分类：实分析作业代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中，实分析是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。

实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写实分析Real analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写实分析Real analysis代写方面经验极为丰富，各种代写实分析Real analysis相关的作业也就用不着说。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

Let $\left{u_n\right}$ be a real sequence. A real number $l$ is said to be a subsequential limit of the sequence $\left{u_n\right}$ if there exists a subsequence of $\left{u_n\right}$ that converges to $l$.

Theorem 5.12.1. A real number $l$ is a subsequential limit of a sequence $\left{u_n\right}$ if and only if every neighbourhood of $l$ contains infinitely many elements of the sequence $\left{u_n\right}$.

Proof. Let $l$ be a subsequential limit of the sequence $\left{u_n\right}$. Then there exists a subsequence $\left{u_{r_n}\right}$ such that $\lim {n \rightarrow \infty} u{r_n}=l$.

Let us choose a positive $\epsilon$. Then there exists a natural number $k$ such that $l-\epsilon<u_{r_n}<l+\epsilon$ for all $n \geq k$.
Therefore $l-\epsilon<u_n<l+\epsilon$ for infinitely many values of $n$.
Since $\epsilon$ is arbitrary, every neighbourhood of $l$ contains infinite number of elements of the sequence $\left{u_n\right}$.

Conversely, let the sequence $\left{u_n\right}$ be such that for each pre-assigned positive $\epsilon$ the $\epsilon$-neighbourhood of $l$ contains infinitely many elements of the sequence.

Let $\epsilon=1$. Then $l-1r_1\right)$ in $S_2$ such that $l-\frac{1}{2}<u_{r_2}<l+\frac{1}{2}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Characterisation of a compact set

Fheorem 5.13.1. Let $K$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$ : Then $K$ is compact if and only if every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$.
Proof. Let $K$ be a compact set. Let $\left{x_n\right}$ be a sequence in $K$.
Since $K$ is compact, $K$ is a closed and hounded set. Since $\left{x_n\right}$ is a sequence in $K$, it is a bounded sequence and by Bolzano-Weierstrass theorem it has a convergent subsequence, say $\left{x_{r_n}\right}$. Let $\lim {n \rightarrow \infty} x{r_n}=l$.
We prove that $l \in K$.
Let $l \notin K$. Then $l \in \mathbb{R}-K$. Since $K$ is a closed set, it follows that $\mathbb{R}-K$ is an open set and $l$ is an interior point of $\mathbb{R}-K$. So there exists a neighbourhood $N(l)$ of $l$ such that $N(l) \subset \mathbb{R}-K$.

Hence $N(l)$ contains no element of the sequence $\left{x_{r_n}\right}$ and therefore $l$ cannot be the limit of the sequence $\left{x_{r_n}\right}$, a contradiction.
Therefore $l \in K$.

Thus every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$.

Conversely, suppose that $K$ is a non-empty subset of $\mathbb{R}$ with the property that every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$. Let $T$ be an infinite subset of $K$.
Let $x_1 \in T, x_2 \in T-\left{x_1\right}, x_3 \in T-\left{x_1, x_2\right}, \ldots \ldots$
Continuing thus we obtain a sequence $\left{x_n\right}$ of distinct elements in $K$. By hypothesis there is a subsequence $\left{x_{r_n}\right}$ which converges to some point $x$ in $K$. Therefore $x$ is a limit point of the set $T$.

Thus $K$ is such that every infinite subset of $K$ has a limit point in $K$ and therefore $K$ is compact.
[Theorem 3.16.4] This completes the proof.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

让$\left{u_n\right}$成为一个真实的序列。如果存在一个收敛于$l$的$\left{u_n\right}$子序列，则实数$l$被称为序列$\left{u_n\right}$的子序列极限。

定理5.12.1。实数$l$是数列$\left{u_n\right}$的子序列极限，当且仅当$l$的每个邻域包含数列$\left{u_n\right}$的无穷多个元素。

证明。设$l$为序列$\left{u_n\right}$的子序列极限。然后存在一个子序列$\left{u_{r_n}\right}$，使得$\lim {n \rightarrow \infty} u{r_n}=l$。

让我们选择一个积极的$\epsilon$。那么存在一个自然数$k$，使得$l-\epsilon<u_{r_n}<l+\epsilon$对于所有$n \geq k$。
因此对于无穷多个$n$的值是$l-\epsilon<u_n<l+\epsilon$。
因为$\epsilon$是任意的，所以$l$的每个邻域都包含无穷多个序列$\left{u_n\right}$的元素。

反过来，设序列$\left{u_n\right}$对于每一个预分配的正$\epsilon$, $l$的$\epsilon$ -邻域包含该序列的无穷多个元素。

让$\epsilon=1$。然后$l-1r_1\right)$在$S_2$这样的$l-\frac{1}{2}<u_{r_2}<l+\frac{1}{2}$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Characterisation of a compact set

forem 5.13.1。设$K$为$\mathbb{R}$的非空子集:则$K$是紧的，当且仅当$K$中的每个序列都有收敛于$K$中的一个点的子序列。
证明。设$K$为紧集。设$\left{x_n\right}$为$K$中的一个序列。
因为$K$是紧凑的，所以$K$是一个封闭的集合。由于$\left{x_n\right}$是$K$中的一个序列，因此它是一个有界序列，并且根据Bolzano-Weierstrass定理，它有一个收敛子序列，例如$\left{x_{r_n}\right}$。让$\lim {n \rightarrow \infty} x{r_n}=l$。
我们证明$l \in K$。
让$l \notin K$。然后$l \in \mathbb{R}-K$。因为$K$是一个闭集，所以$\mathbb{R}-K$是一个开集，$l$是$\mathbb{R}-K$的一个内点。所以存在一个$l$的邻域$N(l)$使得$N(l) \subset \mathbb{R}-K$。

因此$N(l)$不包含序列$\left{x_{r_n}\right}$的元素，因此$l$不可能是序列$\left{x_{r_n}\right}$的极限，这是一个矛盾。
因此$l \in K$。

因此，$K$中的每个序列都有一个收敛于$K$中的一个点的子序列。

相反，假设$K$是$\mathbb{R}$的非空子集，其性质是$K$中的每个序列都有收敛到$K$中的一个点的子序列。设$T$是$K$的无限子集。
让$x_1 \in T, x_2 \in T-\left{x_1\right}, x_3 \in T-\left{x_1, x_2\right}, \ldots \ldots$
继续这样，我们得到了$K$中不同元素的序列$\left{x_n\right}$。假设有一个子序列$\left{x_{r_n}\right}$收敛于$K$中的某一点$x$。因此$x$是集合$T$的一个极限点。

因此$K$使得$K$的每一个无限子集在$K$中都有一个极限点，因此$K$是紧致的。
[定理3.16.4]这就完成了证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Power functions

Posted on 2023年5月23日2023年5月23日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Power functions

Case 1. Let $n$ be an even positive integer.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by $f(x)=x^n, x \in \mathbb{R}$. The range of $f$ is $[0, \infty)$
$f$ is not injective on $\mathbb{R}$ since $f(c)=f(-c)$ for all $c \in \mathbb{R}$ :
Let $x_1, x_2 \in[0, \infty)$ and $0 \leq x_1<x_2$. Then $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$. $f$ is a strictly increasing function on $[0, \infty)$.

Let $x_1, x_2 \in(-\infty, 0]$ and $x_1f\left(x_2\right) . f$ is a strictly decreasing function on $(-\infty, 0]$.
If we restrict the domain of $f$ to $[0, \infty)$, then the function $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ defined by $f(x)=x^n, x \in[0, \infty)$ is a strictly increasing function on $[0, \infty)$ and therefore $f$ is injective on $[0, \infty)$.

For each $y \in(0, \infty)$ there exists a unique $x \in(0, \infty)$ such that $x^n=y$ $[2.4 .23$, worked Ex 8]. This together with $f(0)=0$ shows that $f$ is surjective.

Therefore $f$ is a bijective function and the inverse function $f^{-1}$ is defined by $f^{-1}(x)=x^{\frac{\lambda}{n}}, x \in[0, \infty)$.

This inverse function is called the $n$th rootfunction ( $n$ even positive integer) and the domain of this function is $[0, \infty)$.
Case 2. Let $n$ be an odd positive integer.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by $f(x)=x^n, x \in \mathbb{R}$. The range of $f$ is $\mathbb{R}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Exponential function

We define $a^x$ where $a$ and $x$ are real numbers and $a>0$.
Case 1. Let $a>1, x \in \mathbb{R}$.
If $x$ be a rational number, $a^x$ is already defined. We define $a^x$ when $x$ is irrational.
There exist rational numbers $r$ and $s$ such that $r1$ and $r1$.
Case 3. Let $a=1, x \in \mathbb{R}$.
In this case $a^x=1$.
Theorem 4.11.1. If $a \in \mathbb{R}, a>0$ and $x \in \mathbb{R}$ then $a^x>0$.

Proof. When $x \in \mathbb{Q}$, this reduces to the Theorem 4.10 .5 (i).
We prove the theorem when $x$ is irrational.
Case 1, $a>1$.
$a^x=\sup S$ where $S=\left{a^r: r \in \mathbb{Q}\right.$ and $\left.r0$ for all irrational $x$.
Case 2. $01$.
Since $b>1$ and $-x$ is irrational, $b^{-x}>0$ by case 1 .
Thus $a^x>0$ for all irrational $x$.
Case 3. $a=1$.
Then $a^x=1>0$.
Combining all cases, the theorem is done.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Power functions

情况1。设$n$为偶正整数。
将$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$定义为$f(x)=x^n, x \in \mathbb{R}$。$f$的取值范围为$[0, \infty)$
$f$不是对$\mathbb{R}$的注入，因为$f(c)=f(-c)$适用于所有$c \in \mathbb{R}$:
让$x_1, x_2 \in[0, \infty)$和$0 \leq x_1<x_2$。然后$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$。$f$在$[0, \infty)$上是一个严格递增的函数。

设$x_1, x_2 \in(-\infty, 0]$和$x_1f\left(x_2\right) . f$是$(-\infty, 0]$上的严格递减函数。
如果我们将$f$的域限制为$[0, \infty)$，那么$f(x)=x^n, x \in[0, \infty)$定义的函数$f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$在$[0, \infty)$上是严格递增函数，因此$f$在$[0, \infty)$上是内射的。

对于每个$y \in(0, \infty)$，都存在一个唯一的$x \in(0, \infty)$，例如$x^n=y$$[2.4 .23$，根据例8]。这与$f(0)=0$一起表明$f$是满射。

因此$f$是一个双射函数，反函数$f^{-1}$由$f^{-1}(x)=x^{\frac{\lambda}{n}}, x \in[0, \infty)$定义。

这个逆函数称为$n$第th根函数($n$偶数正整数)，该函数的定义域是$[0, \infty)$。
情况2。设$n$为奇正整数。
将$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$定义为$f(x)=x^n, x \in \mathbb{R}$。$f$的取值范围为$\mathbb{R}$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Exponential function

我们定义$a^x$，其中$a$和$x$是实数，$a>0$是实数。
情况1。让$a>1, x \in \mathbb{R}$。
如果$x$是有理数，则$a^x$已经定义。当$x$不合理时，我们定义$a^x$。
存在有理数$r$和$s$，使得$r1$和$r1$。
案例3。让$a=1, x \in \mathbb{R}$。
在本例中是$a^x=1$。
定理4.11.1。如果是$a \in \mathbb{R}, a>0$和$x \in \mathbb{R}$，那么就是$a^x>0$。

证明。当$x \in \mathbb{Q}$时，这简化为定理4.10.5 (i)。
当$x$是无理数时，我们证明这个定理。
案例1,$a>1$。
$a^x=\sup S$其中$S=\left{a^r: r \in \mathbb{Q}\right.$和$\left.r0$为所有非理性的$x$。
情况2。$01$。
由于$b>1$和$-x$是不合理的，故$b^{-x}>0$由情形1。
因此$a^x>0$对于所有非理性$x$。
案例3。$a=1$。
然后$a^x=1>0$。
结合所有情况，定理就成立了。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Equal functions

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Equal functions

Let $D \subset \mathbb{R}$. The functions $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ and $g: D \rightarrow \mathbb{R}$ having the same domain $D$ are said to be equal if $f(x)=g(x)$ for all $x \in D$.
Examples.

Let $f(x)=|x|, x>0 ; g(x)=x, x>0$
Then $f$ and $g$ have the same domain ${x \in \mathbb{R}: x>0$ and $f(x)=g(x)$ for all $x$ in the domain. Therefore $f=g$.
Let $f(x)=\sqrt{\frac{2 x}{x-1}}, x \in A \subset \mathbb{R} ; g(x)=\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x-1}}, x \in B \subset \mathbb{R}$.
Here $A={x \in \mathbb{R}: x>1} \cup{x \in \mathbb{R}: x \leq 0}, B={x \in \mathbb{R}: x>1}$. $f$ and $g$ have different domains. Therefore $f \neq g$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Restriction function

Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $D_o$ be a non-empty subset of $D$. The function $g: D_0 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $g(x)=f(x), x \in D_o$ is said to be the restriction of $f$ to $D_0$ and $g$ is denoted by $f / D_o$. Examples.

Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by $f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in \mathbb{R}$.
Let $D_o={x \in \mathbb{R}: x>0}$. Then the restriction function $f / D_o$ is defined by $f / D_o(x)=1, x>0$.

Let $D_1={x \in \mathbb{R}: x<0}$. Then the restriction function $f / D_1$ is defined by $f / D_1(x)=-1, x<0$.

Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by $f(x)=[x], x \in \mathbb{R}$.
Let $D_o={x \in \mathbb{R}: 0 \leq x<1}$. Then the restriction function $f / D_o$ is defined by $f / D_0(x)=0,0 \leq x<1$.

Let $D_1={x \in \mathbb{R}: 1 \leq x<2}$. Then the restriction function $f / D_1$ is defined by $f / D_1(x)=1,1 \leq x<2$.

Let $D=\left{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is defined by $f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}, x \in D$.
Let $D_o=\left{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right}$. Then the restriction function $f / D_0$ is defined by $f / D_o(x)=\cos x-\sin x, 0 \leq x \leq \pi / 4$.

Let $D_1=\left{x \in \mathbb{R}: \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right}$. Then the restriction function $f / D_1$ is defined by $f / D_1(x)=\sin x-\cos x, \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Equal functions

让$D \subset \mathbb{R}$。对于所有$x \in D$，具有相同域$D$的函数$f: D \rightarrow \mathbb{R}$和$g: D \rightarrow \mathbb{R}$被认为是相等的，如果$f(x)=g(x)$。
例子。

让$f(x)=|x|, x>0 ; g(x)=x, x>0$
然后$f$和$g$对于域中的所有$x$都具有相同的域${x \in \mathbb{R}: x>0$和$f(x)=g(x)$。因此$f=g$。

让$f(x)=\sqrt{\frac{2 x}{x-1}}, x \in A \subset \mathbb{R} ; g(x)=\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x-1}}, x \in B \subset \mathbb{R}$。
这里$A={x \in \mathbb{R}: x>1} \cup{x \in \mathbb{R}: x \leq 0}, B={x \in \mathbb{R}: x>1}$。$f$和$g$有不同的域。因此$f \neq g$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Restriction function

设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。设$D_o$为$D$的非空子集。由$g(x)=f(x), x \in D_o$定义的函数$g: D_0 \rightarrow \mathbb{R}$被称为$f$到$D_0$的限制，$g$被表示为$f / D_o$。例子。将$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$定义为$f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in \mathbb{R}$。让$D_o={x \in \mathbb{R}: x>0}$。约束函数$f / D_o$定义为$f / D_o(x)=1, x>0$。让$D_1={x \in \mathbb{R}: x<0}$。约束函数$f / D_1$定义为$f / D_1(x)=-1, x<0$。将$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$定义为$f(x)=[x], x \in \mathbb{R}$。让$D_o={x \in \mathbb{R}: 0 \leq x<1}$。约束函数$f / D_o$定义为$f / D_0(x)=0,0 \leq x<1$。让$D_1={x \in \mathbb{R}: 1 \leq x<2}$。约束函数$f / D_1$定义为$f / D_1(x)=1,1 \leq x<2$。设$D=\left{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right}$, $f: D \rightarrow \mathbb{R}$由$f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}, x \in D$定义。让$D_o=\left{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right}$。约束函数$f / D_0$定义为$f / D_o(x)=\cos x-\sin x, 0 \leq x \leq \pi / 4$。让$D_1=\left{x \in \mathbb{R}: \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right}$。约束函数$f / D_1$定义为$f / D_1(x)=\sin x-\cos x, \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Enumerable set

Posted on 2023年5月23日2023年5月23日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Enumerable set

Let $S$ be a subset of $\mathbb{R} . S$ is said to be enumerable (or denumerable) if there exists a bijective mapping $f: \mathbb{N} \rightarrow S$, i.e., if $S$ and $\mathbb{N}$ are equipotent sets.

A set which is either finite or enumerable is said to be a countable (or, an at most enumerable) set.

An enumerable set is also called a countably infinite set.
If a set $S$ is finite and contains $n$ elements, its elements can be described as $a_1 ; a_2, \ldots, a_n$, the elements being indexed by the finite set ${1,2, \ldots, n}$

If $S$ is enumerable, there exists a bijective mapping $f: \mathbb{N} \rightarrow S$ and $f$ assigns to each element $n \in \mathbb{N}$ an element $f(n)$ in $S$. The elements of $S$ can be described as $f(1), f(2), \ldots, f(n), \ldots$ or as $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ showing that the elements are indexed by the set $\mathbb{N}$.

Note. Since an enumerable set is equipotent with the set $\mathbb{N}$, the cardinal number of an enumerable set is $d$.
Examples.

The set $\mathbb{N}$ is enumerable, because the mapping $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ defined by $f(n)=n, n \in \mathbb{N}$ is a bijection.
The set $S={2,4,6, \ldots}$ is enumerable, because the mapping $f: \mathbb{N} \rightarrow$ $S$ defined by $f(n)=2 n, n \in \mathbb{N}$ is a bijection.
The set $S=\left{1^2, 2^2, 3^2, \ldots\right}$ is enumerable because the mapping $f$ : $\mathbb{N} \rightarrow S$ defined by $f(n)=n^2, n \in \mathbb{N}$ is a bijection .
The set $\mathbb{Z}$ is enumerable, because the mapping $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ by
$$
\begin{aligned}
f(n) & =\frac{1}{2} n, \text { if } n \text { be even } \
& =\frac{1}{2}(1-n), \text { if } n \text { be odd }
\end{aligned}
$$
is a bijection.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Worked Examples

Prove that the set of all open intervals having rational end points is enumerable.
Let the set of all rational numbers be enumerated as
$$
\left{x_1, x_2, x_3, \ldots \ldots\right}
$$
The set of all open intervals having $x_1$ as the left end point is the set of open intervals of the form $\left(x_1, x_r\right)$ such that $x_r>x_1$.
The set $A_1=\left{x_r \in \mathbb{Q}: x_r>x_1\right}$ is a proper subset of $\mathbb{Q}$.
Since $\mathbb{Q}$ is enumerable, the set $A_1$ is at most enumerable. But $A_1$ is clearly an infinite set so that $A_1$ is enumerable.

Thus the set of all open intervals having $x_1$ as the left end point is an enumerable set, say $I_1$.

The set of all open intervals in question is the set $I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup \cdots$
This being the union of an enumerable collection of enumerable sets, is enumerable.

Thus the set of all open intervals having rational end points is enumerable.

Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$ such that no point of $S$ is a cluster point of $S$. Prove that $S$ is a countable set.

Let $x \in S$. Since $x$ is not a limit point of $S$, there exists an open interval $I_x=\left(a_x, b_x\right)$ containing $x$ such that $I_x$ contains a finite number of points of $S$.
Let us choose rational numbers $r_x, s_x$ in $I_x$ such that $a_x<r_x<x<$ $s_x<b_x$. Then $J_x=\left(r_x, s_x\right)$ is an open interval containing $x$ and having rational end points. Also $J_x \cap S$ being a subset of $I_x \cap S$ contains a finite number of points of $S$.

The set of all open intervals having rational end points being an enumerable set, we can enumerate them as $J_1, J_2, J_3, \ldots \ldots$

Each point of $S$ is contained in some $J_k(k \in \mathbb{N})$ and $J_k \cap S$ is a finite set. Also $S \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(J_k \cap S\right)$.

Thus $S$ is contained in the countable union of finite sets and therefor $S$ is a countable set.

实分析代写

学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Enumerable set

设$S$是$\mathbb{R} . S$的一个子集，如果存在双射映射$f: \mathbb{N} \rightarrow S$，即$S$和$\mathbb{N}$是等幂集合，则称是可枚举的(或可数的)。

一个有限或可数的集合被称为可数(或最多可数)集合。

可数集也称为可数无限集。
如果一个集合$S$是有限的，并且包含$n$个元素，那么它的元素可以被描述为$a_1 ; a_2, \ldots, a_n$，这些元素被有限集合索引 ${1,2, \ldots, n}$

如果$S$是可枚举的，则存在一个双射映射$f: \mathbb{N} \rightarrow S$，并且$f$将$S$中的一个元素$f(n)$分配给每个元素$n \in \mathbb{N}$。$S$的元素可以描述为$f(1), f(2), \ldots, f(n), \ldots$或$a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$，表明这些元素是通过集合$\mathbb{N}$进行索引的。

注意。因为可枚举集合与集合$\mathbb{N}$是等价的，所以可枚举集合的基数是$d$。
例子。

集合$\mathbb{N}$是可枚举的，因为$f(n)=n, n \in \mathbb{N}$定义的映射$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$是一个双射。

集合$S={2,4,6, \ldots}$是可枚举的，因为$f(n)=2 n, n \in \mathbb{N}$定义的映射$f: \mathbb{N} \rightarrow$$S$是一个双射。

集合$S=\left{1^2, 2^2, 3^2, \ldots\right}$是可枚举的，因为$f(n)=n^2, n \in \mathbb{N}$定义的映射$f$: $\mathbb{N} \rightarrow S$是一个双射。

集合$\mathbb{Z}$是可枚举的，因为映射$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$由
$$
\begin{aligned}
f(n) & =\frac{1}{2} n, \text { if } n \text { be even } \
& =\frac{1}{2}(1-n), \text { if } n \text { be odd }
\end{aligned}
$$
是一个双射。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Worked Examples

证明具有有理端点的所有开区间的集合是可枚举的。
设所有有理数的集合被列举为
$$
\left{x_1, x_2, x_3, \ldots \ldots\right}
$$
以$x_1$为左端点的所有开放区间的集合是形式为$\left(x_1, x_r\right)$的开放区间的集合，使得$x_r>x_1$。
集合$A_1=\left{x_r \in \mathbb{Q}: x_r>x_1\right}$是$\mathbb{Q}$的适当子集。
因为$\mathbb{Q}$是可枚举的，所以集合$A_1$最多是可枚举的。但是$A_1$显然是一个无限集合，所以$A_1$是可枚举的。

因此，以$x_1$为左端点的所有开放区间的集合是一个可枚举集合，例如$I_1$。

所有开放区间的集合是集合$I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup \cdots$
这是可枚举集合的可枚举集合的并集，是可枚举的。

因此，具有有理端点的所有开区间的集合是可枚举的。

设$S$为$\mathbb{R}$的子集，使得$S$的任何点都不是$S$的聚类点。证明$S$是可数集合。

让$x \in S$。因为$x$不是$S$的极限点，所以存在一个包含$x$的开放区间$I_x=\left(a_x, b_x\right)$，使得$I_x$包含有限个数的$S$点。
我们在$I_x$中选择有理数$r_x, s_x$使$a_x<r_x<x<$$s_x<b_x$。那么$J_x=\left(r_x, s_x\right)$是一个包含$x$且有有理端点的开区间。同样，$J_x \cap S$是$I_x \cap S$的一个子集，包含有限数量的$S$点。

所有具有有理端点的开区间的集合是一个可枚举集合，我们可以将它们枚举为 $J_1, J_2, J_3, \ldots \ldots$

$S$的每个点都包含在某个$J_k(k \in \mathbb{N})$中，$J_k \cap S$是一个有限集。还有$S \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(J_k \cap S\right)$。

因此$S$包含在有限集的可数并中，因此$S$是可数集。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Density property of R

Posted on 2023年5月8日2023年5月8日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Density property of R

If $x, y$ are real numbers with $x<y$ then there exists a rational number $r$ such that $x<r<y$.
If $x, y$ are real numbers with $x<y$ then there exists an irrational number $s$ such that $x<s<y$.

Proof. 1. $y-x>0$. By Archimedean property of $\mathbb{R}$, there exists a natural number $n$ such that $0<\frac{1}{n}1$
or, $n x+1<n y . \ldots \ldots$ (i)
$n x \in \mathbb{R}$. By deduction (iv) of Archimedean property, there exists an
integer $m$ such that $m-1 \leq n x<m$.
(ii)
$m-1 \leq n x \Rightarrow n x+1 \geq m$.
Therefore $m \leq n x+1<n y$ from (i). Also $n x<m$ from (ii).

Therefore $n x<m<n y$
$$
\text { or, } x<\frac{m}{n}<y
$$
Since $m$ is an integer and $n$ is a natural number, $\frac{m}{n}$ is a rationa number.
Let $r=\frac{m}{n}$. Then the rational number $r$ is such that $x<r<y$.

$\sqrt{2} x, \sqrt{2} y$ are real numbers and $\sqrt{2} x<\sqrt{2} y$.
By Density property 1 , there exists a rational number $r$ such that $\sqrt{2} x<r<\sqrt{2} y$. Without loss of generality, we assume $r \neq 0$.
Then $x<\frac{r}{\sqrt{2}}<y$.
Let $s=\frac{r}{\sqrt{2}}$. Then $s$ is an irrational number satisfying $x<s<y$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Geometrical representation of real numbers

The real numbers can be represented by points on a straight line. Let $X^{\prime} X$ be a directed line. We take a point $O$ on the line. $O$ divides the line into two parts. The part to the right of $O$ is called the positive side, the part to the left of $O$ is called the negative side. Let us take a point $A$ to the right of $O$.

Let $O$ represent the real number zero and $A$ represent the real number one. Taking the distance $O A$ as the unit distance on some chosen scale, each real number can be represented by a unique point on the line; a positive real number by a point lying to the right of $O$ and a negative real number by a point lying to the left of $O$. A point that represents a rational number is called a rational point and a point that represents an irrational number is called an irrational point. By the density property of $\mathbb{R}$, between any two points on the line there lie infinitely many ratioñal points as well as infinitely many irrational points.

Having a complete representation of the set $\mathbb{R}$ as points on the line, the question comes – “Does there exist any other point on the line that does not correspond to a real number?” The answer to the question is provided by Cantor-Dedekind axiom which states that there is a one-toone correspondence between the set of all points on a line and the set of all real numbers.

Therefore each point on the line corresponds to only one real number and conversely, each real number is represented by only one point on the line.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Density property of R

如果$x, y$与$x<y$是实数，则存在有理数$r$，使得$x<r<y$。

如果$x, y$与$x<y$是实数，则存在无理数$s$，使得$x<s<y$。

1.证明;$y-x>0$。根据$\mathbb{R}$的阿基米德性质，存在一个自然数$n$，使得$0<\frac{1}{n}1$
或者，$n x+1<n y . \ldots \ldots$ (i)
$n x \in \mathbb{R}$。由阿基米德性质的(iv)推论，存在一个
整数$m$表示$m-1 \leq n x<m$。
(ii)
$m-1 \leq n x \Rightarrow n x+1 \geq m$。
因此(i)中的$m \leq n x+1<n y$， (ii)中的$n x<m$。

因此$n x<m<n y$
$$
\text { or, } x<\frac{m}{n}<y
$$
因为$m$是一个整数，$n$是一个自然数，所以$\frac{m}{n}$是一个有理数。
让$r=\frac{m}{n}$。有理数$r$满足$x<r<y$。

$\sqrt{2} x, \sqrt{2} y$ 都是实数和$\sqrt{2} x<\sqrt{2} y$。
根据密度性质1，存在有理数$r$使得$\sqrt{2} x<r<\sqrt{2} y$。为了不失去一般性，我们假设$r \neq 0$。
然后$x<\frac{r}{\sqrt{2}}<y$。
让$s=\frac{r}{\sqrt{2}}$。那么$s$是一个无理数满足$x<s<y$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Geometrical representation of real numbers

实数可以用直线上的点来表示。设X^{\ ‘} X$是一条有向直线。在直线上取点0。$ 0 $将这条线分成两部分。$ 0 $右边的部分称为正的，$ 0 $左边的部分称为负的。我们取点a在0的右边。

设0表示实数0,A表示实数1。取距离$O A$作为选定尺度上的单位距离，每个实数可以用直线上的一个唯一点来表示;一个正实数等于0右边的一个点，一个负实数等于0左边的一个点。表示有理数的点称为有理点，表示无理数的点称为无理点。根据$\mathbb{R}$的密度性质，在直线上任意两点之间存在无穷多个ratioñal点和无穷多个无理点。

有了集合$\mathbb{R}$作为直线上点的完整表示后，问题来了——“直线上是否存在不对应于实数的其他点?”这个问题的答案是由康托-戴德金公理提供的，该公理指出直线上所有点的集合与所有实数的集合之间存在一一对应关系。

因此，直线上的每个点只对应一个实数，反过来，每个实数只由直线上的一个点表示。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Real numbers

Posted on 2023年5月8日2023年5月8日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Real numbers

The set containing all rational as well as irrational numbers is called the set of all real numbers. The set of all real numbers is denoted by $\mathbb{R}$.
We now describe some fundamental properties of the set $\mathbb{R}$.

Algebraic properties of $\mathbb{R}$.
Order properties of $\mathbb{R}$.
Completeness property of $\mathbb{R}$.
Archimedean property of $\mathbb{R}$.
Density property of $\mathbb{R}$.

Addition and multiplication are defined on the set $\mathbb{R}$ satisfying the following properties :
A1. $a+b \in \mathbb{R}$ for all $a, b$ in $\mathbb{R}$;
A2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ for all $a, b, c$ in $\mathbb{R}$;
A3. there exists an element 0 in $\mathbb{R}$ (called the zero element) such that $a+0=a$ for all $a$ in $\mathbb{R}$;

A4. for each $a$ in $\mathbb{R}$ there exists an element $-a$ in $\mathbb{R}$ such that $a+$ $(-a)=0$
A5. $a+b=b+a$ for all $a, b$ in $\mathbb{R}$;
M1. $a . b \in \mathbb{R}$ for all $a, b$ in $\mathbb{R}$;
M2. $(a . b) \cdot c=a .(b . c)$ for all $a, b, c$ in $\mathbb{R}$;
M3. there exists an element 1 in $\mathbb{R}$ (called the unity) such that $a .1=a$ for alll $a$ in $\mathbb{R}$;

M4. for each element $a \neq 0$ in $\mathbb{R}$ there exists an element $\frac{1}{a}$ in $\mathbb{R}$, such that $a \cdot \frac{1}{a}=1$
M5. $a . b=b . a$ for all $a, b$ in $\mathbb{R}$;

D. $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$ for all $a, b, c$ in $\mathbb{R}$.
$-a$ is the additive inverse of $a:$ It is also called the negative of $a .1 /$ is the multiplicative inverse $a$. It is also called the reciprocal of $a$.
The reciprocal of $a$ exists provided $a \neq 0$.
The zero element 0 and the unity 1 are unique.
$\mathbb{R}$ is said to form a field under the operations- addition and multipl cation.

Addition and multiplication are both commutative and associative $c$ the set $\mathbb{R}$. Multiplication is distributive over addition.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Order properties of R

On the set $\mathbb{R}$, a linear order relation $<$ is defined by ” $aa$ ( $b$ is greater than $a)$.
The law of trichotomy states that a real number $a$ is one of the following : $a<0, a=0,00$.
$a$ is said to be a positive real number if $a>0$.
$a$ is said to be a negative real number if $a<0$.
We use the symbol $a \geq 0$ to mean that $a$ is either positive or zero; $a \leq 0$ to mean that $a$ is either negative or zero.

If $a, b, c \in \mathbb{R}$ and $a<c, c<b$ both hold, we write $a<c<b$ and say that $c$ lies between $a$ and $b$.

Note. The field $\mathbb{R}$ together with the order relation defined on $\mathbb{R}$ satisfying O1-O4 becomes an ordered field.

Remark. On a field $(F,+,$.$) , in general, an order relation is defined$ with the help of a positive set in $F$. A subset $P$ of $F$ is called a positive set if
(1) $a \in P, b \in P \Rightarrow a+b \in P$ and $a . b \in P$
(2) if $c \in F$ then exactly one of the following statements holds$c \in P, c=0,-c \in P$.
The positive set $P$ is used to define an order $<$ in $F$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Real numbers

包含所有有理数和无理数的集合称为所有实数集合。所有实数的集合用$\mathbb{R}$表示。
现在我们描述集合$\mathbb{R}$的一些基本性质。

$\mathbb{R}$的代数性质。

顺序属性$\mathbb{R}$。

$\mathbb{R}$的完备性。

$\mathbb{R}$的阿基米德性质。

$\mathbb{R}$的密度特性。

在集合$\mathbb{R}$上定义加法和乘法，满足以下性质:
a1。$\mathbb{R}$中所有的$a, b$都是$a+b \in \mathbb{R}$;
a2。$\mathbb{R}$中所有的$a, b, c$都是$(a+b)+c=a+(b+c)$;
a3。在$\mathbb{R}$中存在一个元素0(称为零元素)，使得$a+0=a$适用于$\mathbb{R}$中的所有$a$;

a4。对于$\mathbb{R}$中的每个$a$，在$\mathbb{R}$中存在一个元素$-a$，使得$a+$$(-a)=0$

a。$\mathbb{R}$中所有的$a, b$都是$a+b=b+a$;
m1。$\mathbb{R}$中所有的$a, b$都是$a . b \in \mathbb{R}$;
m2。$\mathbb{R}$中所有的$a, b, c$都是$(a . b) \cdot c=a .(b . c)$;
m3。在$\mathbb{R}$中存在一个元素1(称为统一)，使得$a .1=a$对于所有在$\mathbb{R}$中的$a$;

m4。对于$\mathbb{R}$中的每个元素$a \neq 0$，在$\mathbb{R}$中都存在一个元素$\frac{1}{a}$，例如$a \cdot \frac{1}{a}=1$
m5。$\mathbb{R}$中所有的$a, b$都是$a . b=b . a$;

d。 $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$ 对所有人 $a, b, c$ 在 $\mathbb{R}$．
$-a$ 加性的逆是 $a:$ 它也被称为负的 $a .1 /$ 乘法是逆的吗 $a$．它也被称为的倒数 $a$．
的倒数 $a$ 提供存在 $a \neq 0$．
零元素0和单位1是唯一的。
$\mathbb{R}$ 据说在加法和乘法运算下形成一个域。

加法和乘法都是交换和结合律$c$对于集合$\mathbb{R}$。乘法是加法的分配律。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Order properties of R

在集合$\mathbb{R}$上，线性顺序关系$<$定义为“$aa$ ($b$大于$a)$)”。三分法指出，实数$a$是下列数之一:$a<0, a=0,00$。如果$a>0$为正实数，则称$a$为正实数。
如果$a<0$，则表示$a$是一个负实数。
我们使用符号$a \geq 0$表示$a$要么为正，要么为零;$a \leq 0$表示$a$要么是负的，要么是零。

如果$a, b, c \in \mathbb{R}$和$a<c, c<b$都成立，我们写$a<c<b$，说$c$在$a$和$b$之间。

注意。字段$\mathbb{R}$与$\mathbb{R}$上定义的满足01 – 04的顺序关系成为一个有序字段。

备注:在田野上$(F,+,$。$) , in general, an order relation is defined$借助$F$中的正集。如果$F$的子集$P$称为正集
(1) $a \in P, b \in P \Rightarrow a+b \in P$和$a . b \in P$
(2)如果$c \in F$，那么以下语句中恰好有一个成立$c \in P, c=0,-c \in P$。
正集$P$用于定义$F$中的订单$<$。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Natural numbers

Posted on 2023年5月8日2023年5月8日 by statistics-lab

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Natural numbers

The natural numbers are $1,2,3, \ldots$ The set of all natural numbers denoted by $\mathbb{N}$.

We assume familiarity with the algebraic operations of addition a multiplication on the set $\mathbb{N}$ and also with the linear order relation $<$ $\mathbb{N}$ defined by ” $a<b$ if $a, b \in \mathbb{N}$ and $a$ is less than $b “$.
We discuss the following fundamental properties of $\mathbb{N}$.

Well ordering property.
Principle of induction.

2.1.1. Well ordering property. Every non-empty subset of $\mathbb{N}$ ha least element.

This means that if $S$ is a non-empty subset of $\mathbb{N}$ then there is element $m$ in $S$ such that $m \leq s$ for all $s \in S$. In particular, $\mathbb{N}$ itself the least element 1.

Proof. Let $S$ be a non-empty subset of $\mathbb{N}$. Let $k$ be an element of Then $k$ is a natural number.

We define a subset $T$ by $T={x \in S: x \leq k}$. Then $T$ is a non-em subset of ${1,2, \ldots, k}$.

Clearly, $T$ is a finite subset of $\mathbb{N}$ and therefore it has a least elem say $m$. Then $1 \leq m \leq k$.

We now show that $m$ is the least element of $S$. Let $s$ be any elen of $S$.
If $s>k$ then the inequality $m \leq k$ implies $m<s$.
If $s \leq k$ then $s \in T$; and $m$ being the least element of $T$, we 1 $m \leq s$
Thus $m$ is the least element of $S$. This completes the proof.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Principle of induction

Principle of induction. Let $S$ be a subset of $\mathbb{N}$ such that
(i) $1 \in S$, and
(ii) if $k \in S$ then $k+1 \in S$.
Then $S=\mathbb{N}$.

Proof. Lèt $T=\mathbb{N}-S$. We prove that $T=\phi$.
Let $T$ be non-empty. Then by the well ordering property of $\mathbb{N}$, the non-empty subset $T$ has a least element, say $m$.
Since $1 \in S$ and 1 is the least element of $\mathbb{N}, m>1$.
Hence $m-1$ is a natural number and $m-1 \notin T$. So $m-1 \in S$.
But by (ii) $m-1 \in S \Rightarrow(m-1)+1 \in S$, i.e., $m \in S$.
This contradicts that $m$ is the least element in $T$. Therefore our assumption is wrong and $T=\phi$.
Therefore $S=\mathbb{N}$. This completes the proof.

Theorem 2.1.3. Let $P(n)$ be a statement involving a natural number $n$.
If (i) $P(1)$ is true, and
(ii) $P(k+1)$ is true whenever $P(k)$ is true, then $P(n)$ is true for all $n \in \mathbb{N}$.
Proof. Let $S$ be the set of those natural numbers for which the statement $P(n)$ is true.
Then $S$ has the properties (a) $1 \in S$ by (i)
(b) $k \in S \Rightarrow k+1 \in S$ by (ii).
By the principle of induction $S=\mathbb{N}$.
Therefore $P(n)$ is true for all $n \in \mathbb{N}$. This completes the proof.
Note. Let a statement $P(n)$ satisfies the conditions
(i) for some $m \in \mathbb{N}, P(m)$ is true ( $m$ being the least possible)
and (ii) $P(k)$ is true $\Rightarrow P(k+1)$ is true for all $k \geq m$.
Then $P(n)$ is true for all natural numbers $\geq m$.

实分析代写

学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Natural numbers

自然数为$1,2,3, \ldots$所有自然数的集合用$\mathbb{N}$表示。

我们假设熟悉集合$\mathbb{N}$上的加法和乘法的代数运算，也熟悉由“$a<b$”定义的线性顺序关系$<$$\mathbb{N}$，如果$a, b \in \mathbb{N}$和$a$小于$b “$。
我们讨论$\mathbb{N}$的以下基本性质。

好的排序性质。

归纳法原理。

2.1.1. 好的排序性质。$\mathbb{N}$的每个非空子集都有最小元素。

这意味着，如果$S$是$\mathbb{N}$的非空子集，那么在$S$中存在一个元素$m$，使得$m \leq s$适用于所有$s \in S$。特别是，$\mathbb{N}$本身是最小的元素1。

证明。设$S$为$\mathbb{N}$的非空子集。设$k$为元素，则$k$为自然数。

我们通过$T={x \in S: x \leq k}$定义一个子集$T$。那么$T$是${1,2, \ldots, k}$的非em子集。

显然，$T$是$\mathbb{N}$的有限子集，因此它有一个最小元素$m$。然后$1 \leq m \leq k$。

现在我们证明$m$是$S$的最小元素。设$s$为$S$的任意一个元素。
如果$s>k$那么不等式$m \leq k$意味着$m<s$。
如果$s \leq k$那么$s \in T$;$m$是$T$的最小元素，我们得到$m \leq s$
因此$m$是$S$的最小元素。这就完成了证明。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Principle of induction

归纳法原理。设$S$为$\mathbb{N}$的子集，这样
(i) $1 \in S$
(ii)如果$k \in S$，则$k+1 \in S$。
然后$S=\mathbb{N}$。

证明。l $T=\mathbb{N}-S$。我们证明$T=\phi$。
让$T$为非空。然后根据$\mathbb{N}$的有序性，非空子集$T$有一个最小元素，例如$m$。
因为$1 \in S$和1是$\mathbb{N}, m>1$的最小元素。
因此$m-1$是一个自然数，$m-1 \notin T$是一个自然数。所以$m-1 \in S$。
而是通过(ii) $m-1 \in S \Rightarrow(m-1)+1 \in S$，即$m \in S$。
这与$m$是$T$中最小的元素相矛盾。因此我们的假设是错误的$T=\phi$。
因此$S=\mathbb{N}$。这就完成了证明。

定理2.1.3。设$P(n)$是一个包含自然数$n$的语句。
如果(i) $P(1)$为真，并且
(ii) $P(k+1)$为真只要$P(k)$为真，那么$P(n)$对所有$n \in \mathbb{N}$都为真。
证明。设$S$为满足命题$P(n)$为真的自然数的集合。
那么$S$的属性是(a) $1 \in S$ by (i)
(b) $k \in S \Rightarrow k+1 \in S$ by (ii)。
通过归纳法原理$S=\mathbb{N}$。
因此$P(n)$对所有$n \in \mathbb{N}$都成立。这就完成了证明。
注意。设语句$P(n)$满足条件
(i)对于某些人$m \in \mathbb{N}, P(m)$是正确的($m$是最不可能的)
(ii) $P(k)$为真$\Rightarrow P(k+1)$对所有$k \geq m$都为真。
那么$P(n)$对所有自然数$\geq m$都成立。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Completeness and Parseval’s Equality

Posted on 2023年4月24日2023年4月24日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写实分析Real analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

实分析是分析学的一个领域，研究诸如序列及其极限、连续性、微分、积分和函数序列的概念。根据定义，实分析侧重于实数，通常包括正负无穷大，以形成扩展实线。

我们提供的实分析Real analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Completeness and Parseval’s Equality

In this section, we look for necessary and sufficient conditions on the sequence $\left{\phi_n\right}$ of orthogonal functions on $[a, b]$ for which equality holds in Bessel’s inequality. To accomplish this it will be useful to introduce the notion of convergence in the mean.

DEFINITION 9.2.1 A sequence $\left{f_n\right}$ of Riemann integrable function on $[a, b]$ converges in the mean to $f \in \mathcal{R}[a, b]$ if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \int_a^b\left[f(x)-f_n(x)\right]^2 d x=0 $$ If we consider $\mathcal{R}[a, b]$ as a normed linear space with norm $$ |f|_2=\left[\int_a^b(f(x))^2 d x\right]^{1 / 2} $$ then convergence in the mean is nothing else but convergence in norm as defined in Definition 8.3.9. Thus a sequence $\left{f_n\right}$ in $\mathcal{R}[a, b]$ converges to $f \in \mathcal{R}[a, b]$ in the mean if and only if $\lim {n \rightarrow \infty}\left|f-f_n\right|_2=0$. Convergence in the mean is sometimes also referred to as mean-square convergence.

It is natural to ask how convergence is the mean is related to pointwise or uniform convergence. Our first theorem proves that uniform convergence implies convergence in the mean. As should be expected, pointwise convergence is not sufficient (Exercise 2). In the other direction, we will show in Example 9.2.3 that convergence in the mean does not imply pointwise convergence, and thus certainly not uniform convergence. There we construct a sequence $\left{f_n\right}$ of Riemann integrable functions on $[0,1]$ such that $\left|f_n\right|_2 \rightarrow 0$, but for which $\left{f_n(x)\right}$ fails to converge for any $x \in[0,1]$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Trigonometric and Fourier Series

In Section 9.1, we introduced Fourier series with respect to any system $\left{\phi_n\right}_{n=1}^{\infty}$ of orthogonal functions on $[a, b]$. In this section, we will emphasize the trigonometric system
$$
\left{1, \cos \frac{n \pi x}{L}, \sin \frac{n \pi x}{L}\right}_{n=1}^{\infty},
$$
which by Example 9.1.2(c) is orthogonal on $[-L, L]$. For convenience we will take $L=\pi$.
Any series of the form
$$
\frac{1}{2} A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cos n x+B_n \sin n x\right),
$$
where the $A_n$ and $B_n$ are real numbers, is called a trigonometric series. For example, the series
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{\ln n} \quad \text { and } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n}
$$
are both examples of trigonometric series. Since the coefficients
$$
\left{\frac{1}{\ln n}\right}_{n=2}^{\infty} \quad \text { and } \quad\left{\frac{1}{n}\right}_{n=1}^{\infty}
$$
are nonnegative and decrease to zero, by Theorem 7.2 .6 the first series converges for all $x \in \mathbb{R}$, whereas the second converges for all $x \in \mathbb{R}$, except $x=2 p \pi, p \in \mathbb{Z}$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Completeness and Parseval’s Equality

在本节中，我们寻找序列的充分必要条件 $\backslash$ 左{へphi_n\右} 的正交函数 $[a, b]$ 为此，等式在贝塞尔不等式中成立。为实现这一点，引入均值收敛的概念将很有用。
$$
\lim n \rightarrow \infty \int_a^b\left[f(x)-f_n(x)\right]^2 d x=0
$$
如果我们考虑 $\mathcal{R}[a, b]$ 作为具有范数的范数线性空间
$$
|f|2=\left[\int_a^b(f(x))^2 d x\right]^{1 / 2} $$ 那么均值收敛就是定义 8.3.9 中定义的范数收敛。因此一个序列 $\backslash$ 左 ${\mathrm{f} n \backslash$ 右 $}$ 在 $\mathcal{R}[a, b]$ 收敛于 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 平均当且仅当 $\lim n \rightarrow \infty\left|f-f_n\right|_2=0$. 均值收敛有时也称为均方收敛。很自然地会问均值收敛与逐点收敛或均匀收敛有何关系。我们的第一个定理证明均匀收敛意味着均值收敛。正如所料，逐点收敛是不够的（练习 2) 。在另一个方向上，我们将在示例 9.2.3 中表明，均值收敛 $[0,1]$ 这样 $\left|f_n\right|_2 \rightarrow 0$, 但为此佐 $\left{\mathrm{f}{_} \mathrm{n}(\mathrm{x}) \backslash\right.$ 右 $}$ 无法收敛任何 $x \in[0,1]$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Trigonometric and Fourier Series

本节中，我们将重点介绍三角系统
\eft ${1, \backslash \cos \backslash f r a c{n \backslash p i x} L}, \backslash \sin \backslash f r a c{n \backslash p i x}{L \backslash r i g h t} _{n=1} \wedge{\backslash i n f t y}$,
根据例 9.1.2(c) 正交于 $[-L, L]$. 为方便起见，我们将 $L=\pi$.
任何形式的系列
$$
\frac{1}{2} A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cos n x+B_n \sin n x\right)
$$
在哪里 $A_n$ 和 $B_n$ 是实数，称为三角级数。例如，系列
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{\ln n} \text { and } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n}
$$
都是三角级数的例子。由于系数
\left } { f r a c { 1 } \backslash \backslash | n \text { n } } \backslash \text { right } } _ { n = 2 } ^ { \wedge } { \backslash \text { infty } } \backslash q u a d \backslash \text { text } { \text { 和 } } \backslash q u a d \backslash \text { left } { f r a c { 1 } { n } \backslash r i g h t } _ { n = 1 } \wedge { \text { infty } }
是非负的并且减少到零，根据定理 7.2 .6 第一个级数收敛于所有 $x \in \mathbb{R}$ ，而第二个收敛于所有 $x \in \mathbb{R}$ ，除了 $x=2 p \pi, p \in \mathbb{Z}$.

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Orthogonal Functions

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Orthogonal Functions

We now define orthogonality with respect to the above inner product on $\mathcal{R}[a, b]$

DEFINITION 9.1.1 A finite or countable collection of Riemann integrable functions $\left{\phi_n\right}$ on $[a, b]$ satisfying $\int_a^b \phi_n^2 \neq 0$ is orthogonal on $[a, b]$ if
$$
\left\langle\phi_n, \phi_m\right\rangle=\int_a^b \phi_n(x) \phi_m(x) d x=0, \quad \text { for all } n \neq m .
$$
EXAMPLES 9.1.2 (a) For our first example we consider the two functions $\phi(x)=1$ and $\psi(x)=x, x \in[-1,1]$. Since
$$
\int_{-1}^1 \phi(x) \psi(x) d x=\int_{-1}^1 x d x=0
$$
the functions $\phi$ and $\psi$ are orthogonal on the interval $[-1,1]$.
(b) In this example, we show that the sequence of functions ${\sin n x}_{n=1}^{\infty}$ is orthogonal on $[-\pi, \pi]$. By the trigonometric identity
$$
\sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)],
$$ for $n \neq m$,
$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi \sin n x \sin m x d x & =\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n-m) x-\cos (n+m) x] d x \
& =\left.\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n-m) x}{(n-m)}-\frac{\sin (n+m) x}{(n+m)}\right]\right|{-\pi} ^\pi=0 . \end{aligned} $$ For future reference, when $n=m$, $$ \begin{aligned} \int{-\pi}^\pi \sin ^2 n x d x & =\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi(1-\cos 2 n x) d x \
& =\left.\frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin 2 n x}{2 n}\right)\right|{-\pi} ^\pi=\pi . \end{aligned} $$ (c) As our final example we consider the collection $$ \left{1, \sin \frac{n \pi x}{L}, \cos \frac{n \pi x}{L}\right}{n=1}^{\infty}
$$
on the interval $[-L, L]$ where $L>0$. As in (b), if $n \neq m$, then
$$
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \sin \frac{m \pi x}{L} d x=0 .
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Approximation in the Mean

Let $\left{\phi_n\right}$ be a finite or countable family of orthogonal functions defined on an interval $[a, b]$. For each $N \in \mathbb{N}$ and $c_1, \ldots, c_N \in \mathbb{R}$, consider the $N$ th partial sum
$$
S_N(x)=\sum_{n=1}^N c_n \phi_n(x) .
$$
A natural question is, given a real-valued function $f$ on $[a, b]$, how must the coefficients $c_n$ be chosen so that $S_N$ gives the best approximation to $f$ on $[a, b]$ ? In the Weierstrass approximation theorem we have already encountered one form of approximation; namely uniform approximation or approximation in the uniform norm. However, for the study of orthogonal functions there is another type of norm approximation that turns out to be more useful.

If $X$ is a vector space over $\mathbb{R}$ with inner product $\langle$,$\rangle , then there is a natural$ norm on $X$ associated with this inner product. If for $\mathbf{x} \in X$ we define
$$
|\mathbf{x}|=\sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}
$$
then || is a norm on $X$ as defined in Definition 7.4.8. The details that || is a norm is left to the exercises (Exercise 12). The crucial step in proving the triangle inequality for || is the following version of the Cauchy-Schwarz inequality: For all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in X$,
$$
|\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle| \leq|\mathbf{x}||\mathbf{y}|
$$
The proof of this inequality follows verbatim the proof of Theorem 7.4.3. For the vector space $\mathcal{R}[a, b]$ with inner product $\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) d x$, the norm of a function $f$, denoted $|f|_2$, is given by
$$
|f|_2=\left[\int_a^b(f(x))^2 d x\right]^{1 / 2} .
$$
Thus for $f \in \mathcal{R}[a, b]$, the natural problem to consider is how must the constants $c_n$ be chosen in order to minimize the quantity
$$
\left|f-S_N\right|_2^2=\int_a^b\left[f(x)-S_N(x)\right]^2 d x ?
$$
This type of norm approximation is referred to as approximation in the mean or least squares approximation. The following theorem specifies the choice of $\left{c_n\right}$ so that $S_N$ provides the best approximation to $f$ in the mean.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Orthogonal Functions

我们现在定义关于上述内积的正交性 $\mathcal{R}[a, b]$
定义 9.1.1 黎曼可积函数的有限或可数集合 $\mid$ 左 ${\backslash$ phi_n\右 $}$ 在 $[a, b]$ 令人满意 $\int_a^b \phi_n^2 \neq 0$ 正交于 $[a, b]$ 如果
$$
\left\langle\phi_n, \phi_m\right\rangle=\int_a^b \phi_n(x) \phi_m(x) d x=0, \quad \text { for all } n \neq m .
$$
示例 9.1.2 (a) 对于我们的第一个示例，我们考虑两个函数 $\phi(x)=1$ 和 $\psi(x)=x, x \in[-1,1]$. 自从
$$
\int_{-1}^1 \phi(x) \psi(x) d x=\int_{-1}^1 x d x=0
$$
功能 $\phi$ 和 $\psi$ 在区间上正交 $[-1,1]$.
(b) 在这个例子中，我们展示了函数序列 $\sin n x_{n=1}^{\infty}$ 正交于 $[-\pi, \pi]$. 由三角恒等式
$$
\sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]
$$
为了 $n \neq m$,
$$
\int_{-\pi}^\pi \sin n x \sin m x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (n-m) x-\cos (n+m) x] d x \quad=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n-m) x}{(n-m)}\right.
$$
供将来参考，当 $n=m$ ，
$$
\int-\pi^\pi \sin ^2 n x d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi(1-\cos 2 n x) d x \quad=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin 2 n x}{2 n}\right) \mid-\pi^\pi=\pi .
$$
(c) 作为我们的最后一个例子，我们考虑集合
在间隔上 $[-L, L]$ 在哪里 $L>0$. 与 (b) 一样，如果 $n \neq m$ ，然后
$$
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \sin \frac{m \pi x}{L} d x=0
$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Approximation in the Mean

让 $\mid$ 左{{phi_n|右 $}$ 是定义在区间上的有限或可数正交函数族 $[a, b]$. 对于每个 $N \in \mathbb{N}$ 和 $c_1, \ldots, c_N \in \mathbb{R}$ ，考虑 $N$ 第 th 部分和
$$
S_N(x)=\sum_{n=1}^N c_n \phi_n(x)
$$
一个自然的问题是，给定一个实值函数 $f$ 在 $[a, b]$ ，系数必须如何 $c_n$ 被选中以便 $S_N$ 给出最好的近似值 $f$ 在 $[a, b]$ ? 在 Weierstrass 近似定理中，我们已经遇到了一种近似形式；即均匀逼近或均匀范数下的逼近。然而，对于正交函数的研究，还有另一种范数逼近被证明更有用。
如果 $X$ 是一个向量空间 $\mathbb{R}$ 有内积 \langle\rangle$\rangle$, thenthereisanatural规范 $X$ 与这个内积相关联。如果为了 $\mathbf{x} \in X$ 我们定义
$$
|\mathbf{x}|=\sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}
$$
然后|| 是一个常态 $X$ 如定义 7.4.8 中所定义。 || 的细节是一个范数留给练习 (练习 12) 。证明 || 三角不等式的关键步骙是 Cauchy-Schwarz 不等式的以下版本：对于所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in X$ ，
$$
|\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle| \leq|\mathbf{x}||\mathbf{y}|
$$
这个不等式的证明逐字遵循定理 7.4.3 的证明。对于向量空间 $\mathcal{R}[a, b]$ 有内积 $\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) d x$ ，函数范数 $f$, 表示 $|f|_2$ ，是 (谁) 给的
$$
|f|_2=\left[\int_a^b(f(x))^2 d x\right]^{1 / 2}
$$
因此对于 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ ，自然要考虑的问题是常量必须如何 $c_n$ 被选择以最小化数量
$$
\left|f-S_N\right|_2^2=\int_a^b\left[f(x)-S_N(x)\right]^2 d x ?
$$
这种类型的范数近似称为均值近似或最小二乘近似中的近似。下面的定理指定了选择佐{C_n\右} 以便 $S_N$ 提供最佳近似值 $f$ 平均而言。

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数学代写|MATH063 real analysis

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MATH063 real analysis课程简介

The study of metric spaces and real-valued functions is an important branch of mathematical analysis. In this field, mathematicians explore the properties of mathematical structures known as metric spaces, which consist of a set of points along with a distance function that assigns a distance between any two points in the set. These structures are used to define and study various types of functions, such as real-valued functions, which map points in a metric space to real numbers.

One of the central concepts in this field is the convergence of a sequence of points in a metric space. A sequence is said to converge to a limit if its distance from the limit point becomes arbitrarily small as the sequence progresses. This concept is used to define important properties of functions such as continuity and uniform continuity. A function is said to be continuous if the limit of the function at a given point is equal to the function’s value at that point. A function is uniformly continuous if the difference between the function’s values at two points becomes arbitrarily small as the distance between those points becomes arbitrarily small.

PREREQUISITES

Sequences and series of functions are also studied in this field. For example, a sequence of functions can be said to converge pointwise if the limit of the sequence at each point in the domain exists. Alternatively, the sequence can be said to converge uniformly if the difference between the function values becomes arbitrarily small uniformly across the domain.

Differentiation and Riemann-Stieltjes integration are two additional topics that are explored in this field. The derivative of a function measures the rate at which the function changes at a given point, while the Riemann-Stieltjes integral generalizes the Riemann integral to allow for integration with respect to a more general class of functions.

Overall, the study of metric spaces and real-valued functions is a rich and important field that has many applications in mathematics and other areas of science and engineering.

MATH063 real analysis HELP（EXAM HELP， ONLINE TUTOR）

问题 1.

Using the inequality $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, prove that the series $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ converges.

问题 2.

Suppose $a_k \geq 0$ for all $k$. Prove that if $\sum a_k$ converges, then
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k}}{k} \text { converges. }
$$

问题 3.

If $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ and $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ both converge, prove each of the following:
a. $\sum_{k=1}^{\infty} c a_k$ converges for all $c \in \mathbb{R}$.
b. $\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k+b_k\right)$ converges.

问题 4.

Suppose $b_k \geq a_k \geq 0$ for all $k \in \mathbb{N}$.
a. If $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ converges, prove that $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ converges.
b. If $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ diverges, prove that $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ diverges.

Textbooks

• An Introduction to Stochastic Modeling, Fourth Edition by Pinsky and Karlin (freely
available through the university library here)
• Essentials of Stochastic Processes, Third Edition by Durrett (freely available through
the university library here)
To reiterate, the textbooks are freely available through the university library. Note that
you must be connected to the university Wi-Fi or VPN to access the ebooks from the library
links. Furthermore, the library links take some time to populate, so do not be alarmed if
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