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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。
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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Discrete Time Markov Chain
- Suppose $P$ is a stochastic matrix, then show that $P^{n}$ is also a stochastic matrix for all $n>1$.
- If $P^{n}$ is stochastic, is $P$ stochastic?
- Show that 1 is an eigenvalue if $A$ is a stochastic matrix, i.e.
$$
|\lambda I-A|=0 \Rightarrow \lambda=1 \text {. }
$$
Consider a sequence of trials with possible outcomes $E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k} \ldots$ To the pairs of outcomes $\left(E_{j}, E_{k}\right)$ we can associate some numbers (i.e. conditional probabilities) $P_{j k}$. The $\left{E_{k}\right}$ are referred to as the possible states of the system. Instead of saying that the $n$th trial results in $E_{k}$ one says that the $n$th step leads to $E_{k}$ or that $E_{k}$ is entered at the $n$th step.
We shall denote by $P_{j k}^{(n)}$ the probability of transition from $E_{j}$ to $E_{k}$ in exactly n steps i.e. the conditional probability of entering $E_{k}$ at the $n$th step from $E_{j}$. This is the sum of all the probabilities of all possible paths $E_{j} \rightarrow E_{j_{1}} \rightarrow \ldots E_{j_{n-1}} \rightarrow E_{k}$ of length $n$ starting at $E_{j}$. and ending at $E_{k}$
In particular,
$$
p_{j k}^{(1)}=p_{j k} .
$$
Theorem 2.2 (Chapman-Kolmogorov equation)
$$
p_{i j}^{(n)}=\sum_{k \varepsilon s} p_{i k}^{(n-1)} p_{k j}
$$
Proof
$$
\begin{aligned}
P_{i j}^{(n)} &=P\left[X_{n}=j \mid X_{0} \equiv i\right] \
&=\sum_{k E s} P\left[X_{n}=j\left|X_{n-1}=k, X_{0}=i\right| P\left[X_{n-1}=k \mid X_{0}=i\right]\right.\
&=\sum_{k \in s} P\left[X_{n}=j \mid X_{n-1}=k\right] P\left[X_{n-1}=k \mid X_{0}=i\right] \text { (by Markov property) } \
&=\sum_{k E s} P_{k j}^{(1)} P_{i k}^{(n-1)}=\sum_{k E s} P_{k j} P_{i k}^{(n-1)}
\end{aligned}
$$
Corollary For
$$
0 \leq m \leq n, p_{i j}^{(n)}=\sum_{k \in s} p_{i k}^{(n-m)} p_{k j}^{(m)}
$$
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|A Few More Examples
(a) Independent trials
$P^{n}=P$ for all $n \geq 1$, where $p_{i j}=p_{j}$ i.e. all the rows are same.
(b) Success runs
Consider an infinite sequence of Bernoulli trials and at the $n$th trial the system is in the state $E_{j}$ if the last failure occurred at the trial number $n-j, j=0,1$, $2, \ldots$ and zero-th trial counts as failure. In other words, the index $j$ equals the length of uninterrupted run of successes ending at $n$th trial.
Here
$$
p_{i j}^{(n)}=\left{\begin{array}{l}
q p^{j} \text { for } j=0,1,2, \ldots, i+n-1 \
p^{j} \text { for } j=j+n \
0 \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
This follows either directly or from Chapman-Kolmogorov’s equation. It can be shown that $P^{n}$ converges to a matrix whose all elements in the column $j$ equals $q p^{j}$, where the transition matrix $P$ is given by
$$
P_{i j}=P\left(X_{n}=j \mid X_{n-1}=i\right)=\left{\begin{array}{l}
p \text { if } j=i+1 \
q \text { if } j=0 \
0 \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
(c) Two state M.C.
There are two possible states $E_{1}$ and $E_{2}$ in which the matrix of transition probability is of the form
$$
P=\left(\begin{array}{cc}
1-p & p \
a & 1-a
\end{array}\right), 0<p<1 \text { and } 0<a<1 .
$$
The system is said to be in state $E_{1}$ if a particle moves in the positive direction and in $E_{2}$ if the direction is negative.
(d) Random walk with absorbing barriers
Let the possible states be $E_{0}, E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}$. Consider the matrix of transition probabilities
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Decomposition of state space
It may be possible that $p_{i j}=0, p_{i j}^{(2)}=0$ but $p_{i j}^{(3)}>0$. We say that the state $j$ is accessible from state $i$ if $p_{i j}^{(n)}>0$ for some $n>0$. In notation $i \rightarrow j$, i.e. $i$ leads to $j$. If $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, then $i$ and $j$ communicate and we denote this by $i \leftrightarrow j$.
Definition 2.4 The state $i$ is essential if $i \rightarrow j$ implies $i \leftarrow j$, i.e. if any state $j$ is accessible from $i$, then $i$ is accessible from that state. We shall let $\mathcal{S}$ denote the set of all essential states. States that are not essential are called inessential.
Lemma $2.1 \quad i \leftrightarrow j$ defines an equivalence relation on $\mathfrak{S}$, the class of essential states.
Proof $i \leftrightarrow i$ (reflexivity)
(i) Since for each $i, \sum_{j E s} p_{i j}=1$ there exists at least one $j$ for which $p_{i j}>0$. But if $i$ is essential then there exists $m \geq 1$ such that $p_{j i}^{(m)}>0$. So by ChapmenKolmogrov equation $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(ii) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (symmetry)
(iii) $i \leftrightarrow j$ and $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (transitivity)
Proof of (iii)
To prove $i \rightarrow k$, since $i \rightarrow j p_{j i}^{(n)}>0$ for some $n \geq 1$ and $j \rightarrow k, p_{j k}^{(m)}>0$ for some $m \geq 1$.
Claim: $p_{i k}^{(l)}>0$ for some $l \geq 1$
$$
0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j e s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)} \text { (Chapman-Kolmogorov) }
$$
Taking $l=m+n$,
$$
i \rightarrow k \text { and similarly } k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k \text {. }
$$
By Lemma 2.1, i.e. $\mathfrak{J}=\cup{C(i)$, where $C(i)={j \in \mathcal{S} \mid i \leftrightarrow j}$ is called a communicating class, i.e. the class of essential states is partitioned into disjoint equivalent classes (communicating classes).
Definition $2.5$
A Markov chain is called irreducible (or ergodic) if there is only one communicating class, i.e. if all states communicate with each other or every state can be reached from every other state.
Definition $2.6$
A subset $C$ of $S$ is called closed (or transient) if it is impossible to leave $C$ in one step i.e. $p_{i j}=0$ for all $i \in C$ and all $j \notin C$.
随机过程统计代考
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Discrete Time Markov Chain
- 认为磷是一个随机矩阵，那么证明磷n也是一个随机矩阵n>1.
- 如果磷n是随机的，是磷随机？
- 证明 1 是一个特征值，如果一个是一个随机矩阵，即
|λ我−一个|=0⇒λ=1.
考虑一系列具有可能结果的试验和1,和2,…,和ķ…到成对的结果(和j,和ķ)我们可以关联一些数字（即条件概率）磷jķ. 这\left{E_{k}\right}\left{E_{k}\right}称为系统的可能状态。而不是说n试验结果和ķ有人说n这一步导致和ķ或者那个和ķ被输入在n第一步。
我们将表示为磷jķ(n)从转换的概率和j至和ķ在恰好 n 个步骤中，即进入的条件概率和ķ在n从第和j. 这是所有可能路径的所有概率的总和和j→和j1→…和jn−1→和ķ长度n开始于和j. 并结束于和ķ
尤其是，
pjķ(1)=pjķ.
定理 2.2（Chapman-Kolmogorov 方程）
p一世j(n)=∑ķesp一世ķ(n−1)pķj
证明
磷一世j(n)=磷[Xn=j∣X0≡一世] =∑ķ和s磷[Xn=j|Xn−1=ķ,X0=一世|磷[Xn−1=ķ∣X0=一世] =∑ķ∈s磷[Xn=j∣Xn−1=ķ]磷[Xn−1=ķ∣X0=一世] （由马尔可夫财产） =∑ķ和s磷ķj(1)磷一世ķ(n−1)=∑ķ和s磷ķj磷一世ķ(n−1)
推论
0≤米≤n,p一世j(n)=∑ķ∈sp一世ķ(n−米)pķj(米)
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|A Few More Examples
(a) 独立审判
磷n=磷对所有人n≥1， 在哪里p一世j=pj即所有行都是相同的。
(b) 成功运行
考虑一个无限序列的伯努利试验，并且在n系统处于试用状态和j如果最后一次失败发生在试用号n−j,j=0,1, 2,…并且第零次尝试算作失败。换句话说，索引j等于连续成功运行的长度，结束于n审判。
这里
$$
p_{ij}^{(n)}=\left{
qpj 为了 j=0,1,2,…,一世+n−1 pj 为了 j=j+n 0 否则 \正确的。
吨H一世sF○ll○在s和一世吨H和rd一世r和C吨l是○rFr○米CH一个p米一个n−ķ○l米○G○r○在′s和q在一个吨一世○n.我吨C一个nb和sH○在n吨H一个吨$磷n$C○n在和rG和s吨○一个米一个吨r一世X在H○s和一个ll和l和米和n吨s一世n吨H和C○l在米n$j$和q在一个ls$qpj$,在H和r和吨H和吨r一个ns一世吨一世○n米一个吨r一世X$磷$一世sG一世在和nb是
P_{ij}=P\left(X_{n}=j \mid X_{n-1}=i\right)=\left{
p 如果 j=一世+1 q 如果 j=0 0 否则 \正确的。
(C)吨在○s吨一个吨和米.C.吨H和r和一个r和吨在○p○ss一世bl和s吨一个吨和s$和1$一个nd$和2$一世n在H一世CH吨H和米一个吨r一世X○F吨r一个ns一世吨一世○npr○b一个b一世l一世吨是一世s○F吨H和F○r米
P=\左(
1−pp 一个1−一个\right), 0<p<1 \text { 和 } 0<a<1 。
$$
系统据说处于状态和1如果一个粒子在正方向和和2如果方向为负。
(d) 具有吸收障碍的随机游走
让可能的状态为和0,和1,和2,…,和ķ. 考虑转移概率矩阵
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Decomposition of state space
有可能是p一世j=0,p一世j(2)=0但p一世j(3)>0. 我们说国家j可从状态访问一世如果p一世j(n)>0对于一些n>0. 在符号一世→j， IE一世导致j. 如果一世→j和j→一世， 然后一世和j沟通，我们用一世↔j.
定义 2.4 状态一世是必不可少的，如果一世→j暗示一世←j，即如果有任何状态j可从一世， 然后一世可以从该状态访问。我们要让小号表示所有基本状态的集合。非必要状态称为非必要状态。
引理2.1一世↔j定义一个等价关系小号，基本状态类。
证明一世↔一世（自反性）
(i) 因为对于每个一世,∑j和sp一世j=1至少存在一个j为此p一世j>0. 但如果一世是必不可少的，那么存在米≥1这样pj一世(米)>0. 所以由 ChapmenKolmogrov 方程p一世一世(米+1)≥p一世jpj一世(米)>0.
(二)一世↔j⇔j↔一世（对称）
（iii）一世↔j和j↔ķ⇒一世↔ķ（及物性）
证明（iii）
证明一世→ķ， 自从一世→jpj一世(n)>0对于一些n≥1和j→ķ,pjķ(米)>0对于一些米≥1.
宣称：p一世ķ(l)>0对于一些l≥1
0<p一世j(n)pjķ(米)≤∑j和sp一世j(n)pjķ(米)=p一世ķ(n+米) （查普曼-科尔莫哥洛夫）
服用l=米+n,
一世→ķ 同样地 ķ→一世⇒一世↔ķ.
根据引理 2.1，即 $\mathfrak{J}=\cup{C(i),在H和r和C(i)={j \in \mathcal{S} \mid i \leftrightarrow j}一世sC一个ll和d一个C○米米在n一世C一个吨一世nGCl一个ss,一世.和.吨H和Cl一个ss○F和ss和n吨一世一个ls吨一个吨和s一世sp一个r吨一世吨一世○n和d一世n吨○d一世sj○一世n吨和q在一世在一个l和n吨Cl一个ss和s(C○米米在n一世C一个吨一世nGCl一个ss和s).D和F一世n一世吨一世○n2.5一个米一个rķ○在CH一个一世n一世sC一个ll和d一世rr和d在C一世bl和(○r和rG○d一世C)一世F吨H和r和一世s○nl是○n和C○米米在n一世C一个吨一世nGCl一个ss,一世.和.一世F一个lls吨一个吨和sC○米米在n一世C一个吨和在一世吨H和一个CH○吨H和r○r和在和r是s吨一个吨和C一个nb和r和一个CH和dFr○米和在和r是○吨H和rs吨一个吨和.D和F一世n一世吨一世○n2.6一个s在bs和吨C○F小号一世sC一个ll和dCl○s和d(○r吨r一个ns一世和n吨)一世F一世吨一世s一世米p○ss一世bl和吨○l和一个在和C一世n○n和s吨和p一世.和.p_{ij}=0F○r一个ll我\在C一个nd一个llj \notin C$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。