数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH1111

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH1111

数学代写|微积分代写Calculus代写|Absolute Convergence

We know that for a sequence $\left(a_{n}\right)$, the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ may converge, but $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ can diverge. For example we have seen that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converges whereas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverges.

Definition 1.2.4 Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence of real numbers. Then the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ is said to be
(1) absolutely convergent, if $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ is convergent,
(2) conditionally convergent, if it converges, but not absolutely.
Example 1.2.18 (i) the series
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n !}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{2}}
$$
are absolutely convergent, so also the series
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n !}
$$
for any $a \in \mathbb{R}$. (ii) We already observed in Sect. 1.2.4 that the series
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \text { and } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}
$$
are convergent series, which also from Leibnitz theorem, but they are not absolutely convergent. Thus, these series are conditionally convergent.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Additional Exercises

  1. Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence of real numbers which converges to $a$, i.e., $a_{n} \rightarrow a$ as $n \rightarrow \infty$. Prove:
    (a) $\left|a_{n}-a\right| \rightarrow 0$ and $\left|a_{n}\right| \rightarrow|a|$ as $n \rightarrow \infty$.
    (b) There exists $k \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}\right|>|a| / 2$ for all $n \geq k$.
    (c) If $a \neq 0$, then $a_{n} \neq 0$ for all large enough $n$ and $1 / a_{n} \rightarrow 1 / a$.
  2. Prove that
    (a) $a_{n} \rightarrow a$ if and only if for every open interval $I$ containing $a$, there exists a positive integer $N$ (depending on $I$ ) such that $a_{n} \in I$ for all $n \geq N$.
    (b) $a_{n} \nrightarrow a$ if and only if there exists an open interval $I$ containing $a$ such that infinitely may $a_{n}$ ‘s are not in $I$.
  3. In each of the following, establish the convergence or divergence of the sequence $\left(a_{n}\right)$, where $a_{n}$ is:
    (i) $\frac{(-1)^{n}}{n+1}$
    (ii) $\frac{2 n}{3 n^{2}+1}$,
    (iii) $\frac{2 n^{2}+3}{3 n^{2}+1}$
  4. Suppose $a_{n} \rightarrow a$ and $a_{n} \geq 0$ for all $n \in \mathbb{N}$. Show that $a \geq 0$ and $\sqrt{a_{n}} \rightarrow \sqrt{a}$.
  1. Let $00$ for all $n \in \mathbb{N}$ and $\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \rightarrow \ell$ with $0 \leq \ell<1 / a$, then show that $b_{n} a^{n} \rightarrow 0$.
  2. Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence defined recursively by $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ for $n \in \mathbb{N}$ with $a_{1}=a_{2}=1$. Show that $a_{n} \rightarrow \infty$.
  3. For $n \in \mathbb{N}$, let $a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. Show that $\left(a_{n}\right)$ and $\left(\sqrt{n} a_{n}\right)$ are convergent sequences. Find their limits.
  4. For $n \in \mathbb{N}$, let $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$. Show that $\left(x_{n}\right)$ is convergent.
  5. Prove the following:
    (a) If $\left(a_{n}\right)$ is increasing and unbounded, then $a_{n} \rightarrow+\infty$.
    (b) If $\left(a_{n}\right)$ is decreasing and unbounded, then $a_{n} \rightarrow-\infty$.
  6. If every subsequence of $\left(a_{n}\right)$ has at least one subsequence which converges to $x$, then $\left(a_{n}\right)$ also converges to $x$.
  7. Suppose $\left(a_{n}\right)$ is an increasing sequence. Prove the following.
    (a) If $\left(a_{n}\right)$ has a bounded subsequence, then $\left(a_{n}\right)$ is convergent.
    (b) If $\left(a_{n}\right)$ does not diverge to $+\infty$, then $\left(a_{n}\right)$ has a subsequence which is bounded above.
    (c) If $\left(a_{n}\right)$ is divergent, then $a_{n} \rightarrow+\infty$.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit Point of a Set

By saying the points of a set $D \subseteq \mathbb{R}$ approaches a particular point $a \in \mathbb{R}$, we shall mean that $a$ is a limit point of the set $D$, in the following sense.

Definition 2.1.1 Let $D \subseteq \mathbb{R}$ and $a \in \mathbb{R}$. A point $a \in \mathbb{R}$ is said to be a limit point of $D$ if every open interval containing the point $a$ contains at least one point from $D$ other than $a$.
Thus, $a \in \mathbb{R}$ is a limit point of $D$ if and only if for any $\delta>0$,
$$
D \cap{x \in \mathbb{R}: 0<|x-a|<\delta} \neq \varnothing
$$

Remark 2.1.1 Very often, instead of saying ” $x$ is an element of $D^{\prime \prime}$, we may say that ” $x$ is a point in $D^{n}$, with the geometrical connotation associated with it, as we identify $\mathbb{R}$ by, the so called, real line.
Example 2.1.1 The reader is urged to verify the following:
(i) For $a, b \in \mathbb{R}$ with $a<b$, the interval $[a, b]$ is the set of all limit points of each of the intervals $(a, b),(a, b],[a, b)$ and $[a, b]$.
(ii) For $a \in \mathbb{R}$, the interval $[a, \infty)$ is the set of all limit points of each of the intervals $(a, \infty)$ and $[a, \infty)$.
(iii) For $b \in \mathbb{R}$, the interval $(-\infty, b]$ is the set of all limit points of each of the intervals $(-\infty, b)$ and $(-\infty, b]$.
(iv) The set of limit points of $\mathbb{R}$ is itself.
(v) The set of all limit points of the set $D=(0,1) \cup{2}$ is the closed interval $[0,1]$.
(vi) If $D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}$, then 0 is the only limit point of $D$.
(vii) If $D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}$, then 1 is the only limit point of $D$.
(viii) A finite subset of $\mathbb{R}$ does not have any limit points.
(ix) The set $\mathbb{N}$ and $\mathbb{Z}$ have no limit points.
(x) The set $\mathbb{R}$ is the set of all limit points of the set $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.

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微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Absolute Convergence

我们知道对于一个序列(一个n), 该系列∑n=1∞一个n可能会收敛,但∑n=1∞|一个n|可以发散。例如我们已经看到∑n=1∞(−1)n+1n收敛而∑n=1∞1n分歧。

定义 1.2.4 让(一个n)是一个实数序列。然后系列∑n=1∞一个n据说是
(1) 绝对收敛的,如果∑n=1∞|一个n|是收敛的,
(2) 条件收敛,如果它收敛,但不是绝对收敛。
例 1.2.18 (i) 系列

∑n=1∞(−1)nn2,∑n=1∞(−1)n+1n!,∑n=1∞罪⁡nn2
绝对收敛,系列也是

∑n=1∞一个nn!
对于任何一个∈R. (ii) 我们已经在 Sect 中观察到。1.2.4 那系列

∑n=1∞(−1)n+1n 和 ∑n=1∞(−1)n2n−1
是收敛级数,同样来自莱布尼茨定理,但它们不是绝对收敛的。因此,这些级数是条件收敛的。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Additional Exercises

  1. 让(一个n)是一个实数序列,它收敛于一个, IE,一个n→一个作为n→∞. 证明:(
    一)|一个n−一个|→0和|一个n|→|一个|作为n→∞.
    (b) 存在ķ∈ñ这样|一个n|>|一个|/2对所有人n≥ķ.
    (c) 如果一个≠0, 然后一个n≠0对于所有足够大的n和1/一个n→1/一个.
  2. 证明
    (一)一个n→一个当且仅当对于每个开区间我包含一个, 存在一个正整数ñ(根据我) 使得一个n∈我对所有人n≥ñ.
    (二)一个n↛一个当且仅当存在开区间我包含一个这样可以无限地一个n不在我.
  3. 在以下每一项中,确定序列的收敛或发散(一个n), 在哪里一个n是:(
    一)(−1)nn+1
    (二)2n3n2+1,
    (iii)2n2+33n2+1
  4. 认为一个n→一个和一个n≥0对所有人n∈ñ. 显示一个≥0和一个n→一个.
  1. 让00对所有人n∈ñ和bn+1bn→ℓ和0≤ℓ<1/一个,然后证明bn一个n→0.
  2. 让(一个n)是一个由递归定义的序列一个n+2=一个n+1+一个n为了n∈ñ和一个1=一个2=1. 显示一个n→∞.
  3. 为了n∈ñ, 让一个n=n+1−n. 显示(一个n)和(n一个n)是收敛序列。找到他们的极限。
  4. 为了n∈ñ, 让Xn=∑ķ=1n1n+ķ. 显示(Xn)是收敛的。
  5. 证明以下:
    (a) 如果(一个n)是增加且无界的,那么一个n→+∞.
    (b) 如果(一个n)是递减且无界的,那么一个n→−∞.
  6. 如果每个子序列(一个n)至少有一个子序列收敛于X, 然后(一个n)也收敛到X.
  7. 认为(一个n)是一个递增序列。证明以下。
    (a) 如果(一个n)有一个有界子序列,那么(一个n)是收敛的。
    (b) 如果(一个n)不偏离+∞, 然后(一个n)有一个上界的子序列。
    (c) 如果(一个n)是发散的,那么一个n→+∞.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit Point of a Set

通过说一组点D⊆R接近特定点一个∈R, 我们的意思是一个是集合的一个极限点D, 在以下意义上。

定义 2.1.1 让D⊆R和一个∈R. 一个点一个∈R据说是一个极限点D如果每个包含该点的开区间一个至少包含一个点D以外一个.
因此,一个∈R是一个极限点D当且仅当对于任何d>0,

D∩X∈R:0<|X−一个|<d≠∅

备注 2.1.1 很多时候,而不是说“X是一个元素D′′,我们可以说“X是一个点Dn,具有与之相关的几何内涵,正如我们所确定的Rby,所谓的,实线。
示例 2.1.1 敦促读者验证以下内容:
(i) 对于一个,b∈R和一个<b, 区间[一个,b]是每个区间的所有极限点的集合(一个,b),(一个,b],[一个,b)和[一个,b].
(ii) 为一个∈R, 区间[一个,∞)是每个区间的所有极限点的集合(一个,∞)和[一个,∞).
(iii) 为b∈R, 区间(−∞,b]是每个区间的所有极限点的集合(−∞,b)和(−∞,b].
(iv) 限制点的集合R是它本身。
(v) 集合的所有限制点的集合D=(0,1)∪2是闭区间[0,1].
(vi) 如果D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}, 那么 0 是唯一的极限点D.
(vii) 如果D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}, 那么 1 是唯一的极限点D.
(viii) 的有限子集R没有任何限制点。
(ix) 集合ñ和从没有限制点。
(x) 集合R是集合的所有极限点的集合问和R∖问.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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