数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2400
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数学分析Mathematical Analysis应该为最好的正则函数(即在复变量/分析中处理的解析函数)和最差的正则函数(即在实际分析中处理的可测函数)之间的函数提供一种理论。
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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Substitution theorem
The so-called Substitution theorem is important in itself for theoretical reasons, besides providing a very useful method to compute limits.
Theorem 4.15 Suppose a map $f$ admits limit
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=\ell, $$ finite or not. Let $g$ be defined on a neighbourhood of $\ell$ (excluding possibly the point $\ell$ ) and such that i) if $\ell \in \mathbb{R}, g$ is continuous at $\ell$; ii) if $\ell=+\infty$ or $\ell=-\infty$, the limit $\lim {y \rightarrow \ell} g(y)$ exists, finite or not.
Then the composition $g \circ f$ admits limit for $x \rightarrow c$ and
$$
\lim {x \rightarrow c} g(f(x))=\lim {y \rightarrow \ell} g(y) .
$$
Proof. Set $m=\lim _{y \rightarrow \ell} g(y)$ (noting that under $i$ ), $m=g(\ell)$ ). Given any neighbourhood $I(m)$ of $m$, by $i$ ) or ii) there will be a neighbourhood $I(\ell)$ of $\ell$ such that
$$
\forall y \in \operatorname{dom} g, \quad y \in I(\ell) \quad \Rightarrow \quad g(y) \in I(m) .
$$
Note that in case $i$ ) we can use $I(\ell)$ instead of $I(\ell) \backslash{\ell}$ because $g$ is continuous at $\ell$ (recall (3.7)), while $\ell$ does not belong to $I(\ell)$ for case $i i$ ). With such $I(\ell)$, assumption (4.9) implies the existence of a neighbourhood $I(c)$ of $c$ with
$$
\forall x \in \operatorname{dom} f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad f(x) \in I(\ell) .
$$
Since $x \in \operatorname{dom} g \circ f$ means $x \in \operatorname{dom} f$ plus $y=f(x) \in \operatorname{dom} g$, the previous two implications now give
$$
\forall x \in \operatorname{dom} g \circ f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad g(f(x)) \in I(m) .
$$
But $I(m)$ was arbitrary, so
$$
\lim _{x \rightarrow e} g(f(x))=m .
$$
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More fundamental limits. Indeterminate forms of exponential type
Consider the paramount limit (3.3). Instead of the sequence $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, we look now at the function of real variable
$$
h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x .
$$
It is defined when $1+\frac{1}{x}>0$, hence on $(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$. The following result states that $h$ and the sequence resemble each other closely when $x$ tends to infinity.
Property 4.20 The following limit holds
$$
\lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e} $$ Proof. $\leadsto$ The number e. By manipulating this formula we achieve a series of new fundamental limits. The substitution $y=\frac{x}{a}$, with $a \neq 0$, gives $$ \lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{a y}=\left[\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^a=\mathrm{e}^a .
$$
In terms of the variable $y=\frac{1}{x}$ then,
$$
\lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\mathrm{e} .
$$
The continuity of the logarithm together with (4.11) furnish
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\log _a(1+x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \log a(1+x)^{1 / x}=\log _a \lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\log _a \mathrm{e}=\frac{1}{\log a}
$$
数学分析代考
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Substitution theorem
所谓的代换定理在理论上是很重要的，除了提供了一个非常有用的计算极限的方法。
定理4.15假设一个映射$f$允许极限
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=\ell, $$有限与否。设$g$在$\ell$的邻域上定义(可能不包括$\ell$点)，并且满足i)如果$\ell \in \mathbb{R}, g$在$\ell$连续;Ii)如果$\ell=+\infty$或$\ell=-\infty$，则存在限制$\lim {y \rightarrow \ell} g(y)$，无论是否有限。
然后组成$g \circ f$为$x \rightarrow c$和容许极限
$$
\lim {x \rightarrow c} g(f(x))=\lim {y \rightarrow \ell} g(y) .
$$
证明。设置$m=\lim _{y \rightarrow \ell} g(y)$(注意在$i$下)，$m=g(\ell)$)。给定任意邻居$I(m)$的$m$，通过$i$)或ii)，将会有一个邻居$I(\ell)$的$\ell$，这样
$$
\forall y \in \operatorname{dom} g, \quad y \in I(\ell) \quad \Rightarrow \quad g(y) \in I(m) .
$$
请注意，对于情况$i$)，我们可以使用$I(\ell)$而不是$I(\ell) \backslash{\ell}$，因为$g$在$\ell$是连续的(回想一下(3.7))，而对于情况$i i$, $\ell$不属于$I(\ell)$。有了这样的$I(\ell)$，假设(4.9)意味着$c$的邻域$I(c)$的存在
$$
\forall x \in \operatorname{dom} f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad f(x) \in I(\ell) .
$$
因为$x \in \operatorname{dom} g \circ f$的意思是$x \in \operatorname{dom} f$加$y=f(x) \in \operatorname{dom} g$，所以前面两个含义现在给出
$$
\forall x \in \operatorname{dom} g \circ f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad g(f(x)) \in I(m) .
$$
但是$I(m)$是任意的，所以
$$
\lim _{x \rightarrow e} g(f(x))=m .
$$
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More fundamental limits. Indeterminate forms of exponential type
考虑最高限制(3.3)。我们现在看的不是序列$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，而是实变量函数
$$
h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x .
$$
它是在$1+\frac{1}{x}>0$上定义的，因此在$(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$上。下面的结果表明，当$x$趋于无穷时，$h$和序列非常相似。
属性4.20以下限制成立
$$
\lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e} $$证明。$\leadsto$数字e。通过操纵这个公式，我们获得了一系列新的基本极限。用$a \neq 0$替换$y=\frac{x}{a}$，得到$$ \lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{a y}=\left[\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^a=\mathrm{e}^a .
$$
对于变量$y=\frac{1}{x}$，
$$
\lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\mathrm{e} .
$$
对数的连续性与式(4.11)一起给出
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\log _a(1+x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \log a(1+x)^{1 / x}=\log _a \lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\log _a \mathrm{e}=\frac{1}{\log a}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。