金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATHS 1009

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATHS 1009

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|σ-algebra generated by a random variable

We now define the $\sigma$-algebra generated by a random variable. This concept is important for several reasons. For instance, it can make it possible to define the independence of random variables. It is also at the heart of the definition of conditional expectations; see Chapter 2 .

PROPOSITION 1.6. – Let $X$ be a real random variable, defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$. Then, $\mathcal{F}{X}=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; A \in \mathcal{E}\right}$ is a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$ on $\Omega$. This is called the $\sigma$-algebra generated by the random variable $X$. It is written as $\sigma(X)$. It is the smallest $\sigma$-algebra on $\Omega$ that makes $X$ measurable: $$ \sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})} $$ EXAMPLE 1.19.- Let $\mathcal{F}{0}={\emptyset, \Omega}$ and $X=c \in \mathbb{R}$ be a constant. Then, for any Borel set $B$ in $\mathbb{R},(X \in B)$ has the value $\emptyset$ if $c \notin B$ and $\Omega$ if $c \in B$. Thus, the $\sigma$-algebra generated by $X$ is $\mathcal{F}{0}$. Reciprocally, it can be demonstrated that the only $\mathcal{F}{0}$-measurable random variables are the constants. Indeed, let $X$ be a $\mathcal{F}{0}$-measurable random variable. Assume that it takes at least two different values, $x$ and $y$. It may be assumed that $y \geq x$ without loss of generality. Therefore, let $B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]$. We have that $(X \in B)$ is non-empty because $x \in B$ but is not $\Omega$ since $y \notin B$. Therefore, $X$ is not $\mathcal{F}{0}$-measurable.

PROPOSITION 1.7.-Let $X$ be a random variable on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$ and let $\sigma(X)$ be the $\sigma$-algebra generated by $X$. Thus, a random variable $Y$ is $\sigma(X)$-measurable if and only if there exists a measurable function $f$ such that $Y=f(X)$.

This technical result will be useful in certain demonstrations further on in the text. In general, if it is known that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable, we cannot (and do not need to) make explicit the function $f$. Reciprocally, if $Y$ can be written as a measurable function of $X$, it automatically follows that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable.

EXAMPLE 1.20.- A die is rolled 2 times. This experiment is modeled by $\Omega={1,2,3,4,5,6}^{2}$ endowed with the $\sigma$-algebra of its subsets and the uniform distribution. Consider the mappings $X_{1}, X_{2}$ and $Y$ from $\Omega$ onto $\mathbb{R}$ defined by
$$
\begin{aligned}
&X_{1}\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=\omega_{1} \
&X_{2}\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=\omega_{2} \
&Y\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=\mathbb{1}{{2,4,6}}\left(\omega{1}\right)
\end{aligned}
$$
thus, $X_{i}$ is the result of the ith roll and $Y$ is the parity indicator of the first roll. Therefore, $Y=\mathbb{1}{{2,4,6}}\left(X{1}\right)$; thus, $Y$ is $\sigma\left(X_{1}\right)$-measurable. On the other hand, $Y$ cannot be written as a function of $X_{2}$.

The $\sigma$-algebra generated by $X$ represents all the events that can be observed by drawing $X$. It represents the information revealed by $X$.
DEFINITION 1.14.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space.

  • Let $X$ and $Y$ be two random variables on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $\left(E_{1}, \mathcal{E}{1}\right)$ and $\left(E{2}, \mathcal{E}_{2}\right)$. Then, $X$ and $Y$ are said to be independent if the $\sigma$-algebras $\sigma(X)$ and $\sigma(Y)$ are independent.
  • Any family $\left(X_{i}\right){i \in I}$ of random variables is independent if the $\sigma$-algebras $\sigma\left(X{i}\right)$ are independent.
  • Let $\mathcal{G}$ be a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$, and let $X$ be a random variable. Then, $X$ is said to be independent of $\mathcal{G}$ if $\sigma(X)$ is independent of $\mathcal{G}$ or, in other words, $\forall A \in \mathcal{G}, X$ and $\mathbb{1}_{A}$ are independent.

Proposition 1.8.- If $X$ and $Y$ are two integrable and independent random variables, then their product $X Y$ is integrable and $\mathbb{E}[X Y]=\mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]$.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random vectors

We will now more closely study random variables taking values in $\mathbb{R}^{d}$, with $d \geq 2$. This concept has already been defined in Definition 1.9. We will now look at the

relations between the random vector and its coordinates. When $d=2$, we then speak of a random couple.

PROPOSITION 1.9.-Let $X$ be a real random vector on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, taking values in $\mathbb{R}^{d}$. Then,
$$
X(w)=\left(\begin{array}{c}
X_{1}(w) \
\vdots \
X_{n}(w)
\end{array}\right)
$$
is such that for any $i \in{1, \ldots, d}, X_{i}$ is a real random variable.
DEFINITION 1.15.-A random vector is said to be discrete if each of its components, $X_{i}$, is a discrete random variable.
DEFINITION 1.16.- Let $X=\left(\begin{array}{c}X_{1} \ X_{2}\end{array}\right)$ be a discrete random couple such that
$$
X_{1}(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_{1}\right} \text { et } X_{2}(\Omega)=\left{x_{2 k}, k \in I_{2}\right}
$$
The conjoint distribution (or joint distribution or, simply, the distribution) of $X$ is given by the family
$$
\left{\mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}, X_{2}=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_{1} \times I_{2}\right} .
$$
The marginal distributions of $X$ are the distributions of $X_{1}$ and $X_{2}$. These distributions may be derived from the conjoint distribution of $X$ through:
$$
\forall j \in I_{1}, \quad \mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_{2}} \mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}, X_{2}=x_{2 k}\right)
$$
and
$$
\forall k \in I_{2}, \quad \mathbb{P}\left(X_{2}=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_{1}} \mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}, X_{2}=x_{2 k}\right)
$$
The concept of joint distributions and marginal distributions can naturally be extended to vectors with dimension larger than 2 .

EXAMPLE 1.21.- A coin is tossed 3 times, and the result is noted. The universe of possible outcomes is $\Omega={T, H}^{3}$. Let $X$ denote the total number of tails obtained and $Y$ denote the number of tails obtained at the first toss. Then,
$$
X(\Omega)={0,1,2,3} \text { and } Y(\Omega)={0,1} .
$$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

To conclude this section on random variables, we will review some classic results of convergence for sequences of random variables. Throughout the rest of this book, the abbreviation $r v$. signifies random variable.
DEFINITION 1.17.- Let $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ and $X$ be rv.s defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 1) It is assumed that there exists $p>0$ such that, for any $n \geq 0, \mathbb{E}\left[\left|X{n}\right|^{p}\right]<\infty$, and $\mathbb{E}\left[|X|^{p}\right]<\infty$. It is said that the sequence of random variables $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ converges on the average of the order $p$ or converges in $L^{p}$ towards $X$, if $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{p}\right]=0
$$
We then write $X_{n} \stackrel{L^{P}}{\longrightarrow} X$. In the specific case where $p=2$, we say there is $a$ convergence in quadratic mean.

2) The sequence of $r v .\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ is called almost surely (a.s.) convergent towards $X$, if $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(w \in \Omega ; \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(w)=X(w)\right)=1 .
$$
We then write $X_{n} \stackrel{a . s .}{\longrightarrow} X$.
THEOREM $1.1$ (Monotone convergence theorem).-Let $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ be a sequence of positive and non-decreasing random variables and let $X$ be an integrable random variable, all of these defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If $\left(X{n}\right)$ converges almost surely to $X$, then
$$
\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X{n}\right]=\mathbb{E}[X]
$$
THEOREM $1.2$ (Dominated convergence theorem).-Let $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ be a sequence of random variables and let $X$ be another random variable, all defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If the sequence $\left(X{n}\right)$ converges to $X$ a.s., and for any $n \geq 1,\left|X_{n}\right| \leq Z$, where $Z$ is an integrable random variable, then $X_{n} \stackrel{L^{1}}{\longrightarrow} X$ and, in particular,
$$
\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X{n}\right]=\mathbb{E}[X]
$$
THEOREM $1.3$ (Strong law of large numbers).-Let $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ be a sequence of integrable, independent random variables from the same distribution. Then, $$ \frac{X{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow}} \mathbb{E}\left[X_{1}\right] .
$$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATHS 1009

金融数学代考

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|σ-algebra generated by a random variable

我们现在定义σ- 由随机变量生成的代数。这个概念很重要,有几个原因。例如,它可以定义随机变量的独立性。它也是条件期望定义的核心;见第 2 章。

提案 1.6。- 让X是一个真正的随机变量,定义在(Ω,F,磷)取值(和,和). 然后,\mathcal{F}{X}=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; 一个 \in \mathcal{E}\right}\mathcal{F}{X}=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; 一个 \in \mathcal{E}\right}是一个子σ- 代数F上Ω. 这被称为σ- 由随机变量生成的代数X. 它写成σ(X). 它是最小的σ-代数开Ω这使得X可测量的:

\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})}\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})}例 1.19.- 让F0=∅,Ω和X=C∈R成为一个常数。那么,对于任何 Borel 集乙在R,(X∈乙)有价值∅如果C∉乙和Ω如果C∈乙. 就这样σ- 代数由X是F0. 反过来,可以证明只有F0- 可测量的随机变量是常数。确实,让X做一个F0- 可测量的随机变量。假设它至少需要两个不同的值,X和是. 可以假设是≥X不失一般性。因此,让乙=[X,X+是2]. 我们有那个(X∈乙)是非空的,因为X∈乙但不是Ω自从是∉乙. 所以,X不是F0- 可测量的。

命题 1.7.-让X是一个随机变量(Ω,F,磷)取值(和,和)然后让σ(X)成为σ- 代数由X. 因此,一个随机变量是是σ(X)-measurable 当且仅当存在可测量函数F这样是=F(X).

该技术结果将在本文后面的某些演示中有用。一般来说,如果已知是是σ(X)- 可测量的,我们不能(也不需要)明确函数F. 反过来,如果是可以写成一个可测量的函数X, 它自动遵循是是σ(X)- 可测量的。

示例 1.20.- 一个模具被滚动 2 次。该实验由Ω=1,2,3,4,5,62被赋予σ-其子集的代数和均匀分布。考虑映射X1,X2和是从Ω到R被定义为

X1(ω1,ω2)=ω1 X2(ω1,ω2)=ω2 是(ω1,ω2)=12,4,6(ω1)
因此,X一世是第 i 次滚动的结果,并且是是第一卷的奇偶性指标。所以,是=12,4,6(X1); 因此,是是σ(X1)- 可测量的。另一方面,是不能写成X2.

这σ- 代数由X表示通过绘图可以观察到的所有事件X. 它代表了所揭示的信息X.
定义 1.14.-让(Ω,F,磷)是一个概率空间。

  • 让X和是是两个随机变量(Ω,F,磷)取值(和1,和1)和(和2,和2). 然后,X和是如果σ-代数σ(X)和σ(是)是独立的。
  • 任何家庭(X一世)一世∈我的随机变量是独立的,如果σ-代数σ(X一世)是独立的。
  • 让G成为一个子σ- 代数F, 然后让X是一个随机变量。然后,X据说独立于G如果σ(X)独立于G或者,换句话说,∀一个∈G,X和1一个是独立的。

命题 1.8.- 如果X和是是两个可积且独立的随​​机变量,那么它们的乘积X是是可积的并且和[X是]=和[X]和[是].

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random vectors

我们现在将更仔细地研究取值的随机变量Rd, 和d≥2. 这个概念已经在定义 1.9 中定义。我们现在来看看

随机向量与其坐标之间的关系。什么时候d=2,然后我们谈论随机一对。

命题 1.9.-让X是概率空间上的实随机向量(Ω,F,磷), 取值Rd. 然后,

X(在)=(X1(在) ⋮ Xn(在))
是这样的,对于任何一世∈1,…,d,X一世是一个真正的随机变量。
定义 1.15.-如果随机向量的每个分量,则称其为离散向量,X一世, 是离散随机变量。
定义 1.16.- 让X=(X1 X2)是离散的随机对,使得

X_{1}(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_{1}\right} \text { et } X_{2}(\Omega)=\left{x_{2 k} , k \in I_{2}\right}X_{1}(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_{1}\right} \text { et } X_{2}(\Omega)=\left{x_{2 k} , k \in I_{2}\right}
的联合分布(或联合分布,或者简单地说,分布)X是家人给的

\left{\mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}, X_{2}=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_{1} \times I_ {2}\右} 。\left{\mathbb{P}\left(X_{1}=x_{1 j}, X_{2}=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_{1} \times I_ {2}\右} 。
的边际分布X是的分布X1和X2. 这些分布可以从联合分布推导出来X通过:

∀j∈我1,磷(X1=X1j)=∑ķ∈我2磷(X1=X1j,X2=X2ķ)

∀ķ∈我2,磷(X2=X2ķ)=∑j∈我1磷(X1=X1j,X2=X2ķ)
联合分布和边际分布的概念自然可以扩展到维数大于 2 的向量。

例 1.21.- 掷硬币 3 次,并记下结果。可能结果的范围是Ω=吨,H3. 让X表示获得的尾巴总数和是表示第一次投掷时获得的尾巴数。然后,

X(Ω)=0,1,2,3 和 是(Ω)=0,1.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

为了结束关于随机变量的这一部分,我们将回顾一些经典的随机变量序列收敛结果。在本书的其余部分,缩写r在. 表示随机变量。
定义 1.17.- 让(Xn)n≥1和X定义为 rv.s(Ω,F,磷). 1)假设存在p>0这样,对于任何n≥0,和[|Xn|p]<∞, 和和[|X|p]<∞. 据说随机变量的序列(Xn)n≥1收敛于订单的平均值p或收敛于大号p向X, 如果

林n→∞和[|Xn−X|p]=0
然后我们写Xn⟶大号磷X. 在具体情况下p=2, 我们说有一个收敛于二次均值。

2) 顺序r在.(Xn)n≥1几乎可以肯定地被称为 (as) 收敛于X, 如果

林n→∞磷(在∈Ω;林n→∞Xn(在)=X(在))=1.
然后我们写Xn⟶一个.s.X.
定理1.1(单调收敛定理).-让(Xn)n≥1是一系列正且非递减的随机变量,并让X是一个可积的随机变量,所有这些都定义在同一个概率空间上(Ω,F,磷). 如果(Xn)几乎肯定会收敛到X, 然后

林n→+∞和[Xn]=和[X]
定理1.2(支配收敛定理).-让(Xn)n≥1是一个随机变量序列,让X是另一个随机变量,都定义在同一个概率空间上(Ω,F,磷). 如果序列(Xn)收敛到X作为,对于任何n≥1,|Xn|≤从, 在哪里从是一个可积的随机变量,那么Xn⟶大号1X特别是,

林n→+∞和[Xn]=和[X]
定理1.3(大数强定律)-让(Xn)n≥1是来自同一分布的可积的独立随机变量序列。然后,

X1+X2+⋯+Xnn⟶ 作为 n→∞和[X1].

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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