数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH212
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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Neighbourhoods
The process of defining limits and continuity leads to consider real numbers which are ‘close’ to a certain real number. In equivalent geometrical jargon, one considers points on the real line ‘in the proximity’ of a given point. Let us begin by making mathematical sense of the notion of neighbourhood of a point.
Definition 3.1 Let $x_0 \in \mathbb{R}$ be a point on the real line, and $r>0$ a real number. We call neighbourhood of $x_0$ of radius $r$ the open and bounded interval
$$
I_r\left(x_0\right)=\left(x_0-r, x_0+r\right)=\left{x \in \mathbb{R}:\left|x-x_0\right|<r\right} .
$$
Hence, the neighbourhood of 2 of radius $10^{-1}$, denoted $I_{10^{-1}}(2)$, is the set of real numbers lying between 1.9 and 2.1, these excluded. By understanding the quantity $\left|x-x_0\right|$ as the Euclidean distance between the points $x_0$ and $x$, we can then say that $I_r\left(x_0\right)$ consists of the points on the real line whose distance from $x_0$ is less than $r$. If we interpret $\left|x-x_0\right|$ as the tolerance in the approximation of $x_0$ by $x$, then $I_r\left(x_0\right)$ becomes the set of real numbers approximating $x_0$ with a better margin of precision than $r$.
Varying $r$ in the set of positive real numbers, while mantaining $x_0$ in $\mathbb{R}$ fixed, we obtain a family of neighbourhoods of $x_0$. Each neighbourhood is a proper subset of any other in the family that has bigger radius, and in turn it contains all neighbourhoods of lesser radius.
Remark 3.2 The notion of neighbourhood of a point $x_0 \in \mathbb{R}$ is nothing but a particular case of the analogue for a point in the Cartesian product $\mathbb{R}^d$ (hence the plane if $d=2$, space if $d=3$ ), presented in Definition 8.11.
The upcoming definitions of limit and continuity, based on the idea of neighbourhood, can be stated directly for functions on $\mathbb{R}^d$, by considering functions of one real variable as subcases for $d=1$. We prefer to follow a more gradual approach, so we shall examine first the one-dimensional case. Sect. 8.5 will be devoted to explaining how all this generalises to several dimensions.
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Limit of a sequence
Consider a real sequence $a: n \mapsto a_n$. We are interested in studying the behaviour of the values $a_n$ as $n$ increases, and we do so by looking first at a couple of examples.
Examples 3.4
i) Let $a_n=\frac{n}{n+1}$. The first terms of this sequence are presented in Table 3.1. We see that the values approach 1 as $n$ increases. More precisely, the real number 1 can be approximated as well as we like by $a_n$ for $n$ sufficiently large. This clause is to be understood in the following sense: however small we fix $\varepsilon>0$, from a certain point $n_{\varepsilon}$ onwards all values $a_n$ approximate 1 with a margin smaller that $\varepsilon$.
The condition $\left|a_n-1\right|<\varepsilon$, in fact, is tantamount to $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$, i.e., $n+1>\frac{1}{\varepsilon}$; thus defining $n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$ and taking any natural number $n>n_{\varepsilon}$, we have $n+1>$ $\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}$, hence $\left|a_n-1\right|<\varepsilon$. In other words, for every $\varepsilon>0$, there exists an $n_{\varepsilon}$ such that
$$
n>n_{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad\left|a_n-1\right|<\varepsilon . $$ Looking at the graph of the sequence (Fig.3.3), one can say that for all $n>n_{\varepsilon}$ the points $\left(n, a_n\right)$ of the graph lie between the horizontal lines $y=1-\varepsilon$ and $y=1+\varepsilon$.
数学分析代考
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Neighbourhoods
定义极限和连续性的过程导致考虑与某个实数“接近”的实数。在等价的几何术语中，人们认为实线上的点与给定点“接近”。让我们从点的邻域概念的数学意义开始。
定义3.1设$x_0 \in \mathbb{R}$为实线上的一个点，$r>0$为实数。我们称半径$r$的$x_0$邻域为开有界区间
$$
I_r\left(x_0\right)=\left(x_0-r, x_0+r\right)=\left{x \in \mathbb{R}:\left|x-x_0\right|<r\right} .
$$
因此，半径为$10^{-1}$的2的邻域，记为$I_{10^{-1}}(2)$，是位于1.9和2.1之间的实数的集合，不包括这些实数。通过将数量$\left|x-x_0\right|$理解为点$x_0$和$x$之间的欧几里得距离，我们可以说$I_r\left(x_0\right)$由实线上到$x_0$的距离小于$r$的点组成。如果我们将$\left|x-x_0\right|$解释为$x$近似$x_0$的容差，那么$I_r\left(x_0\right)$就变成了一组实数，它近似于$x_0$，比$r$有更好的精度余量。
在正实数集合中改变$r$，在$\mathbb{R}$中保持$x_0$不变，我们得到了一个$x_0$的邻域族。每个社区都是家庭中半径较大的任何其他社区的固有子集，反过来，它包含所有半径较小的社区。
注3.2点$x_0 \in \mathbb{R}$的邻域概念只不过是笛卡尔积$\mathbb{R}^d$(因此平面为$d=2$，空间为$d=3$)中点的类比的一个特殊情况，如定义8.11所示。
下面的极限和连续性的定义，基于邻域的思想，可以通过考虑一个实变量的函数作为$d=1$的子情况来直接描述$\mathbb{R}^d$上的函数。我们倾向于采用一种更渐进的方法，因此我们将首先检查一维的情况。第8.5节将专门解释所有这些如何推广到几个维度。
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Limit of a sequence
考虑一个真实的序列$a: n \mapsto a_n$。我们感兴趣的是研究$n$增加时$a_n$值的行为，我们首先看几个例子。
例3.4
i)让$a_n=\frac{n}{n+1}$。表3.1给出了这个序列的第一项。我们看到，随着$n$的增加，这些值趋于1。更准确地说，当$n$足够大时，实数1可以用$a_n$近似。该条款应在以下意义上理解:无论我们修复$\varepsilon>0$多么小，从某一点$n_{\varepsilon}$开始，所有值$a_n$都近似于1，边际小于$\varepsilon$。
条件$\left|a_n-1\right|<\varepsilon$，实际上等于$\frac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n+1>\frac{1}{\varepsilon}$;因此定义$n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$并取任意自然数$n>n_{\varepsilon}$，我们得到$n+1>$$\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}$，因此得到$\left|a_n-1\right|<\varepsilon$。换句话说，对于每一个$\varepsilon>0$，都存在一个$n_{\varepsilon}$
$$
n>n_{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad\left|a_n-1\right|<\varepsilon . $$看一下序列图(图3.3)，我们可以说，对于所有$n>n_{\varepsilon}$，图中的点$\left(n, a_n\right)$位于水平线$y=1-\varepsilon$和$y=1+\varepsilon$之间。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。