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代数几何是数学的一个分支，经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术，主要来自换元代数，以解决有关这些零点集的几何问题。
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数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on an Affine Variety
Regular functions on an affine variety (or, more generally, an affine algebraic set) $X \subseteq \mathbb{A}{C}^{n}$ are also polynomials in the sense that they do not have a denominator. More precisely, we have $$ \mathbb{C}[X]=\mathbb{C}\left[x{1}, \ldots, x_{n}\right] / I(X)
$$
where $I(X)$ is the ideal of all polynomials which are 0 at every point of $X$. Recall that the division symbol in (1.4.3) denotes cosets, i.e. the elements of the ring (1.4.3) are cosets, which are sets of the form
$$
p+I(X)={p+q \mid q \in I(X)}
$$
Recall that cosets are the algebraic device for setting the elements of $I(X)$ equal to 0 in the ring (1.4.3), which is what we want, since they are constantly zero as functions on $X$.
To see that (1.4.3) is the correct formula for the ring of regular functions on $X$, first note that the right hand side of (1.4.3) maps injectively into the left hand side by the definition
of the ideal $I(X)$. To show that the map is onto, we need to show that if we cover $X$ with Zariski open sets $U_{i}$ in $\mathbb{A}{C}^{n}$ and exhibit rational functions $g{i} / h_{i}$ where $h_{i} \neq 0$ on $U_{i}, i \in S$, which such that $g_{i} / h_{i}=g_{j} / h_{j}$ on $U_{i} \cap U_{j} \cap X$, then there exists a polynomial $\phi$ which restricts to each $g_{i} / h_{i}$ on $U_{i} \cap X$. To this end, first note that we can assume that the set $S$ is finite. This is because by the Nullstellensatz,
$$
1 \in I(X)+\sum_{i \in S} I\left(\mathbb{A}{C}^{n} \backslash U{i}\right)
$$
and so the indexing set $S$ can be made finite, since only finite sums of elements are allowed. Suppose, then,
$$
S={1, \ldots, n}
$$
Now also by the Nullstellensatz, there exist polynomials $a_{1}, \ldots, a_{n}, q$ such that $q \in I(X)$ and
$$
a_{1} h_{1}+\cdots+a_{n} h_{n}+q=1
$$
Then one verifies that the polynomial
$$
\phi=a_{1} g_{1}+\cdots+a_{n} g_{n}
$$
restricts to $g_{i} / h_{i}$ on each of the Zariski open sets $U_{i} \cap X$ (See Exercise 4.)
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on the Complement of a Set of Zeros
Let $X$ be an affine variety and let $f \in \mathbb{C}[X]$. Then the complement $X \backslash Z(f)$ is a special kind of quasiaffine variety. (We will see later that, in some sense, “it is still affine,” although not according to our current definition.) We have
$$
\mathbb{C}[X \backslash Z(f)]=\mathbb{C}[X]\left[f^{-1}\right]=\mathbb{C}[X]\left[\frac{1}{f}\right]
$$
Note that it is alright to take the reciprocal of $f$, because $X \backslash Z(f)$ does not contain any zeros of $f$. This construction is a special case of localization $S^{-1} R=R\left[S^{-1}\right]$ of a ring $R$ with respect to a subset $1 \in S \subseteq R$ closed under multiplication. On the set of “fractions” $r / s$ (i.e., formally, pairs $(r, s)$ ) with $r \in R$ and $s \in S$, define an equivalence relation where $r_{1} / s_{1} \sim r_{2} / s_{2}$ when there exists some $t \in S$ such that $r_{1} s_{2} t=r_{2} s_{1} t$. The set of equivalence classes is $R\left[S^{-1}\right]$. In our case, we let $S$ be the set of all $f^{n}, n \in \mathbb{N}_{0}$. We can alternately describe
$$
R\left[f^{-1}\right]=R[t] /(f t-1)
$$
The proof of (1.4.5) is actually essentially the same as in Sect. 1.4.3, with the exception that we have
$$
a_{1} h_{1}+\cdots+a_{n} h_{n}=f^{N}
$$
for some natural number $N$ (which is true by the Nullstellensatz). We then put
$$
\phi=a_{1} g_{1} / f^{N}+\cdots+a_{n} g_{n} / f^{N}
$$
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on a Quasiaffine Variety
Let $0 \neq f_{1}, \ldots, f_{m} \in \mathbb{C}[X]$ where $X$ is an affine variety. Then
$$
\mathbb{C}\left[X \backslash Z\left(f_{1}, \ldots f_{m}\right)\right]=\mathbb{C}[X]\left[f_{1}^{-1}\right] \cap \cdots \cap \mathbb{C}[X]\left[f_{m}^{-1}\right]
$$
Note that the intersection on the right hand side of (1.4.6) is formed in the field of rational functions $K(X)$, which is the field of fractions of the ring $\mathbb{C}[X]$. The field of fractions $Q R$ of an integral domain $R$ is the localization with respect to the set of all non-zero elements, which is closed under multiplication because $R$ is an integral domain. Also, the canonical map $R \rightarrow Q R$ is injective, by cancellation. Conversely, a subring of a field (more generally an integral domain) is obviously an integral domain. Thus, integral domains are precisely those rings which are subrings of fields.
The reason $\mathbb{C}[X]$ is an integral domain is that $X$ is irreducible. Now we have
$$
X \backslash Z\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)=\bigcup_{i=1}^{m} X \backslash Z\left(f_{i}\right)
$$
Thus, we can characterize a regular function on $X \backslash Z\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$ by a collection of regular functions on $X \backslash Z\left(f_{i}\right)$ which coincide on intersections, but that is equivalent to coinciding in $K(X)$ since $\mathbb{C}[X]$, and hence also $\mathbb{C}[X]\left[f_{i}^{-1}\right]$, are integral domains. Thus, (1.4.6) follows.
代数几何代写
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on an Affine Variety
仿射变体（或更一般地，仿射代数集）上的正则函数X⊆一种Cn也是多项式，因为它们没有分母。更准确地说，我们有C[X]=C[X1,…,Xn]/一世(X)
在哪里一世(X)是所有多项式的理想，在每个点都为 0X. 回想一下（1.4.3）中的除法符号表示陪集，即环（1.4.3）的元素是陪集，它们是形式的集合
p+一世(X)=p+q∣q∈一世(X)
回想一下陪集是设置元素的代数设备一世(X)在环（1.4.3）中等于 0，这就是我们想要的，因为它们在函数上始终为零X.
看到 (1.4.3) 是正则函数环的正确公式X, 首先注意 (1.4.3) 的右侧通过定义单射映射到左侧
理想的一世(X). 为了显示地图在上面，我们需要表明，如果我们覆盖X与 Zariski 开集在一世在一种Cn并表现出有理函数G一世/H一世在哪里H一世≠0在在一世,一世∈小号, 这样G一世/H一世=Gj/Hj在在一世∩在j∩X，则存在多项式φ这限制了每个G一世/H一世在在一世∩X. 为此，首先注意我们可以假设集合小号是有限的。这是因为通过 Nullstellensatz，
1∈一世(X)+∑一世∈小号一世(一种Cn∖在一世)
所以索引集小号可以是有限的，因为只允许有限的元素和。假设，那么，
小号=1,…,n
现在也由 Nullstellensatz，存在多项式一种1,…,一种n,q这样q∈一世(X)和
一种1H1+⋯+一种nHn+q=1
然后验证多项式
φ=一种1G1+⋯+一种nGn
限于G一世/H一世在每个 Zariski 公开集上在一世∩X（见练习 4。）
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on the Complement of a Set of Zeros
让X是一个仿射变体并且让F∈C[X]. 然后补X∖从(F)是一种特殊的拟仿品种。（我们稍后会看到，在某种意义上，“它仍然是仿射的”，尽管不是根据我们当前的定义。）我们有
C[X∖从(F)]=C[X][F−1]=C[X][1F]
请注意，可以取倒数F， 因为X∖从(F)不包含任何零F. 这种结构是本地化的一个特例小号−1R=R[小号−1]一个戒指R关于一个子集1∈小号⊆R在乘法下闭合。关于“分数”的集合r/s（即，正式地，对(r,s)） 和r∈R和s∈小号，定义一个等价关系，其中r1/s1∼r2/s2当存在一些吨∈小号这样r1s2吨=r2s1吨. 等价类的集合是R[小号−1]. 在我们的例子中，我们让小号成为所有的集合Fn,n∈ñ0. 我们可以交替描述
R[F−1]=R[吨]/(F吨−1)
(1.4.5) 的证明实际上与 Sect. 1.4.3，除了我们有
一种1H1+⋯+一种nHn=Fñ
对于某个自然数ñ（Nullstellensatz 确实如此）。然后我们把
φ=一种1G1/Fñ+⋯+一种nGn/Fñ
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Regular Functions on a Quasiaffine Variety
让0≠F1,…,F米∈C[X]在哪里X是一个仿射变种。然后
C[X∖从(F1,…F米)]=C[X][F1−1]∩⋯∩C[X][F米−1]
注意(1.4.6)右边的交点是在有理函数域中形成的ķ(X)，这是环的分数域C[X]. 分数领域问R积分域的R是关于所有非零元素集合的局部化，它在乘法下是封闭的，因为R是一个积分域。此外，规范地图R→问R是单射的，通过取消。反之，一个域的子环（更一般地说是一个积分域）显然是一个积分域。因此，积分域正是那些作为域子环的环。
原因C[X]是一个积分域是X是不可约的。现在我们有
X∖从(F1,…,F米)=⋃一世=1米X∖从(F一世)
因此，我们可以刻画一个正则函数X∖从(F1,…,F米)通过一组常规函数X∖从(F一世)在交叉路口重合，但这相当于重合ķ(X)自从C[X]，因此也C[X][F一世−1], 是积分域。因此，(1.4.6) 如下。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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