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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Example of a Closed Operator
Locally Integrable Functions. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set. A real- or complex-valued function $u$ defined on $\Omega$ is said to be locally integrable if, for every point $x \in \Omega$, there exists a ball $B=B(x, \epsilon) \subset \Omega$ such that the restriction of function $u$ to $B$ is summable in $B$, i.e., $\left.u\right|B \in L^1(B)$. Equivalently, for every compact set $K \subset \Omega,\left.u\right|_K \in L^1(K)$, comp. Exercise 5.11.1. The locally integrable functions form a vector space, denoted $L{l o c}^1(\Omega)$, that plays a crucial role in the theory of distributions.
Distributional Derivatives. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set, $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ a multi-index, and $u \in L^p(\Omega)$ an arbitrary $L^p$-function. A function $u^\alpha$ defined on $\Omega$ is called the distributional derivative of $u$, denoted $D^\alpha u$, iff
$$
\int_{\Omega} u D^\alpha \varphi d x=(-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} u^\alpha \varphi d x \forall \varphi \in C_0^{\infty}(\Omega)
$$
where $C_0^{\infty}(\Omega)$ is the space of test functions discussed in Section 5.3. (It is understood that function $u^\alpha$ must satisfy sufficient conditions for the right-hand side to exist.)
Notice that the notion of the distributional derivative is a generalization of the classical derivative. Indeed, in the case of a $C^{|\alpha|}$ function $u$, the formula above follows from the (multiple) integration by parts and the fact that test functions, along with their derivatives, vanish on the boundary $\partial \Omega$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Examples of Dual Spaces, Representation Theorem for Topological Duals of $L^p$ Spaces
Let $f \in U^{\prime}=\mathcal{L}(U, \mathbb{R})$. As in Chapter 2, it is customary to represent the functional $f$ as a duality pairing; i.e., we usually write
$$
f(\boldsymbol{u})=\langle f, \boldsymbol{u}\rangle, \quad f \in U^{\prime}, \quad \boldsymbol{u} \in U
$$
Then the symbol $\langle\cdot, \cdot\rangle$ can be regarded as a bilinear map from $U^{\prime} \times U$ into $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$.
Now, since $f(\boldsymbol{u})$ is a real or complex number, $|f(\boldsymbol{u})|=|\langle f, \boldsymbol{u}\rangle|$. Hence, in view of what was said about the norms on spaces $\mathcal{L}(U, V)$ of linear operators, the norm of an element of $U^{\prime}$ is given by
$$
|f|_{U^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{u} \in U}\left{\frac{|\langle f, \boldsymbol{u}\rangle|}{|\boldsymbol{u}|_U}, \boldsymbol{u} \neq \mathbf{0}\right} $$ Hence we always have $$ |\langle f, \boldsymbol{u}\rangle| \leq|f|{U^{\prime}}|\boldsymbol{u}|_U \quad f \in U^{\prime}, \boldsymbol{u} \in U
$$
which in particular implies that the duality pairing is continuous (explain, why?).
Before we proceed with some general results concerning dual spaces, we present in this section a few nontrivial examples of dual spaces in the form of so-called representation theorems. The task of a representation theorem is to identify elements from a dual space (i.e., linear and continuous functionals defined on a normed space) with elements from some other space, for instance some other functions, through a representation formula relating functionals with those functions. The representation theorems not only provide meaningful characterizations of dual spaces, but are also of great practical value in applications.
The main result we present in this chapter is the representation theorem for the duals of the spaces $L^p(\Omega)$, $1 \leq p<\infty$
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Example of a Closed Operator
局部可积函数。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$为开放集。定义在$\Omega$上的实值或复值函数$u$是局部可积的，如果对于每个点$x \in \Omega$，存在一个球$B=B(x, \epsilon) \subset \Omega$，使得函数$u$到$B$的限制可以在$B$上求和，即$\left.u\right|B \in L^1(B)$。同样地，对于每个紧集$K \subset \Omega,\left.u\right|_K \in L^1(K)$，比较练习5.11.1。局部可积函数形成一个向量空间，记为$L{l o c}^1(\Omega)$，它在分布理论中起着至关重要的作用。
分配导数。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$是一个开放集，$\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$是一个多索引，$u \in L^p(\Omega)$是一个任意的$L^p$函数。在$\Omega$上定义的函数$u^\alpha$称为$u$的分布导数，记为$D^\alpha u$, iff
$$
\int_{\Omega} u D^\alpha \varphi d x=(-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} u^\alpha \varphi d x \forall \varphi \in C_0^{\infty}(\Omega)
$$
其中$C_0^{\infty}(\Omega)$是5.3节中讨论的测试函数的空间。(可以理解，函数$u^\alpha$必须满足右边存在的充分条件。)
注意分配导数的概念是对经典导数的推广。的确，在$C^{|\alpha|}$函数$u$的情况下，上面的公式是从(多重)分部积分和测试函数及其导数在边界$\partial \Omega$上消失的事实中得出的。
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Examples of Dual Spaces, Representation Theorem for Topological Duals of $L^p$ Spaces
让$f \in U^{\prime}=\mathcal{L}(U, \mathbb{R})$。在第2章中，习惯上将函数$f$表示为对偶配对;例如，我们通常写
$$
f(\boldsymbol{u})=\langle f, \boldsymbol{u}\rangle, \quad f \in U^{\prime}, \quad \boldsymbol{u} \in U
$$
那么，符号$\langle\cdot, \cdot\rangle$可以看作是从$U^{\prime} \times U$到$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$的双线性映射。
现在，因为$f(\boldsymbol{u})$是实数或复数，$|f(\boldsymbol{u})|=|\langle f, \boldsymbol{u}\rangle|$。因此，考虑到线性算子在空间$\mathcal{L}(U, V)$上的范数，$U^{\prime}$上的一个元素的范数由式给出
$$
|f|_{U^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{u} \in U}\left{\frac{|\langle f, \boldsymbol{u}\rangle|}{|\boldsymbol{u}|_U}, \boldsymbol{u} \neq \mathbf{0}\right} $$因此我们总是有$$ |\langle f, \boldsymbol{u}\rangle| \leq|f|{U^{\prime}}|\boldsymbol{u}|_U \quad f \in U^{\prime}, \boldsymbol{u} \in U
$$
这特别意味着对偶配对是连续的(解释一下，为什么?)
在我们继续讨论关于对偶空间的一些一般结果之前，我们在本节中以所谓的表示定理的形式给出对偶空间的一些不平凡的例子。表示定理的任务是通过将函数与其他函数联系起来的表示公式，识别对偶空间(即在赋范空间上定义的线性和连续泛函)中的元素与其他空间(例如其他函数)中的元素。这些表示定理不仅提供了对偶空间的有意义的表征，而且在实际应用中具有很大的实用价值。
本章给出的主要结果是空间对偶的表示定理$L^p(\Omega)$， $1 \leq p<\infty$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。