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有限元方法代写Finite Element Method代考

有限元法（FEM）是一种数值分析方法。 它是一种通过数值方法获得难以解析求解的微分方程近似解的方法，由 Turner-Clough-Martin-Topp 提出。 将定义方程的区域划分为小区域（元素），每个小区域中的方程由相对简单且通用的插值函数来近似。 该方法是在结构力学领域发展起来的，并广泛应用于其他领域。 其背后的理论在数学上组织良好，再加上泛函分析（Riess表示定理、Lax-Milgram定理等）。

使用 FEM 研究和分析现象有时称为“有限元分析 (FEA)”。

特征
如果我们在每个子区域内用线性函数进行插值（如果近似空间成为原始解空间的子空间，我们将寻求某种投影），那么在整个区域中它是适当范数的最佳近似。表明
它可以处理线性问题、非线性问题、动态分析等多种问题。 这是由于如何创建近似方程和区域形状的自由度很高。
在 FEM 中，通过使用变分微分法最小化误差函数来近似解。

有限元方法包含几个不同的主题，列举如下：

偏微分方程Partial differential equation代写代考

微分方程通常有很多解，常常添加边界条件来限制解集。 在常微分方程的情况下，每个解都有一系列由某些参数的值表征的解，但在偏微分方程的情况下，将参数视为取函数值更有用。 除非方程组是超定的，否则这通常是正确的。

偏微分方程作为描述与流体、引力场和电磁场等场相关的自然现象的模型出现在自然科学领域。 这些领域是在飞行模拟、计算机图形学或天气预报等处理中发挥重要作用的工具。 广义相对论和量子力学的基本方程也是偏微分方程。 它也是经济学尤其是金融工程中的一个重要概念。

初值问题Initial value problem代写代考

初值问题是一个微分方程
$y^{\prime}(t)=f(t, y(t))$ 与 $f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} ^n$ 其中$\Omega$ 是$\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 的开集，
与 $f$ 分布域中的点一起，也称为 Schwartz
$$
\left(t_0, y_0\right) \in \Omega \text {, }
$$
分布或广义函数是概括数学中称为初始条件的经典函数概念的对象。 分析。 分布使得有可能
初值问题的解是函数 $y$，它是微分方程的解并且满足
$$
y\left(t_0\right)=y_0\text {. }
$$
不存在于古典意义上。
在更高维度中，微分方程被方程组 $y_i^{\prime}(t)=f_i\left(t, y_1(t), y_2(t), \ldots\right)$ 和 $ 取代 y(t)$ 被视为向量 $\left(y_1(t), \ldots, y_n(t)\right)$，最常与空间位置相关。 更一般地，未知函数 $y$ 可以在无限维空间上取值，例如巴纳赫空间或分布空间。
通过以与独立函数相同的方式处理导数，将初始值问题扩展到更高阶，例如 $y^{\prime \prime}(t)=f\left(t, y(t), y^{\prime}(t)\right)$。

其他相关科目课程代写：

• 常微分方程Ordinary differential equation
• 数值线性代数Numerical linear algebra
• 变分微积分Calculus of variations

有限元方法Finite Element Method历史

虽然很难引用有限元方法的发明日期，但该方法起源于解决土木和航空工程中复杂的弹性和结构分析问题的需要。它的发展可以追溯到 A. Hrennikoff 和 R 的工作 库朗在20世纪40年代初。 另一位先驱是扬尼斯·阿吉里斯 (Ioannis Argyris)。 在苏联，该方法的实际应用介绍通常与Leonard Oganesyan的名字联系在一起。在中国，冯康也于20世纪50年代末和1960年代初根据大坝建设的计算独立地重新发现了该方法，其中 它被称为基于变分原理的有限差分法。 尽管这些先驱者使用的方法不同，但他们都有一个基本特征：将连续域网格离散化为一组离散子域（通常称为元素）。

Hrennikoff 的工作通过使用晶格类比来离散化域，而 Courant 的方法将域划分为有限的三角形子区域，以求解由圆柱体扭转问题引起的二阶椭圆偏微分方程。 库朗的贡献是进化性的，借鉴了瑞利、里兹和伽辽金开发的大量早期偏微分方程结果。

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有限元方法Finite Element Method的重难点

什么是比例边界有限元法 (SBFEM)Scaled boundary finite element method (SBFEM)？

缩放边界有限元法 (SBFEM) 的引入来自 Song 和 Wolf (1997)。SBFEM 一直是断裂力学问题数值分析领域最有价值的贡献之一。 它是一种半解析的基本无解方法，结合了有限元公式和程序以及边界元离散化的优点。 然而，与边界元法不同，不需要基本的微分解。

什么是广义有限元法Generalized finite element method？

广义有限元方法 (GFEM) 使用由函数（不一定是多项式）组成的局部空间，这些函数反映了未知解的可用信息，从而确保良好的局部逼近。 然后使用单位划分将这些空间“粘合”在一起以形成近似子空间。 当应用于具有复杂边界的域问题、微尺度问题和边界层问题时，GFEM 的有效性已得到证明。

什么是混合有限元法Mixed finite element method？

混合有限元法是一种在偏微分方程问题离散化过程中引入额外的自变量作为节点变量的有限元方法。

有限元方法Finite Element Method的相关课后作业范例

这是一篇关于有限元方法Finite Element Method的作业

Solution of part (a):
In case the numerical integration parameters are chosen as $\alpha=0, \beta=1 / 2$, $\gamma=\frac{1}{4}$, the $\alpha$-method presents an unconditionally stable and implicit solution algorithm. The transient solutions presented in are

obtained by using $\Delta t=10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}$, and $10^{-4}$ second-time steps. This figure compares the numerically calculated solution to the analytically predicted solution given in ; vibration response of the mid-point of the beam (top) and the vibration snapshots (bottom) of the whole beam are plotted as a function of time. We see that the solution remains stable for all four time step sizes, but the coarsest time step, $\Delta t=10^{-1}$, has significant period and amplitude errors. By using smaller time steps, the error is diminished significantly. For the case of $\Delta t=10^{-4}$, the numerical and analytical solutions become virtually identical.

最后的总结：

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