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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Riemannian Manifolds
In the entire theory of topological manifolds, there is no mention of the use of calculus. However, in a prototypical application of a “manifold,” calculus enters in the form of a “smooth” (or differentiable) manifold $\mathcal{M}$, also known as a Riemannian manifold; it is usually defined in differential geometry as a submanifold of some ambient (or surrounding) Euclidean space, where the concepts of length, curvature, and angle are preserved, and where smoothness relates to differentiability. The word manifold (in German, Mannigfaltigkeit) was coined in an “intuitive” way and without any precise definition by Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) in his 1851 doctoral dissertation (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009); in 1854, Riemann introduced in his famous Habilitations lecture the idea of a topological manifold on which one could carry out differential and integral calculus.
A topological manifold $\mathcal{M}$ is called a smooth (or differentiable) manifold if $\mathcal{M}$ is continuously differentiable to any order. All smooth manifolds are topological manifolds, but the reverse is not necessarily true. (Note: Authors often differ on the precise definition of a “smooth” manifold.)
We now define the analogue of a homeomorphism for a differentiable manifold. Consider two open sets, $U \in \Re^r$ and $V \in \Re^s$, and let $g: U \rightarrow V$ so that for $\mathbf{x} \in U$ and $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y. If the function $g$ has finite first-order partial derivatives, $\partial y_j / \partial x_i$, for all $i=1,2, \ldots, r$, and all $j=1,2, \ldots, s$, then $g$ is said to be a smooth (or differentiable) mapping on $U$. We also say that $g$ is a $\mathcal{C}^1$-function on $U$ if all the first-order partial derivatives are continuous. More generally, if $g$ has continuous higher-order partial derivatives, $\partial^{k_1+\cdots+k_r} y_j / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_r^{k_r}$, for all $j=1,2, \ldots, s$ and all nonnegative integers $k_1, k_2, \ldots, k_r$ such that $k_1+k_2+\cdots+k_r \leq r$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^r$-function, $r=1,2, \ldots$ If $g$ is a $\mathcal{C}^r$-function for all $r \geq 1$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\infty}$-function.
If $g$ is a homeomorphism from an open set $U$ to an open set $V$, then it is said to be a $\mathcal{C}^r$-diffeomorphism if $g$ and its inverse $g^{-1}$ are both $\mathcal{C}^r$-functions. A $\mathcal{C}^{\infty}$-diffeomorphism is simply referred to as a diffeomorphism. We say that $U$ and $V$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them. These definitions extend in a straightforward way to manifolds. For example, if $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are both smooth manifolds, the function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is a diffeomorphism if it is a homeomorphism from $\mathcal{X}$ to $\mathcal{Y}$ and both $g$ and $g^{-1}$ are smooth. Furthermore, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them, in which case, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are essentially indistinguishable from each other.
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Curves and Geodesics
If the Riemannian manifold $(\mathcal{M}, g)$ is connected, it is a metric space with an induced topology that coincides with the underlying manifold topology. We can, therefore, define a function $d^{\mathcal{M}}$ on $\mathcal{M}$ that calculates distances between points on $\mathcal{M}$ and determines its structure.
Let $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ be any two points on the Riemannian manifold $\mathcal{M}$. We first define the length of a (one-dimensional) curve in $\mathcal{M}$ that joins $\mathbf{p}$ to $\mathbf{q}$, and then the length of the shortest such curve.
A curve in $\mathcal{M}$ is defined as a smooth mapping from an open interval $\Lambda$ (which may have infinite length) in $\Re$ into $\mathcal{M}$. The point $\lambda \in \Lambda$ forms a parametrization of the curve. Let $c(\lambda)=\left(c_1(\lambda), \cdots, c_d(\lambda)\right)^\tau$ be a curve in $\Re^d$ parametrized by $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. If we take the coordinate functions, $\left{c_h(\lambda)\right}$, of $c(\lambda)$ to be as smooth as needed (usually, $\mathcal{C}^{\infty}$, functions that have any number of continuous derivatives), then we say that $c$ is a smooth curve. If $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ for all $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, the curve $c$ is said to be closed. The velocity (or tangent) vector at the point $\lambda$ is given by
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_1^{\prime}(\lambda), \cdots, c_d^{\prime}(\lambda)\right)^\tau,
$$
where $c_j^{\prime}(\lambda)=d c_j(\lambda) / d \lambda$, and the “speed” of the curve is
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^d\left[c_j^{\prime}(\lambda)\right]^2\right}^{1 / 2} .
$$
Distance on a smooth curve $c$ is given by arc-length, which is measured from a fixed point $\lambda_0$ on that curve. Usually, the fixed point is taken to be the origin, $\lambda_0=0$, defined to be one of the two endpoints of the data. More generally, the arc-length $L(c)$ along the curve $c(\lambda)$ from point $\lambda_0$ to point $\lambda_1$ is defined as
$$
L(c)=\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda
$$
流形学习代写
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Riemannian Manifolds
在拓扑流形的整个理论中，没有提到微积分的使用。然而，在“流形”的典型应用中，微积分以“光滑”(或可微)流形$\mathcal{M}$的形式进入，也称为黎曼流形;在微分几何中，它通常被定义为一些环境(或周围)欧几里得空间的子流形，其中长度，曲率和角度的概念被保留，并且平滑与可微性有关。流形这个词(在德语中，Mannigfaltigkeit)是由Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866)在他1851年的博士论文中以一种“直观”的方式创造出来的，没有任何精确的定义。dieudonnnet, 2009);1854年，黎曼在他著名的《栖息地》演讲中介绍了拓扑流形的概念，人们可以在其上进行微分和积分计算。
如果$\mathcal{M}$对任意阶连续可微，则拓扑流形$\mathcal{M}$称为光滑(或可微)流形。所有光滑流形都是拓扑流形，但反过来不一定正确。(注:作者在“光滑”流形的精确定义上经常存在分歧。)
我们现在定义一个可微流形的同胚的类似物。考虑两个开集， $U \in \Re^r$ 和 $V \in \Re^s$，让 $g: U \rightarrow V$ 这就是 $\mathbf{x} \in U$ 和 $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y，如果函数 $g$ 一阶偏导数是有限的， $\partial y_j / \partial x_i$对所有人来说 $i=1,2, \ldots, r$等等 $j=1,2, \ldots, s$那么， $g$ 上的光滑(或可微)映射 $U$。我们也说 $g$ 是? $\mathcal{C}^1$-function on $U$ 如果所有一阶偏导数都是连续的。更一般地说，如果 $g$ 有连续的高阶偏导数， $\partial^{k_1+\cdots+k_r} y_j / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_r^{k_r}$对所有人来说 $j=1,2, \ldots, s$ 所有的非负整数 $k_1, k_2, \ldots, k_r$ 这样 $k_1+k_2+\cdots+k_r \leq r$，那么我们说 $g$ 是? $\mathcal{C}^r$-function， $r=1,2, \ldots$ 如果 $g$ 是? $\mathcal{C}^r$-function for all $r \geq 1$，那么我们说 $g$ 是? $\mathcal{C}^{\infty}$-function。
如果$g$是从一个开集$U$到一个开集$V$的同胚，那么如果$g$和它的逆$g^{-1}$都是$\mathcal{C}^r$ -函数，我们就说它是一个$\mathcal{C}^r$ -微分同胚。一个$\mathcal{C}^{\infty}$ -微同态被简单地称为一个微同态。我们说$U$和$V$是微同构的，如果它们之间存在一个微同构。这些定义以一种直接的方式扩展到流形。例如，如果$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$都是光滑流形，那么如果$g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$是$\mathcal{X}$到$\mathcal{Y}$的同胚，并且$g$和$g^{-1}$都是光滑的，那么就是一个微分同态。此外，如果$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$之间存在微同态，则它们是微同态的，在这种情况下，$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$基本上是无法区分的。
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Curves and Geodesics
如果黎曼流形$(\mathcal{M}, g)$是连通的，则它是一个度量空间，其诱导拓扑与底层流形拓扑一致。因此，我们可以在$\mathcal{M}$上定义一个函数$d^{\mathcal{M}}$，该函数计算$\mathcal{M}$上点之间的距离并确定其结构。
设$\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$为黎曼流形$\mathcal{M}$上的任意两点。我们首先定义$\mathcal{M}$中连接$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$的(一维)曲线的长度，然后定义最短曲线的长度。
$\mathcal{M}$中的曲线被定义为从$\Re$中的开放区间$\Lambda$(可能有无限长)到$\mathcal{M}$的平滑映射。点$\lambda \in \Lambda$形成曲线的参数化。设$c(\lambda)=\left(c_1(\lambda), \cdots, c_d(\lambda)\right)^\tau$为$\Re^d$中的曲线，由$\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$参数化。如果我们使$c(\lambda)$的坐标函数$\left{c_h(\lambda)\right}$尽可能光滑(通常是$\mathcal{C}^{\infty}$，具有任意数量的连续导数的函数)，那么我们说$c$是一条光滑曲线。如果$c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$对于所有的$\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$，曲线$c$被认为是闭合的。速度(或切线)向量在点$\lambda$是由
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_1^{\prime}(\lambda), \cdots, c_d^{\prime}(\lambda)\right)^\tau,
$$
$c_j^{\prime}(\lambda)=d c_j(\lambda) / d \lambda$和曲线的“速度”在哪里
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^d\left[c_j^{\prime}(\lambda)\right]^2\right}^{1 / 2} .
$$
平滑曲线$c$上的距离由弧长给出，弧长从曲线上的固定点$\lambda_0$开始测量。通常，固定点作为原点$\lambda_0=0$，定义为数据的两个端点之一。更一般地说，沿曲线$c(\lambda)$从点$\lambda_0$到点$\lambda_1$的弧长$L(c)$定义为
$$
L(c)=\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。