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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Steady-State Analysis
The goal of a steady-state analysis is to find possible steady states, which can be
- A stationary trajectory (unknown variables are constant in time) or
- A balanced growth path (all variables grow at the same constant rate).
The steady-state analysis plays an important role in economics and is mathematically simpler than a complete dynamic analysis.
Let us find and analyze possible balanced growth paths in the model $(2.31)-(2.35)$. It is easy to see that the original variables $Q(t), C(t), I(t)$, and $K(t)$
of the model grow with the same rate only if the capital-labor ratio $k(t)$ is constant. Indeed, substituting $k=$ const into $(2.33),(2.32)$, and (2.35), we obtain
$$
\begin{aligned}
&K(t)=k L(t), \quad I(t)=(\mu+\eta) K(t), \quad Q(t)=(\mu+\eta) K(t) / s \
&C(t)=Q(t)-I(t),
\end{aligned}
$$
i.e., all these functions increase with the same rate $\eta$ as the labor $L(t)=L_{0} \exp$ ( $\eta t)$. Therefore, to find steady states, we should assume $k(t)=$ const. Then $k^{\prime}(t)=0$ and the equation ( $2.36$ ) produces the equation
$$
s f(k)=(\mu+\eta) k
$$
for possible steady states $k \equiv$ const. Because $f(0)=0, f^{\prime}(k)>0, \lim {k \rightarrow 0} f^{\prime}(k)=\infty$, and $\lim {k \rightarrow \infty} f^{\prime}(k)=0$, the equation $(2.38$ ) has a unique solution $\hat{k}=\hat{k}(s)=$ const $>0$ for any given value $s>0$. The steady-state capital-labor ratio $\hat{k}(s)$ increases when the saving rate $s$ increases.
数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Static Optimization
For a given saving rate $s$, the steady-state consumption per capita $c=C / L$ is determined by the formula
$$
c(s)=f(\hat{k}(s))-(\mu+h) \hat{k}(s)
$$
where the corresponding steady-state capital-labor ratio $\hat{k}(s)$ is determined by (2.38). Because $f(0)=0, f^{\prime}(k)>0$ and $f^{\prime \prime}(k)<0$, the composite function (2.39) increases for smaller values of $s$ and decreases for larger $s$.
Then, we can determine the saving rate $s^{}=$ const and the corresponding steady-state $k^{}=\hat{k}\left(s^{}\right)$ that maximizes the consumption per capita (2.39): $$ \max _{0}$ should satisfy
$$
f^{\prime}\left(k^{*}\right)=\mu+\eta
$$
The relation $(2.40)$ is known as the golden rule of capital accumulation. It implies that the marginal product of capital should be equal to the sum of the depreciation and labor growth rates. After determining the optimal $k^{}$ from (2.40), the corresponding golden-rule saving rate is found from $(2.38)$ as $$ s^{}=(\mu+\eta) k^{} / f\left(k^{}\right)=k^{} f^{\prime}\left(k^{}\right) / f\left(k^{}\right), $$ i.e., the optimal saving rate $s^{}$ is equal to the output elasticity of the capital $\varepsilon_{K}$ (2.6) for the corresponding $k^{}$. The formulas $(2.40)$ and (2.41) for the optimal $s^{}$ and $k^{*}$ are known as the golden rule of economic growth.
In the case of the Cobb-Douglas production function $(2.22) F(K, L)=$ $A K^{\alpha} L^{1-\alpha}, 0<\alpha<1$, the function $f(k)=A k^{\alpha}$ and the golden rule is
$$
s^{}=\alpha, \quad k^{}=\left[A s^{} /(\mu+\eta)\right]^{1 /(1-\alpha)} . $$ At the optimal steady state $\left(s^{}, k^{}\right)$ and the given labor $L(t)=\bar{L} \mathrm{e}^{m t}$, the original variables $Q(t), C(t), I(t)$, and $K(t)$ of the model (2.31)-(2.35) grow with the given rate $\eta$ as $$ \begin{aligned} K(t)=\bar{K}^{\eta t^{t}}, \quad I(t)=\bar{I} \mathrm{e}^{\eta t^{t}}, \quad Q(t)=\bar{Q} \mathrm{e}^{\eta t}, \quad C(t)=\bar{C} \mathrm{e}^{\eta t} \ \bar{K}=\bar{L} k^{}, \bar{I}=(\mu+\eta) \bar{L} k^{}, \quad \bar{Q}=\frac{(\mu+\eta) \bar{L} k^{}}{s} \
\bar{C}=\frac{(1-s)(\mu+\eta) \bar{L} k^{*}}{s}
\end{aligned}
$$
The constants $\bar{K}, \bar{I}, \bar{Q}, \bar{C}$ in exponential functions of the form (2.43) are often called in economics the level variables. In the case of constant labor $L(t)=\bar{L}$ (i.e., $\eta=0$ ), the steady state is given by $(2.44)$ and known as a stationary point.
Because the aggregate output $Q$, consumption $C$, investment $I$ and capital $K$ increase with the same rate $\eta$ as the exogenous labor $L$, the Solow-Swan model is classified in the economic theory as the exogenous growth model.
数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Optimization over Finite Horizon
The Solow-Shell model is the Solow-Swan model $(2.31)-(2.34)$ considered on a finite planning horizon $[0, T]$ in the case when the saving rate $s=I / Q$ depends on the time $t$ and is endogenous [7]. To determine this rate, we consider the following one-sector optimization problem:
- Maximize the present value
$$
\int_{0}^{T} \mathrm{e}^{-r t} c(t) \mathrm{d} t
$$
of the consumption per capita $c=C / L$ over a given finite horizon $[0, T]$, subject to (2.31)-(2.35) and certain initial and terminal conditions.
In this problem, the given discount rate $r>0$ reflects the planner’s subjective rate of the decreasing utility of the output produced in more distant future. We still use the same aggregate variables of the Solow-Swan model: the output $Q$, consumption $C$, capital $K$, labor $L$, and investment $I$. For simplicity, let the labor $L(t)$ be constant, that is, $\eta=0$ in (2.34). Switching the model $(2.31)-(2.34)$ to the per capita variables $k=K / L, q=Q / L, c=C / L, i=I / L$, and excluding $q, c$, and $i$, the optimization problem under study becomes:
- Find the function $s(t), 0 \leq s(t) \leq 1$, and the corresponding $k(t), k(t) \geq 0$, $t \in[0, T]$, which maximize
$$
\max {s, k} \int{0}^{T} \mathrm{e}^{-r t}(1-s(t)) f(k(t)) \mathrm{d} t
$$
under the equality-constraint:
$$
k^{\prime}(t)=s(t) f(k(t))-\mu k(t),
$$
and the initial and terminal conditions:
$$
k(0)=k_{0}, \quad k(T) \geq k_{T}
$$
The value of $k(T)$ cannot be arbitrary because the economy will continue after the end of the planning period. The terminal condition $k(T) \geq k_{\mathrm{T}}$ keeps a minimal acceptable level of capital at the end of the finite horizon.
The problem (2.45)-(2.47) is an optimal control problem, in which the function $s(t), t \in[0, T]$, is unknown (rather than the scalar $s=$ const as in the static optimization of Sect. 2.2). In the optimal control terminology, the independent unknown function $s(.)$ is referred to as the control variable and the corresponding dependent unknown $k(.)$ is the state variable.
数学建模代写
数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Steady-State Analysis
稳态分析的目标是找到可能的稳态，它可以是
- 静止轨迹（未知变量在时间上是恒定的）或
- 平衡的增长路径（所有变量以相同的恒定速率增长）。
稳态分析在经济学中起着重要作用，并且在数学上比完整的动态分析更简单。
让我们在模型中找到并分析可能的平衡增长路径(2.31)−(2.35). 很容易看出原来的变量问(吨),C(吨),一世(吨)， 和ķ(吨)
只有当资本-劳动力比率ķ(吨)是恒定的。确实，换ķ=常量成(2.33),(2.32), 和 (2.35), 我们得到
ķ(吨)=ķ大号(吨),一世(吨)=(μ+这)ķ(吨),问(吨)=(μ+这)ķ(吨)/s C(吨)=问(吨)−一世(吨),
即，所有这些功能都以相同的速度增加这作为劳动大号(吨)=大号0经验 ( 这吨). 因此，为了找到稳定状态，我们应该假设ķ(吨)=常量。然后ķ′(吨)=0和方程（2.36) 产生方程
sF(ķ)=(μ+这)ķ
对于可能的稳态ķ≡常量。因为F(0)=0,F′(ķ)>0,林ķ→0F′(ķ)=∞， 和林ķ→∞F′(ķ)=0, 方程(2.38) 有一个独特的解决方案ķ^=ķ^(s)=常量>0对于任何给定的值s>0. 稳态资本-劳动力比率ķ^(s)当储蓄率增加s增加。
数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Static Optimization
对于给定的储蓄率s, 人均稳态消费C=C/大号由公式确定
C(s)=F(ķ^(s))−(μ+H)ķ^(s)
其中相应的稳态资本-劳动力比率ķ^(s)由 (2.38) 确定。因为F(0)=0,F′(ķ)>0和F′′(ķ)<0, 复合函数 (2.39) 对于较小的值会增加s并减少更大s.
然后，我们可以确定储蓄率s=const 和相应的稳态ķ=ķ^(s)最大化人均消费（2.39）： $$ \max _{0 }sH这在lds一种吨一世sF是F′(ķ∗)=μ+这$
关系(2.40)被称为资本积累的黄金法则。这意味着资本的边际产量应该等于折旧率和劳动力增长率之和。确定最优后ķ由 (2.40) 得到相应的黄金法则储蓄率(2.38)作为s=(μ+这)ķ/F(ķ)=ķF′(ķ)/F(ķ),即最优储蓄率s等于资本的产出弹性eķ(2.6) 对应ķ. 公式(2.40)和 (2.41) 为最优s和ķ∗被称为经济增长的黄金法则。
在 Cobb-Douglas 生产函数的情况下(2.22)F(ķ,大号)= 一种ķ一种大号1−一种,0<一种<1， 功能F(ķ)=一种ķ一种黄金法则是
s=一种,ķ=[一种s/(μ+这)]1/(1−一种).处于最佳稳态(s,ķ)和给定的劳动大号(吨)=大号¯和米吨, 原始变量问(吨),C(吨),一世(吨)， 和ķ(吨)模型的 (2.31)-(2.35) 以给定的速率增长这作为ķ(吨)=ķ¯这吨吨,一世(吨)=一世¯和这吨吨,问(吨)=问¯和这吨,C(吨)=C¯和这吨 ķ¯=大号¯ķ,一世¯=(μ+这)大号¯ķ,问¯=(μ+这)大号¯ķs C¯=(1−s)(μ+这)大号¯ķ∗s
常数ķ¯,一世¯,问¯,C¯在 (2.43) 形式的指数函数中，在经济学中通常称为水平变量。在持续劳动的情况下大号(吨)=大号¯（IE，这=0)，稳态由下式给出(2.44)并称为静止点。
因为总产出问， 消耗C， 投资一世和资本ķ以同样的速度增长这作为外生劳动大号, Solow-Swan 模型在经济理论中被归类为外生增长模型。
数学代写|数学生态学作业代写Mathematical Ecology代考|Optimization over Finite Horizon
Solow-Shell 模型是 Solow-Swan 模型(2.31)−(2.34)在有限的规划范围内考虑[0,吨]在储蓄率的情况下s=一世/问取决于时间吨并且是内生的[7]。为了确定这个比率，我们考虑以下单扇区优化问题：
- 最大化现值
∫0吨和−r吨C(吨)d吨
人均消费C=C/大号在给定的有限范围内[0,吨], 受限于 (2.31)-(2.35) 和某些初始和终止条件。
在这个问题中，给定的折现率r>0反映了计划者对在更远的将来产生的产出的效用递减的主观比率。我们仍然使用与 Solow-Swan 模型相同的聚合变量：输出问， 消耗C， 首都ķ， 劳动大号, 和投资一世. 为简单起见，让劳动大号(吨)保持不变，也就是说，这=0在（2.34）中。切换模型(2.31)−(2.34)人均变量ķ=ķ/大号,q=问/大号,C=C/大号,一世=一世/大号, 并排除q,C， 和一世，研究中的优化问题变为：
- 查找功能s(吨),0≤s(吨)≤1, 和对应的ķ(吨),ķ(吨)≥0, 吨∈[0,吨], 最大化
最大限度s,ķ∫0吨和−r吨(1−s(吨))F(ķ(吨))d吨
在等式约束下：
ķ′(吨)=s(吨)F(ķ(吨))−μķ(吨),
以及初始和终止条件：
ķ(0)=ķ0,ķ(吨)≥ķ吨
的价值ķ(吨)不能随意，因为经济将在计划期结束后继续。终端条件ķ(吨)≥ķ吨在有限期限结束时保持最低可接受的资本水平。
问题 (2.45)-(2.47) 是一个最优控制问题，其中函数s(吨),吨∈[0,吨], 是未知的（而不是标量s=const 就像在 Sect 的静态优化中一样。2.2)。在最优控制术语中，独立未知函数s(.)被称为控制变量和相应的因未知数ķ(.)是状态变量。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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时间序列分析代写
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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