### 数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH1111

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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Absolute Convergence

We know that for a sequence $\left(a_{n}\right)$, the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ may converge, but $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ can diverge. For example we have seen that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converges whereas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverges.

Definition 1.2.4 Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence of real numbers. Then the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ is said to be
(1) absolutely convergent, if $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ is convergent,
(2) conditionally convergent, if it converges, but not absolutely.
Example 1.2.18 (i) the series
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n !}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{2}}$$
are absolutely convergent, so also the series
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n !}$$
for any $a \in \mathbb{R}$. (ii) We already observed in Sect. 1.2.4 that the series
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \text { and } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}$$
are convergent series, which also from Leibnitz theorem, but they are not absolutely convergent. Thus, these series are conditionally convergent.

1. Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence of real numbers which converges to $a$, i.e., $a_{n} \rightarrow a$ as $n \rightarrow \infty$. Prove:
(a) $\left|a_{n}-a\right| \rightarrow 0$ and $\left|a_{n}\right| \rightarrow|a|$ as $n \rightarrow \infty$.
(b) There exists $k \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}\right|>|a| / 2$ for all $n \geq k$.
(c) If $a \neq 0$, then $a_{n} \neq 0$ for all large enough $n$ and $1 / a_{n} \rightarrow 1 / a$.
2. Prove that
(a) $a_{n} \rightarrow a$ if and only if for every open interval $I$ containing $a$, there exists a positive integer $N$ (depending on $I$ ) such that $a_{n} \in I$ for all $n \geq N$.
(b) $a_{n} \nrightarrow a$ if and only if there exists an open interval $I$ containing $a$ such that infinitely may $a_{n}$ ‘s are not in $I$.
3. In each of the following, establish the convergence or divergence of the sequence $\left(a_{n}\right)$, where $a_{n}$ is:
(i) $\frac{(-1)^{n}}{n+1}$
(ii) $\frac{2 n}{3 n^{2}+1}$,
(iii) $\frac{2 n^{2}+3}{3 n^{2}+1}$
4. Suppose $a_{n} \rightarrow a$ and $a_{n} \geq 0$ for all $n \in \mathbb{N}$. Show that $a \geq 0$ and $\sqrt{a_{n}} \rightarrow \sqrt{a}$.
1. Let $00$ for all $n \in \mathbb{N}$ and $\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \rightarrow \ell$ with $0 \leq \ell<1 / a$, then show that $b_{n} a^{n} \rightarrow 0$.
2. Let $\left(a_{n}\right)$ be a sequence defined recursively by $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ for $n \in \mathbb{N}$ with $a_{1}=a_{2}=1$. Show that $a_{n} \rightarrow \infty$.
3. For $n \in \mathbb{N}$, let $a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. Show that $\left(a_{n}\right)$ and $\left(\sqrt{n} a_{n}\right)$ are convergent sequences. Find their limits.
4. For $n \in \mathbb{N}$, let $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$. Show that $\left(x_{n}\right)$ is convergent.
5. Prove the following:
(a) If $\left(a_{n}\right)$ is increasing and unbounded, then $a_{n} \rightarrow+\infty$.
(b) If $\left(a_{n}\right)$ is decreasing and unbounded, then $a_{n} \rightarrow-\infty$.
6. If every subsequence of $\left(a_{n}\right)$ has at least one subsequence which converges to $x$, then $\left(a_{n}\right)$ also converges to $x$.
7. Suppose $\left(a_{n}\right)$ is an increasing sequence. Prove the following.
(a) If $\left(a_{n}\right)$ has a bounded subsequence, then $\left(a_{n}\right)$ is convergent.
(b) If $\left(a_{n}\right)$ does not diverge to $+\infty$, then $\left(a_{n}\right)$ has a subsequence which is bounded above.
(c) If $\left(a_{n}\right)$ is divergent, then $a_{n} \rightarrow+\infty$.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit Point of a Set

By saying the points of a set $D \subseteq \mathbb{R}$ approaches a particular point $a \in \mathbb{R}$, we shall mean that $a$ is a limit point of the set $D$, in the following sense.

Definition 2.1.1 Let $D \subseteq \mathbb{R}$ and $a \in \mathbb{R}$. A point $a \in \mathbb{R}$ is said to be a limit point of $D$ if every open interval containing the point $a$ contains at least one point from $D$ other than $a$.
Thus, $a \in \mathbb{R}$ is a limit point of $D$ if and only if for any $\delta>0$,
$$D \cap{x \in \mathbb{R}: 0<|x-a|<\delta} \neq \varnothing$$

Remark 2.1.1 Very often, instead of saying ” $x$ is an element of $D^{\prime \prime}$, we may say that ” $x$ is a point in $D^{n}$, with the geometrical connotation associated with it, as we identify $\mathbb{R}$ by, the so called, real line.
Example 2.1.1 The reader is urged to verify the following:
(i) For $a, b \in \mathbb{R}$ with $a<b$, the interval $[a, b]$ is the set of all limit points of each of the intervals $(a, b),(a, b],[a, b)$ and $[a, b]$.
(ii) For $a \in \mathbb{R}$, the interval $[a, \infty)$ is the set of all limit points of each of the intervals $(a, \infty)$ and $[a, \infty)$.
(iii) For $b \in \mathbb{R}$, the interval $(-\infty, b]$ is the set of all limit points of each of the intervals $(-\infty, b)$ and $(-\infty, b]$.
(iv) The set of limit points of $\mathbb{R}$ is itself.
(v) The set of all limit points of the set $D=(0,1) \cup{2}$ is the closed interval $[0,1]$.
(vi) If $D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}$, then 0 is the only limit point of $D$.
(vii) If $D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}$, then 1 is the only limit point of $D$.
(viii) A finite subset of $\mathbb{R}$ does not have any limit points.
(ix) The set $\mathbb{N}$ and $\mathbb{Z}$ have no limit points.
(x) The set $\mathbb{R}$ is the set of all limit points of the set $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Absolute Convergence

(1) 绝对收敛的，如果∑n=1∞|一个n|是收敛的，
(2) 条件收敛，如果它收敛，但不是绝对收敛。

∑n=1∞(−1)nn2,∑n=1∞(−1)n+1n!,∑n=1∞罪⁡nn2

∑n=1∞一个nn!

∑n=1∞(−1)n+1n 和 ∑n=1∞(−1)n2n−1

1. 让(一个n)是一个实数序列，它收敛于一个， IE，一个n→一个作为n→∞. 证明：（
一）|一个n−一个|→0和|一个n|→|一个|作为n→∞.
(b) 存在ķ∈ñ这样|一个n|>|一个|/2对所有人n≥ķ.
(c) 如果一个≠0， 然后一个n≠0对于所有足够大的n和1/一个n→1/一个.
2. 证明
（一）一个n→一个当且仅当对于每个开区间我包含一个, 存在一个正整数ñ（根据我) 使得一个n∈我对所有人n≥ñ.
(二)一个n↛一个当且仅当存在开区间我包含一个这样可以无限地一个n不在我.
3. 在以下每一项中，确定序列的收敛或发散(一个n)， 在哪里一个n是：（
一）(−1)nn+1
(二)2n3n2+1,
(iii)2n2+33n2+1
4. 认为一个n→一个和一个n≥0对所有人n∈ñ. 显示一个≥0和一个n→一个.
1. 让00对所有人n∈ñ和bn+1bn→ℓ和0≤ℓ<1/一个，然后证明bn一个n→0.
2. 让(一个n)是一个由递归定义的序列一个n+2=一个n+1+一个n为了n∈ñ和一个1=一个2=1. 显示一个n→∞.
3. 为了n∈ñ， 让一个n=n+1−n. 显示(一个n)和(n一个n)是收敛序列。找到他们的极限。
4. 为了n∈ñ， 让Xn=∑ķ=1n1n+ķ. 显示(Xn)是收敛的。
5. 证明以下：
(a) 如果(一个n)是增加且无界的，那么一个n→+∞.
(b) 如果(一个n)是递减且无界的，那么一个n→−∞.
6. 如果每个子序列(一个n)至少有一个子序列收敛于X， 然后(一个n)也收敛到X.
7. 认为(一个n)是一个递增序列。证明以下。
(a) 如果(一个n)有一个有界子序列，那么(一个n)是收敛的。
(b) 如果(一个n)不偏离+∞， 然后(一个n)有一个上界的子序列。
(c) 如果(一个n)是发散的，那么一个n→+∞.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit Point of a Set

D∩X∈R:0<|X−一个|<d≠∅

(i) 对于一个,b∈R和一个<b, 区间[一个,b]是每个区间的所有极限点的集合(一个,b),(一个,b],[一个,b)和[一个,b].
(ii) 为一个∈R, 区间[一个,∞)是每个区间的所有极限点的集合(一个,∞)和[一个,∞).
(iii) 为b∈R, 区间(−∞,b]是每个区间的所有极限点的集合(−∞,b)和(−∞,b].
(iv) 限制点的集合R是它本身。
(v) 集合的所有限制点的集合D=(0,1)∪2是闭区间[0,1].
(vi) 如果D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}D=\left{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right}, 那么 0 是唯一的极限点D.
(vii) 如果D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}D=\left{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right}, 那么 1 是唯一的极限点D.
(viii) 的有限子集R没有任何限制点。
(ix) 集合ñ和从没有限制点。
(x) 集合R是集合的所有极限点的集合问和R∖问.

## 有限元方法代写

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