数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MA26600
如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations是将一个自变量的函数与其对该变量的导数联系起来的方程。它代表了数学的一个重要领域，它的故事始于17世纪，至今仍是科学技术研究和应用的一个非常活跃和广泛的领域。
常微分方程Ordinary Differential Equations微分方程的概念是由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿，雅各布一世和约翰·伯努利兄弟，丹尼尔·伯努利，莱昂哈德·欧拉，朱塞佩·路易吉·拉格朗日(约瑟夫-路易斯·拉格朗日)和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯等人的作品建立起来的。这些数学家还开始发展ode的一般理论，并在几何、力学和优化方面进行了大量应用。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV FUNCTIONS
We shall present stability results for the equilibrium $x=0$ of a system
$$
x^{\prime}=f(t, x) .
$$
Such results involve the existence of real valued functions $n: D \rightarrow R$. In the case of local results (e.g., stability, instability, asymptotic stability, and exponential stability results), we shall usually only require that $D=B(h) \subset R^n$ for some $h>0$, or $D=R^{+} \times B(h)$. On the other hand, in the case of global results (e.g., asymptotic stability in the large, exponential stability in the large, and uniform boundedness of solutions), we have to assume that $D=R^n$ or $D=R^{+} \times R^n$. Unless’ stated otherwise, we shall always assume that $v(t, 0)=0$ for all $t \in R^{+}[$resp., $v(0)=0]$.
Now let $\phi$ be an arbitrary solution of (E) and consider the function $t \mapsto v(t, \phi(t))$. If $v$ is continuously differentiable with respect to all of its arguments, then we obtain (by the chain rule) the derivative of $v$ with respect to $t$ along the solutions of $(E), v_{(E)}^{\prime}$, as
*Eal,tirs,bod,b,
$$
v_{i t:(}^{\prime}(t, \phi(t))=\frac{\partial_v}{\partial t}(t, \phi(t))+\nabla v(t, \phi(t))^T f(t, \phi(t)) .
$$
Here $\nabla v$ denotes the gradient vector of $v$ with respect to $x$. For a solution $\phi\left(t, t_0, \xi\right)$ of $(\mathrm{E})$, we have
$$
v(t, \phi(t))=v\left(t_0, s^5\right)+\int_{t_0}^t r_{1(1)}^{\prime}\left(\tau, \phi\left(\tau, t_0, s^5\right)\right) d \tau .
$$
These observations lead us to the following definition.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV STABILITY AND INSTABILITY RESULTS: MOTIVATION
Before we state and prove the principal Lyapunov-type of stability and instability results, we give a geometric interpretation of some of these results in $R^2$. To this end, we consider the system of equations
$$
\begin{aligned}
& x_1^{\prime}=f_1\left(x_1, x_2\right), \
& x_2^{\prime}=f_2\left(x_1, x_2\right),
\end{aligned}
$$
and we assume that $f_1$ and $f_2$ are such that for every $\left(t_0, x_0\right), t_0 \geq 0$, Eq. (8.1) has a unique solution $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ with $\phi\left(t_0, t_0, x_0\right)=x_0$. We also assume that $\left(x_1, x_2\right)^r=\left(0,(1)^{\mathrm{r}}\right.$ is the only equilibrium in $B(h)$ for some $h>0$.
Next, let $v$ be a positive definite, continuously diflerentiable function with nonvanishing gradient $V v$ on $0<|x| \leq h$. Then $$ n(x)=c \quad(c \geq 0) $$ defines for sulliciently small constants $c>0$ a family of closed curves $C_i$ which cover the neighborhood $B(h)$ as shown in Fig. 5.14. Note that the origin $x=0$ is located in the interior of each such curve and in fact $C_0={0}$.
Now suppose that all trajectories of (8.1) originating from points on the circular disk $|x| \leq r_1<h$ cross the curves $v(x)=c$ from the exterior toward the interior when we proceed along these trajectories in the direction of increasing values of $t$. Then we can conclude that these trajectories approach the origin as $t$ increases, i.e., the equilibrium $x=0$ is in this case asymptotically stable.
In terms of the given $n$ function, we have the following interpretation. For a given solution $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ to cross the curve $v(x)=r, r=v\left(x_0\right)$, the angle between the outward normal vector $\nabla v\left(x_0\right)$ and the derivative of $\phi\left(t, t_0, x_0\right)$ at $t=t_0$ must be greater than $\pi / 2$, i.e.,
$$
v_{1 \times, 1,1}^{\prime}\left(x_0\right)=V n\left(x_0\right) f\left(x_0\right)<0 .
$$
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV FUNCTIONS
我们将给出系统平衡$x=0$的稳定性结果
$$
x^{\prime}=f(t, x) .
$$
这些结果涉及实值函数的存在性$n: D \rightarrow R$。对于局部结果(例如，稳定性、不稳定性、渐近稳定性和指数稳定性结果)，我们通常只需要$D=B(h) \subset R^n$对于某些$h>0$，或$D=R^{+} \times B(h)$。另一方面，在全局结果的情况下(例如，大的渐近稳定性，大的指数稳定性，解的一致有界性)，我们必须假设$D=R^n$或$D=R^{+} \times R^n$。除非另有说明，否则我们将始终假设$v(t, 0)=0$适用于所有$t \in R^{+}[$条款。， $v(0)=0]$。
现在设$\phi$为(E)的任意解，并考虑函数$t \mapsto v(t, \phi(t))$。如果$v$对它的所有参数都是连续可微的，那么我们(通过链式法则)得到$v$对$t$的导数沿着$(E), v_{(E)}^{\prime}$的解，为
*Eal,tirs,bod,b，
$$
v_{i t:(}^{\prime}(t, \phi(t))=\frac{\partial_v}{\partial t}(t, \phi(t))+\nabla v(t, \phi(t))^T f(t, \phi(t)) .
$$
其中$\nabla v$表示$v$相对于$x$的梯度向量。对于$(\mathrm{E})$的解$\phi\left(t, t_0, \xi\right)$，我们有
$$
v(t, \phi(t))=v\left(t_0, s^5\right)+\int_{t_0}^t r_{1(1)}^{\prime}\left(\tau, \phi\left(\tau, t_0, s^5\right)\right) d \tau .
$$
这些观察结果使我们得出以下定义。
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|LYAPUNOV STABILITY AND INSTABILITY RESULTS: MOTIVATION
在我们陈述和证明主要的lyapunov型稳定性和不稳定性结果之前，我们在$R^2$中给出了其中一些结果的几何解释。为此，我们考虑方程组
$$
\begin{aligned}
& x_1^{\prime}=f_1\left(x_1, x_2\right), \
& x_2^{\prime}=f_2\left(x_1, x_2\right),
\end{aligned}
$$
我们假设$f_1$和$f_2$是这样的，对于每一个$\left(t_0, x_0\right), t_0 \geq 0$，方程(8.1)有一个唯一的解$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$与$\phi\left(t_0, t_0, x_0\right)=x_0$。我们也假设$\left(x_1, x_2\right)^r=\left(0,(1)^{\mathrm{r}}\right.$是$B(h)$中对于某个$h>0$的唯一平衡。
其次，设$v$为一个正定的连续可微函数，在$0<|x| \leq h$上具有不消失的梯度$V v$。然后$$ n(x)=c \quad(c \geq 0) $$为sulliently小常数$c>0$定义了一组封闭曲线$C_i$，它们覆盖了邻域$B(h)$，如图5.14所示。请注意，原点$x=0$位于每个这样的曲线的内部，实际上是$C_0={0}$。
现在假设所有(8.1)的轨迹都起源于圆形圆盘$|x| \leq r_1<h$上的点，当我们沿着这些轨迹沿$t$值增加的方向前进时，从外部向内部穿过曲线$v(x)=c$。然后我们可以得出结论，随着$t$的增加，这些轨迹接近原点，即，平衡$x=0$在这种情况下是渐近稳定的。
对于给定的$n$函数，我们有如下的解释。对于给定的解$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$要穿过曲线$v(x)=r, r=v\left(x_0\right)$，则向外法向量$\nabla v\left(x_0\right)$与$\phi\left(t, t_0, x_0\right)$在$t=t_0$处的导数之间的夹角必须大于$\pi / 2$，即:
$$
v_{1 \times, 1,1}^{\prime}\left(x_0\right)=V n\left(x_0\right) f\left(x_0\right)<0 .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。