### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH 7090

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian Motion in Rd

We will now show that $B_{t}=\left(B_{t}^{1}, \ldots, B_{t}^{d}\right)$ is a $\mathrm{BM}^{d}$ if, and only if, its coordinate processes $B_{t}^{j}$ are independent one-dimensional Brownian motions. We call two stochastic processes $\left(X_{t}\right){t \geqslant 0}$ and $\left(Y{t}\right){t \geqslant 0}$ (defined on the same probability space) independent, if the $\sigma$-algebras generated by these processes are independent: $$\mathcal{F}{\infty}^{X} \Perp \mathcal{F}{\infty}^{Y}$$ where $$\mathcal{F}{\infty}^{X}:=\sigma\left(\bigcup_{n \geqslant 1} \bigcup_{0 \leqslant t_{1}<\cdots<t_{n}<\infty} \sigma\left(X\left(t_{j}\right), \ldots, X\left(t_{n}\right)\right)\right) .$$
Note that the family of sets $\bigcup_{n} \bigcup_{t_{1}, \ldots, t_{n}} \sigma\left(X\left(t_{1}\right), \ldots, X\left(t_{n}\right)\right)$ is stable under finite intersections. Therefore, (2.15) follows already if
$$\left(X\left(s_{1}\right), \ldots, X\left(s_{n}\right)\right) \Perp\left(Y\left(t_{1}\right), \ldots, Y\left(t_{m}\right)\right)$$
for all $m, n \geqslant 1, s_{1}<\cdots<s_{m}$ and $t_{1}<\cdots<t_{n}$. Without loss of generality we can even assume that $m=n$ and $s_{j}=t_{j}$ for all $j$. This follows easily if we take the common refinement of the $s_{j}$ and $t_{j}$.

The following simple characterization of $d$-dimensional Brownian motion will be very useful for our purposes.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Lévy–Ciesielski construction

This approach goes back to Lévy [120, pp. 492-494] but it got its definitive form in the hands of Ciesielski, cf. [26, 27]. The idea is to write the paths $[0,1] \ni t \mapsto B_{t}(\omega)$ for (almost) every $\omega$ as a random series with respect to a complete orthonormal system (ONS) in the Hilbert space $L^{2}(d t)=L^{2}([0,1], d t)$ with canonical scalar product $\langle f, g\rangle_{L^{2}}=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$. Assume that $\left(\phi_{n}\right){n \geqslant 0}$ is any complete ONS and let $\left(G{n}\right){n \geqslant 0}$ be a sequence of real-valued iid Gaussian $N(0,1)$-random variables on the probability space $(\Omega, A, \mathbb{P})$. Set \begin{aligned} W{N}(t) &:=\sum_{n=0}^{N-1} G_{n}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi{n}\right\rangle_{L^{2}} \ &=\sum_{n=0}^{N-1} G_{n} \int_{0}^{t} \phi_{n}(s) d s . \end{aligned}
We want to show that $\lim {N \rightarrow \infty} W{N}(t)$ defines a Brownian motion on $[0,1]$.
3.1 Lemma. The limit $W(t):=\lim {N \rightarrow \infty} W{N}(t)$ exists for every $t \in[0,1]$ in $L^{2}(\mathbb{P})$ and the process $W(t)$ satisfies ( $\mathrm{B} 0)-(\mathrm{B} 3)$.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian Motion in Rd

$$\mathcal{F} \infty^{X} \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} \infty^{Y}$$

$$\mathcal{F} \infty^{X}:=\sigma\left(\bigcup_{n \geqslant 1} \bigcup_{0 \leqslant t_{1}<\cdots<t_{n}<\infty} \sigma\left(X\left(t_{j}\right), \ldots, X\left(t_{n}\right)\right)\right)$$

$$\left(X\left(s_{1}\right), \ldots, X\left(s_{n}\right)\right) \backslash \operatorname{Perp}\left(Y\left(t_{1}\right), \ldots, Y\left(t_{m}\right)\right)$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Lévy–Ciesielski construction

$$W N(t):=\sum_{n=0}^{N-1} G_{n}\langle 1[0, t), \phi n\rangle_{L^{2}}=\sum_{n=0}^{N-1} G_{n} \int_{0}^{t} \phi_{n}(s) d s$$

$3.1$ 引理。极限 $W(t):=\lim N \rightarrow \infty W N(t)$ 存在于每个 $t \in[0,1]$ 在 $L^{2}(\mathbb{P})$ 和过程 $W(t)$ 满足 ( $\mathrm{B} 0)-(\mathrm{B} 3)$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。