金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|ACTL20001

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|ACTL20001

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stochastic processes

The main objective of this book is to study certain families of stochastic (or random) processes in discrete time. There are two ways of seeing such objects:

  • as a sequence $\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ of real random variables;
  • as a single random variable $X$ taking values in the set of real sequences.
    The index $n$ represents time. Since $n \in \mathbb{N}$, we speak of processes in discrete time. In the rest of this book, unless indicated otherwise, we will only consider processes taking discrete real values. The notation $E$ thus denotes a finite or countable subset of $\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{P}(E)$, the set of subsets of $E$.

DEFINITION 1.18.-A stochastic process is a sequence $X=\left(X_{n}\right)_{\mathrm{n} \in \mathbb{N}}$ of random variables taking values in $(E, \mathcal{E})$. The process $X$ is then a random variable taking values in $\left(E^{\mathbb{N}}, \mathcal{E}^{\otimes} \mathrm{N}\right)$.

EXAMPLE 1.22.- A coin is tossed an infinite number of times. This experiment is modeled by $\Omega={T, H}^{\mathbb{N}^{}}$. For $n \in \mathbb{N}^{}$, consider the mappings $X_{n}$ to $\Omega$ in $\mathbb{R}$ defined by
$$
X_{n}\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}, \ldots\right)=\mathbb{1}{{T}}\left(\omega{n}\right),
$$
the number of tails at the nth toss. Therefore, $X_{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$ are discrete, real random variables and the sequence $X=\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ is a stochastic process.

DEfINITION 1.19.- Let $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process. For all $n \in \mathbb{N}$, the distribution of the vector $\left(X{0}, X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ is denoted by $\mu_{n}$. The probability distributions $\left(\mu_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ are called finite-dimensional distributions or finite-dimensional marginal distributions of the process $X=\left(X{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$.

PROPOSITION 1.10. – Let $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process and let $\left(\mu{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be its finite-dimensional distributions. Then, for all $n \in \mathbb{N}^{*}$ and $\left(A{0}, \ldots, A_{n-1}\right) \in \mathcal{E}^{n}$, we have
$$
\mu_{n-1}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1}\right)=\mu_{n}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1} \times E\right)
$$
In other words, the restriction of the marginal distribution of the vector $\left(X_{0}, \ldots, X_{n}\right)$ to its first $n$ coordinates is exactly the distribution of the vector $\left(X_{0}, \ldots, X_{n-1}\right)$
PROOF.- This proof directly follows from the definition of the objects. We have
$$
\begin{aligned}
\mu_{n-1}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1}\right) &=\mathbb{P}\left(X_{0} \in A_{0}, \ldots, X_{n-1} \in A_{n-1}\right) \
&=\mathbb{P}\left(X_{0} \in A_{0}, \ldots, X_{n-1} \in A_{n-1}, X_{n} \in E\right) \
&=\mu_{n}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1} \times E\right),
\end{aligned}
$$
and hence, the desired equality.
Indeed, this property completely characterizes the distribution of the process $X$ according to the following theorem.

THEOREM $1.4$ (Kolmogorov).-The canonical space $(\Omega, \mathcal{F})$ is defined in the following manner. Let $\Omega=E^{\mathbb{N}}$. The coordinate mappings $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ are defined by $X{n}(\omega)=\omega_{n}$ for any $\omega=\left(\omega_{n}\right){n \in \mathbb{N}} \in \Omega$ and we write $\mathcal{F}=\sigma\left(X{n}, n \in \mathbb{N}\right)$. Let $\left(\mu_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a family of probability distributions such that 1) for any $n \in \mathbb{N}, \mu{n}$ is defined on $\left(E^{n+1}, \mathcal{E}^{\otimes(n+1)}\right)$,
2) for any $n \in \mathbb{N}^{*}$ and $\left(A_{0}, \ldots, A_{n-1}\right) \in \mathcal{E}^{n}$, we have $\mu_{n-1}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1}\right)=$ $\mu_{n}\left(A_{0} \times \ldots \times A_{n-1} \times E\right)$.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Conditional probability with respect to an event

Conditional probability accounts for the information brought in by the occurrence of one event on the probability of the occurrence of another event.

DEFINITION 2.1.-Let $B \in \mathcal{F}$ such that $\mathbb{P}(B)>0$. The conditional probability of the event $A$ given the event $B$ is the number
$$
\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}
$$

EXAMPLE 2.1.- There are two roads to go from city $A$ to city $B$ and two roads from city $B$ to city $C$. Each of these roads is blocked by snow, with a probability $p$, independently of the others. We wish to find the probability that there is a practicable road from $A$ to $B$ given that it is not possible to travel between $A$ and $C$. We introduce the following events
$A B$ : at least one road is open between $A$ and $B$,
$B C$ : at least one road is open between $B$ and $C$.
We have $\mathbb{P}(A B)=\mathbb{P}(B C)=1-p^{2}$ since the two possible roads are blocked independently of one another. Further, the events $A B$ and $B C$ are independent. We wish to find $\mathbb{P}\left(A B \mid(A B \cap B C)^{\mathrm{c}}\right)$. We have, using independence,
$$
\mathbb{P}\left(A B \mid(A B \cap B C)^{c}\right)=\frac{\mathbb{P}\left(A B \cap(A B \cap B C)^{c}\right)}{\mathbb{P}\left((A B \cap B C)^{c}\right)}
$$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{\mathbb{P}\left(A B \cap\left(A B^{c} \cup B C^{c}\right)\right)}{1-\mathbb{P}(A B \cap B C)} \
&=\frac{\mathbb{P}\left(\left(A B \cap A B^{c}\right) \cup\left(A B \cap B C^{c}\right)\right)}{1-\mathbb{P}(A B) \mathbb{P}(B C)}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{\mathbb{P}\left(A B \cap B C^{c}\right)}{1-\mathbb{P}(A B) \mathbb{P}(B C)} \
&=\frac{\mathbb{P}(A B) \mathbb{P}\left(B C^{c}\right)}{1-\mathbb{P}(A B) \mathbb{P}(B C)} \
&=\frac{\left(1-p^{2}\right) p^{2}}{1-\left(1-p^{2}\right)^{2}}
\end{aligned}
$$
The probability that there is a practicable route from $A$ to $B$ given that we cannot travel between $A$ and $C$ is thus $\frac{\left(1-p^{2}\right) p^{2}}{1-\left(1-p^{2}\right)^{2}}$.

PROPOSITION 2.1.- Let $B \in \mathcal{F}$ such that $\mathbb{P}(B)>0$. The mapping $\mathbb{P}(\cdot \mid B)$ from $\mathcal{F}$ to $\mathbb{R}^{+}$defined by
$$
A \longmapsto \mathbb{P}(A \mid B)
$$
is a probability over $(\Omega, \mathcal{F})$. It is called the conditional distribution given $B$.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Conditional expectation

The theorem given below broadens the definition of conditional expectation when we condition with respect to a $\sigma$-algebra.

THEOREM 2.1.-Let $X$ be a random variable in $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ and let $\mathcal{G}$ be a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$. Then, there exists a unique random variable $Y \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ such that
1) $Y$ is $\mathcal{G}$-measurable;
2) for any $A \in \mathcal{G}$, we have $\mathbb{E}\left[X \mathbb{1}{A}\right]=\mathbb{E}\left[Y \mathbb{1}{A}\right]$.

The unicity is intended almost surely, that is, if two random variables $Y$ and $Z$ satisfy the above properties, then $\mathbb{P}(Y=Z)=1$. Informally, $Y$ is a random, $\mathcal{G}$-measurable variable, which resembles $X$ in the sense that it coincides with $X$ on $\mathcal{G}$. In a sense, which will be explained in detail in section $2.3$, it is the best approximation of $X$ that is $\mathcal{G}$-measurable. In other words, $Y$ is the best prediction of $X$ when the quantity of information revealed by the $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$ is available.
PROOF. – Existence and unicity are demonstrated separately.
Existence: first case: assume that $X \geq 0$. We apply the Radon-Nykodym theorem 1 with $\mu=\mathbb{P}$ which is a measure on the probability space $(\Omega, \mathcal{G})$ since $\mathcal{G}$ is a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$. As regards $\nu$, consider the measure defined over $(\Omega, \mathcal{G})$ by:
$$
\forall B \in \mathcal{G}, \nu(B)=\mathbb{E}\left[X \mathbb{1}{B}\right]=\int{B} X d \mathbb{P}
$$
We then have $\nu \ll \mu$. Indeed, we have
$$
\mathbb{P}(A)=0 \Longrightarrow \mathbb{1}{A}=0 \mathbb{P}-a . s . \Longrightarrow X \mathbb{1}{A}=0 \mathbb{P}-\text { a.s. } \Longrightarrow \nu(A)=0 .
$$
Thus, using the Radon-Nykodym theorem, there exists a function $Y$ that is $\mathcal{G}$-measurable (i.e. a random $\mathcal{G}$-measurable variable $Y$ ), such that for any $A \in \mathcal{G}$, we have $\nu(A)=\int_{A} Y d \mathbb{P}$, which translates into the desired equality $\mathbb{E}\left[X \mathbb{1}{A}\right]=\mathbb{E}\left[Y \mathbb{1}{A}\right]$.
Second case: if the random variable $X$ has any sign, it is decomposed as the difference of its positive part and its negative part: $X=X^{+}-X^{-}$, where
$$
X^{+}=\max (X, 0) \text { and } X^{-}=\max (-X, 0)
$$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|ACTL20001

金融数学代考

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stochastic processes

本书的主要目的是研究离散时间中的某些随机(或随机)过程族。有两种查看此类对象的方法:

  • 作为一个序列(Xn)n∈ñ真实随机变量;
  • 作为单个随机变量X取实数序列集中的值。
    指数n代表时间。自从n∈ñ,我们说的是离散时间的过程。在本书的其余部分,除非另有说明,否则我们将只考虑采用离散实数值的过程。符号和因此表示一个有限的或可数的子集R和和=磷(和),子集的集合和.

定义 1.18.-随机过程是一个序列X=(Xn)n∈ñ随机变量取值(和,和). 过程X然后是一个随机变量,取值(和ñ,和⊗ñ).

示例 1.22.- 一枚硬币被抛无限次。该实验由Ω=吨,Hñ. 为了n∈ñ, 考虑映射Xn至Ω在R被定义为

Xn(ω1,ω2,…,ωn,…)=1吨(ωn),
第 n 次投掷的反面数。所以,Xn,n∈ñ∗是离散的真实随机变量和序列X=(Xn)n∈ñ是一个随机过程。

定义 1.19.- 让X=(Xn)n∈ñ是一个随机过程。对所有人n∈ñ, 向量的分布(X0,X1,…,Xn)表示为μn. 概率分布(μn)n∈ñ被称为过程的有限维分布或有限维边际分布X=(Xn)n∈ñ.

提案 1.10。- 让X=(Xn)n∈ñ是一个随机过程,让(μn)n∈ñ是它的有限维分布。那么,对于所有人n∈ñ∗和(一个0,…,一个n−1)∈和n, 我们有

μn−1(一个0×…×一个n−1)=μn(一个0×…×一个n−1×和)
换句话说,向量的边缘分布的限制(X0,…,Xn)到它的第一个n坐标正是向量的分布(X0,…,Xn−1)
证明-这个证明直接来自对象的定义。我们有

μn−1(一个0×…×一个n−1)=磷(X0∈一个0,…,Xn−1∈一个n−1) =磷(X0∈一个0,…,Xn−1∈一个n−1,Xn∈和) =μn(一个0×…×一个n−1×和),
因此,期望的平等。
事实上,这个性质完全表征了过程的分布X根据以下定理。

定理1.4(Kolmogorov).-规范空间(Ω,F)定义如下。让Ω=和ñ. 坐标映射(Xn)n∈ñ定义为Xn(ω)=ωn对于任何ω=(ωn)n∈ñ∈Ω我们写F=σ(Xn,n∈ñ). 让(μn)n∈ñ是一个概率分布族,使得 1) 对于任何n∈ñ,μn定义在(和n+1,和⊗(n+1)),
2) 对于任何n∈ñ∗和(一个0,…,一个n−1)∈和n, 我们有μn−1(一个0×…×一个n−1)= μn(一个0×…×一个n−1×和).

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Conditional probability with respect to an event

条件概率解释了一个事件的发生所带来的关于另一事件发生的概率的信息。

定义 2.1.-让乙∈F这样磷(乙)>0. 事件的条件概率一个鉴于事件乙是数字

磷(一个∣乙)=磷(一个∩乙)磷(乙)

例 2.1.- 从城市出发有两条路一个到城市乙和城市的两条路乙到城市C. 这些道路中的每一条都被雪挡住了p,独立于其他人。我们希望找到一条可行的道路的概率一个至乙鉴于无法往返于一个和C. 我们介绍以下活动
一个乙: 至少有一条路在两者之间是开放的一个和乙,
乙C: 至少有一条路在两者之间是开放的乙和C.
我们有磷(一个乙)=磷(乙C)=1−p2因为两条可能的道路相互独立地被封锁。此外,事件一个乙和乙C是独立的。我们希望找到磷(一个乙∣(一个乙∩乙C)C). 我们有,使用独立性,

磷(一个乙∣(一个乙∩乙C)C)=磷(一个乙∩(一个乙∩乙C)C)磷((一个乙∩乙C)C)

=磷(一个乙∩(一个乙C∪乙CC))1−磷(一个乙∩乙C) =磷((一个乙∩一个乙C)∪(一个乙∩乙CC))1−磷(一个乙)磷(乙C)

=磷(一个乙∩乙CC)1−磷(一个乙)磷(乙C) =磷(一个乙)磷(乙CC)1−磷(一个乙)磷(乙C) =(1−p2)p21−(1−p2)2
有一条可行路线的概率一个至乙鉴于我们不能在两者之间旅行一个和C因此是(1−p2)p21−(1−p2)2.

提议 2.1.- 让乙∈F这样磷(乙)>0. 映射磷(⋅∣乙)从F至R+被定义为

一个⟼磷(一个∣乙)
是一个概率(Ω,F). 它被称为给定的条件分布乙.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Conditional expectation

下面给出的定理拓宽了条件期望的定义,当我们对一个σ-代数。

定理 2.1.-让X成为随机变量大号1(Ω,F,磷)然后让G成为一个子σ- 代数F. 那么,存在一个唯一的随机变量是∈大号1(Ω,F,磷)这样
1)是是G- 可测量的;
2) 对于任何一个∈G, 我们有 $\mathbb{E}\left[X \mathbb{1} {A}\right]=\mathbb{E}\left[Y \mathbb{1} {A}\right]$。

唯一性几乎肯定是有意的,也就是说,如果两个随机变量是和从满足以上性质,则磷(是=从)=1. 非正式地,是是随机的,G- 可测量变量,类似于X从某种意义上说,它与X上G. 从某种意义上说,这将在一节中详细说明2.3, 是最好的近似X那是G- 可测量的。换句话说,是是最好的预测X当披露的信息量σ-代数G可用。
证明。——存在性和唯一性分别论证。
存在:第一种情况:假设X≥0. 我们应用 Radon-Nykodym 定理 1μ=磷这是概率空间的度量(Ω,G)自从G是一个子σ- 代数F. 至于ν, 考虑定义的度量(Ω,G)经过:

∀乙∈G,ν(乙)=和[X1乙]=∫乙Xd磷
然后我们有ν≪μ. 确实,我们有

磷(一个)=0⟹1一个=0磷−一个.s.⟹X1一个=0磷− 作为 ⟹ν(一个)=0.
因此,使用 Radon-Nykodym 定理,存在一个函数是那是G- 可测量(即随机G- 可测量的变量是),这样对于任何一个∈G, 我们有ν(一个)=∫一个是d磷,这转化为期望的平等和[X1一个]=和[是1一个].
第二种情况:如果随机变量X有任何符号,则分解为其正负部分之差:X=X+−X−, 在哪里

X+=最大限度(X,0) 和 X−=最大限度(−X,0)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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