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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Darboux’s theorem
Theorem 2.5.1 (Darboux’s theorem) Let $\alpha$ be a contact form on the $(2 n+1)$-dimensional manifold $M$ and $p$ a point on $M$. Then there are coordinates $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n, z$ on a neighbourhood $U \subset M$ of $p$ such that $p=(0, \ldots, 0)$ and
$$
\left.\alpha\right|U=d z+\sum{j=1}^n x_j d y_j .
$$
Remark 2.5.2 Observe that the $\operatorname{map}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, z) \mapsto\left(\varepsilon \mathbf{x}, \varepsilon \mathbf{y}, \varepsilon^2 z\right)$ is a contactomorphism of the standard contact structure $\xi_{\text {st }}$ on $\mathbb{R}^{2 n+1}$ for any $\varepsilon \in \mathbb{R}^{+}$. Therefore it is an immediate consequence of the Darboux theorem that there is a contact embedding of the closed unit ball $B_{\mathrm{st}}$ in $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$ into $(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ which sends the origin to $p$. Here ‘contact embedding of $B_{\mathrm{st}}$ ‘ simply means a contactomorphism of a small open neighbourhood of $B_{\mathrm{st}}$ in $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$ onto its image in $(M, \xi)$; later we shall encounter a more general concept of contact embeddings.
In fact, by Proposition 2.1.8 and Example 2.1.10 there is a contactomorphism of $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$ with a relatively compact subset of itself, and hence by scaling with a subset of $B_{\text {st }}$. So we can also construct a contactomorphism between $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$ and a neighbourhood of $p$ in $(M, \xi)$.
Proof of Theorem 2.5.1 We may assume without loss of generality that $M=\mathbb{R}^{2 n+1}$ and $p=\mathbf{0}$ is the origin of $\mathbb{R}^{2 n+1}$. Choose linear coordinates
$$
x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots y_n, z
$$
on $\mathbb{R}^{2 n+1}$ such that
$$
\text { on } T_0 \mathbb{R}^{2 n+1}:\left{\begin{array}{l}
\alpha\left(\partial_z\right)=1, \quad i_{\partial_z} d \alpha=0, \
\partial_{x_j}, \partial_{y_j} \in \operatorname{ker} \alpha(j=1, \ldots, n), d \alpha=\sum_{j=1}^n d x_j \wedge d y_j .
\end{array}\right.
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Isotropic submanifolds
Let $L \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ be an isotropic submanifold in a contact manifold with cooriented contact structure. Write $\left.(T L)^{\perp} \subset \xi\right|_L$ for the sub-bundle of $\left.\xi\right|L$ that is symplectically orthogonal to $T L$ with respect to the symplectic bundle structure $\left.d \alpha\right|{\xi}$. As we have seen in the preceding symplectic interlude, the conformal class of this symplectic bundle structure only depends on the contact structure $\xi$, not on the choice of contact form $\alpha$ defining $\xi$. So the bundle $(T L)^{\perp}$ is determined by $\xi$.
The fact that $L$ is isotropic implies $T L \subset(T L)^{\perp}$. Lemma 1.3 .3 allows us to make the following definition, see [241].
Definition 2.5.3 The quotient bundle
$$
\operatorname{CSN}_M(L):=(T L)^{\perp} / T L
$$
with the conformal symplectic structure induced by $d \alpha$ is called the conformal symplectic normal bundle of $L$ in $M$.
So the normal bundle $N L:=\left(\left.T M\right|_L\right) / T L$ of $L$ in $M$ can be split as
$$
N L \cong\left(\left.T M\right|_L\right) /\left(\left.\xi\right|_L\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_L\right) /(T L)^{\perp} \oplus \operatorname{CSN}_M(L) .
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Darboux’s theorem
定理2.5.1(达布定理)设$\alpha$为$(2 n+1)$维流形$M$上的一个接触形式，$p$为$M$上的一个点。然后在$p$的邻居$U \subset M$上有坐标$x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n, z$，这样$p=(0, \ldots, 0)$和
$$
\left.\alpha\right|U=d z+\sum{j=1}^n x_j d y_j .
$$
2.5.2注意:对于任何$\varepsilon \in \mathbb{R}^{+}$, $\operatorname{map}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, z) \mapsto\left(\varepsilon \mathbf{x}, \varepsilon \mathbf{y}, \varepsilon^2 z\right)$都是$\mathbb{R}^{2 n+1}$上的标准触点结构$\xi_{\text {st }}$的触点形态。因此，达布定理的直接结果是，$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$中的闭合单位球$B_{\mathrm{st}}$在$(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$中有一个接触嵌入，它将原点发送到$p$。在这里，“$B_{\mathrm{st}}$的接触嵌入”仅仅意味着将$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$中的一个小的开放邻域$B_{\mathrm{st}}$与其在$(M, \xi)$中的图像的接触形态;稍后我们将遇到更一般的接触嵌入概念。
事实上，根据命题2.1.8和例2.1.10,$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$与它自己的一个相对紧的子集有一个接触同构，因此通过缩放与$B_{\text {st }}$的一个子集。因此我们也可以在$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$和$(M, \xi)$的一个邻域$p$之间构造一个接触形态。
定理证明2.5.1我们可以不失一般性地假设$M=\mathbb{R}^{2 n+1}$和$p=\mathbf{0}$是$\mathbb{R}^{2 n+1}$的起源。选择线性坐标
$$
x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots y_n, z
$$
在$\mathbb{R}^{2 n+1}$上
$$
\text { on } T_0 \mathbb{R}^{2 n+1}:\left{\begin{array}{l}
\alpha\left(\partial_z\right)=1, \quad i_{\partial_z} d \alpha=0, \
\partial_{x_j}, \partial_{y_j} \in \operatorname{ker} \alpha(j=1, \ldots, n), d \alpha=\sum_{j=1}^n d x_j \wedge d y_j .
\end{array}\right.
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Isotropic submanifolds
设$L \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$为具有共向接触结构的接触流形中的各向同性子流形。对于相对于辛束结构$\left.d \alpha\right|{\xi}$与$T L$辛正交的$\left.\xi\right|L$子束，写$\left.(T L)^{\perp} \subset \xi\right|_L$。正如我们在前面的辛的插曲中所看到的，这个辛束结构的共形类只取决于接触结构$\xi$，而不取决于接触形式$\alpha$定义$\xi$的选择。因此，bundle $(T L)^{\perp}$由$\xi$决定。
$L$是各向同性的这一事实意味着$T L \subset(T L)^{\perp}$。引理1.3 .3允许我们做出如下定义，参见[241]。
2.5.3商束
$$
\operatorname{CSN}_M(L):=(T L)^{\perp} / T L
$$
由$d \alpha$诱导的共形辛结构称为$M$中$L$的共形辛法向束。
因此，$M$中$L$的正常bundle $N L:=\left(\left.T M\right|_L\right) / T L$可以拆分为
$$
N L \cong\left(\left.T M\right|_L\right) /\left(\left.\xi\right|_L\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_L\right) /(T L)^{\perp} \oplus \operatorname{CSN}_M(L) .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。