ and $\operatorname{Re}[B]=\frac{1}{2}\left(B+B^\right)$ so $$ \langle\operatorname{Re}[A] \operatorname{Re}[B]\rangle=\frac{1}{4 T} \int_0^T d t\left{a b e^{-2 i \omega t}+a^ b^* e^{2 i \omega t}+a b^+b a^\right}
$$
The time-dependent terms in the integrand of (1.138) integrate to zero over one full period. Therefore,
$$
\langle\operatorname{Re}[A] \operatorname{Re}[B]\rangle=\frac{1}{4}\left[a b^+a^ b\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a b^\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a^ b\right]
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Orthogonal Transformations

Let $\left(\hat{\mathbf{e}}1, \hat{\mathbf{e}}_2, \hat{\mathbf{e}}_3\right)$ and $\left(\hat{\mathbf{e}}_1^{\prime}, \hat{\mathbf{e}}_2^{\prime}, \hat{\mathbf{e}}_3^{\prime}\right)$ be two sets of orthogonal Cartesian unit vectors. Each is a complete basis for vectors in three dimensions, so $$ \hat{\mathbf{e}}_i^{\prime}=A{i j} \hat{\mathbf{e}}j $$ The set of scalars $A{i j}$ are called direction cosines. Using the unit vector properties from Section 1.2,
$$
\delta_{i j}=\hat{\mathbf{e}}i^{\prime} \cdot \hat{\mathbf{e}}_j^{\prime}=A{i k} A_{j k}
$$
Equation (1.141) says that the transpose of the matrix $\mathbf{A}$, called $\mathbf{A}^{\top}$, is identical to the inverse of the matrix $\mathbf{A}$, called $\mathbf{A}^{-1}$. This is the definition of a matrix that describes an orthogonal transformation,
$$
\mathbf{A} \mathbf{A}^{\top}=\mathbf{A A}^{-1}=1
$$
There are two classes of orthogonal coordinate transformations. These follow from the determinant of $(1.142)$ :
$$
\operatorname{det}\left[\mathbf{A A}^{\top}\right]=\operatorname{det} \mathbf{A} \operatorname{det} \mathbf{A}^{\top}=(\operatorname{det} \mathbf{A})^2=1 .
$$
A rotation has det $\mathbf{A}=1$. Figure 1.5(a) shows an example where
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}
\cos \theta & \sin \theta & 0 \
-\sin \theta & \cos \theta & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|A Time-Averaging Theorem

设$A(\mathbf{r}, t)=a(\mathbf{r}) \exp (-i \omega t)$和$B(\mathbf{r}, t)=b(\mathbf{r}) \exp (-i \omega t)$，其中$a(\mathbf{r})$和$b(\mathbf{r})$是复值函数。如果是$T=2 \pi / \omega$，知道这个很有用
$$
\langle\operatorname{Re}[A(\mathbf{r}, t)] \operatorname{Re}[B(\mathbf{r}, t)]\rangle=\frac{1}{T} \int_0^T d t \operatorname{Re}[A(\mathbf{r}, t)] \operatorname{Re}[B(\mathbf{r}, t)]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a(\mathbf{r}) b^(\mathbf{r})\right] $$我们通过写$\operatorname{Re}[A]=\frac{1}{2}\left(A+A^\right)$和$\operatorname{Re}[B]=\frac{1}{2}\left(B+B^\right)$来证明(1.137)所以$$ \langle\operatorname{Re}[A] \operatorname{Re}[B]\rangle=\frac{1}{4 T} \int_0^T d t\left{a b e^{-2 i \omega t}+a^ b^* e^{2 i \omega t}+a b^+b a^\right}
$$
(1.138)的被积函数中与时间相关的项在一个完整周期内积分为零。因此，
$$
\langle\operatorname{Re}[A] \operatorname{Re}[B]\rangle=\frac{1}{4}\left[a b^+a^ b\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a b^\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[a^ b\right]
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Orthogonal Transformations

设$\left(\hat{\mathbf{e}}1, \hat{\mathbf{e}}2, \hat{\mathbf{e}}_3\right)$和$\left(\hat{\mathbf{e}}_1^{\prime}, \hat{\mathbf{e}}_2^{\prime}, \hat{\mathbf{e}}_3^{\prime}\right)$是两组正交的笛卡尔单位向量。每个都是三维空间中向量的完整基，所以$$ \hat{\mathbf{e}}_i^{\prime}=A{i j} \hat{\mathbf{e}}j $$标量集$A{i j}$被称为方向余弦。利用1.2节的单位矢量属性， $$ \delta{i j}=\hat{\mathbf{e}}i^{\prime} \cdot \hat{\mathbf{e}}j^{\prime}=A{i k} A{j k}
$$
公式(1.141)表明，矩阵$\mathbf{A}$的转置，称为$\mathbf{A}^{\top}$，等于矩阵$\mathbf{A}$的逆，称为$\mathbf{A}^{-1}$。这是描述正交变换的矩阵的定义，
$$
\mathbf{A} \mathbf{A}^{\top}=\mathbf{A A}^{-1}=1
$$
有两类正交坐标变换。这些是从$(1.142)$的行列式推导出来的:
$$
\operatorname{det}\left[\mathbf{A A}^{\top}\right]=\operatorname{det} \mathbf{A} \operatorname{det} \mathbf{A}^{\top}=(\operatorname{det} \mathbf{A})^2=1 .
$$
一次旋转等于$\mathbf{A}=1$。图1.5(a)显示了一个示例
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}
\cos \theta & \sin \theta & 0 \
-\sin \theta & \cos \theta & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Generalized Functions

Posted on 2023年6月12日2023年6月12日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Delta Function in One Dimension

The one-dimensional generalized function $\delta(x)$ is defined by its “filtering” action on a smooth but otherwise arbitrary test function $f(x)$ :
$$
\int_{-\infty}^{\infty} d x f(x) \delta\left(x-x^{\prime}\right)=f\left(x^{\prime}\right) .
$$

An informal definition consistent with (1.93) is
$$
\delta(x)=0 \text { for } x \neq 0 \text { but } \int_{-\infty}^{\infty} d x \delta(x)=1 .
$$
If the variable $x$ has dimensions of length, the integrals in these equations make sense only if $\delta(x)$ has dimensions of inverse length. Note also that the integration ranges in (1.93) and (1.94) need only be large enough to include the point where the argument of the delta function vanishes.
The delta function can be understood as the limit of a sequence of functions which become more and more highly peaked at the point where its argument vanishes. Some examples are
$$
\begin{gathered}
\delta(x)=\lim {m \rightarrow \infty} \frac{\sin m x}{\pi x} \ \delta(x)=\lim {m \rightarrow \infty} \frac{m}{\sqrt{\pi}} \exp \left(-m^2 x^2\right) \
\delta(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\epsilon / \pi}{x^2+\epsilon^2} .
\end{gathered}
$$
We prove the correctness of any of these proposed representations by showing that it possesses the filtering property (1.93). The same method is used to prove delta function identities like
$$
\begin{gathered}
\delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x), \quad a \neq 0 \
\int_{-\infty}^{\infty} d x f(x) \frac{d}{d x} \delta\left(x-x^{\prime}\right)=-\left.\frac{d f}{d x}\right|{x=x^{\prime}} \ \delta[g(x)]=\sum_n \frac{1}{\left|g^{\prime}\left(x_n\right)\right|} \delta\left(x-x_n\right) \quad \text { where } \quad g\left(x_n\right)=0, \quad g^{\prime}\left(x_n\right) \neq 0 \ \delta\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} d k e^{i k\left(x-x^{\prime}\right)} .
\end{gathered}
$$
Formula (1.101) may be read as a statement of the completeness of plane waves labeled with the continuous index $k$ :
$$
\psi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i k x}
$$
The general result for a complete set of normalized basis functions $\psi_n(x)$ labeled with the discrete index $n$ is $^2$
$$
\delta\left(x-x^{\prime}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n\left(x^{\prime}\right)
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

The Cauchy principal value is a generalized function defined by its action under an integral with an arbitrary function $f(x)$, namely,
$$
\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}=\lim {\epsilon \rightarrow 0}\left[\int{-\infty}^{x_0-\epsilon} d x \frac{f(x)}{x-x_0}+\int_{x_0+\epsilon}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}\right] .
$$
An important application where the principal value plays a role is the Plemelj formula:
$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \frac{1}{x-x_0} \mp i \pi \delta\left(x-x_0\right)
$$
This expression is symbolic in the sense that it gains meaning when we multiply every term by an arbitrary function $f(x)$ and integrate over $x$ from $-\infty$ to $\infty$.
The correctness of (1.105) can be appreciated from Figure 1.4 and the identity
$$
\frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} \mp i \frac{\epsilon}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} .
$$
The real part of (1.106) generates the principal value in (1.105) because it is a symmetrically cut-off version of $1 /\left(x-x_0\right)$. The imaginary part of (1.106) generates the delta function in (1.105) by virtue of (1.97).

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Delta Function in One Dimension

一维广义函数$\delta(x)$通过其对平滑但任意的测试函数$f(x)$的“过滤”作用来定义:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} d x f(x) \delta\left(x-x^{\prime}\right)=f\left(x^{\prime}\right) .
$$

与(1.93)一致的非正式定义是
$$
\delta(x)=0 \text { for } x \neq 0 \text { but } \int_{-\infty}^{\infty} d x \delta(x)=1 .
$$
如果变量$x$的维数是长度，那么只有当$\delta(x)$的维数是逆长度时，这些方程中的积分才有意义。还请注意，式(1.93)和式(1.94)中的积分范围只需要足够大，以包括delta函数的参数消失的点。
函数可以被理解为一个函数序列的极限，这个函数在它的参数消失的点上变得越来越高。一些例子是
$$
\begin{gathered}
\delta(x)=\lim {m \rightarrow \infty} \frac{\sin m x}{\pi x} \ \delta(x)=\lim {m \rightarrow \infty} \frac{m}{\sqrt{\pi}} \exp \left(-m^2 x^2\right) \
\delta(x)=\lim {\epsilon \rightarrow 0} \frac{\epsilon / \pi}{x^2+\epsilon^2} . \end{gathered} $$ 我们通过证明这些表述具有过滤性质(1.93)来证明其正确性。同样的方法被用来证明函数恒等式，比如 $$ \begin{gathered} \delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x), \quad a \neq 0 \ \int{-\infty}^{\infty} d x f(x) \frac{d}{d x} \delta\left(x-x^{\prime}\right)=-\left.\frac{d f}{d x}\right|{x=x^{\prime}} \ \delta[g(x)]=\sum_n \frac{1}{\left|g^{\prime}\left(x_n\right)\right|} \delta\left(x-x_n\right) \quad \text { where } \quad g\left(x_n\right)=0, \quad g^{\prime}\left(x_n\right) \neq 0 \ \delta\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} d k e^{i k\left(x-x^{\prime}\right)} .
\end{gathered}
$$
式(1.101)可以理解为平面波完备性的表述，标为连续指数$k$:
$$
\psi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i k x}
$$
对于一组完整的归一化基函数$\psi_n(x)$，用离散指标$n$标记的一般结果是 $^2$
$$
\delta\left(x-x^{\prime}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n\left(x^{\prime}\right)
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Principal Value Integral and Plemelj Formula

柯西主值是一个广义函数，由它在与任意函数$f(x)$的积分下的作用定义，即:
$$
\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}=\lim {\epsilon \rightarrow 0}\left[\int{-\infty}^{x_0-\epsilon} d x \frac{f(x)}{x-x_0}+\int_{x_0+\epsilon}^{\infty} d x \frac{f(x)}{x-x_0}\right] .
$$
主值起作用的一个重要应用是Plemelj公式:
$$
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \frac{1}{x-x_0} \mp i \pi \delta\left(x-x_0\right)
$$
这个表达式是象征性的，因为当我们将每一项乘以任意函数$f(x)$并从$-\infty$到$\infty$对$x$积分时，它就有了意义。
(1.105)的正确性可以从图1.4和恒等式中看出
$$
\frac{1}{x-x_0 \pm i \epsilon}=\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} \mp i \frac{\epsilon}{\left(x-x_0\right)^2+\epsilon^2} .
$$
(1.106)的实部生成(1.105)中的主值，因为它是$1 /\left(x-x_0\right)$的对称截止版本。(1.106)的虚部通过(1.97)生成(1.105)中的函数。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Kronecker and Levi-Civita Symbols

Posted on 2023年6月12日2023年6月12日 by statistics-lab

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Kronecker and Levi-Civita Symbols

The Kronecker delta symbol $\delta_{i j}$ and Levi-Cività permutation symbol $\epsilon_{i j k}$ have roman indices $i, j$, and $k$ which take on the Cartesian coordinate values $x, y$, and $z$. They are defined by
$$
\delta_{i j}= \begin{cases}1 & i=j, \ 0 & i \neq j\end{cases}
$$
and
$$
\epsilon_{i j k}= \begin{cases}1 & i j k=x y z \quad y z x \quad z x y, \ -1 & i j k=x z y \quad y x z \quad z y x, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
Some useful Kronecker delta and Levi-Cività symbol identities are
$$
\begin{array}{cc}
\hat{\mathbf{e}}i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j=\delta{i j} & \delta_{k k}=3 \
\partial_k r_j=\delta_{j k} & V_k \delta_{k j}=V_j \
{[\mathbf{V} \times \mathbf{F}]i=\epsilon{i j k} V_j F_k} & {[\nabla \times \mathbf{A}]i=\epsilon{i j k} \partial_j A_k} \
\delta_{i j} \epsilon_{i j k}=0 & \epsilon_{i j k} \epsilon_{i j k}=6 .
\end{array}
$$
A particularly useful identity involves a single sum over the repeated index $i$ :
$$
\epsilon_{i j k} \epsilon_{i s t}=\delta_{j s} \delta_{k t}-\delta_{j t} \delta_{k s} \text {. }
$$
A generalization of (1.39) when there are no repeated indices to sum over is the determinant
$$
\epsilon_{k i \ell} \epsilon_{m p q}=\left|\begin{array}{lll}
\delta_{k m} & \delta_{i m} & \delta_{\ell m} \
\delta_{k p} & \delta_{i p} & \delta_{\ell p} \
\delta_{k q} & \delta_{i q} & \delta_{\ell q}
\end{array}\right| .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Vector Identities in Cartesian Components

The Kronecker and Levi-Cività symbols simplify the proof of vector identities. An example is
$$
\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
$$
Using the left side of (1.37), the $i$ th component of $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ is
$$
[\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})]i=\epsilon{i j k} a_j(\mathbf{b} \times \mathbf{c})k=\epsilon{i j k} a_j \epsilon_{k \ell m} b_l c_m .
$$
The definition (1.34) tells us that $\epsilon_{i j k}=\epsilon_{k i j}$. Therefore, the identity (1.39) gives
$$
[\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})]i=\epsilon{k i j} \epsilon_{k \ell m} a_j b_{\ell} c_m=\left(\delta_{i \ell} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j \ell}\right) a_j b_{\ell} c_m=a_j b_i c_j-a_j b_j c_i .
$$
The final result, $b_i(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-c_i(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$, is indeed the $i$ th component of the right side of (1.44). The same method of proof applies to gradient-, divergence-, and curl-type vector identities because the components of the $\nabla$ operator transform like the components of a vector [see above (1.8)]. The next three examples illustrate this point.

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Kronecker and Levi-Civita Symbols

克罗内克符号$\delta_{i j}$和列维-齐维特排列符号$\epsilon_{i j k}$具有罗马指标$i, j$和$k$，它们采用笛卡尔坐标值$x, y$和$z$。它们的定义是
$$
\delta_{i j}= \begin{cases}1 & i=j, \ 0 & i \neq j\end{cases}
$$
和
$$
\epsilon_{i j k}= \begin{cases}1 & i j k=x y z \quad y z x \quad z x y, \ -1 & i j k=x z y \quad y x z \quad z y x, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
一些有用的克罗内克符号恒等式和列维符号恒等式是
$$
\begin{array}{cc}
\hat{\mathbf{e}}i \cdot \hat{\mathbf{e}}j=\delta{i j} & \delta{k k}=3 \
\partial_k r_j=\delta_{j k} & V_k \delta_{k j}=V_j \
{[\mathbf{V} \times \mathbf{F}]i=\epsilon{i j k} V_j F_k} & {[\nabla \times \mathbf{A}]i=\epsilon{i j k} \partial_j A_k} \
\delta_{i j} \epsilon_{i j k}=0 & \epsilon_{i j k} \epsilon_{i j k}=6 .
\end{array}
$$
一个特别有用的恒等式涉及对重复索引$i$的单个求和:
$$
\epsilon_{i j k} \epsilon_{i s t}=\delta_{j s} \delta_{k t}-\delta_{j t} \delta_{k s} \text {. }
$$
当没有重复指标需要求和时，式(1.39)的概化就是行列式
$$
\epsilon_{k i \ell} \epsilon_{m p q}=\left|\begin{array}{lll}
\delta_{k m} & \delta_{i m} & \delta_{\ell m} \
\delta_{k p} & \delta_{i p} & \delta_{\ell p} \
\delta_{k q} & \delta_{i q} & \delta_{\ell q}
\end{array}\right| .
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Vector Identities in Cartesian Components

Kronecker和levi – civit符号简化了向量恒等式的证明。一个例子是
$$
\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
$$
利用式(1.37)的左侧，$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$的分量为$i$
$$
[\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})]i=\epsilon{i j k} a_j(\mathbf{b} \times \mathbf{c})k=\epsilon{i j k} a_j \epsilon_{k \ell m} b_l c_m .
$$
定义(1.34)告诉我们$\epsilon_{i j k}=\epsilon_{k i j}$。因此，同一性(1.39)给出
$$
[\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})]i=\epsilon{k i j} \epsilon_{k \ell m} a_j b_{\ell} c_m=\left(\delta_{i \ell} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j \ell}\right) a_j b_{\ell} c_m=a_j b_i c_j-a_j b_j c_i .
$$
最终的结果$b_i(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-c_i(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$确实是(1.44)右边的$i$的第1个分量。同样的证明方法也适用于梯度型、散度型和旋型向量恒等式，因为$\nabla$算子的分量与向量的分量一样变换[见上文(1.8)]。接下来的三个例子说明了这一点。

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|QED and Symmetry

Posted on 2023年4月5日2023年4月5日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写电动力学electrodynamics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

电动力学是物理学的一个分支，处理快速变化的电场和磁场。

我们提供的电动力学electrodynamics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|QED and Symmetry

The gauge invariance of the QED Hamiltonian $\mathrm{H}$ is an important dynamical symmetry that we have described in detail in this chapter. It leads to the fundamental principle that only gauge-invariant quantities can be candidates for physical observables. The other symmetries of the QED Hamiltonian are easily summarised. A simple additive construction of particle and field quantities suffices to construct the total linear momentum ${ }^5(\mathbf{P})$ and total angular momentum $(\mathbf{J})$ operators of the combined system of charges and field, for example,
$$
\mathbf{P}=\sum_i^n \mathbf{p}i+\sum{\mathbf{k}, \lambda} \hbar \mathbf{k} \mathrm{n}_{\mathbf{k}, \lambda},
$$
in terms of the individual particle momenta and the photon number operator. $\mathbf{J}$ can be constructed in a similar fashion. The operators $\mathbf{P}$ and $\mathbf{J}$ so formed, together with $\mathrm{H}$, satisfy the Lie bracket relations for the relativity groups described in Chapters 3 and 5. This is true classically as well as in the quantum mechanical account. Thus the total linear momentum and the total angular momentum are conserved quantities. However, it is not possible to define a boost operator $\mathbf{K}$ with the requisite properties to complete the algebras of either the Galilean or Poincaré groups. The theory is conventionally described as ‘non-relativistic’.

An evident limitation of a presentation of quantum electrodynamics based on canonical quantisation of classical electrodynamics is that the charges are necessarily spin 0 ; there are familiar examples in particle physics ( $\pi$ – and $K$-mesons), but they are not of interest here. It is well known that the overall gross properties of atomic matter can be described in terms of non-relativistic quantum mechanics without an explicit reference to the concept of particle spin, provided the Pauli exclusion principle (or more generally, the permutation group symmetry of the particle Hamiltonian) is recognised. Electrons are fermions with spin $\frac{1}{2}$, while nuclei can have either integer or half-integer spin $\geq 0$. Interactions involving the particle spin operators occur naturally in relativistic (that is, Lorentz-invariant) formulations of quantum mechanics. The standard Lorentz-invariant formulation of quantum electrodynamics is a quantum theory of interacting electron and electromagnetic fields (‘electrons and photons’) in which particle number is not a conserved quantity. Nuclei sit rather uncomfortably in this framework other than as fixed classical sources of external fields [47], not least because their anomalous magnetic moments may make such a theory unrenormalisable. As discussed in Chapter 5 , there is no known Lorentz-invariant quantum theory of an $N$-particle system involving electromagnetic interactions with fixed $N$, and so there is no such theory of atoms and molecules.

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Semiclassical Radiation Model

A widely used approach to the theoretical description of the interactions between atoms or molecules and electromagnetic radiation is based on the notion that the field can be treated as a classical electromagnetic field described by Maxwell’s theory (cf. Chapter 2) and that the quantum properties of the atomic system are given by an appropriate time-dependent Schrödinger equation. This is the ‘semiclassical radiation model’. A static electric or magnetic field is always classical, and its interaction with charged particles can be described by the inclusion of additional terms in the timeindependent Schrödinger equation that modify the spectrum of the atomic system; such perturbations may lead to shifts in eigenvalues (Zeeman effect) or the conversion of eigenvalues into (metastable) resonances (Stark effect). These topics are discussed thoroughly in numerous standard quantum mechanics texts.

On the other hand, the treatment of the interaction of atomic/molecular matter with an optical field using classical electromagnetism is not a trivial matter; its relationship to quantum electrodynamics does not seem to be well described in the literature. Given the extensive evidence that the electromagnetic field is a quantum mechanical system, one may enquire how an approach that eschews that information can possibly succeed, in an admittedly limited set of experimental situations. In the following we attempt to answer that question. The main limitation of such an approach is that the atom can only respond to a non-zero classical field; thus stimulated absorption and emission, and light scattering can be considered, but phenomena that derive from spontaneous emission, for example fluorescence, luminescence and, phosphorescence, or involve virtual photons, for example intermolecular interactions, resonant energy transfer processes and the problems of self-interaction are outside the scope of the semiclassical model.
Given a quantum Hamiltonian constructed by canonical quantisation of the corresponding classical theory in Hamiltonian form (P.B.s $\rightarrow$ quantum commutators, $x \rightarrow \mathrm{x}$ etc.), we know that the classical equations of motion for the classical variables are replaced by operator equations of motion for the corresponding quantum mechanical operators. Furthermore, linear equations of motion such as the Maxwell equations for the electromagnetic field have the same form in both cases with a suitable operator interpretation of the particle and field variables in the quantum case. The classical Hamiltonian equations of motion yield the wave equation for the vector potential ${ }^8$
$$
\square \mathbf{a}(\mathbf{x}, t)=\mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{x}, t)
$$
which may be solved in the usual way by the Green’s function technique,
$$
\mathbf{a}(\mathbf{x}, t)=\mu_0 \int \mathbf{G}\left(\mathbf{x}, t ; \mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right) \cdot \mathbf{j}\left(\mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 \mathbf{x}^{\prime} \mathrm{d} t^{\prime},
$$
where $\mathbf{G}$ satisfies the equation ${ }^9$
$$
\mathbf{G}\left(\mathbf{x}, t ; \mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right)=\delta^3\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right) \delta\left(t-t^{\prime}\right)
$$

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|QED and Symmetry

QED 哈密顿量的规范不变性 $\mathrm{H}$ 是我们在本章中详细描述的一个重要的动力学对称性。它引出了一个基本原理，即只有规范不变的量才能成为物理可观察量的候选者。QED 哈密顿量的其他对称性很容易总结。粒子和场量的简单加法构造足以构造总线性动量 ${ }^5(\mathbf{P})$ 和总角动量 $(\mathbf{J})$ 收费和现场联合系统的运营商，例如，
$$
\mathbf{P}=\sum_i^n \mathbf{p} i+\sum \mathbf{k}, \lambda \hbar \mathbf{k} \mathbf{n}_{\mathbf{k}, \lambda}
$$
根据单个粒子动量和光子数算符。 $\mathbf{J}$ 可以用类似的方式构造。经营者 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{J}$ 如此形成，连同 $\mathrm{H}$ ，满足第 3 章和第 5 章中描述的相对论群的李括号关系。这在经典和量子力学解释中都是正确的。因此，总线性动量和总角动量是守恒量。但是，无法定义升压运算符 $\mathbf{K}$ 具有完成伽利略群或庞加莱群的代数所必需的性质。该理论通常被描述为”非相对论”。
基于经典电动力学的规范量化的量子电动力学的一个明显限制是电荷必须自旋为 0 ；粒子物理学中有熟悉的例子（ $\pi$-和 $K$-mesons)，但这里对它们不感兴趣。众所周知，只要泡利不相容原理（或更一般地，置换群对称性粒子哈密顿量) 被认可。电子是具有自旋的费米子 $\frac{1}{2}$ ，而原子核可以有整数或半整数自旋 $\geq 0$. 涉及粒子自旋算子的相互作用自然发生在量子力学的相对论 (即洛伦兹不变) 公式中。量子电动力学的标准洛伦兹不变公式是相互作用的电子和电磁场 (“电子和光子”) 的量子理论，其中粒子数不是守恒量。除了作为外部场的固定经典源 [47] 之外，原子核在这个框架中相当不舒服，尤其是因为它们的异常磁矩可能使这样的理论不可重整化。正如第 5 章所讨论的，没有已知的洛伦兹不变量子理论 $N$-涉及固定电磁相互作用的粒子系统 $N$ ，所以没有这样的原子和分子理论。

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Semiclassical Radiation Model

一种广泛使用的理论描述原子或分子与电磁辐射之间相互作用的方法是基于这样一种概念，即该场可以被视为麦克斯韦理论 (参见第 2 章) 所描述的经典电磁场，并且原子系统由适当的瞬态辠定谔方程给出。这就是“半经典辐射模型”。静电场或磁场总是经典的，它与带电粒子的相互作用可以通过在与时间无关的辠定谔方程中包含附加项来描述，这些附加项修改了原子系统的光谱；这种扰动可能导致特征值的变化（塞䀭效应）或特征值转换为（亚稳态）共振（斯塔克效应）。
另一方面，使用经典电磁学处理原子/分子物质与光场的相互作用并不是一件小事；它与量子电动力学的关系在文献中似乎没有得到很好的描述。鉴于电磁场是一个量子力学系统的广泛证据，人们可能会问，在一组公认的有限实验情况下，一种避开该信息的方法如何可能成功。下面我们尝试回答这个问题。这种方法的主要限制是原子只能响应非零经典场；因此可以考虑受激吸收和发射以及光散射，但是源自自发发射的现象，例如苂光、冷光和磷光，
给定一个量子哈密顿量，该量子哈密顿量由哈密顿量形式的相应经典理论的规范量化构成 (PBs $\rightarrow$ 量子换向器， $x \rightarrow \mathrm{x}$ 等)，我们知道经典变量的经典运动方程被相应的量子力学算子的算子运动方程所取代。此外，线性运动方程 (例如电磁场的麦克斯韦方程) 在两种情况下都具有相同的形式，并在量子情况下对粒子和场变量进行了适当的算子解释。经典的哈密顿运动方程产生矢量势的波动方程 ${ }^8$
$$
\square \mathbf{a}(\mathbf{x}, t)=\mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{x}, t)
$$
这可以通过格林函数技术以通常的方式解决，
$$
\mathbf{a}(\mathbf{x}, t)=\mu_0 \int \mathbf{G}\left(\mathbf{x}, t ; \mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right) \cdot \mathbf{j}\left(\mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 \mathbf{x}^{\prime} \mathrm{d} t^{\prime},
$$
在哪里 $\mathbf{G}$ 满足方程 ${ }^9$
$$
\mathbf{G}\left(\mathbf{x}, t ; \mathbf{x}^{\prime}, t^{\prime}\right)=\delta^3\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right) \delta\left(t-t^{\prime}\right)
$$

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