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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Math462

Posted on 2023年2月2日2023年2月2日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写偏微分方程partial difference equations这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写偏微分方程partial difference equations方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写偏微分方程partial difference equations代写方面经验极为丰富，各种代写偏微分方程partial difference equations相关的作业也就用不着说。

我们提供的偏微分方程partial difference equations及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Math462

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Fourier transform

We start with the Fourier transform, which was developed by Jean Baptiste Joseph Fourier in 1822 in his work Théorie analytique de la chaleur, already mentioned earlier. Here we will take a practical approach to Fourier transforms: we will show how they can be used to solve equations explicitly. Later, in Chapter 6, they will be used for a more systematic investigation in the context of Sobolev spaces.

Unlike in the previous sections, here we consider complex-valued functions. For $1 \leq p<\infty$ we define
$$
L_p(\mathbb{R}, \mathbb{C}):=\left{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \text { measurable }: \int_{\mathbb{R}}|f(t)|^p d t<\infty\right} .
$$
If we identify functions which coincide almost everywhere, then $L_p(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ becomes a Banach space when equipped with the norm
$$
|f|_p:=\left(\int_{\mathbb{R}}|f(t)|^p d t\right)^{1 / p} .
$$
The space $L_2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ is a Hilbert space.
Remark 3.49 A remark about our notation is in order: the above spaces are often denoted by $L^p(\Omega, \mathbb{C})$ in the literature. We will write $p$ (the power appearing in the integrand) as a subscript to distinguish it from the order of differentiation as appears in spaces like $C^k$ and $H^k$. In dimension one we also avoid double brackets, that is, we write $L_2(0,1)$ instead of $L_2((0,1))$ (for example), even though the latter would be more consistent.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Properties of the Fourier transform

We now wish to collect a few essential properties of Fourier transforms; we will focus on those we will need when solving partial differential equations.
Theorem 3.53 (Properties and rules of calculation) Let $f \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$. Then:
(i) The Fourier transform $\hat{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ is continuous and $\lim {|\omega| \rightarrow \infty} \hat{f}(\omega)=0$. (ii) Linearity: if $f_1, \ldots, f_n \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ and $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{C}$, then $$ \mathcal{F}\left(\sum{k=1}^n c_k f_k\right)=\sum_{k=1}^n c_k \mathcal{F} f_k .
$$
(iii) If $f$ is continuously differentiable with $f^{\prime} \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ and $\lim {|t| \rightarrow \infty} f(t)=0$, then $$ \mathcal{F}\left(f^{\prime}\right)(\omega)=i \omega \mathcal{F} f(\omega) . $$ (iv) If $\int{-\infty}^{\infty}|t f(t)| d t<\infty$, then
$$
\frac{d}{d \omega} \mathcal{F} f(\omega)=(-i) \mathcal{F}(\cdot f(\cdot))(\omega) .
$$
(v) For any $\alpha \in \mathbb{R}$ we have $\mathcal{F}(f(\cdot-\alpha))(\omega)=e^{-i \alpha \omega} \mathcal{F} f(\omega)$.
(vi) For any $\alpha \in \mathbb{R} \backslash{0}$ we have $\mathcal{F}(f(\alpha \cdot))(\omega)=\frac{1}{|\alpha|} \mathcal{F} f\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)$.
Proof Here we will only prove (iii) and (iv), as these two properties will play a central role in what follows. The other statements are left to the reader as an exercise (see Exercise 3.10).
(iii) For any $R \geq 0$, if we integrate by parts and use the assumptions of the theorem, then we have
$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-R}^R f^{\prime}(t) e^{-i \omega t} d t=\left.\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} f(t) e^{-i \omega t}\right|{t=-R} ^R+\frac{i \omega}{\sqrt{2 \pi}} \int{-R}^R f(t) e^{-i \omega t} d t .
$$
By assumption, the first term converges to 0 as $R \rightarrow \infty$, while the second converges to $i \omega \hat{f}(\omega)$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Fourier transform

我们从傅里叶变换开始，它是由让·巴蒂斯特.约瑟夫·傅里叶 (Jean Baptiste Joseph Fourier) 于 1822 年在他的著作《动物分析理论》 (Théorie analytique de la chaleur) 中提出的，前面已经提到过。在这里，我们将采用傅立叶变换的实用方法：我们将展示如何使用它们显式地求解方程。稍后，在第 6 章中，它们将用于在 Sobolev 空间的背景下进行更系统的研究。
与前面几节不同，这里我们考虑复值函数。为了 $1 \leq p<\infty$ 我们定义
L_p $(\backslash m a t h b b{R}, \backslash m a t h b b{C}):=\backslash$ left ${f: \backslash m a t h b b{R} \backslash r i g h t a r r o w \backslash m a t h b b{C} \backslash$ text ${$ 可测}: \int_{ ${\operatorname{mathbb}{\mathrm{R}}}|f(t)|$
如果我们确定几乎处处重合的函数，那么 $L_p(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ 配备规范时成为Banach空间
$$
|f|p:=\left(\int{\mathbb{R}}|f(t)|^p d t\right)^{1 / p}
$$
空间 $L_2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ 是希尔伯特空间。
备注 $3.49$ 关于我们的符号的备注是有序的：上面的空格通常表示为 $L^p(\Omega, \mathbb{C})$ 在文献中。我们会写 $p$ (出现在被积函数中的幂) 作为下标，以将其与出现在空间中的微分顺序区分开来 $C^k$ 和 $H^k$. 在一维我们也避免了双括号，也就是说，我们写 $L_2(0,1)$ 代替 $L_2((0,1))$ (例如)，即使后者会更一致。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Properties of the Fourier transform

我们现在莃望收集傅立叶变换的一些基本性质；我们将专注于求解偏微分方程时需要的那些。
定理 $3.53$ (性质和计算规则) 令 $f \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$. 然后:
(i) 傅里叶变换 $\hat{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ 是连续的并且 $\lim |\omega| \rightarrow \infty \hat{f}(\omega)=0$. (ii) 线性度: 如果
$f_1, \ldots, f_n \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ 和 $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{C}$ ，然后
$$
\mathcal{F}\left(\sum k=1^n c_k f_k\right)=\sum_{k=1}^n c_k \mathcal{F} f_k
$$
(iii) 如果 $f$ 连续可微 $f^{\prime} \in L_1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ 和 $\lim |t| \rightarrow \infty f(t)=0$ ，然后
$$
\mathcal{F}\left(f^{\prime}\right)(\omega)=i \omega \mathcal{F} f(\omega)
$$
(iv) 如果 $\int-\infty^{\infty}|t f(t)| d t<\infty$ ，然后
$$
\frac{d}{d \omega} \mathcal{F} f(\omega)=(-i) \mathcal{F}(\cdot f(\cdot))(\omega)
$$
(v) 对于任何 $\alpha \in \mathbb{R}$ 我们有 $\mathcal{F}(f(\cdot-\alpha))(\omega)=e^{-i \alpha \omega} \mathcal{F} f(\omega)$.
(vi) 对于任何 $\alpha \in \mathbb{R} \backslash$ 我们有 $\mathcal{F}(f(\alpha \cdot))(\omega)=\frac{1}{|\alpha|} \mathcal{F} f\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)$.
证明这里我们只证明 (iii) 和 (iv)，因为这两个性质将在接下来的内容中起核心作用。其他陈述作为练习留给读者（见练习 3.10）。
(iii) 对于任何 $R \geq 0$ ，如果我们分部积分并使用定理的假设，那么我们有
$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-R}^R f^{\prime}(t) e^{-i \omega t} d t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} f(t) e^{-i \omega t} \mid t=-R^R+\frac{i \omega}{\sqrt{2 \pi}} \int-R^R f(t) e^{-i \omega t} d t
$$
根据假设，第一项收敛于 0 ，如下所示 $R \rightarrow \infty$ ，而第二个收敛到 $i \omega \hat{f}(\omega)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Well-posedness of the parabolic initial-boundary value problem

The parabolic maximum principle yields not only uniqueness of solutions of (3.56), but also the a priori estimate (3.58). This allows us to prove well-posedness of the problem in the case where $\Omega$ is an interval.

We consider the following initial-boundary value problem: given $u_0 \in C_0(0, \pi)$, we seek a solution $u$ of
$$
\begin{aligned}
u_t & =u_{x x}, & & \text { in }(0, \infty) \times(0, \pi), \
u(t, 0) & =u(t, \pi)=0, & & t \geq 0, \
u(0, x) & =u_0(x), & & x \in[0, \pi] .
\end{aligned}
$$
Theorem 3.36 Let $u_0 \in C([0, \pi])$ be such that $u_0(0)=u_0(\pi)=0$. Then (3.59) has a unique solution $u \in C^{\infty}((0, \infty) \times[0, \pi]) \cap C([0, \infty) \times[0, \pi])$. Moreover, for this solution we have $|u|_{C([0, \infty) \times[0, \pi])} \leq\left|u_0\right|_{C([0, \pi])}$.

Proof We have already proved uniqueness and continuous dependence on the data; we still need to establish existence. Let $u_{0 n} \in C([0, \pi])$ be trigonometric polynomials of the form
$$
u_{0 n}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} b_k^n \sin (k x)
$$
such that $u_{0 n} \rightarrow u_0$ in $C([0, \pi])$ (see Corollary 3.19). Here, for fixed $n \in \mathbb{N}, b_k^n=0$ for all but finitely many $k \in \mathbb{N}$, while $\lim {n \rightarrow \infty} b_k^n=b_k$ (cf. the proof of Theorem 3.28). Now for the initial value $u{0 n}$ the solution of $(3.59)$ is given by
$$
u_n(t, x)=\sum_{k=1}^{\infty} b_k^n e^{-k^2 t} \sin (k x)
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The heat equation in Rd

We now wish to study the heat equation in the whole space $\mathbb{R}^d$. This will also be useful when we come to the Black-Scholes equation in a later section. We first consider the one-dimensional case $d=1$. Analogously to what we did above, we denote by $C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ the space of those functions $u=u(t, x)$ whose partial derivatives $u_t, u_x, u_{x x}$ exist and are continuous in $(0, \infty) \times \mathbb{R}$.
Our goal is to find solutions $u \in C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ of the heat equation
$$
u_t=u_{x x}, \quad t>0, x \in \mathbb{R} .
$$
The following arguments will allow us to construct a solution. Assume that $u \in C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ is a solution of $(3.62)$ and let $a>0$. Then
$$
v(t, x):=u(a t, \sqrt{a} x)
$$
also defines a solution of (3.62), as can be checked by direct computation. We will attempt to find a solution $u$ which is invariant under the change of variables (3.63), that is, we want
$$
u(t, x)=u(a t, \sqrt{a} x), \quad t>0, x \in \mathbb{R}
$$
to hold for all $a>0$. If we make the particular choice $a=\frac{1}{t}$, then we obtain
$$
u(t, x)=u\left(1, \frac{x}{\sqrt{t}}\right),
$$

whence $u(t, x)=g\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)$ for $g(y):=u(1, y)$. If such a function $u$ is a solution of (3.62), then $g \in C^2(\mathbb{R})$ and
$$
u_t=g^{\prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) \frac{x}{t^{3 / 2}}, \quad u_x=g^{\prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \frac{1}{\sqrt{t}}, \quad u_{x x}=g^{\prime \prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \frac{1}{t} .
$$
This leads to
$$
0=u_t-u_{x x}=-\frac{1}{t}\left(\frac{1}{2} p g^{\prime}(p)+g^{\prime \prime}(p)\right) \text {, }
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Well-posedness of the parabolic initial-boundary value problem

抛物线最大值原理不仅产生 (3.56) 解的唯一性，而且产生先验估计 (3.58)。这使我们能够在以下情况下证明问题的适定性 $\Omega$ 是一个区间。
我们考虑以下初始边值问题: 给定 $u_0 \in C_0(0, \pi)$ ，我们寻求解决方案 $u$ 的
$$
u_t=u_{x x}, \quad \text { in }(0, \infty) \times(0, \pi), u(t, 0) \quad=u(t, \pi)=0, \quad t \geq 0, u(0, x)=u_0(x)
$$
定理 $3.36$ 让 $u_0 \in C([0, \pi])$ 是这样的 $u_0(0)=u_0(\pi)=0$. 则 (3.59) 有唯一解 $u \in C^{\infty}((0, \infty) \times[0, \pi]) \cap C([0, \infty) \times[0, \pi])$. 此外，对于这个解决方案，我们有 $|u|{C([0, \infty) \times[0, \pi])} \leq\left|u_0\right|{C([0, \pi])}$
证明我们已经证明了数据的唯一性和连续依赖性；我们仍然需要建立存在。让 $u_{0 n} \in C([0, \pi])$ 是以下形式的三角多项式
$$
u_{0 n}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} b_k^n \sin (k x)
$$
这样 $u_{0 n} \rightarrow u_0$ 在 $C([0, \pi])$ (见推论 3.19) 。在这里，对于固定 $n \in \mathbb{N}, b_k^n=0$ 对于除了有限的大多数人之外的所有人 $k \in \mathbb{N}$ ，尽管 $\lim n \rightarrow \infty b_k^n=b_k$ （参见定理 $3.28$ 的证明）。现在为初始值 $u 0 n$ 的解决方案 $(3.59)$ 是 (谁) 给的
$$
u_n(t, x)=\sum_{k=1}^{\infty} b_k^n e^{-k^2 t} \sin (k x)
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The heat equation in Rd

我们现在想研究整个空间的热方程 $\mathbb{R}^d$. 当我们在后面的部分中讨论 Black-Scholes 方程时，这也会很有用。我们首先考虑一维情况 $d=1$. 类似于我们上面所做的，我们用 $C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ 这些功能的空间 $u=u(t, x)$ 谁的偏导数 $u_t, u_x, u_{x x}$ 存在并且是连续的 $(0, \infty) \times \mathbb{R}$.
我们的目标是找到解决方案 $u \in C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ 热方程式
$$
u_t=u_{x x}, \quad t>0, x \in \mathbb{R} .
$$
以下论点将使我们能够构建解决方案。假使，假设 $u \in C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R})$ 是一个解决方案 $(3.62)$ 然后让 $a>0$. 然后
$$
v(t, x):=u(a t, \sqrt{a} x)
$$
还定义了 (3.62) 的解，这可以通过直接计算来检验。我们将尝试找到解决方案 $u$ 在变量 (3.63) 的变化下是不变的，即我们要
$$
u(t, x)=u(a t, \sqrt{a} x), \quad t>0, x \in \mathbb{R}
$$
为所有人举行 $a>0$. 如果我们做出特定的选择 $a=\frac{1}{t}$, 然后我们得到
$$
u(t, x)=u\left(1, \frac{x}{\sqrt{t}}\right),
$$
何处 $u(t, x)=g\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)$ 为了 $g(y):=u(1, y)$. 如果有这样的功能 $u$ 是 (3.62) 的解，则 $g \in C^2(\mathbb{R})$ 和
$$
u_t=g^{\prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) \frac{x}{t^{3 / 2}}, \quad u_x=g^{\prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \frac{1}{\sqrt{t}}, \quad u_{x x}=g^{\prime \prime}\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \frac{1}{t} .
$$
这将导致
$$
0=u_t-u_{x x}=-\frac{1}{t}\left(\frac{1}{2} p g^{\prime}(p)+g^{\prime \prime}(p)\right)
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH4310

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH4310

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Sobolev Spaces

Possibly the most important scales of distribution spaces consist of the Sobolev spaces. In this text we will solely make use of the Sobolev spaces based on $L^2$, which we shall denote by $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ with $s \in \mathbb{R}: H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ is the linear space of tempered distributions $u$ whose Fourier transform $\widehat{u}$ is a square-integrable function in $\mathbb{R}^n$ with respect to the density $\left(1+|\xi|^2\right)^s \mathrm{~d} \xi$. The Hermitian product
$$
(u, v)s=(2 \pi)^{-n} \int{\mathbb{R}^n} \widehat{u}(\xi) \overline{\widehat{v}(\xi)}\left(1+|\xi|^2\right)^s \mathrm{~d} \xi
$$ defines a Hilbert space structure on $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$; we use the notation $|u|_s=\sqrt{(u, u)s}$. We have $H^0\left(\mathbb{R}^n\right)=L^2\left(\mathbb{R}^n\right)$; if $s^{\prime}{s^{\prime}} \leq|u|_{s^s}$. All the Hilbert spaces $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ are isomorphic: it is immediate to see that the operators
$$
\left(1-\Delta_x\right)^{t / 2} \varphi(x)=(2 \pi)^{-n} \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{-i x \cdot \xi}\left(1+|\xi|^2\right)^{t / 2} \widehat{\varphi}(\xi) \mathrm{d} \xi, t \in \mathbb{R},
$$
form a group of (continuous linear) automorphisms of $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right) ;(2.2 .2)$ extends as an isometry of $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ onto $H^{s-t}\left(\mathbb{R}^n\right)$, whatever the real numbers $s, t$.

We mention a useful inequality, valid for all $s, t \in \mathbb{R}$ such that $a=s-t>0$, all $\varepsilon>0$ and $u \in H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$
$$
|u|_t^2 \leq \varepsilon|u|_s^2+\frac{1}{4 \varepsilon}|u|_{t-a}^2,
$$
a direct consequence of the inequality $A^t \leq \varepsilon A^s+\frac{1}{4 \varepsilon} A^{t-a}, A=1+|\xi|^2$.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Distribution Kernels

We must now introduce distributions $F(x, y)$ on products $\Omega_1 \times \Omega_2$ with $\Omega_1 \subset$ $\mathbb{R}^{n_1}, \Omega_2 \subset \mathbb{R}^{n_2}$ open sets. Distributions belonging to $\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$ are often referred to as kernels or distribution kernels. We can regard the product of two test-functions $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right)$ and $\psi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$ as an element of $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$, denoted by $\varphi \otimes \psi$, and evaluate $F \in \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$ on it. Fixing $\psi$ defines a distribution in $\Omega_1$ :
$$
C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right) \ni \varphi \mapsto\langle F, \varphi \otimes \psi\rangle \in \mathbb{C} .
$$
To emphasize this partial action it is convenient to adopt the “Volterra notation”: to write $\int F(x, y) \psi(y)$ d $y$ rather than $\langle F(x, y), \psi(y)\rangle$. (Keep in mind, however, that $\int$ does not stand for a true integral!) In passing we point out that the Fubini formula is always true in distribution theory: $$
\int\left(\int F(x, y) \psi(y) \mathrm{d} y\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=\int\left(\int F(x, y) \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \psi(y) \mathrm{d} y .
$$
The map
$$
C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \ni \psi \mapsto \mathfrak{I}F \psi(x)=\int F(x, y) \psi(y) \mathrm{d} y \in \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right) $$ is linear and continuous. The Schwartz Kernel Theorem states that, actually, every continuous linear map $C{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)$ is of the kind (2.3.1), and that the correspondence between continuous linear maps and distribution kernels is one-toone. This is a very special property of $\mathcal{D}^{\prime}$, obviously false for any infinite-dimensional Banach space (but true for $\mathcal{E}^{\prime}, C^{\infty}, C_{\mathrm{c}}^{\infty}$, if properly reformulated).

The composition $A_{1,2} \circ A_{2,3}$ of two linear operators $A_{1,2}: C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)$, $A_{2,3}: C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_3\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right)$, puts requirements of regularity and support on the factors. For instance, we might require that $A_{2,3}$ maps $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_3\right)$ into $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$, or else that $A_{1,2}$ extend as a continuous linear operator $\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)$, which is equivalent to requiring that the transpose $A_{1,2}^{\top}$ maps $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right)$ into $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$. These concerns are addressed in Definitions $2.3 .1$ and $2.3 .6$ below.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Sobolev Spaces

可能最重要的分布空间尺度包括 Sobolev 空间。在本文中，我们将仅使用基于 Sobolev 空间 $L^2$ ，我们将表示为 $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ 和 $s \in \mathbb{R}: H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ 是回火分布的线性空间 $u$ 谁的傅里叶变换 $\widehat{u}$ 是平方可积函数 $\mathbb{R}^n$ 关于密度 $\left(1+|\xi|^2\right)^s \mathrm{~d} \xi$. 厄米积
$$
(u, v) s=(2 \pi)^{-n} \int \mathbb{R}^n \widehat{u}(\xi) \overline{\hat{v}(\xi)}\left(1+|\xi|^2\right)^s \mathrm{~d} \xi
$$
定义脪尔伯特空间结构 $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$; 我们使用符号 $|u|s=\sqrt{(u, u) s}$. 我们有 $H^0\left(\mathbb{R}^n\right)=L^2\left(\mathbb{R}^n\right)$; 如果 $s^{\prime} s^{\prime} \leq|u|{s^s}$. 所有莃尔伯特空间 $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ 是同构的: 立即可以看出运算符
$$
\left(1-\Delta_x\right)^{t / 2} \varphi(x)=(2 \pi)^{-n} \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{-i x \cdot \xi}\left(1+|\xi|^2\right)^{t / 2} \widehat{\varphi}(\xi) \mathrm{d} \xi, t \in \mathbb{R}
$$
形成一组 (连续线性) 自同构 $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right) ;(2.2 .2)$ 延伸为等距 $H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ 到 $H^{s-t}\left(\mathbb{R}^n\right)$ ，无论实数 $s, t$.
我们提到一个有用的不等式，对所有人都有效 $s, t \in \mathbb{R}$ 这样 $a=s-t>0$ ，全部 $\varepsilon>0$ 和 $u \in H^s\left(\mathbb{R}^n\right)$
$$
|u|t^2 \leq \varepsilon|u|_s^2+\frac{1}{4 \varepsilon}|u|{t-a}^2,
$$
不平等的直接后果 $A^t \leq \varepsilon A^s+\frac{1}{4 \varepsilon} A^{t-a}, A=1+|\xi|^2$.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Distribution Kernels

我们现在必须引入分布 $F(x, y)$ 在产品上 $\Omega_1 \times \Omega_2$ 和 $\Omega_1 \subset \mathbb{R}^{n_1}, \Omega_2 \subset \mathbb{R}^{n_2}$ 开集。分布属于 $\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$ 通常称为内核或分发内核。我们可以看做两个测试函数的乘积 $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right)$ 和 $\psi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$ 作为一个元素 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$ ，表示为 $\varphi \otimes \psi$ ，并评估 $F \in \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)$ 在上面。定影 $\psi$ 定义一个分布 $\Omega_1$ :
$$
C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right) \ni \varphi \mapsto\langle F, \varphi \otimes \psi\rangle \in \mathbb{C} .
$$
为了强调这个部分动作，采用 “Volterra notation”很方便: 写 $\int F(x, y) \psi(y) \mathrm{d} y$ 而不是 $\langle F(x, y), \psi(y)\rangle$. （但是请记住， $\int$ 不代表真正的积分!）顺便指出，富比尼公式在分布理论中始终为真:
$$
\int\left(\int F(x, y) \psi(y) \mathrm{d} y\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=\int\left(\int F(x, y) \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \psi(y) \mathrm{d} y .
$$
地图
$$
C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \ni \psi \mapsto \Im F \psi(x)=\int F(x, y) \psi(y) \mathrm{d} y \in \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)
$$
是线性和连续的。施瓦茨核定理指出，实际上，每个连续线性映射 $C \mathrm{c}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)$ 属于(2.3.1) 类，连续线性映射与分布核一一对应。这是一个非常特殊的属性 $\mathcal{D}^{\prime}$ ，对于任何无限维 Banach 空间显然是错误的（但对于 $\mathcal{E}^{\prime}, C^{\infty}, C_{\mathrm{c}}^{\infty}$ ，如果适当地重新制定）。
组成 $A_{1,2} \circ A_{2,3}$ 两个线性算子 $A_{1,2}: C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right), A_{2,3}: C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_3\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right)$, 对因子提出了规律性和支持性的要求。例如，我们可能需要 $A_{2,3}$ 地图 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_3\right)$ 进入 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$ ，否则 $A_{1,2}$ 扩展为连续线性算子 $\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right) \longrightarrow \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)$ ，这相当于要求转置 $A_{1,2}^{\top}$ 地图 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_1\right)$ 进入 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega_2\right)$. 这些问题在定义中得到解决 $2.3 .1$ 和 $2.3 .6$ 以下。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Math462

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

我们提供的偏微分方程partial difference equations及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The wave-front set of a distribution

Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set and let $x^{\circ} \in \Omega, \xi^{\circ} \in \mathbb{R}^n \backslash{0}$ be arbitrary. By a cone in $\mathbb{R}^n \backslash{0}$ we shall always mean a set invariant under all dilations $\xi \mapsto \lambda \xi, \lambda>0$ (i.e., a cone with vertex at the origin).
Lemma 2.1.4 Let $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ have the following property:
(NWF) There exist an open set $U \subset \subset \Omega$ containing $x^{\circ}$ and $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega), \varphi(x)=1$ for every $x \in U$, and an open cone $\Gamma \subset \mathbb{R}^n \backslash{0}$ containing $\xi^{\circ}$ such that
$$
\forall m \in \mathbb{Z}{+}, \sup {\xi \in \Gamma}\left((1+|\xi|)^m|\overline{(\varphi u)}(\xi)|\right)<+\infty .
$$
Then, if $\Gamma^{\prime} \subset \mathbb{R}^n \backslash{0}$ is an open cone such that $\Gamma^{\prime} \cap \mathbb{S}^{n-1} \subset \subset \Gamma$, we have
$$
\forall m \in \mathbb{Z}{+}, \sup {\xi \in \Gamma^{\infty}}\left((1+|\xi|)^m|\widehat{(\psi u)}(\xi)|\right)<+\infty
$$
for every $\psi \in C_c^{\infty}(U)$
Proof Let $\varphi$ and $\psi$ be as in the statement; we have $\psi u=\psi \varphi u$ and therefore
$$
\widehat{(\psi u)}(\xi)=(2 \pi)^{-n} \int \widehat{\psi}(\xi-\eta) \widehat{(\varphi u)}(\eta) \mathrm{d} \eta .
$$
Here we shall use the notation, for $k \in \mathbb{Z}{+}$, $$ |\psi|_k=\sup {\xi \in \mathbb{R}^n}\left((1+|\xi|)^k|\widehat{\psi}(\xi)|\right)
$$
as well as
$$
|\varphi u|{k, \Gamma}=\sup {\xi \in \Gamma}\left((1+|\xi|)^k|\overline{(\varphi u)}(\xi)|\right) .
$$
Using the self-evident inequality $(1+|\xi|)^m \leq(1+|\eta|)^m(1+|\xi-\eta|)^m$ we get, for $\xi \in \Gamma^{\prime}$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Action of diferential operators on distributions

The action of a linear PDO on a distribution $u$ in $\Omega$ is defined by transposition:
$$
\langle P(x, \mathrm{D}) u, \varphi\rangle=\left\langle u, P(x, \mathrm{D})^{\top} \varphi\right\rangle, \varphi \in \mathcal{C}{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) . $$ When $u \in C^{\infty}(\Omega)$, (2.1.6) simply reflects integration by parts. Likewise, $$ \langle P(x, \mathrm{D}) u, \bar{\varphi}\rangle=\left\langle u, \overline{P(x, \mathrm{D})^* \varphi}\right\rangle, \varphi \in C{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) .
$$
It follows directly from (2.1.6) that the inclusion (1.3.2), $\operatorname{supp} P(x, \mathrm{D}) f \subset$ supp $f$, remains valid when $f \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. It is also obvious that
$$
\text { singsupp } P(x, \text { D) } f \subset \operatorname{singsupp} f \text {, }
$$
and if the coefficients of $P(x, \mathrm{D})$ are real-analytic, that
$$
\text { singsupp }{\mathrm{a}} P(x, \mathrm{D}) f \subset \text { singsupp }{\mathrm{a}} f \text {. }^2
$$
In other words, differential operators “decrease” the singular supports, just like they decrease the supports.

Every linear PDO maps $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ linearly and continuously into itself, and $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ into itself. In particular, $P(x, \mathrm{D}$ ) acts in the distribution sense (often called “the weak sense”) on a function $f \in L_{\text {loc }}^1(\Omega)$ :
$$
\langle P(x, \mathrm{D}) f, \varphi\rangle=\int f P(x, \mathrm{D})^{\top} \varphi \mathrm{d} x, \varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) .
$$
Actually [cf. (2.1.5)], every distribution $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ can be represented locally as a finite sum of derivatives of continuous functions.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The wave-front set of a distribution

让 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个开放集，让 $x^{\circ} \in \Omega, \xi^{\circ} \in \mathbb{R}^n \backslash 0$ 是任意的。通过雉形 $\mathbb{R}^n \backslash 0$ 我们将始终表示在所有膨胀下的集合不变性 $\xi \mapsto \lambda \xi, \lambda>0$ （即，顶点在原点的圆雉体）。引理 2.1.4 让 $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ 具有以下性质:
(NWF) 存在一个开集 $U \subset \subset \Omega$ 含有 $x^0$ 和 $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega), \varphi(x)=1$ 每一个 $x \in U$ ，和一个开雉 $\Gamma \subset \mathbb{R}^n \backslash 0$ 含有 $\xi^{\circ}$ 这样
$$
\forall m \in \mathbb{Z}+, \sup \xi \in \Gamma\left((1+|\xi|)^m|\overline{(\varphi u)}(\xi)|\right)<+\infty
$$
那么，如果 $\Gamma^{\prime} \subset \mathbb{R}^n \backslash 0$ 是一个开锥使得 $\Gamma^{\prime} \cap \mathbb{S}^{n-1} \subset \subset \Gamma$ ，我们有
$$
\forall m \in \mathbb{Z}+, \sup \xi \in \Gamma^{\infty}\left((1+|\xi|)^m|\widehat{(\psi u)}(\xi)|\right)<+\infty
$$
每一个 $\psi \in C_c^{\infty}(U)$
证明让 $\varphi$ 和 $\psi$ 如声明中所述；我们有 $\psi u=\psi \varphi u$ 因此
$$
\widehat{(\psi u)}(\xi)=(2 \pi)^{-n} \int \widehat{\psi}(\xi-\eta) \widehat{(\varphi u)}(\eta) \mathrm{d} \eta .
$$
这里我们将使用符号，因为 $k \in \mathbb{Z}+$ ，
$$
|\psi|_k=\sup \xi \in \mathbb{R}^n\left((1+|\xi|)^k|\widehat{\psi}(\xi)|\right)
$$
也
$$
|\varphi u| k, \Gamma=\sup \xi \in \Gamma\left((1+|\xi|)^k|\overline{(\varphi u)}(\xi)|\right)
$$
使用不言而喻的不等式 $(1+|\xi|)^m \leq(1+|\eta|)^m(1+|\xi-\eta|)^m$ 我们得到，因为 $\xi \in \Gamma^{\prime}$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Action of diferential operators on distributions

线性 PDO 对分布的作用 $u$ 在 $\Omega$ 由转置定义:
$$
\langle P(x, \mathrm{D}) u, \varphi\rangle=\left\langle u, P(x, \mathrm{D})^{\top} \varphi\right\rangle, \varphi \in \mathcal{C c}^{\infty}(\Omega) .
$$
什么时候 $u \in C^{\infty}(\Omega)$ ，(2.1.6) 简单地反映了零件的整合。同样地，
$$
\langle P(x, \mathrm{D}) u, \bar{\varphi}\rangle=\left\langle u, \overline{P(x, \mathrm{D})^* \varphi}\right\rangle, \varphi \in C \mathrm{c}^{\infty}(\Omega) .
$$
直接从 (2.1.6) 得出包含 (1.3.2)， $\operatorname{supp} P(x, \mathrm{D}) f \subset$ 支持 $f$ ，仍然有效时 $f \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. 同样明显的是 singsupp $P(x$, D $) f \subset \operatorname{singsupp} f$
如果系数 $P(x, \mathrm{D})$ 是实分析的，即
$$
\text { singsupp a } P(x, \mathrm{D}) f \subset \text { singsupp a } f .{ }^2
$$
换句话说，微分算子”减少”奇异支撑，就像它们減少支撑一样。
每个线性 PDO 映射 $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ 线性连续地进入自身，并且 $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ 进入自身。特别是， $P(x, \mathrm{D})$ 在分布意义上 (通常称为“弱意义”) 作用于一个函数 $f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$ :
$$
\langle P(x, \mathrm{D}) f, \varphi\rangle=\int f P(x, \mathrm{D})^{\top} \varphi \mathrm{d} x, \varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) .
$$
实际上 [cf. (2.1.5)]，每个分布 $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ 可以局部地表示为连续函数的导数的有限和。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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Statistical Inference 统计推断
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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Basics on Distributions in Euclidean Space

Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$, as before. If $u$ is a complex-valued linear functional on the vector space $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$, i.e., if $u$ is a linear map $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) \longrightarrow \mathbb{C}$, we denote by $\langle u, \varphi\rangle$ its evaluation at the test-function $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$. The linear functional $u$ is a distribution in $\Omega$ if $\left\langle u, \varphi_j\right\rangle \rightarrow 0$ whenever the sequence $\left{\varphi_j\right}_{j=0,1,2, \ldots} \subset C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ converges to zero in the following sense:
(•) all derivatives $\partial^\alpha \varphi_j$ converge uniformly to zero and there is a compact set $K \subset \Omega$ such that $\operatorname{supp} \varphi_j \subset K$ whatever $j$.

The space of distributions in $\Omega$ is denoted by $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. The restriction of a distribution $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ to an open subset $\Omega^{\prime}$ of $\Omega$ is simply the restriction of the linear functional $u$ to the linear subspace $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega^{\prime}\right)$ of $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$. By using partitions of unity in $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ it is readily proved that there is a smallest closed subset of $\Omega$, called the support of $u$ and denoted by supp $u$, such that $u$ vanishes (“identically”) in $\Omega \backslash F$. The subspace of distributions in $\Omega$ that have compact support (contained in $\Omega$ ) is denoted by $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$; it can be identified with the dual of $C^{\infty}(\Omega)$.

The convergence of a sequence of distributions $u_j\left(j \in \mathbb{Z}{+}\right)$is to be understood in the “weak sense”: $u_j \rightarrow 0$ if $\left\langle u_j, \varphi\right\rangle \rightarrow 0$ for each $\varphi \in C{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$. For $u_j \in \mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ to converge to zero in $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ it is moreover required that there be a compact set $K \subset \Omega$ such that $\operatorname{supp} u_j \subset K$ for all $j$.

Every continuous linear map of $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ into itself defines, by transposition, a continuous linear map of $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ into itself. Most important among these are multiplication by smooth functions in $\Omega$ and partial derivatives. If $P\left(x, \mathrm{D}x\right)$ is a linear partial differential operator with smooth coefficients in $\Omega$ we define, for arbitrary $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega), \varphi \in C{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$,
$$
\left\langle P\left(x, \mathrm{D}_x\right) u, \varphi\right\rangle=\left\langle u, P\left(x, \mathrm{D}_x\right)^{\top} \varphi\right\rangle,
$$
where $P\left(x, \mathrm{D}_x\right)^{\top}$ is the transpose of $P\left(x, \mathrm{D}_x\right)$ [cf. (1.3.3)].

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Tempered distributions and their Fourier transforms

As is customary, $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ stands for the (Schwartz) space of functions $\varphi \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ rapidly decaying at infinity: given arbitrary $\alpha \in \mathbb{Z}{+}^n$ and $m \in \mathbb{Z}{+}$,
$$
\sup {x \in \mathbb{R}^n}\left(1+|x|^2\right)^{\frac{1}{2} m}\left|\partial_x^\alpha \varphi(x)\right|<+\infty . $$ A sequence of functions $\varphi \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ converges to zero if the seminorms on the left in (2.1.1) converge to zero for all choices of $m$ and $\alpha ; \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is a Fréchet space and thus its topology can be defined by (equivalent) metrics that turn it into a complete metric space. The space $\mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ of tempered distributions in $\mathbb{R}^n$ is the subspace of $\mathcal{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ consisting of the distributions $u$ which can be written as finite sums of distribution derivatives $$ u=\sum{|\alpha| \leq m} \mathrm{D}^\alpha\left(P_\alpha f_\alpha\right)
$$
in which the $P_\alpha$ are polynomials and the $f_\alpha$ belong, say, to $L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$. By transposing the dense injection $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right) \hookrightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ the dual of $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is identified with $\mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$. Below we often denote by $\int u(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ (rather than by $\langle u, \varphi\rangle$ ) the duality bracket between $u \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ and $\varphi \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$.
The Fourier transform
$$
\widehat{u}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{-i x \cdot \xi} u(x) \mathrm{d} x
$$
defines a Fréchet space isomorphism of $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}x^n\right)$ onto $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}{\xi}^n\right)$ whose inverse is given by
$$
u(x)=(2 \pi)^{-n} \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{i x \cdot \xi} \widehat{u}(\xi) \mathrm{d} x .
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Basics on Distributions in Euclidean Space

让 $\Omega$ 是的一个开放子集 $\mathbb{R}^n$ ，像以前一样。如果 $u$ 是向量空间上的复值线性泛函 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ ，即如果 $u$ 是线性映射 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega) \longrightarrow \mathbb{C}$ ，我们用 $\langle u, \varphi\rangle$ 它在测试功能上的评估 $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$. 线性泛函 $u$ 是分布在 $\Omega$ 如果意义上收敛于零:
(•) 所有导数 $\partial^\alpha \varphi_j$ 一致收敛于零且存在紧集 $K \subset \Omega$ 这样 $\operatorname{supp} \varphi_j \subset K$ 任何 $j$.
分布空间在 $\Omega$ 表示为 $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. 分布的限制 $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ 到一个开放的子集 $\Omega^{\prime}$ 的 $\Omega$ 只是线性泛函的限制 $u$ 到线性子空间 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\Omega^{\prime}\right)$ 的 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$. 通过使用统一分区 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ 很容易证明存在最小的闭子集 $\Omega$ ，称为支持 $u$ 并用 supp 表示 $u$ ，这样 $u$ 消失 (“相同地”) 在 $\Omega \backslash F$. 分布的子空间 $\Omega$ 具有紧凑的支持 (包含在 $\Omega$ ) 表示为 $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ ；它可以用对偶来识别 $C^{\infty}(\Omega)$.
一系列分布的收敛 $u_j(j \in \mathbb{Z}+)$ 应理解为“弱义”: $u_j \rightarrow 0$ 如果 $\left\langle u_j, \varphi\right\rangle \rightarrow 0$ 每个 $\varphi \in C \mathrm{c}^{\infty}(\Omega)$. 为了 $u_j \in \mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ 收敛于零 $\mathcal{E}^{\prime}(\Omega)$ 此外还要求有一个紧集 $K \subset \Omega$ 这样 $\operatorname{supp} u_j \subset K$ 对所有人 $j$.
每个连续的线性映射 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(\Omega)$ 到自身定义，通过转置，一个连续的线性映射 $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ 进入自身。其中最重要的是乘以平滑函数 $\Omega$ 和偏导数。如果 $P(x, \mathrm{D} x)$ 是具有平滑系数的线性偏微分算子 $\Omega$ 我们定义，对于任意 $u \in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega), \varphi \in C \mathrm{c}^{\infty}(\Omega)$
$$
\left\langle P\left(x, \mathrm{D}_x\right) u, \varphi\right\rangle=\left\langle u, P\left(x, \mathrm{D}_x\right)^{\top} \varphi\right\rangle,
$$
在哪里 $P\left(x, \mathrm{D}_x\right)^{\top}$ 是转置 $P\left(x, \mathrm{D}_x\right)$ [比照。(1.3.3)]。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Tempered distributions and their Fourier transforms

按照惯例， $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 代表 (Schwartz) 函数空间 $\varphi \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 在无穷远处快速衰减：任意给定 $\alpha \in \mathbb{Z}+^n$ 和 $m \in \mathbb{Z}+$,
$$
\sup x \in \mathbb{R}^n\left(1+|x|^2\right)^{\frac{1}{2} m}\left|\partial_x^\alpha \varphi(x)\right|<+\infty .
$$
函数序列 $\varphi \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 如果 (2.1.1) 左边的半范数对于所有的选择都收敛到零，则收敛到零 $m$ 和 $\alpha ; \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right.$ ) 是一个 Fréchet 空间，因此它的拓扑结构可以由（等效的）度量定义，将它变成一个完整的度量空间。空间 $\mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 中的缓和分布 $\mathbb{R}^n$ 是子空间 $\mathcal{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 由分布组成 $u$ 可以写成分布导数的有限和
$$
u=\sum|\alpha| \leq m \mathrm{D}^\alpha\left(P_\alpha f_\alpha\right)
$$
其中 $P_\alpha$ 是多项式和 $f_\alpha$ 属于，说，到 $L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$. 通过转置密集注入 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right) \hookrightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 的对偶 $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 被识别为 $\mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$. 下面我们常记为 $\int u(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ (而不是通过 $\left.\langle u, \varphi\rangle\right)$ 之间的对偶括号 $u \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 和 $\varphi \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^n\right)$.
傅里叶变换
$$
\widehat{u}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{-i x \cdot \xi} u(x) \mathrm{d} x
$$
定义 Fréchet 空间同构 $\mathcal{S}\left(\mathbb{R} x^n\right)$ 到 $\mathcal{S}\left(\mathbb{R} \xi^n\right)$ 其逆由给出
$$
u(x)=(2 \pi)^{-n} \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{i x \cdot \xi} \widehat{u}(\xi) \mathrm{d} x
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH4310

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如果你也在怎样代写偏微分方程partial difference equations这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

我们提供的偏微分方程partial difference equations及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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Statistical Computing 统计计算
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Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Second Order Differential Equations

A second order differential equation in two variables $x$ and $y$ is given by
$$
F\left(x, y ; u ; p, q ; u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}\right)=0, \quad \text { for } z=u(x, y) \in C^2(\Omega),
$$
where function $F$ is sufficiently smooth with respect to all involved variables, and $F_p^2+F_q^2 \not \equiv 0$ over $\Omega$. In particular, a second order quasilinear equation is given by
$$
a u_{x x}+b u_{x y}+c u_{y y}+F_1\left(x, y ; u ; u_x, u_y\right)=0,
$$
where the coefficients $a, b, c$ are functions of the independent variables $x, y$, and also of the dependent variable $z=u(x, y)$. As said earlier, (5.1.26) is a semilinear equation when functions $a, b, c$ depend on variables $x$ and $y$ only. Also, a general second order linear equation for a function $u \in C^2(\Omega)$ is given by
$$
a u_{x x}+b u_{x y}+c u_{y y}+d u_x+e u_y+f u+g=0,
$$
where the coefficients $a, \ldots, g$ are functions of the independent variables $x$ and $y$ only. As in the case of a first order differential equation in two variables, we say (5.1.27) is a homogeneous equation if the $g \equiv 0$. Otherwise, it is called a nonhomogeneous equation.

The next two examples illustrate that the second order differential equations of simpler linearity types arise naturally in mathematics, and also in practical situations. The main idea is to eliminate all parameters from the given functional relation. For convenience, we may write the second order partial derivatives of a $C^2$-function $u=u(x, y)$ as
$$
r=u_{x x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad s=u_{x y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \quad t=u_{y y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} .
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Classification and Canonical Forms

Let $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ be an open set, and consider the general second order linear differential equation for a function $u \in C^2(\Omega)$ given by
$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}+F_1(x, y ; u ; p, q)=0, \quad \text { for } z=u(x, y),
$$
where the coefficients $a, b, c \in C^2(\Omega)$ are such that the condition $a^2+b^2+c^2 \not \equiv 0$ holds over $\Omega$. In this section, our main concern is the principle part given by
$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y},
$$
because only it participates in the classification procedure described below. When the coefficients $a, b, c$ are constants, the geometry type of Eq. (5.2.1) remains uniform over a domain $\Omega$. However, in the general case, the equation may be of different types across various regions of $\Omega$. We will study Eq. (5.2.1) over a domain $\Omega_1 \subseteq \Omega$ such that the discriminant given by
$$
D:=b^2-a c
$$
has the same sign at each point of $\Omega_1$. We show that, for $\left(x_0, y_0\right) \in \Omega_1$, there exists a neighbourhood $U_0$ of the point $\left(x_0, y_0\right)$ and sufficiently smooth functions $\varphi, \phi$ such that the transformation $(x, y) \mapsto(\xi, \eta)$ given by
$$
\xi=\varphi(x, y) \quad \text { and } \quad \eta=\phi(x, y),
$$
changes Eq. (5.2.1) to a differential equation that has one of the three geometry types ${ }^3$ such as given below:

A hyperbolic type such as the wave equation (5.1.38).
A parabolic type such as the heat equation (5.1.40).
An elliptic type such as the Laplace equation (5.1.42).

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Second Order Differential Equations

双变量二阶微分方程 $x$ 和 $y$ 是 (谁) 给的
$$
F\left(x, y ; u ; p, q ; u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}\right)=0, \quad \text { for } z=u(x, y) \in C^2(\Omega),
$$
哪里的功能 $F$ 对于所有涉及的变量都足够平滑，并且 $F_p^2+F_q^2 \not \equiv 0$ 超过 $\Omega$. 特别地，二阶拟线性方程由下式给出
$$
a u_{x x}+b u_{x y}+c u_{y y}+F_1\left(x, y ; u ; u_x, u_y\right)=0,
$$
其中系数 $a, b, c$ 是自变量的函数 $x, y$, 以及因变量 $z=u(x, y)$. 如前所述，(5.1.26) 是一个半线性方程，当函数 $a, b, c$ 取决于变量 $x$ 和 $y$ 只要。此外，函数的一般二阶线性方程 $u \in C^2(\Omega)$ 是（谁) 给的
$$
a u_{x x}+b u_{x y}+c u_{y y}+d u_x+e u_y+f u+g=0,
$$
其中系数 $a, \ldots, g$ 是自变量的函数 $x$ 和 $y$ 只要。对于二元微分方程的情况，我们说 (5.1.27) 是齐次方程，如果 $g \equiv 0$. 否则，它被称为非齐次方程。
接下来的两个例子说明了简单线性类型的二阶微分方程在数学中以及在实际情况中自然出现。主要思想是从给定的函数关系中消除所有参数。为了方便起见，我们可以写出 $\mathrm{a}$ 的二阶偏导数 $C^2$-功能 $u=u(x, y)$ 作为
$$
r=u_{x x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad s=u_{x y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \quad t=u_{y y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} .
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Classification and Canonical Forms

让 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个开集，并考虑函数的一般二阶线性微分方程 $u \in C^2(\Omega)$ 由
$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}+F_1(x, y ; u ; p, q)=0, \quad \text { for } z=u(x, y),
$$
其中系数 $a, b, c \in C^2(\Omega)$ 是这样的条件 $a^2+b^2+c^2 \not \equiv 0$ 坚持 $\Omega$. 在本节中，我们主要关注的是给出的原理部分
$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y},
$$
因为只有它参与了下面描述的分类程序。当系数 $a, b, c$ 是常数，方程式的几何类型。 (5.2.1) 在域上保持充 $-\Omega$. 然而，在一般情况下，方程可能在不同地区具有不同类型 $\Omega$. 我们将研究方程式。 (5.2.1) 跨域 $\Omega_1 \subseteq \Omega$ 这样判别式由
$$
D:=b^2-a c
$$
在每个点都有相同的符号 $\Omega_1$. 我们表明，对于 $\left(x_0, y_0\right) \in \Omega_1$ ，存在一个邻域 $U_0$ 重点 $\left(x_0, y_0\right)$ 和足够平滑的功能 $\varphi, \phi$ 这样的转变 $(x, y) \mapsto(\xi, \eta)$ 由
$$
\xi=\varphi(x, y) \quad \text { and } \quad \eta=\phi(x, y),
$$
改变方程式。(5.2.1) 到具有三种几何类型之一的微分方程 ${ }^3$ 如下所示:

双曲线类型如波动方程 (5.1.38)。
抛物线类型，例如热方程 (5.1.40)。
椭圆类型，例如拉普拉斯方程 (5.1.42)。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Math462

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Preliminaries

It helps in some situations to assume that the open set $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ is simply connected, ${ }^1$ and has a piecewise smooth closed boundary $\Gamma=\partial \Omega$. That is, when $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ is seen as an immersed submanifold of dimension $n-1$, the boundary $\Gamma$ is assumed to be a finite union of smooth surfaces of dimension $n-1$. For example, the interior of a rectangular region $\bar{\Omega}=[a, b] \times[c, d]$ fits the above description. Further, while modelling the equilibrium state of a phenomenon such as dealing with heat conduction or potential of a conservative force field, we may also take $\Omega$ to be bounded. In most practical situations discussed earlier, the restriction of the function $u=u(\boldsymbol{x}, t): \Omega_1 \rightarrow \mathbb{R}$ to the boundary $\Gamma$ is assumed to be continuous. Each differential equation model derived in Chapter 4 can be expressed implicitly as $$
F\left(x ; t ; u ; p_i ; q ; r_{i j} ; \ldots\right)=0, \quad \text { for }(x, t) \in \Omega_1 \text {, }
$$
where $F$ is some nice function, and the symbols $p_i, q, r_{i j}$, etc., are the partial derivatives of the function $u$ given by
$$
\begin{aligned}
& p_i=u_{x_i}=\partial_{x_i} u=\frac{\partial u}{\partial x_i} ; \quad q=u_t=\partial_t u=\frac{\partial u}{\partial t} ; \
& r_{i j}=u_{x_i x_j}=\partial_{x_i x_j}^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_i} ; \quad \text { etc. }
\end{aligned}
$$
Also, the del operator $\nabla$ in $n$ variables $x_1, \ldots, x_n$ is written as
$$
\nabla \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right) .
$$
Definition 5.1 For a function $F$ that is sufficiently smooth with respect to variables $\boldsymbol{x}, t, u, p_i, q, r_{i j}, \ldots$ such that at least one of the derivatives $F_{p_i}, F_q, F_{r_{i j}}, \ldots$, is nonzero over a suitable domain, an equation of the form (5.1.1) is called a general partial differential equation for a function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$, with $(\boldsymbol{x}, t) \in \Omega_1$. The order of (5.1.1) is the order of the highest derivative of $u$ appearing in the equation. The sum of highest order terms is called the principle part of a differential equation.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Linearity Type of a Differential Equation

Other than the order of a differential equation, as defined above, the linearity type of the function $F$ with respect to the variables $u, p_i, q, r_{i j}, \ldots$ provides a first stage classification of equations of the form (5.1.1), determines the complexity level of the geometry involved with any related problem, and hence also of the solution method to be applied in a particular situation.
Definition $5.2$ A differential equation (5.1.1) is said to be a

Linear equation if the function $F$ is linear with respect to variables $u, p_i, q, r_{i j}$, $\ldots$, whichever is present in the equation, and the coefficient functions depend on the independent variables $x_1, \ldots, x_n$ and $t$ only;
Semilinear equation (or almost linear) if the principle part of the equation is linear, and the coefficients appearing in the principle part are functions of $(n+1)$ independent variables $x_1, \ldots, x_n, t$ only;
Quasilinear equation if the principle part of the equation is linear, the coefficients appearing in the principle part are functions of $(n+1)$ independent variables and also of the dependent variable $u(\boldsymbol{x}, t)$, and at least one coefficient function appearing in lower order terms depends on $(n+1)$ independent variables and also on some lower order derivative of the function $u$.

A differential equation for a function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ is called fully nonlinear if it is not a quasilinear equation.

As in the case of an ordinary differential equation, the linear differential equations are simplest to deal with. Notice that, however, though each linear ordinary differential equation admits a global solutions, but the same is not true for latter types of differential equations. A general $k$ th order linear differential equation for a function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ can be written in operator notation as given below. For $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ and an $n$-tuple $a=\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ of non-negative integers, we write
$$
\boldsymbol{x}^a=x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} \quad \text { and } \quad D^a=D_1^{a_1} \cdots D_n^{a_n},
$$
where $D_j$ denote the partial differential operator $\partial / \partial x_j$, for $j=1, \ldots, n$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Preliminaries

在某些情况下，假设开集会有所帮助 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 是简单连接的， ${ }^1$ 并且有一个分段平滑的闭合边界 $\Gamma=\partial \Omega$. 也就是说，当 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 被视为维度的浸入子流形 $n-1$, 边界 $\Gamma$ 假定为维度光滑表面的有限并集 $n-1$. 例如，矩形区域的内部 $\bar{\Omega}=[a, b] \times[c, d]$ 符合上面的描述。此外，在模拟现象的平衡状态时，例如处理热传导或保守力场的势能，我们也可以采取 $\Omega$ 有界。在前面讨论的大多数实际情况中，函数的限制 $u=u(\boldsymbol{x}, t): \Omega_1 \rightarrow \mathbb{R}$ 到边界 $\Gamma$ 假设是连续的。第 4 章推导出的每个微分方程模型可以隐式表示为
$$
F\left(x ; t ; u ; p_i ; q ; r_{i j} ; \ldots\right)=0, \quad \text { for }(x, t) \in \Omega_1 \text {, }
$$
在哪里 $F$ 是一些不错的功能，符号 $p_i, q, r_{i j}$ 等是函数的偏导数 $u$ 由
$$
p_i=u_{x_i}=\partial_{x_i} u=\frac{\partial u}{\partial x_i} ; \quad q=u_t=\partial_t u=\frac{\partial u}{\partial t} ; \quad r_{i j}=u_{x_i x_j}=\partial_{x_i x_j}^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x}
$$
另外， del 运算符 $\nabla$ 在 $n$ 变量 $x_1, \ldots, x_n$ 写成
$$
\nabla \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)
$$
定义 $5.1$ 对于函数 $F$ 相对于变量足够平滑 $\boldsymbol{x}, t, u, p_i, q, r_{i j}, \ldots$ 这样至少有一个导数 $F_{p_i}, F_q, F_{r_{i j}}, \ldots$, 在合适的域上是非零的，形式为 (5.1.1) 的方程称为函数的一般偏溦分方程 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ ，和 $(\boldsymbol{x}, t) \in \Omega_1$.
(5.1.1) 的阶数是的最高导数的阶数 $u$ 出现在等式中。最高阶项的总和称为微分方程的主要部分。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Linearity Type of a Differential Equation

除了上面定义的微分方程的阶数之外，函数的线性类型 $F$ 关于变量 $u, p_i, q, r_{i j}, \ldots$ 提供形式为 (5.1.1) 的方程的第一阶段分类，确定与任何相关问题相关的几何的复杂程度，因此也确定在特定情况下应用的求解方法。
定义 5.2微分方程 (5.1.1) 被称为

函数的线性方程 $F$ 相对于变量是线性的 $u, p_i, q, r_{i j} ， \ldots$ ，以方程中出现的那个为准，系数函数取决于自变量 $x_1, \ldots, x_n$ 和 $t$ 只要;
半线性方程 (或几乎线性) 如果方程的主部分是线性的，并且出现在主部分中的系数是函数 $(n+1)$ 自变量 $x_1, \ldots, x_n, t$ 只要;
拟线性方程如果方程的主项是线性的，则主项中出现的系数是 $(n+1)$ 自变量和因变量 $u(\boldsymbol{x}, t)$ ，并且至少一个以低阶项出现的系数函数取决于 $(n+1)$ 自变量以及函数的一些低阶导数 $u$.
函数的微分方程 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ 如果它不是拟线性方程，则称为完全非线性。
与常微分方程的情况一样，线性微分方程最容易处理。然而，请注意，虽然每个线性常微分方程都承认全局解，但对于后一类微分方程则不然。一个将军 $k$ 函数的 th 阶线性溦分方程 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ 可以用下面给出的运算符符号来写。为了 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 和 $n$-元组 $a=\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ 的非负整数，我们写
$$
\boldsymbol{x}^a=x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} \text { and } D^a=D_1^{a_1} \cdots D_n^{a_n},
$$
在哪里 $D_j$ 表示偏微分算子 $\partial / \partial x_j$ ，为了 $j=1, \ldots, n$.

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Momentum Transfer: Equations of Motion

We derive here system of partial differential equations as a model to study practical problems related to the dynamics of real fluids, which are called equations of motion. The related initial-boundary value problems help study physical processes dealing with momentum transfer.

In this case, in addition to three components of velocity vector $\mathbf{u}=\mathbf{u}(\boldsymbol{x}, t)$, the pressure $p=p(\boldsymbol{x}, t)>0$ (as global interaction among all particles), and the mass density $\rho=\rho(\boldsymbol{x}, t)$, we also take into consideration amount of the energy dissipation in terms of viscosity and heat exchange among different parts of it. Therefore, the proposed model must also include internal energy density function $e=e(\boldsymbol{x}, t)$ and the heat flux density function $q=q(\boldsymbol{x}, t)$. Notice that the frictional forces inside the fluid enhance the local coherence of the flow leading to a lower velocity if the fluid particles move faster than the averages of their neighbourhoods. We consider next two forces acting on a control volume:

The body forces due to gravity $\mathbf{g}$ given by
$$
\mathbf{F}_v:=\int_V \rho \mathbf{g d} V .
$$
The surface forces given by
$$
\mathbf{F}_S:=\int_S(-p) \mathbf{n d} S .
$$
Such types of forces are caused due to collisions between fluid molecules on either side of the surface $S$, which produce a flux of momentum across the boundary in the direction of the normal $\mathbf{n}$. We have considered only the effect of the pressure $p>0$ on the volume $V$ bounded by the surface $S$.

By Newton’s momentum law, the sum total of forces acting on a control volume $\mathrm{d} V$ must equals the rate of change of momentum. Therefore, by using the divergence theorem, we have
$$
\int_V \rho \frac{D \mathbf{u}}{D t} \mathrm{~d} V=\int_V[-\nabla p+\rho \mathbf{g}] \mathrm{d} V .
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Energy Transfer: Diffusion Equations

Finally, as an important case of energy transfer, we consider diffusion of a substance like a chemical through a homogeneous liquid (or a gas in air) contained in a bounded volume. Recall that diffusion process takes place due to the collisions of neighbouring molecules by which the kinetic energy of molecules is transferred from one to its nearest neighbour. It is assumed that the fluid is nearly motionless to avoid convection. Over a period of time, the substance diffuses throughout the fluid randomly moving from regions of higher concentration to the lower concentration. Under these conditions, we derive partial differential equations that are used to study time rate change in concentration levels of the diffusing substance at a position. These are called diffusion equations.

Let the mass density of the diffusing substance at position $x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ and at time $t \geq 0$ be given by a sufficiently smooth function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$. The initial concentration may be assumed to be given by a function $f(\boldsymbol{x})=u(\boldsymbol{x}, 0)$. Then, the total mass $M=M(t)$ inside the volume $V$ of the region $\Omega$ at time $t$ is given by
$$
M(t)=\int_V u(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d} V, \quad \text { for } t \geq 0 .
$$
If the flux vector $\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\boldsymbol{x})$ changes only when it goes through the surface element $\mathrm{d} S$ of a control volume $\mathrm{d} V$, then we have
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V u(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d} V=-\int_S \mathbf{Q} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} S,
$$
where $\mathbf{n}$ is the (outward) normal to the surface $S$. Also, by Theorem 2.25, we have $$
\int_S \mathbf{Q} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{Q} \mathrm{d} V .
$$
Putting together the previous two equations, we obtain
$$
\int_V\left[u_t(\boldsymbol{x}, t)+\nabla \cdot \mathbf{Q}\right] \mathrm{d} V=0 .
$$
Assuming the necessary smoothness of the vector $\mathbf{Q}$, and using the fact that control volume $\mathrm{d} V$ is arbitrary, we obtain
$$
u_t+\nabla \cdot \mathbf{Q}=0,
$$
which is the differential form of an $n$-dimensional balance equation. Many physical phenomena in science and engineering such as heat conduction, Brownian motion, population dynamics are best described by Eq. (4.3.23).

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Momentum Transfer: Equations of Motion

我们在这里导出偏微分方程组作为模型来研究与真实流体动力学相关的实际问题，这些实际问题被称为运动方程。相关的初始边值问题有助于研究处理动量传递的物理过程。
在这种情况下，除了速度矢量的三个分量 $\mathbf{u}=\mathbf{u}(\boldsymbol{x}, t)$ ，压力 $p=p(\boldsymbol{x}, t)>0$ (作为所有粒子之间的全局相互作用) 和质量密度 $\rho=\rho(\boldsymbol{x}, t)$ ，我们还考虑了它不同部分之间的粘度和热交换方面的能量耗散量。因此，所提出的模型还必须包括内部能量密度函数 $e=e(\boldsymbol{x}, t)$ 和热流密度函数 $q=q(\boldsymbol{x}, t)$. 请注意，如果流体粒子的移动速度快于其邻域的平均值，则流体内部的摩擦力会增强流动的局部相干性，从而导致速度降低。我们考虑接下来作用在控制体积上的两个力:

由于重力而产生的体力 $\mathbf{g}$ 由
$$
\mathbf{F}_v:=\int_V \rho \mathbf{g d} V
$$
由下式给出的表面力
$$
\mathbf{F}_S:=\int_S(-p) \mathbf{n d} S
$$
这种类型的力是由于表面两侧的流体分子之间的碰撞引起的 $S$ ，这会产生沿法线方向穿过边界的动量通量 $\mathbf{n}$. 我们只考虑了压力的影响 $p>0$ 在音量上 $V$ 以表面为界 $S$.
根据牛顿动量定律，作用在控制体积上的力的总和 $\mathrm{d} V$ 必须等于动量的变化率。因此，利用散度定理，我们有
$$
\int_V \rho \frac{D \mathbf{u}}{D t} \mathrm{~d} V=\int_V[-\nabla p+\rho \mathbf{g}] \mathrm{d} V
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Energy Transfer: Diffusion Equations

最后，作为能量转移的一个重要案例，我们考虑物质（如化学物质）通过包含在有界体积中的均质液体 (或空气中的气体) 的扩散。回想一下，扩散过程是由于相邻分子的碰撞而发生的，通过这种碰撞，分子的动能从一个分子转移到其最近的邻居。假设流体几乎静止不动以避免对流。在一段时间内，物质扩散到整个流体中，随机地从较高浓度区域移动到较低浓度区域。在这些条件下，我们推导出偏微分方程，用于研究某个位置扩散物质浓度水平的时间速率变化。这些被称为扩散方程。
让扩散物质的质量密度在位置 $x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ 并且在时间 $t \geq 0$ 由足够平滑的函数给出 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$. 可以假定初始浓度由函数给出 $f(\boldsymbol{x})=u(\boldsymbol{x}, 0)$. 那么，总质量 $M=M(t)$ 在卷内 $V$ 该地区的 $\Omega$ 在时间 $t$ 是 (谁) 给的
$$
M(t)=\int_V u(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d} V, \quad \text { for } t \geq 0 .
$$
如果通量矢量 $\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\boldsymbol{x})$ 只有当它穿过表面元素时才会改变 $\mathrm{d} S$ 控制量 $\mathrm{d} V$ ，那么我们有
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V u(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d} V=-\int_S \mathbf{Q} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} S,
$$
在哪里 $\mathbf{n}$ 是表面的（向外）法线 $S$. 此外，根据定理 2.25，我们有
$$
\int_S \mathbf{Q} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{Q} \mathrm{d} V .
$$
将前两个方程放在一起，我们得到
$$
\int_V\left[u_t(\boldsymbol{x}, t)+\nabla \cdot \mathbf{Q}\right] \mathrm{d} V=0 .
$$
假设矢量的必要平滑度 $\mathbf{Q}$ ，并利用控制音量的事实 $\mathrm{d} V$ 是任意的，我们得到
$$
u_t+\nabla \cdot \mathbf{Q}=0
$$
这是一个微分形式 $n$ 维平衡方程。方程式可以很好地描述科学和工程中的许多物理现象，例如热传导、布朗运动、种群动力学。(4.3.23)。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

Posted on 2022年12月5日2022年12月5日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写偏微分方程partial difference equations这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

我们提供的偏微分方程partial difference equations及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Circulations and Stokes’ Theorem

Here, we prove Stokes’ curl theorem. Notice that, since Theorem $2.26$ holds when $d \mathbf{v}$ is replaced by $d \mathbf{a}$, while making respective changes in the statement, the integral definition of curl $f=\nabla \times f$ is obtained as given in the next definition.

Definition 2.36 Let $f \in C^1(\Omega)$ be a 3-dimensional field. The component of $\nabla \times \boldsymbol{f}$ in the direction of the normal $\mathbf{n}$ is the integral given by
$$
\mathbf{n} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{f}):=\lim {\delta S} \frac{1}{\delta S} \oint{\delta C} \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{r},
$$ where $\delta S$ is a surface element orthogonal to normal $\mathbf{n}$, and $\delta C$ is the positively oriented ${ }^4$ boundary of the surface element $\delta S$.

In this case, $\nabla \times f$ is the ratio of the work done by the field $f$ while moving around the loop $\delta C$ to the area of the surface element $\delta S$, which explains why curl measures how much the field $\boldsymbol{f}$ swirls locally. So, $\operatorname{curl}(\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}) \neq 0$ gives a region of whirlpool of positive or negative curvature, and $\operatorname{curl}(f)(\boldsymbol{x})=0$ correspond to a the point of circulation-free motions. Expressing component functions of $\boldsymbol{f}$ in terms of Cartesian coordinates and using standard basis $\mathbf{e}{\mathbf{i}}$ for $\mathbf{n}$, this definition gives earlier definition of curl as $$ \text { curl } f=\left(\mathbf{c}_1 \cdot \nabla \times f, \mathbf{c}_2 \cdot \nabla \times f, \mathbf{c}_3 \cdot \nabla \times f\right) \text {. } $$ Theorem $2.27$ (Stokes Theorem) Let $\boldsymbol{f}$ be a continuously differentiable vector field defined over a surface $S$, with a closed boundary curve $C$. Then $$ \int_S \nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{n} d \boldsymbol{a}=\oint_C \boldsymbol{f} \cdot d \boldsymbol{r} $$ where $C$ is positively oriented with respect to the normal $\boldsymbol{n}$ in the sense as described earlier in a footnote remark. Proof Notice that, at infinitesimal level, (2.3.36) gives $$ \nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{n} \approx \frac{1}{\delta S_i} \oint{\delta C_i} \boldsymbol{f} \cdot \ell,
$$
where the surface element $\delta S_i$ is orthogonal to $\mathbf{n}$, and has $\delta C_i$ as the posively oriented closed boundary curve. Adding contributions over all infinitesimal surface elements, we obtain
$$
\sum_i[\nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{n}] \delta S_i \approx \sum_i \oint_{\delta C_i} \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{r}
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Helmholtz Decomposition Theorem

We conclude the chapter with a discussion about the fundamental theorem of vector calculus due to Hermann von Helmholtz(1821-1894): Every sufficiently wellbehaved vector field $\boldsymbol{f}$ defined over a simply connected domain $\Omega \rightarrow \mathbb{R}^3$, with a piecewise smooth boundary, can be expressed as the sum of two suitably chosen vector fields, where the one is curl-free and the other divergence-free. It is also known as the Helmholtz’s decomposition theorem, which has numerous applications in physics and engineering, especially to problems related to electromagnetism. The theorem was known to Stokes since 1849, who published the related work in 1856.
Recall that a conservative field $\boldsymbol{f}=\left(f_1, f_2, f_3\right)$ can be written as
$$
\boldsymbol{f}=-\nabla \varphi \quad \Longleftrightarrow \quad f_1=\varphi_x, \quad f_2=\varphi_y, \quad f_3=\varphi_z,
$$
where $\varphi \in C^1(\Omega)$ is called a scalar potential of the field $f$ (Theorem 2.23). If $f$ represents the velocity field of a conservative fluid flow, then the level curves of $\varphi$ are known as the potential lines of the flow. Therefore, to solve a system of differential equations for the function $\boldsymbol{f}$, it suffices to solve the relate differential equations for the function $\varphi$. In most such cases, we are led to solve a Laplace equation of the form
$$
u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0, \quad \text { for some } u=u(x, y, z) \in C^2(\Omega) .
$$

Also, since it is known by Maxwell law that a magnetic field $\mathbf{B}$ do not diverge from anything, it only curls around, i.e.,

B is the curl of some vector field $\boldsymbol{f}$, called a vector potential, and so it is always solenoidal (see Appendix A.2 for details). Also, for the Newton’s vector field
$$
f(x)=-c \frac{x-x_1}{\left|x-x_1\right|^3},
$$
defined over the star-shaped region
$$
\Omega=\mathbb{R}^3 \backslash\left{\boldsymbol{x}_1+u\left(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_0\right): u \geq 0\right}, \text { for } \boldsymbol{x}_0 \neq \boldsymbol{x}_1,
$$
with respect to the point $\boldsymbol{x}_0$, the vector potential $\mathbf{w}=\mathbf{w}(\boldsymbol{x})$ is given by
$$
-c \frac{\left(x_0-\boldsymbol{x}_1\right) \times\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right)}{\left|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\right|\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right|^2+\left(\left(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\right) \times\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right)\right)\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right|} .
$$
In general, when a vector field $\boldsymbol{f}$ is solenoidal, i.e., $\nabla \cdot \boldsymbol{f}=0$, we can write $\boldsymbol{f}=$ $\nabla \times \mathbf{w}$, for some vector field $\mathbf{w}$ (Theorem 2.24). The vector field $\mathbf{w}$ is called a vector potential for the field $\boldsymbol{f}$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Circulations and Stokes’ Theorem

在这里，我们证明 Stokes 的卷曲定理。请注意，由于定理 $2.26$ 持有时 $d \mathbf{v}$ 被替换为 $d \mathbf{a}$, 在对语句进行相应修改的同时， curl的整体定义 $f=\nabla \times f$ 在下一个定义中给出。
定义 $2.36$ 让 $f \in C^1(\Omega)$ 是一个三维场。的组成部分 $\nabla \times \boldsymbol{f}$ 在正常的方向 $\mathbf{n}$ 是由下式给出的积分
$$
\mathbf{n} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{f}):=\lim \delta S \frac{1}{\delta S} \oint \delta C \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{r}
$$
在哪里 $\delta S$ 是与法线正交的表面元素 $\mathbf{n} ，$ 和 $\delta C$ 是积极导向的 ${ }^4$ 表面元素的边界 $\delta S$.
在这种情况下， $\nabla \times f$ 是该领域完成的工作的比率 $f$ 在循环中移动时 $\delta C$ 到表面元素的面积 $\delta S$ ，这解释了为什么 curl 测量字段的大小 $\boldsymbol{f}$ 在当地打旋。所以， $\operatorname{curl}(\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}) \neq 0$ 给出正曲率或负曲率的漩浴区域，并且 $\operatorname{curl}(f)(\boldsymbol{x})=0$ 对应于无循环运动的点。表达组件功能 $\boldsymbol{f}$ 在笛卡尔坐标和使用标准基础方面 $\mathbf{e} \mathbf{i}$ 为了 $\mathbf{n}$ ，这个定义给出了 curl 的早期定义
$$
\operatorname{curl} f=\left(\mathbf{c}1 \cdot \nabla \times f, \mathbf{c}_2 \cdot \nabla \times f, \mathbf{c}_3 \cdot \nabla \times f\right) . $$ 定理 $2.27$ (斯托克斯定理) 让 $\boldsymbol{f}$ 是在曲面上定义的连续可微矢量场 $S$ ，具有封闭的边界曲线 $C$. 然后 $$ \int_S \nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{n} d \boldsymbol{a}=\oint_C \boldsymbol{f} \cdot d \boldsymbol{r} $$ 在哪里 $C$ 相对于法线是正向的 $n$ 在前面脚注中描述的意义上。证明注意，在无穷小的水平上，(2.3.36) 给出 $$ \nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{n} \approx \frac{1}{\delta S_i} \oint \delta C_i \boldsymbol{f} \cdot \ell, $$ 其中表面元素 $\delta S_i$ 正交于 $\mathbf{n}$ ，并且有 $\delta C_i$ 作为正向封闭边界曲线。添加对所有无穷小表面元素的贡献，我们得到 $$ \sum_i[\nabla \times \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{n}] \delta S_i \approx \sum_i \oint{\delta C_i} \boldsymbol{f} \cdot \mathbf{r}
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Helmholtz Decomposition Theorem

我们在本章的最后讨论了 Hermann von Helmholtz (1821-1894) 提出的向量微积分基本定理: 每个足够良好的向量场 $\boldsymbol{f}$ 在简单连接域上定义 $\Omega \rightarrow \mathbb{R}^3$ ， with a piecewise smooth boundary, can be expressed as the sum of two suitably chosen vector fields, where the one is curl-free and the other divergence-free. 它也被称为亥姆霍兹分解定理，它在物理学和工程学中有许多应用，尤其是与电磁相关的问题。这个定理自 1849 年就为 Stokes 所熟知，Stokes 于 1856 年发表了相关著作。回想一下保守场 $\boldsymbol{f}=\left(f_1, f_2, f_3\right)$ 可以写成
$$
\boldsymbol{f}=-\nabla \varphi \quad f_1=\varphi_x, \quad f_2=\varphi_y, \quad f_3=\varphi_z,
$$
在哪里 $\varphi \in C^1(\Omega$ )称为场的标量势 $f$ (定理 2.23) 。如果 $f$ 表示保守流体流动的速度场，则水平曲线 $\varphi$ 被称为流动的潜在线。因此，求解函数的微分方程组 $f$, 只需求解函数的相关微分方程 $\varphi$. 在大多数此类情况下，我们会被引导求解以下形式的拉普拉斯方程
$$
u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0, \quad \text { for some } u=u(x, y, z) \in C^2(\Omega) .
$$
此外，由于根据麦克斯韦定律已知磁场 $\mathbf{B}$ 不要偏离任何东西，它只会卷曲，即
$B$ 是某个矢量场的旋度 $\boldsymbol{f}$ ，称为矢量势，因此它始终是螺线管（有关详细信息，请参见附录 A.2)。此外，对于牛顿矢量场
$$
f(x)=-c \frac{x-x_1}{\left|x-x_1\right|^3},
$$
在星形区域上定义
关于这一点 $\boldsymbol{x}_0$ ，矢量势 $\mathbf{w}=\mathbf{w}(\boldsymbol{x})$ 是 (谁) 给的
$$
-c \frac{\left(x_0-\boldsymbol{x}_1\right) \times\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right)}{\left|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\right|\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right|^2+\left(\left(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\right) \times\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right)\right)\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1\right|} .
$$
一般来说，当矢量场 $\boldsymbol{f}$ 是螺线管的，即 $\nabla \cdot \boldsymbol{f}=0$ ，我们可以写 $\boldsymbol{f}=\nabla \times \mathbf{w}$ ，对于一些矢量场 $\mathbf{w}$ （定理 2.24）。向量场 $\mathbf{w}$ 称为场的矢量势 $\boldsymbol{f}$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH4310

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Vector Calculus

The development of vector analysis is primarily due to English mathematician Oliver Heaviside (1850-1925), and independently by American mathematician Josiah Gibbs (18391903). Heaviside published his work in 1893 as part of the book “The Elements of Vectorial Algebra and Analysis”, whereas Gibbs’ work first appeared as the book “Elements of Vector Analysis”, published in 1901 as the compilation of the his lectures delivered in 1881 at Yale University. Heaviside applied vector analysis tools to reformulate the twelve of twenty equations related to electromagnetic radiations in vector form, which were originally proposed by Scottish mathematician and scientist James Maxwell (1831-1879) during 1861-62. The twelve equations are recognised in modern physics as the Maxwell’s four fundamental equations (see Appendix A.2 for details). Most notations and terminology introduced in this section are due to Gibbs.

In this section, we discuss the three fundamental theorems due to Gauss, Stokes, and Helmholtz that are applied in the next two chapters to derive differential equation models for some important practical problems related to physical phenomena such as fluid flow, heat conduction, mechanical vibrations, and electromagnetic waves. In all that follows, the 3-dimensional del operator as introduced earlier plays the lead role. We shall use shorthand operator notations as given below:
$$
\partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial x}, \quad \partial_y \equiv \frac{\partial}{\partial y}, \quad \partial_{x x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}, \quad \partial_{y x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}, \quad \text { etc. }
$$

Let $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ be a domain. Recall that a $C^1$-function $\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is called a scalar field, and, a vector field is a $C^1$-function $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$. Clearly, each coordinate function $f_i: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ of a vector field $f$ is a $C^1$-scalar field, for $i=1, \ldots, n$. More generally, for $k \geq 1$, a vector field $f$ is a $C^k$-function if and only if each coordinate function $f_i \in C^k(\Omega)$. That is, for $k \geq 1$,
$$
f=\left(f_1, \ldots, f_n\right) \in C^k(\Omega) \Leftrightarrow f_i \in C^k(\Omega), \text { for all } 1 \leq i \leq n .
$$
Therefore, $f$ is a $C^{\infty}$-function if and only if each coordinate function $f_i \in C^{\infty}(\Omega)$. In latter case, we also say that $f$ is a smooth vector field. A similar modification holds for other notations and terminology applicable to the vector fields. We are mainly dealing with the case when $n=2$ or $n=3$.

Definition 2.29 For $I \subseteq \mathbb{R}$, and a domain $U \subseteq \mathbb{R}^n$, let $\Omega=I \times U \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$, and $\boldsymbol{f}: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ be a $C^1$ vector field. For any $\left(t_0, \boldsymbol{x}_0\right) \in \Omega$, let $\delta>0, \varepsilon>0$ be such that $J=\left[t_0-\delta, t_0+\varepsilon\right] \subset I$. A $C^1$-function $\boldsymbol{x}:\left[t_0-\delta, t_0+\varepsilon\right] \rightarrow \Omega$ is called an integral curve of the field $f$ if
$$
x^{\prime}(t)=f(x(t)) \text {, for all } t \in J \text {, with } x\left(t_0\right)=x_0 \text {. }
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Flux and Divergence Theorem

As it has been for the line integral of a vector field along a smooth curve, the surface integral (or the volume integral) of a vector field over a regular surface $S$ also depends on the orientation of the surface. To introduce the concept, let $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u, v): \Omega \rightarrow$ $\mathbb{R}^3$ be a parametrisation of $S$. In general, we study the geometry of $S$ at a point $a=\left(u_0, v_0\right) \in \Omega$ by using the two (orthogonal) curves given by
$$
\mathbf{r}_1(u)=\mathbf{r}\left(u, v_0\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{r}_2(v)=\mathbf{r}\left(u_0, v\right),
$$
respectively, called the $u$-curve and $v$-curve. Notice that the derivatives $\mathbf{r}_u=\mathbf{r}^{\prime}(u)$ and $\mathbf{r}_v=\mathbf{r}^{\prime}(v)$ are, respectively, the tangent vectors to the two curves $\mathbf{r}_1$ and $\mathbf{r}_2$ on $S$. Also, by the vector identity
$$
\left|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right|^2=\left(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right) \cdot\left(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{l}
\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v \
\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_u \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v
\end{array}\right)
$$
it follows that the regularity condition as given in Definition $2.27$ is equivalent to the condition that the vectors $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$ are linearly independent. Therefore, there is a unique (shifted) tangent plane $\Pi(a)$ at $\mathbf{r}(\boldsymbol{a}) \in S$ spanned by the tangent vectors $\mathbf{r}_u$ and $\mathbf{r}_v$. In fact, the two vectors form a natural basis for the tangent plane $\Pi(\boldsymbol{x})$ in the sense we explain shortly. In particular, if $\varphi \in C^1(\Omega)$, then for the regular surface $$
\Gamma_{\varphi}(x, y, z): \quad \varphi(x, y)-z=0,
$$
we have $\mathbf{r}x=\left(1,0, \varphi_x\right)$ and $\mathbf{r}_y=\left(0,1, \varphi_y\right)$, which implies that $$ \mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y=\left(-\varphi_x,-\varphi_y, 1\right), $$ and the equation of the tangent plane at a point $\boldsymbol{a}=\left(x_0, y_0, z_0\right)$ is given by $$ \varphi_x\left(x-x_0\right)+\varphi_y\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0, \quad \text { where } z_0=\varphi\left(x_0, y_0\right) . $$ Therefore, for any $x \in 1{\varphi}^{\prime}$, we have
$$
\mathbf{n}(\boldsymbol{x})=\pm \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\left|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right|}=\frac{\left(-\varphi_x,-\varphi_y, 1\right)}{\sqrt{\varphi_x^2+\varphi_y^2+1}}
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Vector Calculus

矢量分析的发展主要归功于英国数学家 Oliver Heaviside (1850-1925)，并独立于美国数学家Josiah
Gibbs (18391903)。Heaviside 于 1893 年发表了他的作品，作为“矢量代数和分析的要素”一书的一部分，
而吉布斯的作品首次出现是作为”矢量分析的要素”一书，于 1901 年出版，作为他在 1881 年发表的演讲的
汇编在耶鲁大学。Heaviside 应用矢量分析工具以矢量形式重新表述与电磁辐射相关的二十个方程中的十
二个，这些方程最初由苏格兰数学家和科学家 James Maxwell (1831-1879) 在 1861-62 年间提出。这十
二个方程在现代物理学中被公认为麦克斯韦四大基本方程（详见附录A.2）。
在本节中，我们将讨论高斯、斯托克斯和亥姆霍兹的三个基本定理，这些定理将在接下来的两章中应用，以推导与流体流动、热传导、机械振动等物理现象相关的一些重要实际问题的微分方程模型, 和电磁波。
在接下来的所有内容中，前面介绍的 3 维 del 运算符起着主导作用。我们将使用如下所示的速记运算符符 믁:
$$
\partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial x}, \quad \partial_y \equiv \frac{\partial}{\partial y}, \quad \partial_{x x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}, \quad \partial_{y x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}, \quad \text { etc. }
$$
让 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个域。回想一下 $C^1$-功能 $\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}_{\text {称为标量场，矢量场是 }} C^1$-功能 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$. 显然，每个坐标函数 $f_i: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 向量场 $f$ 是一个 $C^1$-标量场，对于 $i=1, \ldots, n$. 更一般地，对于 $k \geq 1$ ，向量场 $f$ 是一个 $C^k$-函数当且仅当每个坐标函数 $f_i \in C^k(\Omega)$. 也就是说，对于 $k \geq 1$ ，
$$
f=\left(f_1, \ldots, f_n\right) \in C^k(\Omega) \Leftrightarrow f_i \in C^k(\Omega), \text { for all } 1 \leq i \leq n .
$$
所以， $f$ 是一个 $C^{\infty}$-函数当且仅当每个坐标函数 $f_i \in C^{\infty}(\Omega)$. 在后一种情况下，我们还说 $f$ 是光滑矢量场。类似的修改适用于适用于矢量场的其他符号和术语。我们主要处理的情况是 $n=2$ 或者 $n=3$.
定义 $2.29$ 对于 $I \subseteq \mathbb{R}$, 和一个域 $U \subseteq \mathbb{R}^n$ ，让 $\Omega=I \times U \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ ，和 $\boldsymbol{f}: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是一个 $C^1$ 矢量场。对于任何 $\left(t_0, \boldsymbol{x}_0\right) \in \Omega$ ，让 $\delta>0, \varepsilon>0$ 是这样的 $J=\left[t_0-\delta, t_0+\varepsilon\right] \subset I$.一个 $C^1$-功能 $\boldsymbol{x}:\left[t_0-\delta, t_0+\varepsilon\right] \rightarrow \Omega$ 称为场的积分曲线 $f$ 如果
$x^{\prime}(t)=f(x(t))$, for all $t \in J$, with $x\left(t_0\right)=x_0$.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Flux and Divergence Theorem

正如矢量场沿光滑曲线的线积分，矢量场在规则曲面上的表面积分（或体积积分） $S$ 还取决于表面的方向。为了介绍这个概念，让 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u, v): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是一个参数化 $S$.一般来说，我们研究几何 $S$ 在某一点 $a=\left(u_0, v_0\right) \in \Omega$ 通过使用由给出的两条 (正交) 曲线
$$
\mathbf{r}1(u)=\mathbf{r}\left(u, v_0\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{r}_2(v)=\mathbf{r}\left(u_0, v\right), $$ 分别称为 $u$-曲线和 $v$-曲线。注意导数 $\mathbf{r}_u=\mathbf{r}^{\prime}(u)$ 和 $\mathbf{r}_v=\mathbf{r}^{\prime}(v)$ 分别是两条曲线的切向量 $\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$ 上 $S$. 此外，通过矢量标识 $$ \left|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right|^2=\left(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right) \cdot\left(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right)=\operatorname{det}\left(\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_u \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v\right) $$ 由此得出定义中给出的规律性条件 $2.27$ 等同于向量的条件 $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$ 是线性独立的。因此，存在唯一的（移动的）切平面 $\Pi(a)$ 在 $\mathbf{r}(\boldsymbol{a}) \in S$ 由切向量跨越 $\mathbf{r}_u$ 和 $\mathbf{r}_v$. 事实上，这两个向量构成了切平面的自然基础 $\Pi(\boldsymbol{x})$ 从某种意义上说，我们很快就会解释。特别是，如果 $\varphi \in C^1(\Omega)$ ，那么对于规则曲面 $$ \Gamma{\varphi}(x, y, z): \quad \varphi(x, y)-z=0,
$$
我们有 $\mathbf{r} x=\left(1,0, \varphi_x\right)$ 和 $\mathbf{r}_y=\left(0,1, \varphi_y\right)$ ，这意味着
$$
\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y=\left(-\varphi_x,-\varphi_y, 1\right),
$$
和切平面在一点的方程 $\boldsymbol{a}=\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是（谁）给的
$$
\varphi_x\left(x-x_0\right)+\varphi_y\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0, \quad \text { where } z_0=\varphi\left(x_0, y_0\right) .
$$
因此，对于任何 $x \in 1 \varphi^{\prime}$ ，我们有
$$
\mathbf{n}(\boldsymbol{x})=\pm \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\left|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right|}=\frac{\left(-\varphi_x,-\varphi_y, 1\right)}{\sqrt{\varphi_x^2+\varphi_y^2+1}}
$$

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