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流形学习Manifold learningPCA识别数据中的三个主要成分。投影到前两个PCA分量导致沿歧管混合的颜色。流形学习(LLE和IsoMap)在投影数据时保留了局部结构，防止了颜色的混合。
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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Nonlinear Manifold Learning
We next discuss some algorithmic techniques that proved to be innovative in the study of nonlinear manifold learning: Isomap, Local LineAR EmbedDing, LAPLACIAN EigenmaPs, Diffusion MaPs, Hessian Eigenmaps, and the many different versions of NONLINEAR PCA. The goal of each of these algorithms is to recover the full low-dimensional representation of an unknown nonlinear manifold, $\mathcal{M}$, embedded in some high-dimensional space, where it is important to retain the neighborhood structure of $\mathcal{M}$. When $\mathcal{M}$ is highly nonlinear, such as the S-shaped manifold in the left panel of Figure 1.1, these algorithms outperform the usual linear techniques. The nonlinear manifold-learning methods emphasize simplicity and avoid optimization problems that could produce local minima.
Assume that we have a finite random sample of data points, $\left{\mathbf{y}i\right}$, from a smooth $t$ dimensional manifold $\mathcal{M}$ with metric given by the geodesic distance $d^{\mathcal{M}}$; see Section 1.2.4. These points are then nonlinearly embedded by a smooth map $\psi$ into high-dimensional input space $\mathcal{X}=\Re^r(t \ll r)$ with Euclidean metric $|\cdot|{\mathcal{X}}$. This embedding provides us with the input data $\left{\mathbf{x}_i\right}$. For example, in the right panel of Figure 1.1, we randomly generated 20,000 three-dimensional points to lie uniformly on the surface of the two-dimensional Sshaped curve displayed in the left panel. Thus, $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is the embedding map, and a point on the manifold, $\mathbf{y} \in \mathcal{M}$, can be expressed as $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$, where $\phi=\psi^{-1}$. The goal is to recover $\mathcal{M}$ and find an implicit representation of the map $\psi$ (and, hence, recover the $\left.\left{\mathbf{y}_i\right}\right)$, given only the input data points $\left{\mathbf{x}_i\right}$ in $\mathcal{X}$.
Each algorithm computes $t^{\prime}$-dimensional estimates, $\left{\widehat{\mathbf{y}}_i\right}$, of the $t$-dimensional manifold data, $\left{\mathbf{y}_i\right}$, for some $t^{\prime}$. Such a reconstruction is deemed to be successful if $t^{\prime}=t$, the true (unknown) dimensionality of $\mathcal{M}$. In practice, $t^{\prime}$ will most likely be too large. Because we require a low-dimensional solution, we retain only the first two or three of the coordinate vectors and plot the corresponding elements of those vectors against each other to yield $n$ points in two- or three-dimensional space. For all practical purposes, such a display is usually sufficient to identify the underlying manifold.
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Isomap
The isometric feature mapping (or IsOMAP) algorithm (Tenenbaum, de Silva, and Langford, $2000)$ assumes that the smooth manifold $\mathcal{M}$ is a convex region of $\Re^t(t \ll r)$ and that the embedding $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is an isometry. This assumption has two key ingredients:
- Isometry: The geodesic distance is invariant under the map $\psi$. For any pair of points on the manifold, $\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$, the geodesic distance between those points equals the Euclidean distance between their corresponding coordinates, $\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$; i.e.,
$$
d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
$$
where $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$ and $\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$. - Convexity: The manifold $\mathcal{M}$ is a convex subset of $\Re^t$.
IsomaP considers $\mathcal{M}$ to be a convex region possibly distorted in any of a number of ways (e.g., by folding or twisting). The so-called Swiss roll, ${ }^2$ which is a flat two-dimensional rectangular submanifold of $\Re^3$, is one such example; see Figure 1.2. Empirical studies show that IsOMAP works well for intrinsically flat submanifolds of $\mathcal{X}=\Re^r$ that look like rolledup sheets of paper or “open” manifolds such as an open box or open cylinder. However, IsOMAP does not perform well if there are any holes in the roll, because this would violate the convexity assumption. The isometry assumption appears to be reasonable for certain types of situations, but, in many other instances, the convexity assumption may be too restrictive (Donoho and Grimes, 2003b).
IsOMAP uses the isometry and convexity assumptions to form a nonlinear generalization of multidimensional scaling (MDS). Recall that MDS looks for a low-dimensional subspace in which to embed input data while preserving the Euclidean interpoint distances (see Section 1.3.2). Unfortunately, working with Euclidean distances in MDS when dealing with curved regions tends to give poor results. IsOMAP follows the general MDS philosophy by attempting to preserve the global geometric properties of the underlying nonlinear manifold, and it does this by approximating all pairwise geodesic distances (i.e., lengths of the shortest paths between two points) on the manifold. In this sense, IsOMAP provides a global approach to manifold learning.
流形学习代写
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Nonlinear Manifold Learning
接下来，我们将讨论一些在非线性流形学习研究中被证明具有创新性的算法技术:isommap、局部线性嵌入、LAPLACIAN特征映射、扩散映射、Hessian特征映射以及许多不同版本的非线性主成分分析。这些算法的目标都是恢复嵌入在高维空间中的未知非线性流形$\mathcal{M}$的完整低维表示，其中保留$\mathcal{M}$的邻域结构非常重要。当$\mathcal{M}$是高度非线性的，如图1.1左面板中的s形流形时，这些算法优于通常的线性技术。非线性流形学习方法强调简单性，避免了可能产生局部最小值的优化问题。
假设我们有一个数据点的有限随机样本，$\left{\mathbf{y}i\right}$，来自光滑的$t$维流形$\mathcal{M}$，其度量由测地线距离$d^{\mathcal{M}}$给出;参见1.2.4节。然后通过光滑映射$\psi$将这些点非线性嵌入到高维输入空间$\mathcal{X}=\Re^r(t \ll r)$中，并使用欧几里德度量$|\cdot|{\mathcal{X}}$。这个嵌入为我们提供了输入数据$\left{\mathbf{x}_i\right}$。例如，在图1.1的右面板中，我们随机生成了2万个三维点，均匀地分布在左面板中显示的二维s形曲线的表面上。因此，$\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$是嵌入映射，流形上的一个点$\mathbf{y} \in \mathcal{M}$可以表示为$\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$，其中$\phi=\psi^{-1}$。我们的目标是恢复$\mathcal{M}$并找到映射$\psi$的隐式表示(因此，在只给定$\mathcal{X}$中的输入数据点$\left{\mathbf{x}_i\right}$的情况下，恢复$\left.\left{\mathbf{y}_i\right}\right)$)。
每个算法计算$t^{\prime}$ -维估计，$\left{\widehat{\mathbf{y}}_i\right}$, $t$ -维流形数据，$\left{\mathbf{y}_i\right}$，对于一些$t^{\prime}$。如果$t^{\prime}=t$为$\mathcal{M}$的真实(未知)维数，则认为重建成功。实际上，$t^{\prime}$很可能太大了。因为我们需要一个低维解，所以我们只保留前两个或三个坐标向量，并将这些向量的相应元素相互绘制，从而在二维或三维空间中生成$n$点。对于所有实际用途，这样的显示通常足以识别底层歧管。
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Isomap
等长特征映射(或IsOMAP)算法(Tenenbaum, de Silva和Langford, $2000)$)假设光滑流形$\mathcal{M}$是$\Re^t(t \ll r)$的一个凸区域，并且嵌入的$\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$是等长。这个假设有两个关键因素:
等距:测地线距离在地图$\psi$下是不变的。对于流形上的任意一对点$\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$，这些点之间的测地线距离等于它们对应坐标之间的欧氏距离$\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$;即，
$$
d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
$$
其中$\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$和$\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$。
凸性:流形$\mathcal{M}$是$\Re^t$的凸子集。
IsomaP认为$\mathcal{M}$是一个凸区域，可能以多种方式(例如，折叠或扭曲)中的任何一种方式扭曲。所谓的瑞士卷${ }^2$是$\Re^3$的平面二维矩形子流形，就是这样一个例子;见图1.2。实证研究表明，IsOMAP可以很好地用于$\mathcal{X}=\Re^r$的本质上扁平的子流形，这些子流形看起来像卷起的纸张或“开放”的流形，如开放的盒子或开放的圆柱体。然而，如果卷中有孔，IsOMAP就不能很好地执行，因为这会违反凹凸性假设。在某些情况下，等长假设似乎是合理的，但在许多其他情况下，凸性假设可能过于严格(Donoho和Grimes, 2003b)。
IsOMAP使用等距和凸性假设来形成多维尺度(MDS)的非线性泛化。回想一下，MDS寻找一个低维子空间来嵌入输入数据，同时保持欧几里得点间距离(参见第1.3.2节)。不幸的是，当处理弯曲区域时，在MDS中使用欧几里得距离往往会得到很差的结果。IsOMAP遵循一般的MDS原理，试图保留底层非线性流形的全局几何特性，它通过近似流形上的所有两两测地线距离(即两点之间最短路径的长度)来实现这一点。从这个意义上说，IsOMAP为流形学习提供了一种全局方法。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。