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物理代写|光学代写Optics代考|Entangled States

In Chap. 6 (Sect. 6.7), we saw that the beam splitter output was an entangled state. Let us examine a two-photon state, which can be written in general as a product of two superpositions:
$$
|\psi\rangle=|\psi\rangle_1|\psi\rangle_2=\left(\alpha_1|0\rangle_1+\beta_1|1\rangle_1\right)\left(\alpha_2|0\rangle_2+\beta_2|1\rangle_2\right)
$$
where the subscript on each ket indicates the photon number (photon 1 or photon 2 ), and $|0\rangle$ and $|1\rangle$ represent the two possible orthogonal states of each photon-for example, horizontal and vertical polarization, or two different paths in a beam splitter or interferometer. Expanding this two-photon state gives
$$
|\psi\rangle=\alpha_1 \alpha_2|0\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_1 \beta_2|0\rangle_1|1\rangle_2+\beta_1 \alpha_2|1\rangle_1|0\rangle_2+\beta_1 \beta_2|1\rangle_1|1\rangle_2
$$
Suppose you are given a composite state of two photons (e.g., Eq. (8.2)) and asked for the state of the individual photons. To answer this question, you would work backward to factor the state, obtaining Eq. (8.1). This is known as a separable state.

There are some states for which this factoring is impossible; that is, you cannot write the composite state as a product of the individual states:
$$
|\psi\rangle \neq|\psi\rangle_1|\psi\rangle_2
$$
These are known as entangled states. In entangled states, you cannot talk about the state of the photons individually – they are somehow intertwined. Note that a general two-photon state, $|\psi\rangle=\alpha_{00}|0\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_{01}|0\rangle_1|1\rangle_2+\alpha_{10}|1\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_{11}|1\rangle_1|1\rangle_2$, is usually entangled rather than separable – entanglement is normal in quantum mechanics!

There are four entangled two-photon states that are commonly encountered, known as the Bell states (we have dropped the particle subscripts):
$$
\begin{aligned}
\left|\Phi^{+}\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \
\left|\Psi^{+}\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle) \
\left|\Phi^{-}\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle) \
\left|\Psi^{-}\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle)
\end{aligned}
$$

物理代写|光学代写Optics代考|EPR Paradox and Hidden Variables

In a famous 1935 paper [1], Albert Einstein, Boris Podolsky, and Nathan Rosen (known as EPR) sought to demonstrate by the “EPR paradox” that quantum mechanics was incomplete. EPR were concerned by the instantaneous action at a distance, or “nonlocality”, implied by entanglement. Quantum mechanics also seems to violate “realism”. “Realism” means that particles have definite properties that are independent of any measurement.

Suppose we toss a coin. In principle, it is possible to know whether it will land heads or tails if we keep track of a lot of information about the system (called “degrees of freedom”), such as the forces applied during the toss, the air currents, the height of the toss, etc. However, all these physical properties are impossible to calculate in practice, so the most we can do is ascribe a probability distribution for the toss outcome resulting in $P_{\text {heads }}=\frac{1}{2}$ and $P_{\text {tails }}=\frac{1}{2}$. This outcome occurs from averaging the many degrees of freedom that we do not have access to. This principle also forms the basis for statistical thermodynamics.

Einstein and many others believed that quantum mechanics was like this; that is, they proposed that the probabilities in quantum mechanics are deterministic (versus probabilistic) and have some underlying causes that are “hidden”; that is, that we cannot access (analogous to the unknown variables during the coin toss). These underlying causes were called “hidden variables”. If we knew the hidden variables, we would be able to calculate a definite measurement outcome, rather than just probabilities.

Many quantum pioneers, exemplified by Einstein, believed in “local realism” where the state of particles is defined when they are created. However, the “hidden variables” only allow us to determine the probahility of these states. Finstein famously said: “God does not play dice with the universe”. Also, with regards to realism, Einstein said “Do you believe the moon exists only when you look at it?”
Others, exemplified by Bohr, believed in the possibility of superpositions and entanglement. They believed that no definitive statements about a physical system may be made until a measurement is made. Particle properties do not exist until we measure them. It turns out that Bohr was correct; but how do we prove it?

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Entangled States

在第一章 在图 6 (第 $6.7$ 节) 中，我们看到分束器输出处于纠缠状态。让我们检查一个双光子态，它通 常可以写成两个琖加的乘积:
$$
|\psi\rangle=|\psi\rangle_1|\psi\rangle_2=\left(\alpha_1|0\rangle_1+\beta_1|1\rangle_1\right)\left(\alpha_2|0\rangle_2+\beta_2|1\rangle_2\right)
$$
其中每个 ket 上的下标表示光子数（光子 1 或光子 2 ），以及 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 表示每个光子的两个可能的正交 状态一一例如，水平和垂直偏振，或分束器或干涉仪中的两个不同路径。展开这个双光子状态给出
$$
|\psi\rangle=\alpha_1 \alpha_2|0\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_1 \beta_2|0\rangle_1|1\rangle_2+\beta_1 \alpha_2|1\rangle_1|0\rangle_2+\beta_1 \beta_2|1\rangle_1|1\rangle_2
$$
假设给定两个光子的复合状态（例如，Eq. (8.2)）并询问单个光子的状态。要回答这个问题，您需要反向 分解状态，得到 Eq。(8.1)。这被称为可分离状态。
有些州不可能进行这种因式分解；也就是说，您不能将复合状态写成各个状态的乘积:
$$
|\psi\rangle \neq|\psi\rangle_1|\psi\rangle_2
$$
这些被称为纠缠态。在纠缠态中，你不能单独谈论光子的状态一一它们以某种方式交织在一起。请注 意，一般的双光子状态， $|\psi\rangle=\alpha_{00}|0\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_{01}|0\rangle_1|1\rangle_2+\alpha_{10}|1\rangle_1|0\rangle_2+\alpha_{11}|1\rangle_1|1\rangle_2$ ，通常是 纠缠的而不是可分离的—一纠缠在量子力学中是正常的!
有四种常见的纠缠双光子态，称为贝尔态（我们去掉了粒子下标）：
$$
\left|\Phi^{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)\left|\Psi^{+}\right\rangle \quad=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle)\left|\Phi^{-}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle)\left|\Psi^{-}\right\rangle
$$

物理代写|光学代写Optics代考|EPR Paradox and Hidden Variables

在 1935 年的一篇著名论文 [1] 中，阿尔伯特·爱因斯坦、鲍里斯·波多尔斯基和内森·罗森 (称为 EPR) 试 图通过”EPR 悖论“证明量子力学是不完整的。EPR 关注的是纠缠所暗示的远距离或“非定域性”的瞬时作 用。量子力学似乎也违反了”实在论”。“现实主义”意味着粒子具有独立于任何测量的确定属性。
假设我们抛硬币。原则上，如果我们跟踪有关系统的大量信息（称为“自由度”），例如抛掷过程中施加的 力、气流、投掷的高度等。然而，所有这些物理特性在实践中都无法计算，因此我们最多只能为投掷结 果归因一个概率分布，从而导致 $P_{\text {heads }}=\frac{1}{2}$ 和 $P_{\text {tails }}=\frac{1}{2}$. 这个结果是通过平均我们无法获得的许多 自由度而产生的。这一原理也构成了统计热力学的基础。
爱因斯坦和许多其他人认为，量子力学就是这样；也就是说，他们提出量子力学中的概率是确定性的 (相对于概率) 并且有一些”隐藏”的潜在原因；也就是说，我们无法访问 (类似于抛硬币过程中的末知变 量）。这些根本原因被称为“隐藏变量”。如果我们知道隐藏变量，我们将能够计算出一个确定的测量结 果，而不仅仅是概率。
许多量子先驱，例如爱因斯坦，都相信“局部实在论”，即粒子的状态在它们被创造时就被定义了。然而， “隐藏变量”只允许我们确定这些状态的概率。䒔斯坦有句名言：”上帝不与宇宙掷骰子”。另外，关于现实 主义，爱因斯坦说“你相信月亮只有在你看的时候才存在吗? “
其他人，例如玻尔，相信珢加和纠缠的可能性。他们认为，在进行测量之前，不可能对物理系统做出明 确的陈述。在我们测量它们之前，粒子属性不存在。事实证明，玻尔是对的；但我们如何证明呢?

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|光学代写Optics代考|Entangled State

If we have no input to the beam splitter, then we expect the action of the beam splitter to give
$$
\begin{aligned}
& \text { beam } \
& \underbrace{|0\rangle_1|0\rangle_2}{\text {input }} \stackrel{\text { splitter }}{\longrightarrow} \underbrace{|0\rangle_3|0\rangle_4}{\text {output }} \
&
\end{aligned}
$$
The single photon input state in Fig. $6.4$ can be expressed as
$$
\left|\psi_{\text {in }}\right\rangle=|1\rangle_1|0\rangle_2=\widehat{a}_1^{\dagger}|0\rangle_1|0\rangle_2
$$
According to Eqs. (6.34) and (6.71), Eq. (6.72) can be expressed in terms of the output space using Eq. (6.27):
$$
\begin{aligned}
& \text { beam } \
& \widehat{a}_1^{\dagger}|0\rangle_1|0\rangle_2 \stackrel{\text { splitter }}{\longrightarrow}\left(r \widehat{a}_3^{\dagger}+t \widehat{a}_4^{\dagger}\right)|0\rangle_3|0\rangle_4 \
& =r|1\rangle_3|0\rangle_4+t|0\rangle_3|1\rangle_4 \
&
\end{aligned}
$$
The output in Eq. (6.74) is called an entangled state of a photon in the $D_3$ path and the $D_4$ path. An entangled state is a state, which cannot be separated or factored into individual product states; that is, $|\psi\rangle \neq\left|\psi_3\right\rangle_3\left|\psi_4\right\rangle_4$. Equation (6.74) cannot be factored into the product of two individual states (try it). If you are not familiar with entanglement, do not worry. We will cover this topic in more detail in Chap. 8. Equation (6.74) tells us that the single photon input on port 1 results in a superposition of the single photon in mode 3 with zero photons in mode 4, and vice versa. The probability amplitude for a single photon along the $D_3$ path is given by $r$, that is, the coefficient of $|1\rangle_3|0\rangle_4$ in Eq. (6.74). The corresponding probability is the modulus squared of the probability amplitude, $|r|^2=R$, the same as Eq. (6.40). The probability amplitude for a single photon along the $D_4$ path is given by $t$, that is, the coefficient of $|0\rangle_3|1\rangle_4$ in Eq. (6.74). The corresponding probability is the modulus squared of the probability amplitude, $|t|^2=T$, the same as Eq. (6.45). As seen in Eq. (6.74), the probability of joint detection at $D_3$ and $D_4$, represented by the state $|1\rangle_3|1\rangle_4$, is zero.

物理代写|光学代写Optics代考|Quantum Light Interference

Let us now derive the output for the case of a single photon input, as shown in Fig. 7.3. Here, we clearly need a quantum description. The annihilation operator associated with photodetection at $D_3$ is
$$
\widehat{a}3=\left(t^2 e^{i k z_1}-r^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1+\left(-t r e^{i k z_1}-r t e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_2 $$ The first term follows from Eq. (7.1). The second term derives from the input on port 2, which is vacuum. Similar to Eq. (6.35), the probability of single photon detection at $D_3$ is $$ P_3=\left\langle\psi{\text {out }}\left|\widehat{N}3\right| \psi{\text {out }}\right\rangle
$$
Using Eq. (7.17), we can express Eq. (7.18) in terms of the input space. Assuming $r$ and $t$ are real, we get
$$
P_3={ }_2\left\langle\left. 0\right|_1\left\langle 1\left|\left[\left(t^2 e^{-i k z_1}-r^2 e^{-i k z_2}\right)\left(t^2 e^{i k z_1}-r^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1^{\dagger} \widehat{a}_1\right]\right| 1\right\rangle_1 \mid 0\right\rangle_2
$$
where all terms related to $\widehat{a}_2$ are omitted, because they result in zero when applied to the vacuum input, $|0\rangle_2$, on port 2. Evaluating Eq. (7.19) gives
$$
P_3=\left[R^2+T^2-2 R T \cos (k \Delta z)\right]
$$
which is the same as the classical result.
Similarly, the annihilation operator associated with photodetection at $D_4$ is
$$
\widehat{a}_4=\left(r t e^{i k z_1}+\operatorname{tr} e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1+\left(-r^2 e^{i k z_1}+t^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_2
$$
The probability of single photon detection at $D_4$ is $$
P_4=\left\langle\psi_{\text {out }}\left|\widehat{N}4\right| \psi{\text {out }}\right\rangle
$$
or, in terms of the input space:
$$
\begin{aligned}
P_4 & ={ }_2\left\langle\left. 0\right|_1\left\langle 1\left|\left[\left(r t e^{-i k z_1}+t r e^{-i k z_2}\right)\left(r t e^{i k z_1}+t r e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1^{\dagger} \widehat{a}_1\right]\right| 1\right\rangle_1 \mid 0\right\rangle_2 \
& =2 R T+2 R T \cos (k \Delta z)
\end{aligned}
$$
which is the same as the classical result.

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Entangled State

如果我们没有对分束器的输入，那么我们期望分束器的动作给出
$$
\text { beam } \underbrace{|0\rangle_1|0\rangle_2} \text { input } \stackrel{\text { splitter }}{\longrightarrow} \underbrace{|0\rangle_3|0\rangle_4} \text { output }
$$
图 1 中的单光子输入状态。6.4可以表示为
$$
\left|\psi_{\text {in }}\right\rangle=|1\rangle_1|0\rangle_2=\widehat{a}_1^{\dagger}|0\rangle_1|0\rangle_2
$$
根据方程式。(6.34) 和 (6.71)，等式。(6.72) 可以用方程式的输出空间来表示。(6.27):
$$
\text { beam } \quad \widehat{a}_1^{\dagger}|0\rangle_1|0\rangle_2 \stackrel{\text { splitter }}{\longrightarrow}\left(r \widehat{a}_3^{\dagger}+t \widehat{a}_4^{\dagger}\right)|0\rangle_3|0\rangle_4=r|1\rangle_3|0\rangle_4+t|0\rangle_3|1\rangle_4
$$
等式中的输出。(6.74) 称为光子在 $D_3$ 路径和 $D_4$ 小路。纠缠态是一种状态，它不能被分离或分解为单独 的产品状态；那是， $|\psi\rangle \neq\left|\psi_3\right\rangle_3\left|\psi_4\right\rangle_4$. 方程 (6.74) 不能分解为两个单独状态的乘积 (试一试) 。如果 您不熟恁纠缠，请不要担心。我们将在第 1 章中更详细地介绍这个主题。8. 方程式 (6.74) 告诉我们，端 口 1 上的单光子输入导致模式 3 中的单光子与模式 4 中的零光子惪加，反之亦然。单个光子沿 $D_3$ 路径 由 $r$ ，即系数 $|1\rangle_3|0\rangle_4$ 在等式中。(6.74)。相应的概率是概率幅度的模平方， $|r|^2=R$ ，与方程式相同。 (6.40)。单个光子沿 $D_4$ 路径由 $t$, 即系数 $|0\rangle_3|1\rangle_4$ 在等式中。(6.74)。相应的概率是概率幅度的模平方， $|t|^2=T$ ，与方程式相同。(6.45)。如方程式所示。(6.74)，联合检测的概率为 $D_3$ 和 $D_4$ ，以国家为代表 $|1\rangle_3|1\rangle_4$, 为零。

物理代写|光学代写Optics代考|Quantum Light Interference

现在让我们推导出单光子输入情况下的输出，如图 $7.3$ 所示。在这里，我们显然需要一个量子描述。与 光电探测相关的湮灭算子 $D_3$ 是
$$
\widehat{a} 3=\left(t^2 e^{i k z_1}-r^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}1+\left(-t r e^{i k z_1}-r t e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_2 $$ 第一项来自方程式。(7.1)。第二项来自端口 2 上的输入，即真空。类似于方程式。(6.35)，单光子探测概 率 $D_3$ 是 使用方程式。 (7.17)，我们可以表达Eq。(7.18) 在输入空间方面。假设 $r$ 和 $t$ 是真实的，我们得到 $$ P_3={ }_2\left\langle\left. 0\right|_1\left\langle 1\left|\left[\left(t^2 e^{-i k z_1}-r^2 e^{-i k z_2}\right)\left(t^2 e^{i k z_1}-r^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1^{\dagger} \widehat{a}_1\right]\right| 1\right\rangle_1 \mid 0\right\rangle_2 $$ 所有与相关的条款 $\widehat{a}_2$ 被省略，因为当应用于真空输入时它们会导致零， $|0\rangle_2$ ，在端口 2 上。评估 Eq。 (7.19) 给出 $$ P_3=\left[R^2+T^2-2 R T \cos (k \Delta z)\right] $$ 这与经典结果相同。 同样，与光电检测相关的湮灭算子 $D_4$ 是 $$ \widehat{a}_4=\left(r t e^{i k z_1}+\operatorname{tr} e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1+\left(-r^2 e^{i k z_1}+t^2 e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_2 $$ 单光子探测概率 $D_4$ 是 $$ P_4=\left\langle\psi{\text {out }}|\widehat{N} 4| \psi \text { out }\right\rangle
$$
或者，就输入空间而言:
$$
P_4={ }_2\left\langle\left. 0\right|_1\left\langle 1\left|\left[\left(r t e^{-i k z_1}+t r e^{-i k z_2}\right)\left(r t e^{i k z_1}+t r e^{i k z_2}\right) \widehat{a}_1^{\dagger} \widehat{a}_1\right]\right| 1\right\rangle_1 \mid 0\right\rangle_2=2 R T+2 R T
$$
这与经典结果相同。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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• Statistical Computing 统计计算
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物理代写|光学代写Optics代考|Coincident Measurements

Let us calculate the probability, $P_{34}$, of simultaneous detection at $D_3$ and $D_4$. Simultaneous detection events are called coincidence or correlation measurements. Classically, we would expect a fraction $R$ of a classical light intensity reflected to $D_3$ and a fraction $T$ transmitted to $D_4$, allowing simultaneous detection. Classically, we expect the intensity to be proportional to $\left(E_3\right)^2=R\left(E_1\right)^2$ at detector $D_3$ and $\left(E_4\right)^2=T\left(E_1\right)^2$ at detector $D_4$, giving the probability of double detection:
$$
\text { Classical : } P_{34}=\frac{R\left(E_1\right)^2 I\left(E_1\right)^2}{\left(E_1\right)^2\left(E_1\right)^2}=R T
$$
Let us calculate the probability of a coincident detection, $P_{34}$, for a single photon input on the beam splitter, as illustrated in Fig. 6.5. The simultaneous measurement is described by the operator $\widehat{a}4 \widehat{a}_3$ : $$ P{34}=\left\langle\psi_{\text {out }}\left|\left(\widehat{a}4 \widehat{a}_3\right)^{\dagger}\left(\widehat{a}_4 \widehat{a}_3\right)\right| \psi{\text {out }}\right\rangle=\left\langle\psi_{\text {out }}\left|\widehat{a}3^{\dagger} \widehat{a}_4^{\dagger} \widehat{a}_4 \widehat{a}_3\right| \psi{\text {out }}\right\rangle
$$
Using Eqs. (6.15) to (6.18) gives

Evaluating all the terms of Eq. (6.48) gives
$$
P_{34}=0
$$
Quantum mechanically, double detections are not possible for a single photon, which is very different than the classical result of Eq. (6.46). The single photon is detected at $D_3$ with probability $R$, or at $D_4$ with probability $T$, but never both simultaneously. Here, we have a nonclassical correlation. The absence of double detections must be the case if the concept of “single photon” is to make any sense at all. You can only detect a single photon once, either at $D_3$ or $D_4$.
Exercise 6.4 Evaluate Eq. (6.48), verifying that $P_{34}=0$.
The single photon beam splitter could be used as a random number generator. With a 50:50 beam splitter $(R=T=0.5)$, we have a probability $P_3=P_4=0.5$ that a single photon is detected at either $D_3$ or $D_4$. A single photon is launched into the heam splitter, and a 0 hit is assigned for detection at $D_3$, while a 1 hit is assigned for detection at $D_4$. After launching many single photons, one at a time, into the beam splitter, a random sequence of bits is generated, 00110101110… The random sequence of bits can be used to generate a random number.

物理代写|光学代写Optics代考|Second-Order Correlation Function

The correlations described in the previous section are usually described by a secondorder correlation function, $g^{(2)}(\tau)$, introduced in 1963 by Roy Glauber (Fig. 6.6), a pioneer of quantum optics [7]. The 2005 Nobel Prize in Physics was divided, one half awarded to Roy J. Glauber “for his contribution to the quantum theory of optical coherence,” the other half jointly to John L. Hall and Theodor W. Hänsch “for their contributions to the development of laser-based precision spectroscopy, including the optical frequency comb technique.”

First, we look at the classical definition of the second-order correlation function, which is given by
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(\tau)=\frac{\langle I(t) I(t+\tau)\rangle}{\langle I(t)\rangle^2}=\frac{\left\langle E^(t) E(t) E^(t+\tau) E(t+\tau)\right\rangle}{\left\langle E^(t) E(t)\right\rangle^2} $$ where $I \propto|E|^2=E^ E$. The brackets, \langle\rangle , indicate an average to account for intensity fluctuations during the measurement time. $g_{\text {classical }}^{(2)}(\tau)$ describes the correlation between two temporally separated intensity signals with time difference $\tau$ from one source. If $\tau=0, g_{\text {classical }}^{(2)}(0)$ is especially interesting, because it gives the probability of simultaneous detection events at two detectors, normalized to the probability of individual detection events at either detector. The ” 0 ” means no time delay between the two simultaneous detections.

Suppose the input to the beam splitter is treated as a classical source of light. For classical light, we have
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(0)=\frac{\left\langle R E_1^2 T E_1^2\right\rangle}{\left(R\left\langle E_1\right\rangle^2\right)\left(T\left\langle E_1\right\rangle^2\right)}
$$
$R$ and $T$ cancel out, and since $E_1^2$ is proportional to the light intensity, we get
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(0)=\frac{\left\langle I^2\right\rangle}{\langle I\rangle^2}
$$
Next, we can use the Cauchy-Schwarz inequality, which states $$
\left\langle I^2\right\rangle \geq\langle I\rangle^2
$$
for any positive random variable.

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Coincident Measurements

让我们计算一下概率， $P_{34}$ ，同时检测 $D_3$ 和 $D_4$. 同时检测事件称为重合或相关测量。传统上，我们期望 一小部分 $R$ 经典的光强度反射到 $D_3$ 和一小部分 $T$ 传给 $D_4$ ，允许同时检测。传统上，我们期望强度与 $\left(E_3\right)^2=R\left(E_1\right)^2$ 在探测器 $D_3$ 和 $\left(E_4\right)^2=T\left(E_1\right)^2$ 在探测器 $D_4$ ，给出双重检测的概率:
$$
\text { Classical : } P_{34}=\frac{R\left(E_1\right)^2 I\left(E_1\right)^2}{\left(E_1\right)^2\left(E_1\right)^2}=R T
$$
让我们计算重合检测的概率， $P_{34}$ ，对于分束器上的单个光子输入，如图 $6.5$ 所示。同时测量由操作者描 述 $\widehat{a} 4 \widehat{a}3$ : $$ P 34=\left\langle\psi{\text {out }}\left|\left(\widehat{a} 4 \widehat{a}3\right)^{\dagger}\left(\widehat{a}_4 \widehat{a}_3\right)\right| \psi \text { out }\right\rangle=\left\langle\psi{\text {out }}\left|\widehat{a} 3^{\dagger} \widehat{a}4^{\dagger} \widehat{a}_4 \widehat{a}_3\right| \psi \text { out }\right\rangle $$ 使用方程式。(6.15) 到 (6.18) 给出 评估等式的所有条款。(6.48) 给出 $$ P{34}=0
$$
在量子力学上，单个光子不可能进行双重检测，这与方程式的经典结果非常不同。(6.46)。检测到单个光 子 $D_3$ 有概率 $R$ ，或 $D_4$ 有概率 $T$ ，但绝不会同时出现。在这里，我们有一个非经典的相关性。如果“单光 子”的概念要有意义的话，就必须没有双重检测。您只能检测一次单个光子，无论是在 $D_3$ 或者 $D_4$. 练习 $6.4$ 计算方程式。(6.48)，验证 $P_{34}=0$.
单光子分束器可用作随机数发生器。带 $50: 50$ 分束器 $(R=T=0.5)$, 我们有一个概率 $P_3=P_4=0.5$ 在任一处检测到单个光子 $D_3$ 或者 $D_4$. 单个光子被发射到分束器中， 0 命中被指定用于 检测 $D_3$ ，而 1 命中被指定用于检测 $D_4$. 在将多个单光子（一次一个) 发射到分束器后，会生成一个随 机位序列，00110101110……该随机位序列可用于生成随机数。

物理代写|光学代写Optics代考|Second-Order Correlation Function

上一节中描述的相关性通常由二阶相关函数描述， $g^{(2)}(\tau)$ ，由 Roy Glauber（图 6.6) 于 1963 年提 出，他是量子光学的先驱 [7]。2005 年诺贝尔物理学奖分为两部分，一半授予 Roy J. Glauber， “因为他 对光学相干性的量子理论的贡献”，另一半共同授予 John L. Hall 和 Theodor W. Hänsch， “因为他们对 基于激光的精密光谱学的发展，包括光学频率梳技术。”
首先，我们看一下二阶相关函数的经典定义，它由下式给出
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(\tau)=\frac{\langle I(t) I(t+\tau)\rangle}{\langle I(t)\rangle^2}=\frac{\left.\left.\left\langle E^{(} t\right) E(t) E^{(} t+\tau\right) E(t+\tau)\right\rangle}{\left.\left\langle E^{(} t\right) E(t)\right\rangle^2}
$$
在哪里 $I \propto|E|^2=E^E$. 括号 Vangle\rangle 表示测量期间强度波动的平均值。 $g_{\text {classical }}^{(2)}(\tau)$ 描述了两 个时间上分离的强度信号与时间差之间的相关性 $\tau$ 来自一个来源。如果 $\tau=0, g_{\text {classical }}^{(2)}(0)$ 特别有趣， 因为它给出了两个检测器同时检测事件的概率，并归一化为任一检则楍的单个检测事件的概率。“0”表示 两次同时检测之间没有时间延迟。
假设分束器的输入被视为经典光源。对于经典光，我们有
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(0)=\frac{\left\langle R E_1^2 T E_1^2\right\rangle}{\left(R\left\langle E_1\right\rangle^2\right)\left(T\left\langle E_1\right\rangle^2\right)}
$$
$R$ 和 $T$ 抵消，因为 $E_1^2$ 与光强度成正比，我们得到
$$
g_{\text {classical }}^{(2)}(0)=\frac{\left\langle I^2\right\rangle}{\langle I\rangle^2}
$$
接下来，我们可以使用 Cauchy-Schwarz 不等式，它指出
$$
\left\langle I^2\right\rangle \geq\langle I\rangle^2
$$
对于任何正随机变量。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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物理代写|光学代写Optics代考|Quantum Harmonic Oscillator

As described in Chap. 1, the Hamiltonian for the quantum harmonic oscillator (QHO) is obtained by canonnical quantization where the coordinătès $(x, \not p)$ aree replaced by their quantum operators:

$$
\begin{aligned}
& \text { canonical } \
& H=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \stackrel{\text { quantization }}{\longrightarrow} \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 \widehat{x}^2 \
&
\end{aligned}
$$
where $\widehat{x}$ and $\widehat{p}$ obey the commutation relation:
$$
[\widehat{x}, \widehat{p}]=i \hbar
$$
Equation (2.12) can be used to find the momentum operator $\hat{p}$ in terms of the $x$ coordinate. Starting from Eq. (2.12) and according to the definition of the commutation relation:
$$
(\widehat{x} \hat{p}-\widehat{p} \hat{x})|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
Expanding the left side of Eq. (2.13) gives
$$
\widehat{x} \hat{p}|\psi\rangle-\widehat{p} \hat{x}|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
If $|\psi\rangle$ is in the position representation (i.e., $|\psi\rangle$ represents the familiar wavefunction, $\psi(\mathrm{x})$ ), then the operator $\hat{x}$ is simply the position, $x$; that is, $\hat{x}|\psi\rangle=x|\psi\rangle$. Thus, Eq. (2.14) becomes
$$
x \hat{p}|\psi\rangle-\widehat{p} x|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
In the second term on the left, $\widehat{p} x|\psi\rangle$, we apply the rules of partial differentiation, that is, the operator $\widehat{p}$ operates on $x$ while keeping $|\psi\rangle$ constant, and then $\widehat{p}$ operates on $|\psi\rangle$ while keeping $x$ constant. This gives
$$
x \widehat{p}|\psi\rangle-(\widehat{p} x)|\psi\rangle-x(\widehat{p}|\psi\rangle)=i \hbar|\psi\rangle
$$
In the second term on the left, $\widehat{p}$ operates on $x$ only.

物理代写|光学代写Optics代考|Dirac Formalism

Paul Dirac formulated an alternative approach to solve the QHO. Suppose $\hat{H}$ can be factorized as follows:
$$
\widehat{H}=\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}+E_0
$$
where $\widehat{O}$ is some operator and $\widehat{O}^{\dagger}$ is the Hermitian conjugate. If $\left|\psi_n\right\rangle$ is an eigenstate of $\widehat{H}$, then the eigenenergies are
$$
E_n=\left\langle\psi_n|\widehat{H}| \psi_n\right\rangle
$$
Substituting Eq. (2.30) for $\widehat{H}$ gives
$$
\begin{aligned}
E_n & =\left\langle\psi_n\left|\left(\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}+E_0\right)\right| \psi_n\right\rangle \
& =\left\langle\psi_n\left|\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}\right| \psi_n\right\rangle+E_0
\end{aligned}
$$
This means:
$$
E_n \geq E_0
$$
If $\widehat{O}\left|\psi_0\right\rangle=0$, then the minimum energy (ground state energy, $E_0$ ) is found. At this point, it is helpful to define dimensionless operators, $\widehat{Q}$ and $\widehat{P}$ :
$$
\widehat{Q}=\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} \widehat{x}
$$ $$
\widehat{P}=\sqrt{\frac{1}{m \hbar \omega}} \widehat{p}
$$
It is easily shown that Eqs. (2.11) and (2.12) become
$$
\begin{gathered}
\widehat{H}=\frac{\hbar \omega}{2}\left(\widehat{Q}^2+\widehat{P}^2\right) \
{[\widehat{Q}, \widehat{P}]=i}
\end{gathered}
$$

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Quantum Harmonic Oscillator

如第 1 章所述。1，量子谐振子 $(\mathrm{QHO})$ 的哈密顿量是通过规范量化获得的，其中坐标 $(x, p)$ 被 它们的量子运算符所取代:
$$
\text { canonical } \quad H=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \stackrel{\text { quantization }}{\longrightarrow} \widehat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 \widehat{x}^2
$$
在哪里和和服从交换关系:
$$
[\widehat{x}, \hat{p}]=i \hbar
$$
方程 (2.12) 可用于求动量算子 $\hat{p}$ 就 $x$ 协调。从等式开始。(2.12) 并根据对换关系的定义:
$$
(\widehat{x} \hat{p}-\hat{p} \hat{x})|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
扩大等式的左侧。(2.13) 给出
$$
\widehat{x} \hat{p}|\psi\rangle-\hat{p} \hat{x}|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
如果 $|\psi\rangle$ 在位置表示中 $($ 即 $|\psi\rangle$ 代表熟悉的波函数， $\psi(\mathrm{x}))$, 然后是运算符 $x$ 只是位置， $x$; 那是， $\hat{x}|\psi\rangle=x|\psi\rangle$. 因此，方程式。(2.14) 变成
$$
x \hat{p}|\psi\rangle-\hat{p} x|\psi\rangle=i \hbar|\psi\rangle
$$
在左边的第二项中， $\hat{p} x|\psi\rangle$ ，我们应用偏微分规则，即运算符 $\hat{p}$ 运作于 $x$ 同时保持 $|\psi\rangle$ 常数，然 后 $\hat{p}$ 运作于 $|\psi\rangle$ 同时保持 $x$ 持续的。这给
$$
x \hat{p}|\psi\rangle-(\hat{p} x)|\psi\rangle-x(\hat{p}|\psi\rangle)=i \hbar|\psi\rangle
$$
在左边的第二项中， $\hat{p}$ 运作于 $x$ 仅有的。

物理代写|光学代写Optics代考|Dirac Formalism

Paul Dirac 制定了另一种解决 $\mathrm{QHO}$ 的方法。认为 $\hat{H}$ 可以分解如下:
$$
\widehat{H}=\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}+E_0
$$
在哪里 $\widehat{O}$ 是一些运营商和 $\widehat{O}^{\dagger}$ 是厄米特共轭。如果 $\left|\psi_n\right\rangle$ 是的本征态 $\widehat{H}$ ，那么自己的能量是
$$
E_n=\left\langle\psi_n|\widehat{H}| \psi_n\right\rangle
$$
代入方程式 (2.30) 对于 $\widehat{H}$ 给
$$
E_n=\left\langle\psi_n\left|\left(\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}+E_0\right)\right| \psi_n\right\rangle=\left\langle\psi_n\left|\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O}\right| \psi_n\right\rangle+E_0
$$
这意味着:
$$
E_n \geq E_0
$$
如果 $\widehat{O}\left|\psi_0\right\rangle=0$ ，然后是最小能量（基态能量， $E_0$ ) 被发现。在这一点上，定义无量纲运算 符是有帮助的， $\widehat{Q}$ 和 $\widehat{P}$ :
$$
\begin{aligned}
\widehat{Q} & =\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} \widehat{x} \
\widehat{P} & =\sqrt{\frac{1}{m \hbar \omega}} \hat{p}
\end{aligned}
$$
很容易证明方程式。(2.11) 和 (2.12) 变为
$$
\widehat{H}=\frac{\hbar \omega}{2}\left(\widehat{Q}^2+\widehat{P}^2\right)[\widehat{Q}, \widehat{P}]=i
$$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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• Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|光学代写Optics代考|Commutation Relations

Dirac showed that the canonically conjugate variables $\left(\widehat{q}i, \widehat{p}_j\right)$ of the quantum system satisfy the commutation relation: $$ \left[\widehat{q}_i, \widehat{p}_j\right]=i \hbar \delta{i j}
$$
where $\delta_{i j}$ is the Kronecker function and, by definition,
$$
\left[\widehat{q}_i, \widehat{p}_j\right]=\widehat{q}_i \widehat{p}_j-\widehat{p}_j \widehat{q}_i
$$
Thus, when $i=j$, we say that $\widehat{q}_i$ and $\widehat{p}_i$ “do not commute”; that is, $\left[\widehat{q}_i, \widehat{p}_i\right]=$ $\widehat{q}_i \widehat{p}_i-\widehat{p}_i \widehat{q}_i=i \hbar$. Otherwise, the operators commute. For example, when the generalized coordinates $\left(\widehat{q}_i, \widehat{p}_i\right)$ are the position and momentum, we have
$$
\begin{aligned}
& {\left[\widehat{x}, \widehat{p}_x\right]=i \hbar} \
& {\left[\widehat{y}, \widehat{p}_y\right]=i \hbar} \
& {\left[\widehat{z}, \widehat{p}_z\right]=i \hbar}
\end{aligned}
$$
Thus, position and momentum along the same direction do not commute (e.g., $\hat{x}$ and $\widehat{p}_x$ do not commute), while position and momentum along different directions do commute (e.g., $\widehat{x}$ and $\widehat{p}_y$ commute). Eq. (1.20) leads to the well-known Heisenberg uncertainty relation:
$$
\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}
$$
with the same relation for the $y$ and $z$ directions arising from Eq. (1.21) and (1.22), respectively. In Eq. (1.23), $\Delta x$ is the uncertainty in position $x$ and $\Delta p_x$ is the uncertainty in momentum along $x$. Uncertainty is defined as the standard deviation or root mean square (rms) error:
$$
\begin{gathered}
\Delta x=\sqrt{\left\langle(x-\langle x\rangle)^2\right\rangle} \
=\sqrt{\left\langle x^2+\langle x\rangle^2-2 x\langle x\rangle\right\rangle} \
=\sqrt{\left\langle x^2\right\rangle-\langle x\rangle^2}
\end{gathered}
$$
where the brackets \langle\rangle denote an average (in quantum mechanics, this is called the “expectation value” of $x$ ).

物理代写|光学代写Optics代考|Classical Harmonic Oscillator

Consider a classical system comprised of a particle of mass, $m$, and position, $x$, moving in a one-dimensional parabolic potential:
$$
U(x)=\frac{1}{2} k x^2=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
$$
where $k$ is a force constant and $\omega=\sqrt{k / m}$ is the angular frequency. The harmonic oscillator arises in a wide variety of classical systems, but most often as a mass on a spring described by Hooke’s law $(F=-k x)$. The generalized coordinates for this system are simply the position and momentum:
$$
\begin{gathered}
q \rightarrow x \
p \rightarrow m \frac{d x}{d t}
\end{gathered}
$$
and the Hamiltonian becomes

$$
H=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
$$
The Hamilton equations become
$$
\begin{gathered}
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}=v \
\frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-m \omega^2 x=-\frac{\partial U}{\partial x}=F
\end{gathered}
$$
The first equation is the definition of momentum $(p=m v)$, while the second equation reproduces Newton’s equation $\left(F=\frac{d p}{d t}\right)$. Thus, $x$ and $p$ satisfy the Hamilton equations (they give the correct dynamical behavior) and are therefore canonically conjugate variables.

Equations (2.5) and (2.6) are easily solved. Combining the two equations gives
$$
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\omega^2 x
$$
with the solution
$$
x=a \cos (\omega t+\varphi)
$$
where the amplitude, $a$, and phase, $\varphi$, are determined by initial conditions. Equivalently, the solution may be written as
$$
x=A e^{-i \omega t}+\text { c.c. }
$$

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Commutation Relations

狄拉克表明，典型的共轭变量 $\left(\hat{q} i, \hat{p}j\right)$ 量子系统满足对换关系: $$ \left[\hat{q}_i, \hat{p}_j\right]=i \hbar \delta i j $$ 在哪里 $\delta{i j}$ 是克罗内克函数，根据定义，
$$
\left[\hat{q}_i, \hat{p}_j\right]=\hat{q}_i \hat{p}_j-\hat{p}_j \hat{q}_i
$$
因此，当 $i=j$ ，我们说 $\hat{q}_i$ 和 $\hat{p}_i$ “不要上下班”；那是， $\left[\hat{q}_i, \hat{p}_i\right]=\hat{q}_i \hat{p}_i-\hat{p}_i \hat{q}_i=i \hbar$. 否则， 运营商上下班。例如，当广义坐标 $\left(\hat{q}_i, \hat{p}_i\right)$ 是位置和动量，我们有
$$
\left[\widehat{x}, \hat{p}_x\right]=i \hbar \quad\left[\hat{y}, \hat{p}_y\right]=i \hbar\left[\hat{z}, \hat{p}_z\right]=i \hbar
$$
因此，沿同一方向的位置和动量不会交换 (例如， $\hat{x}$ 和 $\hat{p}_x$ 不通勒)，而沿不同方向的位置和动 量确实通勤 (例如，和 $\hat{p}_y$ 通勒) 。当量。(1.20) 导出著名的海森堡不确定关系:
$$
\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}
$$
具有相同的关系 $y$ 和 $z$ 由方程式产生的方向。分别为 (1.21) 和 (1.22)。在等式中。(1.23), $\Delta x$ 是 位置的不确定性 $x$ 和 $\Delta p_x$ 是动量的不确定性 $x$. 不确定性定义为标准偏差或均方根 (rms) 误差:
$$
\Delta x=\sqrt{\left\langle(x-\langle x\rangle)^2\right\rangle}=\sqrt{\left\langle x^2+\langle x\rangle^2-2 x\langle x\rangle\right\rangle}=\sqrt{\left\langle x^2\right\rangle-\langle x\rangle^2}
$$
其中括号 Vangle Irangle 表示平均值 (在量子力学中，这称为“期望值” $x$ ).

物理代写|光学代写Optics代考|Classical Harmonic Oscillator

考虑一个由质量粒子组成的经典系统， $m$, 和位置, $x$ ，在一维抛物线势中移动:
$$
U(x)=\frac{1}{2} k x^2=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
$$
在哪里 $k$ 是力常数，并且 $\omega=\sqrt{k / m}$ 是角频率。谐振子出现在各种各样的经典系统中，但最 常见的是胡克定律描述的弹簧上的质量 $(F=-k x)$. 该系统的广义坐标只是位置和动量:
$$
q \rightarrow x p \rightarrow m \frac{d x}{d t}
$$
哈密顿量变为
$$
H=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
$$
哈密顿方程变为
$$
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}=v \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-m \omega^2 x=-\frac{\partial U}{\partial x}=F
$$
第一个方程是动量的定义 $(p=m v)$, 而第二个方程再现了牛顿方程 $\left(F=\frac{d p}{d t}\right)$. 因此， $x$ 和 $p$ 满足哈密顿方程 (它们给出了正确的动力学行为)，因此是典型的共轭变量。
等式 (2.5) 和 (2.6) 很容易求解。结合这两个方程翖出
$$
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\omega^2 x
$$
与解决方案
$$
x=a \cos (\omega t+\varphi)
$$
其中振幅， $a$ ，和相位， $\varphi$ ，由初始条件决定。等价地，解可以写成
$$
x=A e^{-i \omega t}+\text { c.c. }
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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物理代写|光学代写Optics代考|Hamiltonian Mechanic

Hamiltonian mechanics was formulated by William Rowan Hamilton in 1833. Hamiltonian mechanics is equivalent to Newton’s laws of motion but provides a simplification of the analysis for many dynamical systems. Another approach is Lagrangian mechanics, which we leave to the reader as a topic for independent study. In Hamiltonian mechanics, a system is described by canonically conjugate variables denoted by $q_i$ and $p_i$ :
$$
q_1, q_2, \ldots, q_i, \ldots ; p_1, p_2, \ldots, p_i, \ldots
$$
$q_i$ and $p_i$ are also called the generalized position and momentum coordinates, respectively. For example, $q_1, q_2$ and $q_3$ may refer to the actual position coordinates $(x, y, z)$ of a particle and $p_1, p_2$ and $p_3$ correspond to its linear momentum $\left(p_x, p_y\right.$ and $\left.p_2\right)$. If there is more than one particle, then $q_4, q_5, q_6, p_4, p_5$ and $p_6$ are the corresponding variables for the second particle, and so on. In general, $q_i$ and $p_i$ may represent dynamic variables other than position and momentum, depending on the system. For example, to describe a pendulum (Exercise 1.1), it is easier to assign $q_i$ as the angle of the pendulum and $p_i$ as the angular momentum. The $q_i$ and $p_i$ variables, if they are canonically conjugate variables, satisfy the Hamilton equations:

$$
\begin{gathered}
\frac{d q_i}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_i} \
\frac{d p_i}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}
\end{gathered}
$$
where $H$ is the Hamiltonian and $t$ is the time. The Hamiltonian is the total energy of the system (kinetic energy plus potential energy) expressed in terms of the generalized coordinates.

To illustrate Hamilton’s approach, let us find the equations of motion for a particle of mass $m$ in a one-dimensional potential, $U(x)$, shown in Fig. 1.1. Although $U(x)$ is actually the potential energy, physicists often abbreviate this simply as “the potential”. In this example, suppose the generalized coordinates $\left(q_i, p_i\right)$ are the position $(x)$ and momentum $(p)$ of the particle:
$$
\begin{gathered}
q \rightarrow x \
p \rightarrow m \frac{d x}{d t}
\end{gathered}
$$
The Hamiltonian is the total energy (kinetic energy plus potential energy) expressed in terms of the generalized coordinates from Eqs. (1.4) and (1.5):
$$
H-\frac{p^2}{2 m}+U(x)
$$

物理代写|光学代写Optics代考|Canonical Quantization

Canonical quantization is a prescribed method of finding the Hamiltonian of a quantum system. The procedure was developed by Paul Dirac in 1925 (Fig. 1.2). Dirac proposed that any system for which we have a classical description can be quantized according to the procedure of canonical quantization. In canonical quantization, the generalized coordinates of the classical description, found by Hamilton’s approach (described in the previous section), are replaced by the corresponding quantum operators (denoted by a “hat”, )):
$$
H\left(q_1, \ldots, q_i, \ldots ; p_1, \ldots, p_i, \ldots\right) \stackrel{\substack{\text { canonical } \ \text { quantization }}}{\longrightarrow} \widehat{H}\left(\widehat{q}_1, \ldots, \widehat{q}_i, \ldots ; \widehat{p}_1, \ldots, \widehat{p}_i, \ldots\right)
$$ where the classical description is on the left and the quantum description is on the right. The Hamiltonian of the quantum system, $\widehat{H}$, is expressed in terms of the generalized coordinates (now operators) on the right-hand side of Eq. (1.14). For example, according to Sect. 1.1, the generalized coordinates for a particle of mass $m$ in a potential, $U(x)$, are $x$ and $p$. The Hamiltonian for the corresponding quantum system becomes
$$
\begin{aligned}
& \text { canonical } \
& H=\frac{p^2}{2 m}+U(x) \stackrel{\text { quantization }}{\longrightarrow} \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2 m}+U(\hat{x}) \
&
\end{aligned}
$$
Once you know $\widehat{H}$ of the quantum system, you can determine its quantum properties from the time-dependent Schrodinger equation:
$$
i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=\widehat{H}|\psi\rangle
$$
where $|\psi\rangle$ is the state of the system and $\hbar$ is the reduced Planck constant $(\hbar=h / 2 \pi)$. You may remember from introductory quantum mechanics that Eq. (1.16) reduces to the time-independent Schrodinger equation for stationary states:
$$
\widehat{H}\left|\psi_n\right\rangle=E_n\left|\psi_n\right\rangle
$$
where $E_n$ are the eigenenergies and $\left|\psi_n\right\rangle$ are the eigenstates (basis states) of the system.

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Hamiltonian Mechanic

哈密顿力学由 William Rowan Hamilton 于 1833 年制定。哈密顿力学等同于牛顿运动定律， 但简化了许多动力系统的分析。另一种方法是拉格朗日力学，我们将其留给读者作为独立研究 的主题。在哈密顿力学中，系统由表示为的规范共轭变量描述 $q_i$ 和 $p_i$ :
$$
q_1, q_2, \ldots, q_i, \ldots ; p_1, p_2, \ldots, p_i, \ldots
$$
$q_i$ 和 $p_i$ 也分别称为广义位置和动量坐标。例如， $q_1, q_2$ 和 $q_3$ 可参考实际位置坐标 $(x, y, z)$ 一个 粒子和 $p_1, p_2$ 和 $p_3$ 对应于它的线性动量 $\left(p_x, p_y\right.$ 和 $\left.p_2\right)$. 如果有一个以上的粒子，则 $q_4, q_5, q_6, p_4, p_5$ 和 $p_6$ 是第二个粒子的相应变量，依此类推。一般来说， $q_i$ 和 $p_i$ 可能表示位置 和动量以外的动态变量，具体取决于系统。例如，要描述一个钟摆（练习 1.1），更容易分配 $q_i$ 作为摆的角度和 $p_i$ 作为角动量。这 $q_i$ 和 $p_i$ 变量，如果它们是典型共轭变量，则满足 Hamilton 方程:
$$
\frac{d q_i}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{d p_i}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}
$$
在哪里 $H$ 是哈密顿量和 $t$ 是时候了。哈密顿量是以广义坐标表示的系统总能量（动能力势能）。
为了说明汉密尔顿的方法，让我们找出质量粒子的运动方程 $m$ 在一维势能中， $U(x)$ ，如图1.1 所示。虽然 $U(x)$ 实际上是势能，物理学家通常将其简称为“势能”。在这个例子中，假设广义坐 标 $\left(q_i, p_i\right)$ 是位置 $(x)$ 和势头 $(p)$ 粒子的:
$$
q \rightarrow x p \rightarrow m \frac{d x}{d t}
$$
哈密顿量是根据方程式的广义坐标表示的总能量（动能加势能）。(1.4) 和 (1.5):
$$
H-\frac{p^2}{2 m}+U(x)
$$

物理代写|光学代写Optics代考|Canonical Quantization

规范量化是寻找量子系统哈密顿量的规定方法。该程序由 Paul Dirac 于 1925 年开发 (图
1.2）。狄拉克提出，任何具有经典描述的系统都可以根据规范量化过程进行量化。在规范量化 中，通过哈密顿方法 (在上一节中描述) 找到的经典描述的广义坐标被相应的量子算子 (用“帽 子”表示) 代替:
$$
H\left(q_1, \ldots, q_i, \ldots ; p_1, \ldots, p_i, \ldots\right) \stackrel{\text { canonical quantization }}{\longrightarrow} \widehat{H}\left(\hat{q}_1, \ldots, \hat{q}_i, \ldots ; \hat{p}_1, \ldots, \hat{p}_i\right.
$$
其中经典描述在左边，量子描述在右边。量子系统的哈密顿量， $\widehat{H}$, 以等式右侧的广义坐标 (现在为运算符) 表示。(1.14)。例如，根据教派。1.1，质量粒子的广义坐标 $m$ 在一个潜在 的， $U(x)$ ， 是 $x$ 和 $p$. 相应量子系统的哈密顿量变为
$$
\text { canonical } \quad H=\frac{p^2}{2 m}+U(x) \stackrel{\text { quantization }}{\longrightarrow} \widehat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2 m}+U(\hat{x})
$$
一旦你知道 $\widehat{H}$ 的量子系统，你可以从时间相关的薛定谔方程确定它的量子特性:
$$
i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=\widehat{H}|\psi\rangle
$$
在哪里 $|\psi\rangle$ 是系统的状态和 $\hbar$ 是减少的普朗克常数 $(\hbar=h / 2 \pi)$. 你可能还记得量子力学的介 绍，方程式。(1.16) 简化为静止状态的时间无关的薛定谔方程:
$$
\widehat{H}\left|\psi_n\right\rangle=E_n\left|\psi_n\right\rangle
$$
在哪里 $E_n$ 是自己的能量和 $\left|\psi_n\right\rangle$ 是系统的本征态 (基态) 。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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物理代写|光学代写Optics代考|MIXTURES, POLYMER-DISPERSED

In general, temperature ranges for the various mesophases of single constituent liquid crystals are quite limited. Therefore, while many fundamental studies are still conducted on such liquid crystalline materials, industrial applications employ mostly mixtures, composites, or specially doped liquid crystals with large operating temperature range and tailor-made physical and optical properties.

There are many techniques for modifying the physical properties of a liquid crystal. At the most fundamental level, various chemical groups such as bonds or atoms can be introduced to modify the LC molecule. A good example is the cyanobiphenyl homologous series $n \mathrm{CB}(n=1,2,3 \ldots)$. As $n$ is increased through synthesis, the viscosities, anisotropies, molecular sizes, and many other parameters are greatly modified. Some of these physical properties can also be modified by substitution. For example, the hydrogen in the 2,3 , and 4 positions of the phenyl ring may be substituted by some fluoro $(\mathrm{F})$ or chloro $(\mathrm{Cl})$ group [14].

Besides these molecular synthesis techniques, there are other ways to dramatically improve the performance characteristics of liquid crystals. In the following sections, we describe three well-developed methods, focusing our discussion on nematic liquid crystals as they exemplify the unique characteristics of liquid crystals widely used in optical and photonic applications.

物理代写|光学代写Optics代考|Dye-doped Liquid Crystals

An obvious effect of introducing dye molecule to liquid crystals is to increase the absorption of a particular liquid crystal at some specified wavelength region. In particular, dye molecules with absorption anisotropy, or those that undergo conformation changes such as trans-cis isomorphism or produce photo-charges, are often used for photonic applications [15-17]. For example, dichroic dye molecules that are more absorptive for optical field polarization parallel than perpendicular to its long axis are often used for the guest-host effect as their oblong shape makes them compatible for dispersing in the host nematic liquid crystals without disturbing the order. These dichroic molecules can then be oriented and reoriented by an external field applied to the host NLC to switch the transmission of the cell (cf. Figure 1.17); such dichroic dye-doped liquid crystals have been utilized to demonstrate optical diode action [15] in the transmission of polarized light.

If the dye molecules undergo some physical changes such as trans-cis isomorphism or produce space charges following photon absorption, they could give rise to nonlinear optical effects [16]; others [17] have shown that dye molecules deposited on the cell windows can be optically aligned as an effective means of surface alignment mechanism for I.C. cell fabrication. These and other effects due to the presence of dye molecules or other photosensitive agents in liquid crystals are discussed in more detail in Chapter 8.

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|MIXTURES, POLYMER-DISPERSED

通常，单组分液晶的各种中间相的温度范围非常有限。因此，尽管仍在对此类液晶材料进行许多基础研究，但工业应用主要采用混合物、复合材料或特殊掺杂的液晶，这些液晶具有较大的工作温度范围和定制的物理和光学特性。

有许多技术可以改变液晶的物理性质。在最基本的层面上，可以引入各种化学基团（例如键或原子）来修饰 LC 分子。一个很好的例子是氰基联苯同系物nC乙(n=1,2,3…). 作为n通过合成增加，粘度、各向异性、分子大小和许多其他参数都得到了很大的修改。这些物理性质中的一些也可以通过替代来改变。例如，苯环的 2,3 和 4 位的氢可以被一些氟取代(F)或氯(Cl)组[14]。

除了这些分子合成技术之外，还有其他方法可以显着提高液晶的性能特性。在以下部分中，我们将描述三种成熟的方法，重点讨论向列液晶，因为它们体现了广泛用于光学和光子应用的液晶的独特特性。

物理代写|光学代写Optics代考|Dye-doped Liquid Crystals

将染料分子引入液晶的一个明显效果是增加特定液晶在某些特定波长区域的吸收。特别是，具有吸收各向异性的染料分子，或那些经历构象变化（如反式-顺式同构）或产生光电荷的染料分子，通常用于光子应用 [15-17]。例如，对平行于其长轴的光场偏振比垂直于其长轴更容易吸收的二向色染料分子通常用于客体-主体效应，因为它们的长方形形状使其兼容分散在主体向列液晶中而不会干扰顺序。然后，这些二向色分子可以通过施加到宿主 NLC 的外部场进行定向和重新定向，以切换细胞的传输（参见图 1.17）；

如果染料分子发生一些物理变化，例如反式同构或在光子吸收后产生空间电荷，它们可能会产生非线性光学效应[16]；其他人 [17] 已经表明，沉积在电池窗口上的染料分子可以光学对准，作为 IC 电池制造的表面对准机制的有效手段。由于液晶中染料分子或其他光敏剂的存在而产生的这些和其他影响将在第 8 章中更详细地讨论。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

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物理代写|光学代写Optics代考|Lyotropic Liquid Crystals

Lyotropic liquid crystals are obtained when an appropriate concentration of material is dissolved in some solvent. The most common systems are those formed by water and amphiphilic molecules (molecules that possess a hydrophilic part that interacts strongly with water and a hydrophobic part that is water insoluble) such as soaps, detergents, and lipids. Here the most important variable controlling the existence of the liquid crystalline phase is the amount of solvent (or concentration). There are quite a number of phases observed in such water-amphiphilic systems, as the composition and temperature are varied; some appear as spherical micelles, and others possess ordered structures with 1-, 2-, or 3-D positional order.

Examples of these kinds of molecules are soaps (Figure 1.8) and various phospholipids like those present in cell membranes. Lyotropic liquid crystals are of interest in biological studies [7].

Polymeric liquid crystals are basically the polymer versions of the monomers discussed in Section 1.1. A good account of polymeric liquid crystals may be found in [9]. There are three common types of polymers, as shown in Figure 1.9a-c, which are characterized by the degree of flexibility. The vinyl type (Figure 1.9a) is the most flexible, the Dupont Kevlar polymer (Figure 1.9b) is semirigid, and the polypeptide chain (Figure 1.9c) is the most rigid. Mesogenic (or liquid crystalline) polymers are classified in accordance with the molecular architectural arrangement of the mesogenic monomer. Main-chain polymers are built by linking rigid mesogenic groups in a manner depicted schematically in Figure 1.10a; the link may be a direct bond or some flexible spacer. Liquid crystal side-chain polymers are formed by pendant side attachment of mesogenic monomers to a conventional polymeric chain, as depicted in Figure 1.10b.

物理代写|光学代写Optics代考|Thermotropic Liquid Crystals

Although the molecular structures of thermotropic liquid crystals are quite complicated, they are often represented as “rigid rods” that interact with one another to form distinctive ordered structures (or phases) as a function of ascending temperature: crystals, smectic, nematic, cholesteric (including blue-phase), and the isotropic liquid phase. In smectic liquid crystals, there are several subclassifications in accordance with the positional and directional arrangement of the molecules.

As explained in greater detail in the following chapters, these mesophases are defined and characterized by many physical parameters such as long- and shortrange order, orientational distribution functions, and so on. Here we continue to use the rigid-rod model and pictorially describe these phases in terms of their molecular arrangement.

Figure $1.11$ depicts the collective arrangement of the rodlike molecules in the nematic phase schematically. These molecules are, however, directionally correlated; they are aligned in a general direction defined by a unit vector $\tilde{n}$, the so-called director axis, which may be regarded as the crystal axis. Nevertheless, the molecules are positionally random and exhibit flow very much like liquids; X-ray diffraction from nematics does not exhibit any diffraction peak.

Although individual molecules of nematic liquid crystal (NLC), cholesteric liquid crystal (CLC), and blue-phase liquid crystal (BPLC) may be polar, i.e. carry a permanent dipole, they tend to self-assemble themselves in such a manner that bulk liquid crystals are centrosymmetric, cf. Figure 1.12; their physical properties are the same in the $+\hat{n}$ and the optically uniaxial $-\hat{n}$ directions.

Cholesteric liquid crystals, often also called chiral nematic liquid crystals, resemble nematic liquid crystals except that the molecules assembled in a helical manner, as depicted in Figure 1.11. This property results from the addition of chiral agents to nematic constituents in the starting mixture. Owing to the spatially (helical) varying refractive index, CLCs possess special optical properties such as photonic bandgaps for transmission of circularly polarized lights. More details on CLC as well as cholesteric BPLCs obtained by increasing the concentration of the chiral constituent $[10]$ in the starting mixture are presented in Chapter 4.

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Lyotropic Liquid Crystals

当适当浓度的材料溶解在某种溶剂中时，获得溶致液晶。最常见的系统是由水和两亲分子（具有与水强烈相互作用的亲水部分和不溶于水的疏水部分的分子）形成的系统，例如肥皂、洗涤剂和脂质。这里控制液晶相存在的最重要变量是溶剂的量（或浓度）。随着成分和温度的变化，在这种水-两亲系统中观察到相当多的相；一些显示为球形胶束，而另一些则具有具有 1-、2- 或 3-D 位置顺序的有序结构。

这类分子的例子有肥皂（图 1.8）和各种磷脂，例如存在于细胞膜中的磷脂。溶致液晶在生物学研究中很受关注 [7]。

聚合物液晶基本上是 1.1 节中讨论的单体的聚合物版本。在 [9] 中可以找到对聚合物液晶的一个很好的说明。共有三种常见类型的聚合物，如图 1.9ac 所示，它们的特征在于柔韧性程度。乙烯基类型（图 1.9a）最柔韧，Dupont Kevlar 聚合物（图 1.9b）是半刚性的，而多肽链（图 1.9c）是最刚性的。介晶（或液晶）聚合物根据介晶单体的分子结构排列进行分类。主链聚合物是通过以图 1.10a 中示意性描述的方式连接刚性介晶基团来构建的；链接可能是直接键或一些柔性垫片。

物理代写|光学代写Optics代考|Thermotropic Liquid Crystals

尽管热致液晶的分子结构相当复杂，但它们通常被表示为“刚性棒”，它们相互作用形成独特的有序结构（或相）作为温度升高的函数：晶体、近晶型、向列型、胆甾型（包括蓝相）和各向同性液相。在近晶液晶中，根据分子的位置和方向排列有几个亚类。

正如以下章节中更详细解释的那样，这些中间相由许多物理参数定义和表征，例如长程和短程有序、取向分布函数等。在这里，我们继续使用刚杆模型，并根据它们的分子排列形象地描述这些相。

数字1.11示意性地描绘了向列相中棒状分子的集体排列。然而，这些分子是方向相关的。它们在由单位向量定义的一般方向上对齐n~，即所谓的导向轴，可以看作是晶轴。然而，分子的位置是随机的，并且非常像液体一样流动。向列相的 X 射线衍射不显示任何衍射峰。

尽管向列型液晶 (NLC)、胆甾型液晶 (CLC) 和蓝相液晶 (BPLC) 的单个分子可能是极性的，即带有永久偶极子，但它们倾向于以这样的方式自我组装液晶是中心对称的，参见。图 1.12；它们的物理性质在+n^和光学单轴−n^方向。

胆甾型液晶，通常也称为手性向列液晶，类似于向列液晶，只是分子以螺旋方式组装，如图 1.11 所示。这种性质是由于将手性试剂添加到起始混合物中的向列成分所致。由于空间（螺旋）变化的折射率，CLC 具有特殊的光学特性，例如用于传输圆偏振光的光子带隙。通过增加手性成分浓度获得的 CLC 以及胆甾型 BPLC 的更多详细信息[10]在第 4 章中介绍了起始混合物。

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物理代写|光学代写Optics代考|MOLECULAR STRUCTURES AND CHEMICAL COMPOSITIONS

With few exceptions, liquid crystals are composed of organic substances with a typical structure, as depicted in Figure 1.1. They are aromatic and, if they contain benzene rings, they are often referred to as benzene derivatives. In general, aromatic liquid crystal molecules such as those shown in Figure $1.1$ comprise a side chain $\mathrm{R}$, two or more aromatic rings $\mathrm{A}$ and $\mathrm{A}^{\prime}$, connected by linkage groups $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$, and at the other end connected to a terminal group $\mathrm{R}^{\prime}$.

Examples of side chain and terminal groups are alkyl $\left(\mathrm{C}n \mathrm{H}{2 n+1}\right)$, alkoxy $\left(\mathrm{C}n \mathrm{H}{2 n+1} \mathrm{O}\right)$, and others such as acyloxyl, alkyl carbonate, alkoxy carbonyl, and the nitro and cyano groups. The Xs of the linkage groups are simple bonds or groups such as stilbene $(-\mathrm{CH}==\mathrm{CH}-)$, ester $(-\underset{\mathrm{C}}{\mathrm{O}} \mathrm{O}-)$, tolane $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$, azoxy $(-\mathrm{N}==\mathrm{N}-)$, Schiff base $(-\mathrm{CH}==\mathrm{N}-)$, acetylene $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$, and diacetylene $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$. The names of liquid crystals are often fashioned after the linkage group (e.g. Schiff-base liquid crystal). There are quite a number of aromatic rings. These include saturated cyclohexane or unsaturated phenyl, biphenyl, and terphenyl in various combinations.

The majority of liquid crystals are benzene derivatives; the rest include heterocyclics, organometallics, sterols, and some organic salts or fatty acids. Their typical structures are shown in Figures 1.2-1.4. Heterocyclic liquid crystals are similar in

structure to benzene derivatives, with one or more of the benzene rings replaced by a pyridine, pyrimidine, or another similar group. Cholesterol derivatives are the most common chemical compounds that exhibit the cholesteric (or chiral nematic) phase of liquid crystals. Organometallic compounds are special in that they contain metal-
lic atoms and possess interesting dynamical and magneto-optical properties.
All the physical and optical properties of liquid crystals such as dielectric. constants, elastic constants, viscosities, absorption spectra, transition temperatures, the existence of mesophases, anisotropies, and optical nonlinearities are governed by the properties of these constituent groups and how they are chemically synthesized together. Since these molecules are quite large and anisotropic, and therefore very complex, it would take a treatise to discuss all the possible variations in the molecular architecture and the resulting changes in their physical properties. Nevertheless, there are some general observations one can make on the dependence of the physical properties on the molecular constituents [2]. For example, the chemical stability of liquid crystals depends very much on the central linkage group. Schiff-base liquid crystals are usually quite unstable. Ester, azo, and azoxy compounds are more stable but are also quite susceptible to moisture, temperature change, and ultraviolet (UV) radiation. Compounds without a central linkage group are among the most stable liquid crystals ever synthesized. The most widely studied one is $5 \mathrm{CB}$ (pentyl cyanobiphenyl), whose structure is shown in Figure 1.5. Other compounds such as pyrimide and phenyl cyclohexane are also quite stable.

物理代写|光学代写Optics代考|Electronic Optical Transitions and UV Absorption

Since liquid crystal constituent molecules are quite large, their energy level structures are rather complex. In essence, the basic quantum mechanical theory is similar to the one described in Chapter 10 for a multilevel molecule. Generally, the energy levels are referred to as orbitals: $\pi, n$, and $\sigma$ orbitals for the ground and low-lying levels and $\pi^{+}, n^{+}$, and $\sigma^{+}$for their excited counterparts. Since most liquid crystals are aromatic compounds, containing one or more aromatic rings, the energy levels or orbitals of aromatic rings play a major role. In particular, the $\pi \rightarrow \pi^$ transitions in a benzene molecule have been extensively studied. Figure $1.6$ shows three possible $\pi \rightarrow \pi^$ transitions in a benzene molecule.

In general, these transitions correspond to the absorption of light in the near-UV spectral region $(\leq 200 \mathrm{~nm})$ [2]. These results for a benzene molecule can also be used for interpreting the absorption of liquid crystals containing phenyl rings. On the other hand, in a saturated cyclohexane ring or band, usually only $\sigma$ electrons are involved. The $\sigma \rightarrow \sigma^$ transitions correspond to absorption of light of shorter wavelength $(\leq 180 \mathrm{~nm})$ in comparison to the $\pi \rightarrow \pi^$ transition mentioned previously.
These optical properties are also related to the presence or absence of conjugation (i.e. alternations of single and double bonds, as in the case of a benzene ring). In such conjugated molecules, the $\pi$ electron’s wave function is delocalized along the conjugation length, resulting in absorption of light in a longer wavelength region compared to, for example, that associated with the $\sigma$ electron in compounds that do not possess conjugation. Absorption data and spectral dependence for a variety of molecular constituents, including phenyl rings, biphenyls, terphenyls, tolanes, and diphenyl-diacetylenes, may be found in [2].

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|MOLECULAR STRUCTURES AND CHEMICAL COMPOSITIONS

除了少数例外，液晶由具有典型结构的有机物质组成，如图 $1.1$ 所示。它们是芳香的，如果它们含有苯环，它们通 常被称为苯衍生物。一般来说，芳香族液晶分子如图所示。1.1包含侧链 $\mathrm{R}$, 两个或多个芳环 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{A}^{\prime}$ ，由联动群连接 $\mathrm{X}$ 和 $\mathrm{Y}$ ，另一端连接到一个终端组 $\mathrm{R}^{\prime}$.
侧链和末端基团的例子是烷基 $(\mathrm{C} n \mathrm{H} 2 n+1)$ ，烷氧基 $(\mathrm{C} n \mathrm{H} 2 n+1 \mathrm{O})$ ，以及其他如酰氧基、碳酸烷基酯、烷氧 基羰基以及硝基和氢基。连接基团的 $\mathrm{X}$ 是简单的键或基团，例如二苯乙烯 $(-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}-)$ ，酯 $(-\mathrm{OO}-)$ ，甲苯 胺 $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$, 偶氨 $(-\mathrm{N}=\mathrm{N}-)$, 席夫碱 $(-\mathrm{CH}=\mathrm{N}-)$, 乙炔 $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$, 和二乙炔 $(-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-\mathrm{C} \equiv \equiv \mathrm{C}-)$. 液晶的名称通常取自连接基团 (例如席夫碱液晶)。有相当多的芳香环。这些包括 各种组合的饱和环己烷或不饱和苯基、联苯和三联苯。
大多数液晶是苯衍生物; 其余的包括杂环化合物、有机金属化合物、甾醇和一些有机盐或脂肪酸。它们的典型结构 如图 1.2-1.4 所示。杂环液晶类似
结构为苯衍生物，其中一个或多个苯环被吡啶、嘧啶或其他类似基团取代。胆固醇衍生物是表现出液晶的胆甾相 (或手性向列相) 的最常见的化合物。有机金属化合物的特殊之处在于它们含有金属
原子并具有有趣的动力学和磁光特性。
液晶的所有物理和光学特性，例如电介质。常数、弹性常数、粘度、吸收光谱、转变温度、中间相的存在、各向异 性和光学非线性取决于这些组成基团的性质以及它们如何化学合成在一起。由于这些分子非常大且各向异性，因此 非常复杂，因此需要一篇论文来讨论分子结构的所有可能变化以及由此产生的物理性质变化。然而，对于物理性质 对分子成分的依赖性，我们可以做出一些一般性的观察 [2]。例如，液晶的化学稳定性很大程度上取决于中心连接 基团。席夫碱液晶通常非常不稳定。酯、偶疡和偶氮氧基化合物更稳定，但也很容易受到水分、温度变化和紫外线 (UV) 辐射的影响。没有中心连接基团的化合物是有史以来合成的最稳定的液晶之一。研究最广泛的一种是 $5 \mathrm{CB}$ (戊基氛基联苯)，其结构如图 $1.5$ 所示。其他化合物如嘧啶和苯基环己烷也相当稳定。

物理代写|光学代写Optics代考|Electronic Optical Transitions and UV Absorption

由于液晶组成分子较大，其能级结构较为复杂。本质上，基本的量子力学理论类似于第 10 章中描述的多能级分子 理论。通常，能级被称为轨道: $\pi, n$ ，和 $\sigma$ 地面和低层轨道和 $\pi^{+}, n^{+}$，和 $\sigma^{+}$为他们兴奋的同行。由于大多数液 晶是芳香族化合物，含有一个或多个芳香环，因此芳香环的能级或轨道起着主要作用。特别是，
\pi \rightarrow \pi^苯分子中的跃迁已被广泛研究。数字1.6显示三种可能\ipi \rightarrow \pi^苯分子中的跃迁。
通常，这些跃迁对应于近紫外光谱区域中的光吸收 $(\leq 200 \mathrm{~nm})[2]$ 。苯分子的这些结果也可用于解释含有苯环的 对较短波长的光的吸收 $(\leq 180 \mathrm{~nm})$ 相比 $\backslash$ pi \rightarrow $\backslash \mathrm{pi} \wedge$ 前面提到的过渡。
这些光学特性也与共轭的存在或不存在有关 (即单键和双键的交替，如苯环的情况)。在这样的共轭分子中， $\pi$ 电 子的波函数沿共轭长度离域，导致与例如与 $\sigma$ 不具有共轭的化合物中的电子。各种分子成分的吸收数据和光谱依赖 性，包括苯环、联苯、三联苯、甲苯和二苯基-联乙炔，可以在 [2] 中找到。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

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物理代写|光学代写Optics代考|General Stress Tensor for Nematic Liquid Crystals

The general theoretical framework for describing the hydrodynamics of liquid crystals has been developed principally by Leslie [16] and Ericksen [17]. Their approaches account for the fact that the stress tensor depends not only on the velocity gradients but also on the orientation and rotation of the director. Accordingly, the stress tensor is given by
$$
\sigma_{\alpha \beta}=\alpha_1 n_\gamma n_\delta A_{\gamma \delta} n_\alpha n_\beta+\alpha_2 n_{\alpha \alpha} n_\beta+\alpha_3 n_\beta n_\alpha+\alpha_4 A_{\alpha \beta}+\alpha_5 n_\gamma A_{\gamma \beta}+\alpha_6 n_\beta n_\gamma A_{\gamma \alpha}
$$
where the $A_{\alpha \beta}$ s are defined by
$$
A_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial v_\beta}{\partial x_\alpha}+\frac{\partial v_\alpha}{\partial x_\beta}\right]
$$
Note that all the other terms on the right-hand side of Eq. (3.59) involve the director orientation, except the fourth term, $\alpha_4 A_{\alpha \beta}$.This is the same term as that for an isotropic fluid (cf. Eq. [3.57]), that is, $\alpha_4=2 \eta$.

Therefore, in this formalism, we have six so-called Leslie coefficients, $\alpha_1, \alpha_2, \ldots$, $\alpha_6$, which have the dimension of viscosity coefficients. It was shown by Parodi [18] that
$$
\alpha_2+\alpha_3=\alpha_6-\alpha_5
$$
and so there are really five independent coefficients.
In the next few sections, we will study exemplary cases of director axis orientation and deformation, and we will show how these Leslie coefficients are related to other commonly used viscosity coefficients.

物理代写|光学代写Optics代考|Flows with Fixed Director Axis Orientation

Consider here the simplest case of flows in which the director axis orientation is held fixed. This may be achieved by a strong externally applied magnetic field (see Figure 3.11), where the magnetic field is along the direction $\hat{n}$. Consider the case of shear flow, where the velocity is in the $z$-direction, and the velocity gradient is along the $x$-direction. This process could occur, for example, in liquid crystals confined by two parallel plates in the $y$-z plane.

In terms of the orientation of the director axis, there are three distinct possibilities involving three corresponding viscosity coefficients:

1. $\eta_1: \hat{n}$ is parallel to the velocity gradient, that is, along the $x$-axis $\left(\theta=90^{\circ}, \phi=0^{\circ}\right)$.
2. $\eta_2: \hat{n}$ is parallel to the flow velocity, that is, along the $z$-axis and lies in the shear plane $x-z\left(\theta=0^{\circ}, \phi=0^{\circ}\right)$.
3. $\eta_3: \hat{n}$ is perpendicular to the shear plane, that is, along the $y$-axis $\left(\theta=0^{\circ}, \phi\right.$ $\left.=90^{\circ}\right)$.

These three configurations have been investigated by Miesowicz [19], and the $\eta$ s are known as Miesowicz coefficients. In the original paper, as well as in the treatment by deGennes [3], the definitions of $\eta_1$ and $\eta_3$ are interchanged. In deGennes notation, in terms of $\eta_a, \eta_b$, and $\eta_c$, we have $\eta_a=\eta_1, \eta_b=\eta_2$, and $\eta_c=\eta_3$. The notation used here is attributed to Helfrich [6], which is now the conventional one.

To obtain the relations between $\eta_{1,2,3}$ and the Leslie coefficients $\alpha_{1,2, \ldots, 6}$, one could evaluate the stress tensor $\sigma_{\alpha \beta}$ and the shear rate $A_{\alpha \beta}$ for various director orientations and flow and velocity gradient directions. From these considerations, the following relationships are obtained [3]:

$$
\begin{aligned}
&\eta_1=\frac{1}{2}\left(\alpha_4+\alpha_5-\alpha_2\right) \
&\eta_2=\frac{1}{2}\left(\alpha_3+\alpha_4+\alpha_6\right) \
&\eta_3=\frac{1}{2} \alpha_4
\end{aligned}
$$
In the shear plane $x-z$, the general effective viscosity coefficient is actually more correctly expressed in the form [20]
$$
\eta_{\mathrm{eff}}=\eta_1+\eta_2 \cos ^2 \theta+\eta_2
$$
in order to account for angular velocity gradients. The coefficient $\eta_{1,2}$ is related to the Leslie coefficient $\alpha_1$ by
$$
\eta_{1,2}=\alpha_1 .
$$

光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|General Stress Tensor for Nematic Liquid Crystals

描述液晶流体动力学的一般理论框架主要由 Leslie [16] 和 Ericksen [17] 开发。他们的方法解释了这样一个事实， 即应力张量不仅取决于速度梯度，还取决于导向器的方向和旋转。因此，应力张量由下式给出
$$
\sigma_{\alpha \beta}=\alpha_1 n_\gamma n_\delta A_{\gamma \delta} n_\alpha n_\beta+\alpha_2 n_{\alpha \alpha} n_\beta+\alpha_3 n_\beta n_\alpha+\alpha_4 A_{\alpha \beta}+\alpha_5 n_\gamma A_{\gamma \beta}+\alpha_6 n_\beta n_\gamma A_{\gamma \alpha}
$$
在哪里 $A_{\alpha \beta} \mathrm{S}$ 定义为
$$
A_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial v_\beta}{\partial x_\alpha}+\frac{\partial v_\alpha}{\partial x_\beta}\right]
$$
请注意，方程式右侧的所有其他项。(3.59) 涉及董事定向，除第四项外， $\alpha_4 A_{\alpha \beta}$. 这与各向同性流体的术语相同 (参见方程式 [3.57])，即 $\alpha_4=2 \eta$.
因此，在这个形式中，我们有六个所谓的莱斯利系数， $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_6$ ，具有粘度系数的维数。Parodi [18] 表明
$$
\alpha_2+\alpha_3=\alpha_6-\alpha_5
$$
所以实际上有五个独立的系数。
在接下来的几节中，我们将研究导向轴取向和变形的示例，并展示这些 Leslie 系数与其他常用粘度系数的关系。

物理代写|光学代写Optics代考|Flows with Fixed Director Axis Orientation

这里考虑最简单的流动情况，其中导向轴方向保持固定。这可以通过一个强大的外加磁场来实现（见图 3.11）， 其中磁场沿方向 $\hat{n}$. 考虑剪切流的情况，其中速度在 $z$-方向，速度梯度沿 $x$-方向。例如，这个过程可能发生在由两 个平行板限制的液晶中。 $y-z$ 平面。
就导向轴的方向而言，存在三种不同的可能性，涉及三个相应的粘度系数：

1. $\eta_1: \hat{n}$ 平行于速度梯度，即沿 $x$-轴 $\left(\theta=90^{\circ}, \phi=0^{\circ}\right)$.
2. $\eta_2: \hat{n}$ 平行于流速，即沿 $z$-轴并且位于剪切平面内 $x-z\left(\theta=0^{\circ}, \phi=0^{\circ}\right)$.
3. $\eta_3: \hat{n}$ 垂直于剪切面，即沿 $y$-轴 $\left(\theta=0^{\circ}, \phi=90^{\circ}\right)$.
   Miesowicz [19] 研究了这三种配置，并且 $\eta$ s 称为 Miesowicz 系数。在原始论文以及 deGennes [3] 的处理中，定 义 $\eta_1$ 和 $\eta_3$ 被互换。在 deGennes 表示法中，根据 $\eta_a, \eta_b$ ，和 $\eta_c$ ，我们有 $\eta_a=\eta_1, \eta_b=\eta_2$ ，和 $\eta_c=\eta_3$. 这里 使用的符号归功于 Helfrich [6]，它现在是传统的符号。
   获得之间的关系 $\eta_{1,2,3}$ 和莱斯利系数 $\alpha_{1,2, \ldots, 6}$ ，可以评估应力张量 $\sigma_{\alpha \beta}$ 和剪切速率 $A_{\alpha \beta}$ 适用于各种导向器方向以及 流动和速度梯度方向。从这些考虑，得到以下关系[3]:
   $$
   \eta_1=\frac{1}{2}\left(\alpha_4+\alpha_5-\alpha_2\right) \quad \eta_2=\frac{1}{2}\left(\alpha_3+\alpha_4+\alpha_6\right) \eta_3=\frac{1}{2} \alpha_4
   $$
   在剪切平面 $x-z ， 一$ 般有效粘度系数实际上更正确地表示为 [20]
   $$
   \eta_{\text {eff }}=\eta_1+\eta_2 \cos ^2 \theta+\eta_2
   $$
   为了考虑角速度梯度。系数 $\eta_{1,2}$ 与莱斯利系数有关 $\alpha_1$ 经过
   $$
   \eta_{1,2}=\alpha_1
   $$

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