数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|MATH 106

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随机过程是随机量在时间或空间上演变的概率模型。演变受不同时间或地点的随机量之间的某种依赖关系所支配。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|MATH 106

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 3

  1. Suppose $N=\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ is a Poisson process with rate $\lambda=2$. Let $n_{1}=7, n_{2}=10$, $t_{1}=2$, and $t_{2}=12$.
    (a) Determine $\mathbb{P}\left(N_{t_{1}}=n_{1}, N_{t_{2}}=n_{2}\right)$.
    $[0.5]$
    (b) Determine $\mathbb{P}\left(N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}, N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right)$.
    $[0.5]$
    (c) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(1, t_{1}\right] \mid N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right]$.
    $[0.5]$
    (d) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(t_{1}-1, t_{2}\right] \mid N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}\right]$.
    $[0.5]$
  2. Let $\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ be a (non-homogeneous) Poisson counting process with rate function $\lambda(t)=1-\mathrm{e}^{-t}$. For $0 \leqslant s \leqslant t, m \in{0,1, \ldots, n}$, and for $n \in{0,1,2, \ldots}$, determine:
    $$
    \mathbb{P}\left(N_{s}=m \mid N_{t}=n\right)
    $$
    $[2]$
  3. The Sturt Stony Desert is a “gibber” desert partly located in south-western Queensland (Australia) with an estimated area of $29750 \mathrm{~km}^{2}$. Suppose that you happen to be camping with friends and want to take a picture of the fat-tailed dunnart (Sminthopsis crassicaudata). One of your friends claims that its appearance in this area follows a spatial Poisson process with constant rate $0.5$ per $\mathrm{km}^{2}$. You’d really like to capture a spectacular photo of this unusual desert creature, but before setting out you want to make sure you have a reasonable chance of success if your friend’s claim is correct. You and your friend can carry enough water and food as well as your photographic gear to scour a $0.25 \mathrm{~km}^{2}$ area before you have to return to camp.
    (a) If your friend is correct, what is the probability that you would see at least one fat-tailed dunnart on a single trip?
    [1]
    (b) How many trips (visiting distinct areas) should you expect to take before you have 6 sightings of the fat-tailed dunnart?
    (c) Suppose a recent survey of put the total population of the fat-tailed dunnart in the Sturt Stony Desert at $5 \times 10^{5}$. Given this information, what is the conditional probability that you would see at least one fat-tailed dunnart on a single trip?
    (d) * Suppose now that your friend also claims that if you see a fat-tailed dunnart, you’re more likely to see another one nearby. Is this consistent with your friend’s earlier claim? Argue why or why not.
    [1]

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 3

  1. Suppose $N=\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ is a Poisson process with rate $\lambda=2$. Let $n_{1}=7, n_{2}=10$, $t_{1}=2$, and $t_{2}=12$.
    (a) Determine $\mathbb{P}\left(N_{t_{1}}=n_{1}, N_{t_{2}}=n_{2}\right)$.
    Solution: We may compute:
    $[0.5]$
    $$
    \mathbb{P}\left(N_{2}=7, N_{12}=10\right)=\mathbb{P}\left(N_{2}=7, N(2,12]=3\right)=\mathbb{P}\left(N_{2}=7\right) \times \mathbb{P}(N(2,12]=3)
    $$
    $$
    \begin{aligned}
    &=\mathbb{P}\left(N_{2}=7\right) \times \mathbb{P}\left(N_{10}=3\right)=\mathrm{e}^{-4} \
    &=\mathrm{e}^{-24} \frac{4^{7} \times 20^{3}}{7 ! \times 3 !}=\mathrm{e}^{-24} \frac{131072000}{30240} \
    &=\mathrm{e}^{-24} \frac{819200}{189} \approx 1.6363 \times 10^{-7}
    \end{aligned}
    $$
    (b) Determine $\mathbb{P}\left(N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}, N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right)$.
    Solution: In this case, the intervals overlap only at one end. In general, one may need to split in to three non-overlapping intervals $\left(1, t_{1}-1\right],\left(t_{1}-1, t_{1}\right]$, and $\left(t_{1}, t_{2}\right]$ and sum up over all the possible cases. Here, we find:
    $$
    \begin{aligned}
    \mathbb{P}(N(1,2]=7, N(1,12]=10) &=\mathbb{P}(N(1,2]=7, N(2,12]=3) \
    &=\mathbb{P}(N(1,2]=7) \times \mathbb{P}(N(2,12]=3) \
    &=\mathbb{P}\left(N_{1}=7\right) \times \mathbb{P}\left(N_{10}=3\right) \
    &=\mathrm{e}^{-2} \frac{2^{7}}{7 !} \times \mathrm{e}^{-20} \frac{20^{3}}{3 !}=\mathrm{e}^{-22} \frac{2^{7} \times 20^{3}}{7 ! \times 3 !} \
    &=\mathrm{e}^{-22} \frac{1024000}{30240}=\mathrm{e}^{-22} \frac{6400}{189} \
    & \approx 9.4458 \times 10^{-9}
    \end{aligned}
    $$
    (c) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(1, t_{1}\right] \mid N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right]$.
    Solution: In this case, we may directly determine that, for $x \in{0,1, \ldots, 10}$, we have
    $$
    \begin{aligned}
    \mathbb{P}(N(1,2]=x \mid N(1,12]=10) &=\cdots=\frac{\mathbb{P}(N(1,2]=x) \mathbb{P}(N(2,12]=10-x)}{\mathbb{P}(N(1,12]=10)} \
    &=\cdots=\left(\begin{array}{c}
    10 \
    x
    \end{array}\right)\left(\frac{1}{11}\right)^{x}\left(1-\frac{1}{11}\right)^{10-x}
    \end{aligned}
    $$
    and zero otherwise. That is, $(N(1,2] \mid N(1,12]=10) \sim \operatorname{Bin}(10,1 / 11)$. Thus, $\mathbb{E}[N(1,2] \mid N(1,12]=10]=10 / 11 \approx 0.9091$
    (d) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(t_{1}-1, t_{2}\right] \mid N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}\right]$.
    Solution: In this case, we have $\mathbb{E}[N(1,12] \mid N(1,2]=7]=7+\mathbb{E} N(2,12]$. Moreover, $N(2,12] \sim \operatorname{Poi}(20)$ so we conclude that $\mathbb{E}[N(1,12] \mid N(1,2]=7]=$ $7+20=27$
    $[0.5]$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 4

  1. Consider an abstract probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Answer the following questions.
    (a) Suppose $A_{1}, A_{2}$, and $A_{3}$ form a partition of $\Omega$. Write down the smallest $\sigma$ algebra $\mathcal{F}{3}$ containing $A{1}, A_{2}$, and $A_{3}$. How many elements are in $\mathcal{F}{3}$ ? (b) Extending (a), suppose now $A{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ form a partition of $\Omega$ for $n \in$ ${3,4,5, \ldots}$. What is the cardinality of the smallest $\sigma$-algebra, $\mathcal{F}{n}$, containing $A{1}, \ldots, A_{n} ?$
    $[1]$
  2. Show by way of example that if $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ are two $\sigma$-algebras of subsets of $\Omega$ then $\mathcal{H}=\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$ is not in general also a $\sigma$-algebra of subsets of $\Omega$.
    $[1]$
  3. Consider an abstract space $\Omega$ and two events $A$ and $B$.
    (a) In general, write down the smallest $\sigma$-algebra containing $A$ and $B$.
    $[1]$
    (b) If $A$ and $B$ are independent with $\mathbb{P}(A)=0.4$ and $\mathbb{P}(B)=0.5$, determine the prohahilities of all elements of the smallest $\sigma$-algehra found in (a).
    [?]
  4. Consider the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}, \mathscr{B} \equiv \mathscr{B}(\mathbb{R})$; that is, the $\sigma$-algebra generated by all intervals of the form $(-\infty, b]$, for all $b \in \mathbb{R}$. Show that $\mathscr{B}$ contains sets of the form $[a, b)$ and $[a, b]$.
    [1]
  5. Using only the three Kolmogorov axioms of a probability measure, show that if $A$ and $B$ are events satisfying $A \subseteq B$ then $\mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B)$.
    $[1]$
  6. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space, and $A_{1}, A_{2}, \ldots$ be an increasing sequence of events; that is, $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots$. Using only the Kolmogorov axioms, prove that $\mathbb{P}$ is continuous from below:
    $$
    \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)=\mathbb{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)
    $$
    Hint: Work with a new sequence of events $B_{1}:=A_{1}$ and $B_{n}:=A_{n} \backslash A_{n-1}$.
    $[2]$
  7. * Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space, and $A_{1}, A_{2}, \ldots$ be a decreasing sequence of events; that is, $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$. Using the Kolmogorov axioms and/or the continuity from below property, prove that $\mathbb{P}$ is continuous from above:
    $$
    \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)=\mathbb{P}\left(\cap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)
    $$
  8. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ be a random variable. Denote the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ as $\mathscr{B}(\mathbb{R})$, and define the function $\mu_{X}(B)=\mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right)$ for all $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$. Show that $\left(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}), \mu_{X}\right)$ is a probability space. Hint: Use the fact that $\mathbb{P}$ is a probability measure and the definition of a random variable.
数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|MATH 106

概率模型和随机过程代考

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 3

  1. 认为ñ=(ñ吨,吨⩾0)是一个具有速率的 Poisson 过程λ=2. 让n1=7,n2=10, 吨1=2, 和吨2=12.
    (a) 确定磷(ñ吨1=n1,ñ吨2=n2).
    [0.5]
    (b) 确定磷(ñ(1,吨1]=n1,ñ(吨1−1,吨2]=n2).
    [0.5]
    (c) 确定和[ñ(1,吨1]∣ñ(吨1−1,吨2]=n2].
    [0.5]
    (d) 确定和[ñ(吨1−1,吨2]∣ñ(1,吨1]=n1].
    [0.5]
  2. 让(ñ吨,吨⩾0)是具有速率函数的(非齐次)泊松计数过程λ(吨)=1−和−吨. 为了0⩽s⩽吨,米∈0,1,…,n,并且对于n∈0,1,2,…, 决定:
    磷(ñs=米∣ñ吨=n)
    [2]
  3. 斯特石沙漠是部分位于昆士兰州西南部(澳大利亚)的“gibber”沙漠,估计面积为29750 ķ米2. 假设你碰巧和朋友一起露营,想拍一张肥尾邓纳特(Sminthopsis crassicaudata)的照片。你的一个朋友声称它在这个区域的出现遵循一个恒定速率的空间泊松过程0.5每ķ米2. 您真的很想为这种不寻常的沙漠生物拍摄一张壮观的照片,但在出发之前,您要确保如果您朋友的说法正确,您有合理的成功机会。您和您的朋友可以携带足够的水和食物以及您的摄影器材来冲刷0.25 ķ米2必须返回营地之前的区域。
    (a) 如果你的朋友是正确的,你在一次旅行中至少看到一个肥尾邓纳特的概率是多少?
    [1]
    (b) 在您看到 6 次肥尾杜纳特之前,您应该预计进行多少次旅行(访问不同的区域)?
    (c) 假设最近的一项调查将斯图特石质沙漠中的肥尾邓纳特总种群数量设为5×105. 给定这些信息,您在一次旅行中至少看到一个肥尾邓纳特的条件概率是多少?
    (d) * 现在假设你的朋友也声称如果你看到一只肥尾杜纳特,你更有可能在附近看到另一个。这与你朋友之前的说法一致吗?争论为什么或为什么不。
    [1]

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 3

  1. 认为ñ=(ñ吨,吨⩾0)是一个具有速率的 Poisson 过程λ=2. 让n1=7,n2=10, 吨1=2, 和吨2=12.
    (a) 确定磷(ñ吨1=n1,ñ吨2=n2).
    解决方案:我们可以计算:
    [0.5]
    磷(ñ2=7,ñ12=10)=磷(ñ2=7,ñ(2,12]=3)=磷(ñ2=7)×磷(ñ(2,12]=3)
    =磷(ñ2=7)×磷(ñ10=3)=和−4 =和−2447×2037!×3!=和−2413107200030240 =和−24819200189≈1.6363×10−7
    (b) 确定磷(ñ(1,吨1]=n1,ñ(吨1−1,吨2]=n2).
    解决方案:在这种情况下,间隔仅在一端重叠。一般来说,一个人可能需要分成三个不重叠的区间(1,吨1−1],(吨1−1,吨1], 和(吨1,吨2]并总结所有可能的情况。在这里,我们发现:
    磷(ñ(1,2]=7,ñ(1,12]=10)=磷(ñ(1,2]=7,ñ(2,12]=3) =磷(ñ(1,2]=7)×磷(ñ(2,12]=3) =磷(ñ1=7)×磷(ñ10=3) =和−2277!×和−202033!=和−2227×2037!×3! =和−22102400030240=和−226400189 ≈9.4458×10−9
    (c) 确定和[ñ(1,吨1]∣ñ(吨1−1,吨2]=n2].
    解:在这种情况下,我们可以直接确定,对于X∈0,1,…,10, 我们有
    磷(ñ(1,2]=X∣ñ(1,12]=10)=⋯=磷(ñ(1,2]=X)磷(ñ(2,12]=10−X)磷(ñ(1,12]=10) =⋯=(10 X)(111)X(1−111)10−X
    否则为零。那是,(ñ(1,2]∣ñ(1,12]=10)∼垃圾桶⁡(10,1/11). 因此,和[ñ(1,2]∣ñ(1,12]=10]=10/11≈0.9091
    (d) 确定和[ñ(吨1−1,吨2]∣ñ(1,吨1]=n1].
    解决方案:在这种情况下,我们有和[ñ(1,12]∣ñ(1,2]=7]=7+和ñ(2,12]. 而且,ñ(2,12]∼接着⁡(20)所以我们得出结论和[ñ(1,12]∣ñ(1,2]=7]= 7+20=27
    [0.5]

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 4

  1. 考虑一个抽象的概率空间(Ω,F,磷). 回答以下问题。
    (a) 假设一个1,一个2, 和一个3形成一个分区Ω. 写下最小的σ代数F3包含一个1,一个2, 和一个3. 有多少元素F3? (b) 扩展 (a),假设现在一个1,一个2,…,一个n形成一个分区Ω为了n∈ 3,4,5,…. 最小的基数是多少σ-代数,Fn, 包含一个1,…,一个n?
    [1]
  2. 举例说明如果F和G是两个σ- 子集的代数Ω然后H=F∪G也不是一般的σ- 子集的代数Ω.
    [1]
  3. 考虑一个抽象空间Ω和两个事件一个和乙.
    (a) 一般来说,写下最小的σ-代数包含一个和乙.
    [1]
    (b) 如果一个和乙独立于磷(一个)=0.4和磷(乙)=0.5, 确定所有最小元素的概率σ-algehra 在 (a) 中发现。
    [?]
  4. 考虑博雷尔σ-代数是R,乙≡乙(R); 那就是σ- 由形式的所有区间生成的代数(−∞,b], 对所有人b∈R. 显示乙包含表单集[一个,b)和[一个,b].
    [1]
  5. 仅使用概率测度的三个 Kolmogorov 公理,证明如果一个和乙事件是否令人满意一个⊆乙然后磷(一个)⩽磷(乙).
    [1]
  6. 让(Ω,F,磷)是一个概率空间,并且一个1,一个2,…是一个不断增加的事件序列;那是,一个1⊆一个2⊆⋯. 仅使用 Kolmogorov 公理,证明磷从下面连续:
    林n→∞磷(一个n)=磷(∪n=1∞一个n)
    提示:使用新的事件序列乙1:=一个1和乙n:=一个n∖一个n−1.
    [2]
  7. * 让(Ω,F,磷)是一个概率空间,并且一个1,一个2,…是一个递减的事件序列;那是,一个1⊇一个2⊇⋯. 使用 Kolmogorov 公理和/或来自下属性的连续性,证明磷从上面是连续的:
    林n→∞磷(一个n)=磷(∩n=1∞一个n)
  8. 让(Ω,F,磷)是一个概率空间并且X:Ω→R是一个随机变量。表示 Borelσ-代数是R作为乙(R), 并定义函数μX(乙)=磷(X−1(乙))对所有人乙∈乙(R). 显示(R,乙(R),μX)是一个概率空间。提示:使用以下事实磷是概率测度和随机变量的定义。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

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