### 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|MATH 106

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## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 3

1. Suppose $N=\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ is a Poisson process with rate $\lambda=2$. Let $n_{1}=7, n_{2}=10$, $t_{1}=2$, and $t_{2}=12$.
(a) Determine $\mathbb{P}\left(N_{t_{1}}=n_{1}, N_{t_{2}}=n_{2}\right)$.
$[0.5]$
(b) Determine $\mathbb{P}\left(N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}, N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right)$.
$[0.5]$
(c) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(1, t_{1}\right] \mid N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right]$.
$[0.5]$
(d) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(t_{1}-1, t_{2}\right] \mid N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}\right]$.
$[0.5]$
2. Let $\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ be a (non-homogeneous) Poisson counting process with rate function $\lambda(t)=1-\mathrm{e}^{-t}$. For $0 \leqslant s \leqslant t, m \in{0,1, \ldots, n}$, and for $n \in{0,1,2, \ldots}$, determine:
$$\mathbb{P}\left(N_{s}=m \mid N_{t}=n\right)$$
$[2]$
3. The Sturt Stony Desert is a “gibber” desert partly located in south-western Queensland (Australia) with an estimated area of $29750 \mathrm{~km}^{2}$. Suppose that you happen to be camping with friends and want to take a picture of the fat-tailed dunnart (Sminthopsis crassicaudata). One of your friends claims that its appearance in this area follows a spatial Poisson process with constant rate $0.5$ per $\mathrm{km}^{2}$. You’d really like to capture a spectacular photo of this unusual desert creature, but before setting out you want to make sure you have a reasonable chance of success if your friend’s claim is correct. You and your friend can carry enough water and food as well as your photographic gear to scour a $0.25 \mathrm{~km}^{2}$ area before you have to return to camp.
(a) If your friend is correct, what is the probability that you would see at least one fat-tailed dunnart on a single trip?
[1]
(b) How many trips (visiting distinct areas) should you expect to take before you have 6 sightings of the fat-tailed dunnart?
(c) Suppose a recent survey of put the total population of the fat-tailed dunnart in the Sturt Stony Desert at $5 \times 10^{5}$. Given this information, what is the conditional probability that you would see at least one fat-tailed dunnart on a single trip?
(d) * Suppose now that your friend also claims that if you see a fat-tailed dunnart, you’re more likely to see another one nearby. Is this consistent with your friend’s earlier claim? Argue why or why not.
[1]

## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 3

1. Suppose $N=\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)$ is a Poisson process with rate $\lambda=2$. Let $n_{1}=7, n_{2}=10$, $t_{1}=2$, and $t_{2}=12$.
(a) Determine $\mathbb{P}\left(N_{t_{1}}=n_{1}, N_{t_{2}}=n_{2}\right)$.
Solution: We may compute:
$[0.5]$
$$\mathbb{P}\left(N_{2}=7, N_{12}=10\right)=\mathbb{P}\left(N_{2}=7, N(2,12]=3\right)=\mathbb{P}\left(N_{2}=7\right) \times \mathbb{P}(N(2,12]=3)$$
\begin{aligned} &=\mathbb{P}\left(N_{2}=7\right) \times \mathbb{P}\left(N_{10}=3\right)=\mathrm{e}^{-4} \ &=\mathrm{e}^{-24} \frac{4^{7} \times 20^{3}}{7 ! \times 3 !}=\mathrm{e}^{-24} \frac{131072000}{30240} \ &=\mathrm{e}^{-24} \frac{819200}{189} \approx 1.6363 \times 10^{-7} \end{aligned}
(b) Determine $\mathbb{P}\left(N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}, N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right)$.
Solution: In this case, the intervals overlap only at one end. In general, one may need to split in to three non-overlapping intervals $\left(1, t_{1}-1\right],\left(t_{1}-1, t_{1}\right]$, and $\left(t_{1}, t_{2}\right]$ and sum up over all the possible cases. Here, we find:
\begin{aligned} \mathbb{P}(N(1,2]=7, N(1,12]=10) &=\mathbb{P}(N(1,2]=7, N(2,12]=3) \ &=\mathbb{P}(N(1,2]=7) \times \mathbb{P}(N(2,12]=3) \ &=\mathbb{P}\left(N_{1}=7\right) \times \mathbb{P}\left(N_{10}=3\right) \ &=\mathrm{e}^{-2} \frac{2^{7}}{7 !} \times \mathrm{e}^{-20} \frac{20^{3}}{3 !}=\mathrm{e}^{-22} \frac{2^{7} \times 20^{3}}{7 ! \times 3 !} \ &=\mathrm{e}^{-22} \frac{1024000}{30240}=\mathrm{e}^{-22} \frac{6400}{189} \ & \approx 9.4458 \times 10^{-9} \end{aligned}
(c) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(1, t_{1}\right] \mid N\left(t_{1}-1, t_{2}\right]=n_{2}\right]$.
Solution: In this case, we may directly determine that, for $x \in{0,1, \ldots, 10}$, we have
\begin{aligned} \mathbb{P}(N(1,2]=x \mid N(1,12]=10) &=\cdots=\frac{\mathbb{P}(N(1,2]=x) \mathbb{P}(N(2,12]=10-x)}{\mathbb{P}(N(1,12]=10)} \ &=\cdots=\left(\begin{array}{c} 10 \ x \end{array}\right)\left(\frac{1}{11}\right)^{x}\left(1-\frac{1}{11}\right)^{10-x} \end{aligned}
and zero otherwise. That is, $(N(1,2] \mid N(1,12]=10) \sim \operatorname{Bin}(10,1 / 11)$. Thus, $\mathbb{E}[N(1,2] \mid N(1,12]=10]=10 / 11 \approx 0.9091$
(d) Determine $\mathbb{E}\left[N\left(t_{1}-1, t_{2}\right] \mid N\left(1, t_{1}\right]=n_{1}\right]$.
Solution: In this case, we have $\mathbb{E}[N(1,12] \mid N(1,2]=7]=7+\mathbb{E} N(2,12]$. Moreover, $N(2,12] \sim \operatorname{Poi}(20)$ so we conclude that $\mathbb{E}[N(1,12] \mid N(1,2]=7]=$ $7+20=27$
$[0.5]$

## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 4

1. Consider an abstract probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Answer the following questions.
(a) Suppose $A_{1}, A_{2}$, and $A_{3}$ form a partition of $\Omega$. Write down the smallest $\sigma$ algebra $\mathcal{F}{3}$ containing $A{1}, A_{2}$, and $A_{3}$. How many elements are in $\mathcal{F}{3}$ ? (b) Extending (a), suppose now $A{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ form a partition of $\Omega$ for $n \in$ ${3,4,5, \ldots}$. What is the cardinality of the smallest $\sigma$-algebra, $\mathcal{F}{n}$, containing $A{1}, \ldots, A_{n} ?$
$[1]$
2. Show by way of example that if $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ are two $\sigma$-algebras of subsets of $\Omega$ then $\mathcal{H}=\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$ is not in general also a $\sigma$-algebra of subsets of $\Omega$.
$[1]$
3. Consider an abstract space $\Omega$ and two events $A$ and $B$.
(a) In general, write down the smallest $\sigma$-algebra containing $A$ and $B$.
$[1]$
(b) If $A$ and $B$ are independent with $\mathbb{P}(A)=0.4$ and $\mathbb{P}(B)=0.5$, determine the prohahilities of all elements of the smallest $\sigma$-algehra found in (a).
[?]
4. Consider the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}, \mathscr{B} \equiv \mathscr{B}(\mathbb{R})$; that is, the $\sigma$-algebra generated by all intervals of the form $(-\infty, b]$, for all $b \in \mathbb{R}$. Show that $\mathscr{B}$ contains sets of the form $[a, b)$ and $[a, b]$.
[1]
5. Using only the three Kolmogorov axioms of a probability measure, show that if $A$ and $B$ are events satisfying $A \subseteq B$ then $\mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B)$.
$[1]$
6. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space, and $A_{1}, A_{2}, \ldots$ be an increasing sequence of events; that is, $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots$. Using only the Kolmogorov axioms, prove that $\mathbb{P}$ is continuous from below:
$$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)=\mathbb{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)$$
Hint: Work with a new sequence of events $B_{1}:=A_{1}$ and $B_{n}:=A_{n} \backslash A_{n-1}$.
$[2]$
7. * Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space, and $A_{1}, A_{2}, \ldots$ be a decreasing sequence of events; that is, $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$. Using the Kolmogorov axioms and/or the continuity from below property, prove that $\mathbb{P}$ is continuous from above:
$$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)=\mathbb{P}\left(\cap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)$$
8. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ be a random variable. Denote the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ as $\mathscr{B}(\mathbb{R})$, and define the function $\mu_{X}(B)=\mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right)$ for all $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$. Show that $\left(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}), \mu_{X}\right)$ is a probability space. Hint: Use the fact that $\mathbb{P}$ is a probability measure and the definition of a random variable.

## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 3

1. 认为ñ=(ñ吨,吨⩾0)是一个具有速率的 Poisson 过程λ=2. 让n1=7,n2=10, 吨1=2， 和吨2=12.
(a) 确定磷(ñ吨1=n1,ñ吨2=n2).
[0.5]
(b) 确定磷(ñ(1,吨1]=n1,ñ(吨1−1,吨2]=n2).
[0.5]
(c) 确定和[ñ(1,吨1]∣ñ(吨1−1,吨2]=n2].
[0.5]
(d) 确定和[ñ(吨1−1,吨2]∣ñ(1,吨1]=n1].
[0.5]
2. 让(ñ吨,吨⩾0)是具有速率函数的（非齐次）泊松计数过程λ(吨)=1−和−吨. 为了0⩽s⩽吨,米∈0,1,…,n，并且对于n∈0,1,2,…， 决定：
磷(ñs=米∣ñ吨=n)
[2]
3. 斯特石沙漠是部分位于昆士兰州西南部（澳大利亚）的“gibber”沙漠，估计面积为29750 ķ米2. 假设你碰巧和朋友一起露营，想拍一张肥尾邓纳特（Sminthopsis crassicaudata）的照片。你的一个朋友声称它在这个区域的出现遵循一个恒定速率的空间泊松过程0.5每ķ米2. 您真的很想为这种不寻常的沙漠生物拍摄一张壮观的照片，但在出发之前，您要确保如果您朋友的说法正确，您有合理的成功机会。您和您的朋友可以携带足够的水和食物以及您的摄影器材来冲刷0.25 ķ米2必须返回营地之前的区域。
(a) 如果你的朋友是正确的，你在一次旅行中至少看到一个肥尾邓纳特的概率是多少？
[1]
(b) 在您看到 6 次肥尾杜纳特之前，您应该预计进行多少次旅行（访问不同的区域）？
(c) 假设最近的一项调查将斯图特石质沙漠中的肥尾邓纳特总种群数量设为5×105. 给定这些信息，您在一次旅行中至少看到一个肥尾邓纳特的条件概率是多少？
(d) * 现在假设你的朋友也声称如果你看到一只肥尾杜纳特，你更有可能在附近看到另一个。这与你朋友之前的说法一致吗？争论为什么或为什么不。
[1]

## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 3

1. 认为ñ=(ñ吨,吨⩾0)是一个具有速率的 Poisson 过程λ=2. 让n1=7,n2=10, 吨1=2， 和吨2=12.
(a) 确定磷(ñ吨1=n1,ñ吨2=n2).
解决方案：我们可以计算：
[0.5]
磷(ñ2=7,ñ12=10)=磷(ñ2=7,ñ(2,12]=3)=磷(ñ2=7)×磷(ñ(2,12]=3)
=磷(ñ2=7)×磷(ñ10=3)=和−4 =和−2447×2037!×3!=和−2413107200030240 =和−24819200189≈1.6363×10−7
(b) 确定磷(ñ(1,吨1]=n1,ñ(吨1−1,吨2]=n2).
解决方案：在这种情况下，间隔仅在一端重叠。一般来说，一个人可能需要分成三个不重叠的区间(1,吨1−1],(吨1−1,吨1]， 和(吨1,吨2]并总结所有可能的情况。在这里，我们发现：
磷(ñ(1,2]=7,ñ(1,12]=10)=磷(ñ(1,2]=7,ñ(2,12]=3) =磷(ñ(1,2]=7)×磷(ñ(2,12]=3) =磷(ñ1=7)×磷(ñ10=3) =和−2277!×和−202033!=和−2227×2037!×3! =和−22102400030240=和−226400189 ≈9.4458×10−9
(c) 确定和[ñ(1,吨1]∣ñ(吨1−1,吨2]=n2].
解：在这种情况下，我们可以直接确定，对于X∈0,1,…,10， 我们有
磷(ñ(1,2]=X∣ñ(1,12]=10)=⋯=磷(ñ(1,2]=X)磷(ñ(2,12]=10−X)磷(ñ(1,12]=10) =⋯=(10 X)(111)X(1−111)10−X
否则为零。那是，(ñ(1,2]∣ñ(1,12]=10)∼垃圾桶⁡(10,1/11). 因此，和[ñ(1,2]∣ñ(1,12]=10]=10/11≈0.9091
(d) 确定和[ñ(吨1−1,吨2]∣ñ(1,吨1]=n1].
解决方案：在这种情况下，我们有和[ñ(1,12]∣ñ(1,2]=7]=7+和ñ(2,12]. 而且，ñ(2,12]∼接着⁡(20)所以我们得出结论和[ñ(1,12]∣ñ(1,2]=7]= 7+20=27
[0.5]

## 数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 4

1. 考虑一个抽象的概率空间(Ω,F,磷). 回答以下问题。
(a) 假设一个1,一个2， 和一个3形成一个分区Ω. 写下最小的σ代数F3包含一个1,一个2， 和一个3. 有多少元素F3? (b) 扩展 (a)，假设现在一个1,一个2,…,一个n形成一个分区Ω为了n∈ 3,4,5,…. 最小的基数是多少σ-代数，Fn, 包含一个1,…,一个n?
[1]
2. 举例说明如果F和G是两个σ- 子集的代数Ω然后H=F∪G也不是一般的σ- 子集的代数Ω.
[1]
3. 考虑一个抽象空间Ω和两个事件一个和乙.
(a) 一般来说，写下最小的σ-代数包含一个和乙.
[1]
(b) 如果一个和乙独立于磷(一个)=0.4和磷(乙)=0.5, 确定所有最小元素的概率σ-algehra 在 (a) 中发现。
[?]
4. 考虑博雷尔σ-代数是R,乙≡乙(R); 那就是σ- 由形式的所有区间生成的代数(−∞,b]， 对所有人b∈R. 显示乙包含表单集[一个,b)和[一个,b].
[1]
5. 仅使用概率测度的三个 Kolmogorov 公理，证明如果一个和乙事件是否令人满意一个⊆乙然后磷(一个)⩽磷(乙).
[1]
6. 让(Ω,F,磷)是一个概率空间，并且一个1,一个2,…是一个不断增加的事件序列；那是，一个1⊆一个2⊆⋯. 仅使用 Kolmogorov 公理，证明磷从下面连续：
林n→∞磷(一个n)=磷(∪n=1∞一个n)
提示：使用新的事件序列乙1:=一个1和乙n:=一个n∖一个n−1.
[2]
7. * 让(Ω,F,磷)是一个概率空间，并且一个1,一个2,…是一个递减的事件序列；那是，一个1⊇一个2⊇⋯. 使用 Kolmogorov 公理和/或来自下属性的连续性，证明磷从上面是连续的：
林n→∞磷(一个n)=磷(∩n=1∞一个n)
8. 让(Ω,F,磷)是一个概率空间并且X:Ω→R是一个随机变量。表示 Borelσ-代数是R作为乙(R), 并定义函数μX(乙)=磷(X−1(乙))对所有人乙∈乙(R). 显示(R,乙(R),μX)是一个概率空间。提示：使用以下事实磷是概率测度和随机变量的定义。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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