物理代写|宇宙学代写cosmology代考| Special relativity — Minkowski geometry

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宇宙学是天文学的一个分支,涉及宇宙的起源和演变,从大爆炸到今天,再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|宇宙学代写cosmology代考| Special relativity — Minkowski geometry

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Geometry

The simplest example of a Riemannian geometry is Minkowski flat space-time. The basic geometric invariant in this space is the interval between two arbitrary points – events. There is a class of preferable coordinates (the Minkowski coordinates) $x^{\mu}$, and their each possible choice corresponds to a certain inertial reference frame (IRF). The summed force applied to a body at rest in a certain IRF is equal to zero, or, in other words, such a body moves by inertia, uniformly and straightly with respect to any other IRF. In any IRF, the squared four-dimensional “distance” (interval) between the events $1\left[x_{1}^{\mu}=\right.$ $\left.\left(c t_{1}, \vec{x}{1}\right)\right]$ and $2\left[x{2}^{\mu}=\left(c t_{2}, \vec{x}{2}\right)\right]$ is written in the form $$ s^{2}(1,2)=c^{2}\left(t{2}-t_{1}\right)^{2}-\left(\vec{x}{2}-\vec{x}{1}\right)^{2},
$$
where $c$ is a universal constant coinciding with the propagation velocity of electromagnetic waves (light, in particular) in vacuum and called the speed of light. For close events 1 and 2, the interval (2.1) can be written as
$$
d s^{2}=\eta_{\mu \nu} d x^{\mu} d x^{\nu}, \quad \mu=0,1,2,3,
$$
where the tensor with the covariant components
$$
\eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)
$$
is called the Minkowski metric tensor (the Minkowski metric). As usual, summing is assumed over repeated indices if one of them is covariant and the other contravariant. The matrix (2.3), together with its inverse matrix
$$
\eta^{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)
$$
of the contravariant components of the Minkowski tensor are used for raising and lowering vector and tensor indices, so that, e.g., for an arbitrary vector $a=\left(a^{\mu}\right)$ we have $a^{\mu}=\eta^{\mu \nu} a_{\nu}, a_{\mu}=\eta_{\mu \nu} a^{\nu}$. The Minkowski tensor defines a scalar product $(a b)$ of two arbitrary 4 -vectors $a^{\mu}$ and $b^{\mu}$ as follows:
$$
(a b)=\eta_{\mu \nu} a^{\mu} b^{\nu}=\eta^{\mu \nu} a_{\mu} b_{\nu}=a_{\mu} b^{\mu}=a^{\mu} b_{\mu} .
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Coordinate transformations

A transition from one IRF to another is described in the simplest way if the velocity $\vec{v}$ of the system $S^{\prime}$ with respect to the system $S$ is directed along one of the coordinate axes of the latter, for instance, along the axis $O x$, i.e., in the system $S$ the origin of the system $S^{\prime}$ moves according to the law $x=v t$. In this case, the coordinate transformation (the special Lorentz transformation) that leaves the interval (2.1) invariant, has the form
$$
x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}
$$
where the primed coordinates belong to the IRF $S^{\prime}$.
A general Lorentz transformation, connecting any two IRFs, includes a boost (a transition of the type (2.7) with a vector $\vec{v}$ of arbitrary direction) and an arbitrary rotation of the spatial coordinate axes. All Lorentz transformations form a six-parameter group called the Lorentz group. In addition to general Lorentz transformations, the interval (2.1) is invariant under space and time translations
$$
x^{\prime \mu}=x^{\mu}+a^{\mu}, \quad a^{\mu}=\text { const }
$$
forming the four-parameter group of translations. Thus the complete group of isometries (coordinate transformations leaving invariant the metric tensor contains ten parameters. It is called the Poincaré group.
The matrix of an arbitrary Lorentz transformation $A=\left(A_{\mu}^{\nu}\right)$ has the definitive property of pseudo-orthogonality. It is this property that expresses the invariance of the Minkowski metric under such transformations. Namely, let the coordinates $x^{\mu}$ of the system $S$ and the coordinates $y^{\mu}$ of the system $S^{\prime}$ be connected by the linear transformation
$$
x^{\mu}=A_{\alpha}^{\mu} y^{\alpha}+a^{\mu}, \quad A_{\alpha}^{\mu}, a^{\mu}=\text { const. }
$$
According to $(2.9), A_{\alpha}^{\mu}=\partial x^{\mu} / \partial y^{\alpha}$. Substituting $(2.9)$ to the expression for the interval $(2.2)$, we obtain
$$
d s^{2}=\eta_{\mu \nu} A_{\alpha}^{\mu} A_{\beta}^{\nu} d y^{\alpha} d y^{\beta}
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Kinematic effects

An analysis of the Lorentz transformations leads to the most important kinematic effects of SR. Thus, any motion of a point particle at any fixed time instant can be considered to be approximately inertial, so one can introduce an IRF $S^{\prime}$ in which the particle is at rest at this time instant. Assuming, without loss of generality, that the motion occurs along the axis $O x$, it is easy to find that the time increment $d t^{\prime}$ by a clock connected with the particle (and equal to $d s / c$ ) is related to the time increment $d t$ by the clock of the “laboratory” IRF $S$ according to
$$
d t^{\prime}=d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}
$$
Due to arbitrariness of choosing the axes, this formula is valid for a velocity of any direction, $\vec{v}=d \vec{x} / d t$. Consequently, for an arbitrary trajectory of motion $\vec{x}(t)$, the proper time interval $\tau$ of the particle (that is, the time elapsed according to a clock connected with the particle or any object whose size is insignificant) is determined by the relation
$$
\tau\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{1}{c} \int_{t_{1}}^{t_{2}} d s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \sqrt{1-v^{2}(t) / c^{2}},
$$
if the time $t_{1}$ to $t_{2}$ has elapsed at the clock of an observer at rest.
From (2.12) and (2.13) it follows that the proper time interval of a moving object is always smaller than the time between the same events from the viewpoint of an observer at rest. It is the so-called Lorentzian time slowing-down; it leads, in particular, to the famous twin paradox. If one of the twins is at rest (or moves slowly) in a certain IRF while the other travels with relativistic velocities and, having completed his closed trajectory, meets his brother, then, at their meeting, their ages will be different: the traveler will be younger than the home-sitter. It could seem that if one considers the situation in the RF where the traveler is at rest, the result should be the opposite. However, a careful analysis, taking into account the fact that the traveler must have changed his IRF at least three times (at acceleration, at turning back and at final deceleration) shows that his calculated age will be smaller than that of his brother. The paradox is explained by the asymmetry of the situation: the integral (2.13) turns out to be smaller for an object (or subject in the present case) that has carried out noninertial motion.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考| Special relativity — Minkowski geometry

宇宙学代考

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Geometry

黎曼几何最简单的例子是闵可夫斯基平面时空。这个空间中的基本几何不变量是两个任意点之间的间隔——事件。有一类优选坐标(Minkowski 坐标)Xμ,并且它们的每一个可能的选择都对应于某个惯性参考系(IRF)。在某个 IRF 中,施加在静止物体上的力的总和等于 0,或者换句话说,这样的物体通过惯性运动,相对于任何其他 IRF 匀速直线运动。在任何 IRF 中,事件之间的平方四维“距离”(间隔)1[X1μ= (C吨1,X→1)]和2[X2μ=(C吨2,X→2)]写在表格中

s2(1,2)=C2(吨2−吨1)2−(X→2−X→1)2,
在哪里C是一个与电磁波(尤其是光)在真空中的传播速度一致的普遍常数,称为光速。对于关闭事件 1 和 2,区间 (2.1) 可以写为

ds2=这μνdXμdXν,μ=0,1,2,3,
其中具有协变分量的张量

这μν=诊断⁡(1,−1,−1,−1)
称为 Minkowski 度量张量(Minkowski 度量)。像往常一样,如果其中一个是协变的而另一个是逆变的,则假定对重复索引进行求和。矩阵 (2.3) 及其逆矩阵

这μν=诊断⁡(1,−1,−1,−1)
Minkowski 张量的逆变分量的一部分用于提高和降低向量和张量索引,因此,例如,对于任意向量一个=(一个μ)我们有一个μ=这μν一个ν,一个μ=这μν一个ν. Minkowski 张量定义了一个标量积(一个b)两个任意 4 向量的一个μ和bμ如下:

(一个b)=这μν一个μbν=这μν一个μbν=一个μbμ=一个μbμ.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Coordinate transformations

以最简单的方式描述从一个 IRF 到另一个 IRF 的转换,如果速度在→系统的小号′关于系统小号沿后者的坐标轴之一指向,例如,沿轴○X,即在系统中小号系统的起源小号′依法行动X=在吨. 在这种情况下,保持区间 (2.1) 不变的坐标变换(特殊的洛伦兹变换)具有以下形式

X′=X−在吨1−在2/C2,是′=是,和′=和,吨′=吨−在X/C21−在2/C2
其中素坐标属于 IRF小号′.
连接任意两个 IRF 的一般洛伦兹变换包括一个 boost(类型为 (2.7) 的转换,带有一个向量)在→任意方向)和空间坐标轴的任意旋转。所有洛伦兹变换形成一个六参数群,称为洛伦兹群。除了一般的洛伦兹变换之外,区间 (2.1) 在空间和时间平移下是不变的

X′μ=Xμ+一个μ,一个μ= 常量 
形成四参数翻译组。因此,完整的等距组(保持度量张量不变的坐标变换包含十个参数。它称为庞加莱群。
任意洛伦兹变换的矩阵一个=(一个μν)具有确定性的伪正交性。正是这个性质表达了 Minkowski 度量在这种变换下的不变性。即,让坐标Xμ系统的小号和坐标是μ系统的小号′通过线性变换连接

Xμ=一个一个μ是一个+一个μ,一个一个μ,一个μ= 常量。 
根据(2.9),一个一个μ=∂Xμ/∂是一个. 替代(2.9)到区间的表达式(2.2), 我们获得

ds2=这μν一个一个μ一个bνd是一个d是b

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Kinematic effects

对洛伦兹变换的分析导致了 SR 最重要的运动学效应。因此,点粒子在任何固定时刻的任何运动都可以被认为是近似惯性的,因此可以引入 IRF小号′此时粒子处于静止状态。假设,不失一般性,运动沿轴发生○X,不难发现时间增量d吨′通过与粒子相连的时钟(等于ds/C) 与时间增量有关d吨以“实验室”IRF 的时钟为准小号根据

d吨′=d吨1−在2/C2
由于选择轴的任意性,该公式对任何方向的速度都有效,在→=dX→/d吨. 因此,对于任意运动轨迹X→(吨), 适当的时间间隔τ粒子的时间(即根据与粒子或任何大小无关紧要的物体相连的时钟所经过的时间)由关系确定

τ(吨1,吨2)=1C∫吨1吨2ds=∫吨1吨2d吨1−在2(吨)/C2,
如果时间吨1至吨2以静止的观察者的时钟已经过去。
从(2.12)和(2.13)可以看出,从静止的观察者看来,运动物体的正确时间间隔总是小于相同事件之间的时间。这就是所谓的洛伦兹时间减速;它尤其导致了著名的孪生悖论。如果双胞胎中的一个在某个 IRF 中处于静止状态(或缓慢移动),而另一个则以相对论速度旅行,并在完成他的封闭轨迹后遇到了他的兄弟,那么在他们的相遇中,他们的年龄将不同:旅行者会比家庭保姆年轻。看起来,如果考虑到 RF 中旅行者休息的情况,结果应该是相反的。然而,仔细分析,考虑到旅行者必须改变他的 IRF 至少 3 次(在加速时,在折返和最后减速时)表明他的计算年龄将小于他兄弟的年龄。悖论是由情况的不对称性来解释的:对于进行了非惯性运动的物体(或本例中的主体),积分 (2.13) 变得更小。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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