数学代写|数论作业代写number theory代考|PMATH650

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|PMATH650

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

This section contains some basic number-theoretic definitions and results which you ought to know. Proofs in this section are abbreviated or omitted, and you should be able to supply proofs for yourself. If necessary, this material can be found in any work on elementary number theory. The most popular of the classic texts are regularly revised, thereby offering a proven exposition together with additions which bring the content and presentation up to date. From a very crowded field we mention Hardy and Wright $[28],[29]$, Niven and Zuckerman $[45],[46]$ and Baker [10].

Lemma 1.10. The division algorithm. If $a$ and $b$ are integers with $b>0$, then there exist integers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$ and $0 \leq r<b$.

Using the division algorithm recursively gives the Euclidean algorithm for computing the greatest common divisor of two integers, not both zero.

Lemma 1.11. The Bézout property. If $a$ and $b$ are integers, not both zero, and $g$ is the greatest common divisor of $a$ and $b$, then there exist integers $x$ and $y$ such that $a x+b y=g$.

Given specific $a$ and $b$, you should know how to use the Euclidean algorithm to find $g, x$ and $y$.

Lemma 1.12. If $a$ and $m$ have no common factor and $a \mid m n$, then $a \mid n$.
Definition 1.4. Let $m$ be a positive integer. We say that integers a and b are congruent modulo $m$, written $a \equiv b(\bmod m)$, if $m \mid a-b$.

To “reduce an integer $a$ modulo $m$ ” means to find an integer $b$ such that $a \equiv b(\bmod m)$ and $b$ lies in a “suitable” range, usually $0 \leq b<m$. That this can always be done is a consequence of the division algorithm. Although congruence notation is just another way of expressing a divisibility relation, and in that sense “nothing new”, it is very useful because congruence shares many of the basic properties of equality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF er

In the actual details of the final proof, Hermite’s method is (at least for the earlier results) not too difficult. However, the motivation behind the proof can be obscure. Therefore, instead of giving the proofs straight away, we shall start by trying to explain the aims and ideas behind a relatively simple case. We wish to generalise results of Chapter 1 by showing that if $r$ is rational then $e^{r}$ is irrational, with the obvious exception that $e^{0}=1$.

As usual we seek a proof by contradiction: take $r=a / b$ with $a \neq 0$, and suppose that $e^{r}=p / q$. Following the method of Theorem $1.9$, we try to obtain a contradiction by constructing an integer that lies between 0 and 1 . Hermite’s idea, which originated in his study of approximations to $e^{x}$, was to consider the definite integral
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x
$$
and to identify a function $f$ which will give us what we want. Integrating by parts yields
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r) e^{r}-f(0)\right)-\int_{0}^{r} f^{\prime}(x) e^{x} d x
$$
and since the integral on the right-hand side has very much the same form as that on the left, we may apply the same procedure repeatedly to obtain
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^{r}-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right)
$$
Here the right-hand side purports to contain two infinite series and therefore must be treated with caution, but if we choose $f$ to be a polynomial, then the sums will actually involve a finite number of terms only, and we shall have no convergence problems. We write
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
so that
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=F(r) e^{r}-F(0)
$$
and the next step is to make some sort of evaluation of the right-hand side. An idea that will help is to notice that $F(0)$ will be simple if $f$ has a large number of derivatives that vanish at $x=0$; that is, $f(x)$ should have many factors of $x$. Similarly, $f(x)$ should have many factors of $r-x$ in order to keep $F(r)$ simple. So we set
$$
f(x)=c x^{n}(r-x)^{n}
$$
where $c$, a constant, and $n$ are yet to be chosen. Now
$$
\begin{aligned}
f^{(k)}(0) &=k ! \times\left{\text { coefficient of } x^{k}\right} \
&=k ! c\left(\begin{array}{c}
n \
k-n
\end{array}\right) r^{2 n-k}(-1)^{k-n}
\end{aligned}
$$
if $n \leq k \leq 2 n$, and $f^{(k)}(0)=0$ otherwise. Recall that our aim is to make the integral (2.1), or something similar, an integer. The expression for $f^{(k)}(0)$ contains a factor $r^{2 n-k}$, and this could have a denominator as big as $b^{n}$. Therefore, we choose $c=b^{n} ;$ then $f^{(k)}(0)$ is always an integer, and so is $F(0)$. Either by invoking the symmetry of $f$ or by direct calculation, we note that
$$
\begin{aligned}
f(r-x)=f(x) & \Rightarrow(-1)^{k} f^{(k)}(r-x)=f^{(k)}(x) \
& \Rightarrow f^{(k)}(r)=(-1)^{k} f^{(k)}(0)
\end{aligned}
$$
Therefore, $F(r)$ is an integer too, and so is
$$
q \int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=p F(r)-q F(0)
$$

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

本节包含一些您应该知道的基本数论定义和结果。本节中的证明被缩写或省略,您应该能够自己提供证明。如有必 要,可以在任何有关初等数论的著作中找到该材料。最受欢迎的经典文本会定期进行修订,从而提供经过验证的阐 述以及使内容和演示保持最新的补充。在一个非常拥挤的领域,我们提到了哈代和赖特 $[28],[29]$, 尼文和祖克幔 $[45],[46]$ 和贝克 $[10]$ 。
引理 $1.10$ 。除法算法。如果 $a$ 和 $b$ 是整数 $b>0$, 那么存在整数 $q$ 和 $r$ 这样 $a=b q+r$ 和 $0 \leq r<b$.
递归地使用除法算法给出了计算两个整数的最大公约数的欧几里得算法,而不是两个整数。
引理 1.11。Bézout 财产。如果 $a$ 和 $b$ 是整数,不都是零,并且 $g$ 是的最大公约数 $a$ 和 $b$ ,那么存在整数 $x$ 和 $y$ 这样 $a x+b y=g$
鉴于具体 $a$ 和 $b$ ,你应该知道如何使用欧几里得算法找到 $g, x$ 和 $y$.
引理 1.12。如果 $a$ 和 $m$ 没有公因数并且 $a \mid m n$ ,然后 $a \mid n$.
定义 1.4。让 $m$ 为正整数。我们说整数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 是模数全等的 $m$, 写 $a \equiv b(\bmod m)$ , 如果 $m \mid a-b$.
为了”减少一个整数 $a$ 模块 $m^{\prime \prime}$ 的意思是找一个整数 $b$ 这样 $a \equiv b(\bmod m)$ 和 $b$ 位于“合适”的范围内,通常
$0 \leq b<m$. 总能做到这一点是除法算法的结果。尽管全等表示法只是表示可分关系的另一种方式,并且在这个意
义上”没什么新意”,但它非常有用,因为全等具有许多相等的基本属性。

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在最终证明的实际细节中,Hermite 的方法 (至少对于早期的结果) 并不太难。然而,证明背后的动机可能是模湖的。
因此,与其直接给出证明,不如从试图解释一个相对简单的安例奜局的目的和相法开始。我们希望通过证明如果 $r$ 那么是 理性的 $e^{r}$ 是非理性的,但明显的例外是 $e^{0}=1$.
像往常一样,我们寻求反证法: 取 $r=a / b$ 和 $a \neq 0$ ,并假设 $e^{r}=p / q$. 遁循定理的方法 $1.9$ ,我们试图通过构造一个介 于 0 和 1 之间的整数来获得矛盾。Hermite 的相法,起源于他对近似值的研究 $e^{x}$ ,是考虑定积分
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x
$$
并确定一个功能 $f$ 这会合我们煛要的。按零件产量积分
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r) e^{r}-f(0)\right)-\int_{0}^{r} f^{\prime}(x) e^{x} d x
$$
并且由于右边的积分与左边的积分形烒非常相似,我们可以重复应用相同的过程得到
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^{r}-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right)
$$
这里右手边声称包含两个无限级数,因此必须漌慎对待,但如果我们选择 $f$ 如果是多项式,那么这些和实际上只涉及有限 数量的项,我们不会有收㪉问题。我们写
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
以便
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=F(r) e^{r}-F(0)
$$
下一步是对右伅进行某种评估。一个有邦助的相法是注意到 $F(0)$ 会很简单,如果 $f$ 有大量的导数消失在 $x=0$; 那是, $f(x)$ 应该有很多因素 $x$. 相似地, $f(x)$ 应该有很多因素 $r-x$ 为了保持 $F(r)$ 简单的。所以我们设置
$$
f(x)=c x^{n}(r-x)^{n}
$$
在哪里 $c$,一个常数, 和 $n$ 还没有被选中。现在
\begin{aligned } f \wedge { ( k ) } ( 0 ) \& = k \text { ! \timesไleft } { \backslash \text { text } { } \mathrm { x } ^ { \wedge } { k } \backslash \text { right } } \text { 的系数 } \backslash \& = k \mathrm { ~ ! ~ c l
如果 $n \leq k \leq 2 n$ ,和 $f^{(k)}(0)=0$ 否则。回相一下,我们的目标是使积分 $(2.1)$ 或翜似的东西成为整数。表达式为 $f^{(k)}(0)$ 包含一个因子 $r^{2 n-k}$ ,这可能有一个大的分母 $b^{n}$. 因此,我们选择 $c=b^{n}$;然后 $f^{(k)}(0)$ 总是一个整数,所以是 $F(0)$. 要么通过调用对称性 $f$ 或通过直接计算,我们注意到
$$
f(r-x)=f(x) \Rightarrow(-1)^{k} f^{(k)}(r-x)=f^{(k)}(x) \quad \Rightarrow f^{(k)}(r)=(-1)^{k} f^{(k)}(0)
$$
所以, $F(r)$ 也是 个整数,所以是
$$
q \int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=p F(r)-q F(0)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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