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数学代写|计算方法代写computational method代考|Heat conduction
Steady state potential flow problems are among the physical phenomena that can be modeled as scalar elliptic boundary value problems. In this section the formulation of a mathematical problem that models heat flow by conduction in solid bodies is described.
Mathematical models of heat conduction are based on two fundamental relationships: the conservation law and Fourier’s law of heat conduction described in the following.
- The conservation law states that the quantity of heat entering any volume element of the conducting medium equals the quantity of heat exiting the volume element plus the quantity of heat retained in the volume element. The heat retained causes a change in temperature in the volume element which is proportional to the specific heat of the conducting medium $c$ (in $\mathrm{J} /\left(\mathrm{kg} \mathrm{K}\right.$ ) units) multiplied by the density $\rho$ (in $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$ units). The temperature will be denoted by $u(x, y, z, t)$ where $t$ is time.
The heat flow rate across a unit area is represented by a vector quantity called heat flux. The heat flux is in $\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}$ units, or equivalent, and will be denoted by $\mathbf{q}=\mathbf{q}(x, y, z, t)=$ $\left{q_{x}(x, y, z, t) q_{y}(x, y, z, t) q_{z}(x, y, z, t)\right}^{T}$. In addition to heat flux entering and leaving the volume element, heat may be generated within the volume element, for example from chemical reactions. The heat generated per unit volume and unit time will be denoted by $Q$ (in $\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}$ units).
Applying the conservation law to the volume element shown in Fig. 2.1, we have:
$$
\begin{aligned}
&\Delta t\left[q_{x} \Delta y \Delta z-\left(q_{x}+\Delta q_{x}\right) \Delta y \Delta z+q_{y} \Delta x \Delta z-\left(q_{y}+\Delta q_{y}\right) \Delta x \Delta z+\right. \
&\left.q_{z} \Delta x \Delta y-\left(q_{z}+\Delta q_{z}\right) \Delta x \Delta y+Q \Delta x \Delta y \Delta z\right]=c \rho \Delta u \Delta x \Delta y \Delta z .
\end{aligned}
$$
Assuming that $u$ and $\mathbf{q}$ are continuous and differentiable and neglecting terms that go to zero faster than $\Delta x, \Delta y, \Delta z, \Delta t$, we have:
$$
\Delta q_{x}=\frac{\partial q_{x}}{\partial x} \Delta x, \quad \Delta q_{y}=\frac{\partial q_{y}}{\partial y} \Delta y, \quad \Delta q_{z}=\frac{\partial q_{z}}{\partial z} \Delta z, \quad \Delta u=\frac{\partial u}{\partial t} \Delta t
$$
On factoring $\Delta x \Delta y \Delta z \Delta t$ the conservation law is obtained:
$$
-\frac{\partial q_{x}}{\partial x}-\frac{\partial q_{y}}{\partial y}-\frac{\partial q_{z}}{\partial z}+Q=c \rho \frac{\partial u}{\partial t}
$$
In index notation:
$$
-q_{i, i}+Q=c \rho \frac{\partial u}{\partial t} .
$$
数学代写|计算方法代写computational method代考|The differential equation
Combining equations (2.16) through (2.20), we have:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial}{\partial x}\left(k_{x} \frac{\partial u}{\partial x}+k_{x y} \frac{\partial u}{\partial y}+k_{x z} \frac{\partial u}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(k_{y x} \frac{\partial u}{\partial x}+k_{y} \frac{\partial u}{\partial y}+k_{y z} \frac{\partial u}{\partial z}\right)+ \
&\frac{\partial}{\partial z}\left(k_{z x} \frac{\partial u}{\partial x}+k_{z y} \frac{\partial u}{\partial y}+k_{z} \frac{\partial u}{\partial z}\right)+Q=c \rho \frac{\partial u}{\partial t}
\end{aligned}
$$
which can be written in the following compact form:
$$
\operatorname{div}([K] \operatorname{grad} u)+Q=c \rho \frac{\partial u}{\partial t}
$$
or in index notation:
$$
\left(k_{i j} u_{j}\right)_{i}+Q=c \rho \frac{\partial u}{\partial t} .
$$
In many practical problems $u$ is independent of time. Such problems are called stationary or steady state problems. The solution of a stationary problem can be viewed as the solution of some time-dependent problem, with time-independent boundary conditions, at $t=\infty$.
In formulating eq. $(2.23)$ we assumed that $k_{i j}$ are differentiable functions. In many practical problems the solution domain is comprised of subdomains $\Omega_{i}$ that have different material properties. In such cases eq. (2.23) is valid on each subdomain. On the boundaries of adjoining subdomains continuous temperature and flux are prescribed.
To complete the definition of a mathematical model, initial and boundary conditions have to be specified. This is discussed in the following section.
数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary and initial conditions
The solution domain will be denoted by $\Omega$ and its boundary by $\partial \Omega$. We will consider three kinds of boundary conditions:
- Prescribed temperature (Dirichlet condition): The temperature $u=\hat{u}$ is prescribed on boundary region $\partial \Omega_{u}$.
- Prescribed flux (Neumann condition): The flux vector component normal to the boundary, denoted by $q_{n}$, is prescribed on the boundary region $\partial \Omega_{q}$. By definition;
$$
q_{n} \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \equiv-([K] \operatorname{grad} u) \cdot \mathbf{n} \equiv-k_{i j} u_{j} n_{i}
$$
where $\mathbf{n} \equiv n_{i}$ is the (outward) unit normal to the boundary. The prescribed flux on $\partial \Omega_{q}$ will be denoted by $\hat{q}_{n}$. - Convection (Robin condition): On boundary region $\partial \Omega_{c}$ the flux vector component $q_{n}$ is proportional to the difference between the temperature of the boundary and the temperature of a convective medium:
$$
q_{n}=h_{c}\left(u-u_{c}\right), \quad(x, y, z) \in \partial \Omega_{c}
$$
where $h_{c}$ is the coefficient of convective heat transfer in $\mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right)$ units and $u_{\mathrm{c}}$ is the (known) temperature of the convective medium.
The sets $\partial \Omega_{u}, \partial \Omega_{q}$ and $\partial \Omega_{c}$ are non-overlapping and collectively cover the entire boundary. Any of the sets may be empty.
The boundary conditions may be time-dependent. For time-dependent problems an initial condition has to be prescribed on $\Omega: u(x, y, z, 0)=U(x, y, z)$.
It is possible to show that eq. (2.23), subject to the enumerated boundary conditions, has a unique solution. Stationary problems also have unique solutions, subject to the condition that when flux is prescribed over the entire boundary $\partial \Omega$ then the following condition must be satisfied:
$$
\int_{\Omega} Q d V=\int_{\partial \Omega} q_{n} d S .
$$
This is easily seen by integrating
$$
\left(k_{i j} u_{j}\right){, i}+Q=0 $$ on $\Omega$ and using the divergence theorem, eq. (2.2) and the definition (2.26). Note that if $u{i}$ is a solution of eq. (2.29) then $u_{i}+C$ is also a solution, where $C$ is an arbitrary constant. Therefore the solution is unique up to an arbitrary constant.
In addition to the three types of boundary conditions discussed in this section, radiation may have to be considered. When two bodies exchange heat by radiation then the flux is proportional to the difference of the fourth power of their absolute temperatures, therefore radiation is a non-linear boundary condition. The boundary region subject to radiation, denoted by $\partial \Omega_{r}$, may overlap $\partial \Omega_{c^{*}}$. Radiation is discussed in Section 9.1.1.
In the following it will be assumed that the coefficients of thermal conduction, the flux prescribed on $\Omega_{q}$ and the coefficient $h_{c}$ prescribed on $\Omega_{c}$ are independent of the temperature. This assumption can be justified on the basis of empirical data in a narrow range of temperatures only.
计算方法代写
数学代写|计算方法代写computational method代考|Heat conduction
稳态势流问题是可以建模为标量椭圆边值问题的物理现象之一。在本节中，描述了一个数学问题的公式，该数学问题通过固体中的传导来模拟热流。
热传导的数学模型基于两个基本关系：下面描述的热传导守恒定律和傅里叶定律。
- 守恒定律规定，进入传导介质的任何体积元的热量等于离开体积元的热量加上保持在体积元中的热量。保留的热量会导致体积元素中的温度变化，该变化与传导介质的比热成正比C（在Ĵ/(ķGķ) 单位) 乘以密度ρ（在ķG/米3单位）。温度将表示为在(X,是,和,吨)在哪里吨是时间。
单位面积上的热流率由称为热通量的矢量表示。热通量在在/米2单位，或等价物，并将由q=q(X,是,和,吨)= \left{q_{x}(x, y, z, t) q_{y}(x, y, z, t) q_{z}(x, y, z, t)\right}^{T}\left{q_{x}(x, y, z, t) q_{y}(x, y, z, t) q_{z}(x, y, z, t)\right}^{T}. 除了进入和离开体积元素的热通量之外，热量可能在体积元素内产生，例如来自化学反应。单位体积和单位时间产生的热量记为问（在在/米3单位）。
将守恒定律应用于图 2.1 所示的体积元，我们有：
Δ吨[qXΔ是Δ和−(qX+ΔqX)Δ是Δ和+q是ΔXΔ和−(q是+Δq是)ΔXΔ和+ q和ΔXΔ是−(q和+Δq和)ΔXΔ是+问ΔXΔ是Δ和]=CρΔ在ΔXΔ是Δ和.
假如说在和q是连续的、可微分的和忽略的项，它们比ΔX,Δ是,Δ和,Δ吨， 我们有：
ΔqX=∂qX∂XΔX,Δq是=∂q是∂是Δ是,Δq和=∂q和∂和Δ和,Δ在=∂在∂吨Δ吨
关于保理ΔXΔ是Δ和Δ吨得到守恒定律：
−∂qX∂X−∂q是∂是−∂q和∂和+问=Cρ∂在∂吨
在索引符号中：
−q一世,一世+问=Cρ∂在∂吨.
数学代写|计算方法代写computational method代考|The differential equation
结合方程（2.16）到（2.20），我们有：
∂∂X(ķX∂在∂X+ķX是∂在∂是+ķX和∂在∂和)+∂∂是(ķ是X∂在∂X+ķ是∂在∂是+ķ是和∂在∂和)+ ∂∂和(ķ和X∂在∂X+ķ和是∂在∂是+ķ和∂在∂和)+问=Cρ∂在∂吨
可以写成以下紧凑形式：
div([ķ]毕业在)+问=Cρ∂在∂吨
或以索引表示法：
(ķ一世j在j)一世+问=Cρ∂在∂吨.
在很多实际问题中在与时间无关。此类问题称为静止或稳态问题。静止问题的解可以看作是某个时间相关问题的解，具有与时间无关的边界条件，在吨=∞.
在制定方程。(2.23)我们假设ķ一世j是可微函数。在许多实际问题中，解决方案域由子域组成Ω一世具有不同的材料特性。在这种情况下，等式。(2.23) 在每个子域上都有效。在相邻子域的边界上规定了连续的温度和通量。
为了完成数学模型的定义，必须指定初始条件和边界条件。这将在下一节中讨论。
数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary and initial conditions
解决方案域将表示为Ω及其边界∂Ω. 我们将考虑三种边界条件：
- 规定温度（狄利克雷条件）：温度在=在^规定在边界区域∂Ω在.
- 规定通量（诺依曼条件）：垂直于边界的通量矢量分量，表示为qn, 规定在边界区域∂Ωq. 根据定义；
qn= 定义 q⋅n≡−([ķ]毕业在)⋅n≡−ķ一世j在jn一世
在哪里n≡n一世是垂直于边界的（向外）单位。规定的通量∂Ωq将表示为q^n. - 对流（Robin 条件）：在边界区域∂ΩC通量矢量分量qn与边界温度和对流介质温度之间的差成正比：
qn=HC(在−在C),(X,是,和)∈∂ΩC
在哪里HC是对流传热系数在/(米2 ķ)单位和在C是对流介质的（已知）温度。
套装∂Ω在,∂Ωq和∂ΩC不重叠，共同覆盖整个边界。任何集合都可能是空的。
边界条件可能与时间有关。对于时间相关问题，必须规定初始条件Ω:在(X,是,和,0)=在(X,是,和).
可以证明 eq。（2.23），在列举的边界条件下，有唯一解。平稳问题也有唯一的解决方案，受制于在整个边界上规定通量时∂Ω那么必须满足以下条件：
∫Ω问d在=∫∂Ωqnd小号.
这很容易通过集成看到
(ķ一世j在j),一世+问=0在Ω并使用散度定理，等式。（2.2）和定义（2.26）。请注意，如果在一世是 eq 的解。(2.29) 那么在一世+C也是一个解决方案，其中C是一个任意常数。因此，对于任意常数，解都是唯一的。
除了本节讨论的三种边界条件外，还可能需要考虑辐射。当两个物体通过辐射进行热交换时，通量与其绝对温度的四次方之差成正比，因此辐射是非线性边界条件。受到辐射的边界区域，表示为∂Ωr, 可能重叠∂ΩC∗. 辐射在第 9.1.1 节中讨论。
在下文中，将假设热传导系数，通量Ωq和系数HC规定于ΩC与温度无关。这种假设只能根据狭窄温度范围内的经验数据来证明。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。