数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MXB334

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MXB334

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain

Theorem 2(a). In a M.C. with a finite number of states, there is no null state and not all states can be transient.

Proof Suppose the chain has $N<\infty$ states. If all states are transient, then letting $n \rightarrow \infty$ in the relation $\sum_{j=0}^{N} p_{i j}^{(n)}=1$ we get $0=1$ (since by Theorem $2.8$, $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=0$ for each $j$ ), which is absured and hence not all states in a finite M.C. are transient. Consider the subchain $C_{1}$ formed by a closed set of null recurrent states. Then $\sum_{j \in C_{1}} p_{i j}^{(n)}=\alpha$ (say) $>0$. Letting $n \rightarrow \infty, 0=\alpha>0$ which is also absurd. So there cannot be any null recurrent state in a finite M.C.
Theorem 2(b). An irreducible M.C. having a finite number of states is positive recurrent.

Proof By previous theorem, there is no null recurrent state and not all states are transient. Suppose there is one transient state. Then all states are transient by Solidarity Theorem. Hence, all states are positive recurrent.

Exercise 2.6 If a finite M.C. is irreducible, aperiodic and has doubly stochastic transition matrix, then show that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=1 / k$, where $k$ is the number of states in the chain.

Solution If $j$ is a positive recurrent state in an aperiodic irreducible chain then
$$
p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_{j}>0(\text { by Theorem 2.9) }
$$
Hence $1=\sum_{i=1}^{k} p_{i j}^{(n)}$ for all $j$ and $n \geq 1$,
$$
\begin{array}{cc}
\left(\begin{array}{cc}
p_{11} & p_{12} \ldots p_{1 k} \
p_{21} & p_{22} \ldots p_{2 k} \
\ldots & \
p_{k 1} & p_{k 2} \ldots p_{k k}
\end{array}\right)=1 \
1 & 1 \ldots 1
\end{array}
$$
Therefore $k \pi_{j}=1 \Rightarrow \pi_{j}=\frac{1}{k}$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Methods of Evaluation of the n-Step Transition Probability

(a) Method of Spectral Decomposition
Let $P$ be a NXN matrix with latent roots $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}$ all distinct and simple. Then $\left(P-\lambda_{j} I\right) U_{j}=0$ for the column latent vector $U_{j}$ and
$V_{i}^{\prime}\left(P-\lambda_{i} I\right)=0$ for the row latent vector $V_{i}$.
$A_{i}=U_{i} V_{i}^{\prime}$ are called latent or spectral matrix associated with $\lambda_{i}, i=1, \ldots, N$.
The following properties of $A_{i}$ ‘s are well known:

(i) $A_{i}$ ‘s are idempotent, i.e. $A_{i}^{2}=A_{i}$,
(ii) they are orthogonal, i.e. $A_{i} A_{j}=0(i \neq j)$,
(iii) they give spectral decomposition $P=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} A_{i}$. It follows from (i) to (iii), that
$$
P^{k}=\left(\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} A_{i}\right)^{k}=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i}^{k} A_{i}=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i}^{k} U_{i} V_{i}^{\prime} .
$$
Also we know that $P^{k}=U D^{k} U^{-1}$ (by Diagonalisation Theorem) where
$$
\begin{aligned}
&U=\left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{N}\right) \
&D=\left[\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 \ldots & 0 \
0 & \lambda_{2} & \vdots \
0 & \cdots & \lambda_{N}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
Since the latent vectors are determined uniquely only upto a multiplicative constant, we have chosen them such that $U_{i}^{\prime} V_{i}=1$. From $(2.21)$ one can get any power of $P$ knowing $\lambda_{i}$ ‘s and $A_{i}{ }^{\circ}$ ‘s.

Example $2.7$ We shall illustrate the last method with the help of Exercise $2.8$ of Section 2.7.

In our problem, $P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \ \frac{1}{18} & \frac{8}{18} & \frac{9}{18}\end{array}\right]$ with characteristic equation
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1-\lambda & 0 & 0 \
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \lambda & \frac{1}{4} \
\frac{1}{18} & \frac{8}{18} & \frac{9}{18} \lambda
\end{array}\right]=0 \text { or }(1-\lambda)\left(\lambda^{2}-\lambda+\frac{5}{36}\right)=0
$$
So the eigenvalues are $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=\frac{1}{6}, \lambda_{3}=\frac{5}{6}$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Random Walks

Let $\left{X_{n}, n=0,1,2,3, \ldots\right}$ be a sequence of independent discrete random variables taking integral values only and $S_{n}=X_{1}+X_{2} \ldots+X_{n}(n=0,1,2, \ldots)$. Then the sequence $\left{S_{n}\right}$ is a M.C. whose transition probabilities are given by,
$$
{ }^{(m)} p_{i j}=P\left(S_{m+1}=j \mid S_{m}=i\right)=P\left(X_{m+1}=j-i\right), i, j=\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots
$$
(non-homogeneous random walk).
The chain represents a Random walk of a particle along a straight line, the magnitude of ‘jump’ at time $n$ being given by the random variable $X_{n}$. If $X_{0}$ is denotes the initial position of a particle then its position after $n$ jumps (at time $n$ ) is given by $S_{n}$. When $X_{n}$ ‘s are also indentically distributed, ${ }^{(n)} p_{i j}=p_{j-i}$ where $p_{j}$ $=P\left(X_{n}=j\right.$ ). We have then a homogeneous Random walk (RW). Such Random walks occur in fluctuation theory (sums of discrete or continuous random variables). In classical RW, $P\left(X_{n}=+1\right)=p, p\left(X_{n}=-1\right)=q=1-p$.

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随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain

定理 2(a)。在具有有限数量状态的 MC 中,没有零状态,并且并非所有状态都可以是瞬态的。

证明假设链有ñ<∞状态。如果所有状态都是瞬态的,那么让n→∞在关系中∑j=0ñp一世j(n)=1我们得到0=1(由于定理2.8, 林n→∞p一世j(n)=0对于每个j),这是不可靠的,因此并非有限 MC 中的所有状态都是瞬态的。考虑子链C1由一组封闭的零循环状态组成。然后∑j∈C1p一世j(n)=一个(说)>0. 让n→∞,0=一个>0这也是荒谬的。
所以在有限 MC定理 2(b)中不可能有任何零循环状态。具有有限个状态的不可约 MC 是正循环的。

证明 根据前面的定理,不存在零循环状态,并且并非所有状态都是瞬态的。假设存在一种瞬态。然后根据团结定理,所有状态都是瞬态的。因此,所有状态都是正循环的。

练习 2.6 如果一个有限 MC 是不可约的、非周期性的并且具有双重随机转移矩阵,那么证明林n→∞p一世j(n)=1/ķ, 在哪里ķ是链中的状态数。

解决方案 如果j是非周期不可约链中的正循环状态,则

p一世j(n)→圆周率j>0( 由定理 2.9) 
因此1=∑一世=1ķp一世j(n)对所有人j和n≥1,

(p11p12…p1ķ p21p22…p2ķ … pķ1pķ2…pķķ)=1 11…1
所以ķ圆周率j=1⇒圆周率j=1ķ.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Methods of Evaluation of the n-Step Transition Probability

(a) 谱分解
法磷是一个具有潜在根的 NXN 矩阵λ1,…,λñ一切都清晰而简单。然后(磷−λj我)在j=0对于列潜在向量在j和
在一世′(磷−λ一世我)=0对于行潜在向量在一世.
一个一世=在一世在一世′被称为潜在矩阵或谱矩阵λ一世,一世=1,…,ñ.
以下属性一个一世是众所周知的:

(一世)一个一世是幂等的,即一个一世2=一个一世,
(ii) 它们是正交的,即一个一世一个j=0(一世≠j),
(iii) 他们给出谱分解磷=∑一世=1ñλ一世一个一世. 从 (i) 到 (iii) 得出,

磷ķ=(∑一世=1ñλ一世一个一世)ķ=∑一世=1ñλ一世ķ一个一世=∑一世=1ñλ一世ķ在一世在一世′.
我们也知道磷ķ=在Dķ在−1(通过对角化定理)其中

在=(在1,在2,…,在ñ) D=[λ10…0 0λ2⋮ 0⋯λñ]
由于潜在向量仅由乘法常数唯一确定,因此我们选择它们使得在一世′在一世=1. 从(2.21)可以得到任何力量磷会心λ一世’沙一个一世∘的。

例子2.7我们将在练习的帮助下说明最后一种方法2.8第 2.7 节。

在我们的问题中,磷=[100 141214 118818918]有特征方程

[1−λ00 1412λ14 118818918λ]=0 或者 (1−λ)(λ2−λ+536)=0
所以特征值为λ1=1,λ2=16,λ3=56.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Random Walks

让\left{X_{n}, n=0,1,2,3, \ldots\right}\left{X_{n}, n=0,1,2,3, \ldots\right}是一系列独立离散随机变量,仅取整数值,并且小号n=X1+X2…+Xn(n=0,1,2,…). 然后是序列\left{S_{n}\right}\left{S_{n}\right}是一个 MC,其转移概率由下式给出,

(米)p一世j=磷(小号米+1=j∣小号米=一世)=磷(X米+1=j−一世),一世,j=…,−2,−1,0,1,2,…
(非均匀随机游走)。
链表示粒子沿直线的随机游走,时间“跳跃”的幅度n由随机变量给出Xn. 如果X0is 表示粒子的初始位置,然后是它之后的位置n跳跃(有时n) 是(谁)给的小号n. 什么时候Xn的也是相同分布的,(n)p一世j=pj−一世在哪里pj =磷(Xn=j)。然后我们有一个均匀的随机游走(RW)。这种随机游走出现在波动理论中(离散或连续随机变量的总和)。在经典 RW 中,磷(Xn=+1)=p,p(Xn=−1)=q=1−p.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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