数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考| Rational Maps, Smooth Maps and Dimension

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代数几何是数学的一个分支,经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术,主要来自换元代数,以解决有关这些零点集的几何问题。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Field (mathematics) - Wikipedia
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考| Rational Maps, Smooth Maps and Dimension

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Definition of a Rational Map

For two algebraic varieties $X, Y$, a rational map from $X$ to $Y$ is morphism of varieties
$$
f: U \rightarrow Y
$$
where $U$ is a non-empty Zariski open subset of $X$. The rational map $f$ is considered equal to a rational map
$$
g: V \rightarrow Y
$$
if
$$
f(x)=g(x) \text { for all } x \in U \cap V
$$
Recall that (by irreducibility), a non-empty Zariski open set in a variety $X$ is dense which means that its complement does not contain any non-empty open set. This implies that for non-empty Zariski open sets $U, V \subseteq X, U \cap V$ is non-empty and Zariski open.

A rational map $f: X \rightarrow Y$ is called dominant if for $W \subseteq Y$ non-empty Zariski open, the inverse image $f^{-1}(W)$ is non-empty (note that it is by definition open).

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|The Category of Varieties and Dominant Rational Maps

One can consider the category whose objects are varieties, and morphisms are dominant rational maps. An isomorphism in this category is called a birational equivalence. A variety is called rational if it is birationally equivalent to an affine (equivalently, projective) space. Note also that any rational map of varieties that has an inverse as a rational map is necessarily dominant. This means that if we consider the larger category of varieties and all rational maps (not necessarily dominant), it has the same isomorphisms as the category of varieties and rational dominant maps.
Additionally, one sees that mapping
$$
X \mapsto K(X)
$$
where $X$ is a variety and $K(X)$ is its field of rational functions gives rise to an equivalence of categories between the category of varieties and rational dominant maps, and the opposite of the category of fields containing $\mathbb{C}$ which are finitely generated (as fields) over $\mathbb{C}$, and homomorphisms of $\mathbb{C}$-algebras (or, equivalently, homomorphisms of fields which fix $\mathbb{C}$ ). Such fields are sometimes known as function fields over $\mathbb{C}$. Functoriality follows from functoriality of the field of fractions with respect to injective homomorphisms of integral domains.

To go the other way, select, for a function field $K$ over $\mathbb{C}$, elements $x_{1}, \ldots x_{n}$ which generate $K$ as a field containing $\mathbb{C}$. This defines a map
$$
h: \mathbb{C}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \rightarrow K
$$
Then send $K$ to $Z(I)$ where $I$ is the kernel of $h$, i.e. the ideal of all polynomials $p$ such that $p(h)=0$. This is an affine variety since the ideal $I$ is prime (because the quotient by $I$, which is the image of $h$, is an integral domain). By definition, homomorphisms of fields give rise to rational maps, and the two constructions are inverse to each other.
In particular, a variety $X$ is rational if and only if
$$
K(X) \cong \mathbb{C}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
$$
as $\mathbb{C}$-agebras for some $n$. (Note: the right hand side means the field of rational functions on $A^{n}$, i.e. the field of fractions of the ring of polynomials $\mathbb{C}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$.) We also say that the field $K(X)$ is rational.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Standard Smooth Homomorphisms of Commutative Rings

A homomorphism of commutative rings
$$
f: A \rightarrow B
$$
is called standard smooth of dimension $k \geq 0$ if $f$ can be expressed as
$$
A \rightarrow A\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right) \cong B
$$
where $n=m+k$, the first homomorphism sends $a \in A$ to $a$, and $f_{i}$ are polynomials such that the ideal in
$$
A\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)
$$
generated by the determinants of the $m \times m$ submatrices of the Jacobi matrix
$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \
\cdots & \cdots & \cdots \
\frac{\partial f_{m 1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right)
$$
is $A\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$ (or, equivalently, contains 1$)$. This is equivalent to saying that the ideal in $A\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ generated by the determinants and $f_{1}, \ldots, f_{m}$ contains 1 . If $A$ is a field, this can be tested using Gröbner basis algorithm, which we will learn in the next Section.

Symmetry | Free Full-Text | A Hopf Algebra on Permutations Arising from  Super-Shuffle Product | HTML
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代数几何代写

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Definition of a Rational Map

对于两个代数簇X,是,有理图来自X到是是品种的态射
F:在→是
在哪里在是一个非空的 Zariski 开子集X. 理性地图F被认为等于有理图
G:在→是
如果
F(X)=G(X) 对全部 X∈在∩在
回想一下(通过不可约性),一个非空的 Zariski 开集X是稠密的,这意味着它的补集不包含任何非空开集。这意味着对于非空 Zariski 开集在,在⊆X,在∩在是非空的并且 Zariski 是开的。

一张理性的地图F:X→是如果为在⊆是非空 Zariski 打开,反向图像F−1(在)是非空的(注意它是根据定义打开的)。

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|The Category of Varieties and Dominant Rational Maps

可以考虑对象是变体的范畴,而态射是占主导地位的有理映射。此类中的同构称为双理等价。如果一个变体在双理性上等价于仿射(等价地,射影)空间,则称其为理性变体。还要注意,任何有理图的逆品种有理图必然占主导地位。这意味着,如果我们考虑更大的变种类别和所有有理图(不一定占优势),它与变种类别和有理占优势图具有相同的同构。
此外,人们看到映射
X↦ķ(X)
在哪里X是一个品种和ķ(X)是它的有理函数域导致了变种范畴和有理优势图之间的范畴等价,而与包含的域范畴相反C它们是有限生成的(作为字段)C, 和同态C-代数(或者,等价地,固定域的同态C)。这样的域有时被称为函数域C. 函子性源于分数域关于积分域的单射同态的函子性。

反之,为功能字段选择ķ超过C, 元素X1,…Xn产生ķ作为一个包含C. 这定义了一个地图
H:C[X1,…,Xn]→ķ
然后发送ķ到从(一世)在哪里一世是内核H,即所有多项式的理想p这样p(H)=0. 这是一个仿射变体,因为理想一世是素数(因为商由一世,这是图像H, 是一个积分域)。根据定义,场的同态产生有理映射,并且这两种构造是互逆的。
特别是各种X是理性的当且仅当
ķ(X)≅C(X1,…,Xn)
作为C- 一些人的年龄n. (注:右侧表示有理函数域一种n,即多项式环的分数域C[X1,…,Xn].) 我们也说这个领域ķ(X)是理性的。

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Standard Smooth Homomorphisms of Commutative Rings

交换环的同态
F:一种→乙
称为维度的标准光滑ķ≥0如果F可以表示为
一种→一种[X1,…,Xn]/(F1,…,F米)≅乙
在哪里n=米+ķ,第一个同态发送一种∈一种到一种, 和F一世是多项式,使得理想的
一种[X1,…,Xn]/(F1,…,F米)
由决定因素产生米×米Jacobi 矩阵的子矩阵
(∂F1∂X1⋯∂F1∂Xn ⋯⋯⋯ ∂F米1∂X1⋯∂F米∂Xn)
是一种[X1,…,Xn]/(F1,…,F米)(或者,等效地,包含 1). 这相当于说理想中的一种[X1,…,Xn]由行列式和F1,…,F米包含 1 。如果一种是一个场,这可以使用 Gröbner 基算法进行测试,我们将在下一节中学习。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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