Robot Rossie moves within a square room $A B C D$. Rossie moves along straight line segments, never leaving that room.
When Rossie encounters a wall she stops, makes a right-angle turn (with direction chosen to face into the room), and continues in that new direction.
If Rossie comes to one of the room’s corners, she rotates through two right angles, and moves back along her previous path.
Suppose Rossie starts at point $P$ on $A B$ and her path begins as a line segment of slope $s$.
We hope to describe Rossie’s path.
For some values of $P$ and $s$, Rossie’s path will be a tilted rectangle with one vertex on each wall of the room. (Often, this inscribed rectangle is itself a square.) In this case, Rossie repeatedly traces that stable rectangle.
(a) Suppose $s=1$ so that the path begins at a 45 degree angle.
For every starting point $P$, show: Rossie’s path is a stable rectangle.
(If $P$ is a corner point, the path degenerates to a line segment traced back and forth.)
Now draw some examples with various $P$ and $s$.
Given $P$ and $s$, does Rossie’s path always converge to a stable rectangle?
Here are some steps that might help you answer this question:
(b) First consider the case: $01$ or when $s<0$ ? Does the argument above still apply?
Let $\mathbb{Z}$ denote the set of integers. If $m$ is a positive integer, we write $\mathbb{Z}m$ for the system of “integers modulo $m$.” Some authors write $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ for that system. For completeness, we include some definitions here. The system $\mathbb{Z}_m$ can be represented as the set ${0,1, \ldots, m-1}$ with operations $\oplus$ (addition) and $\odot$ (multiplication) defined as follows. If $a, b$ are elements of ${0,1, \ldots, m-1}$, define: $a \oplus b=$ the element $c$ of ${0,1, \ldots, m-1}$ such that $a+b-c$ is an integer multiple of $m$. $a \odot b=$ the element $d$ of ${0,1, \ldots, m-1}$ such that $a b-d$ is an integer multiple of $m$. For example, $3 \oplus 4=2$ in $\mathbb{Z}_5$, $3 \odot 3=1$ in $\mathbb{Z}_4$, and $-1=12$ in $\mathbb{Z}{13}$.
To simplify notations (at the expense of possible confusion), we abandon that new notation and write $a+b$ and $a b$ for the operations in $\mathbb{Z}_m$, rather than writing $a \oplus b$ and $a \odot b$.
Let $\mathbb{Q}$ denote the system of rational numbers.
We write $4 \mathbb{Z}$ for the set of multiples of 4 in $\mathbb{Z}$. Similarly for $4 \mathbb{Z}{12}$. Consider the following number systems: $$ \mathbb{Z}, \quad \mathbb{Q}, \quad 4 \mathbb{Z}, \quad \mathbb{Z}_3, \quad \mathbb{Z}_8, \quad \mathbb{Z}_9, \quad 4 \mathbb{Z}{12}, \quad \mathbb{Z}_{13} .
$$
One system may be viewed as similar to another in several different ways. We will measure similarity using only algebraic properties.
(a) Consider the following sample properties:
(i) If $a^2=1$, then $a=\pm 1$.
(ii) If $2 x=0$, then $x=0$.
(iii) If $c^2=0$, then $c=0$.
Which of the systems above have properties (i), (ii), and/or (iii)?
(b) Formulate another algebraic property and determine which of those systems have that property. [Note: Cardinality is not considered to be an algebraic property.]
Write down some additional algebraic properties and investigate them.
(c) In your opinion, which of the listed systems are “most similar” to each another?
Please spend extra effort to write up this problem’s solution as an exposition that can be read and understood by a beginning algebra student. That student knows function notation and standard properties of polynomials (as taught in a high school algebra course). Your solution will be graded not only on the correctness of the math but also on the clarity of exposition.
(a) Find all polynomials $f$ that satisfy the equation:
$$
f(x+2)=f(x)+2 \text { for every real number } x .
$$
(b) Find all polynomials $g$ that satisfy the equation:
$$
g(2 x)=2 g(x) \text { for every real number } x .
$$
(c) The problems above are of the following type: Given functions $H$ and $J$, find all polynomials $Q$ that satisfy the equation:
$$
J(Q(x))=Q(H(x)) \text { for every } x \text { in } S
$$
where $S$ is a subset of real numbers. In parts (a) and (b), we have $J=H$ and $S$ is all real numbers, but other scenarios are also interesting. For example, the choice $J(x)=1 /(x-1)$ and $H(x)=1 /(x+1)$, generates the question:
Find all polynomials $Q$ that satisfy the equation:
$$
\frac{1}{Q(x)-1}=Q\left(\frac{1}{x+1}\right)
$$
for every real number $x$ such that those denominators are nonzero.
Is this one straightforward to solve?
(d) Make your own choice for $J$ and $H$, formulate the problem, and find a solution. Choose $J$ and $H$ to be non-trivial, but still simple enough to allow you to make good progress toward a solution.
机器人Rossie在一个正方形房间 $A B C D$ 内移动。罗西沿着直线段移动，从不离开这个房间。
当Rossie遇到一堵墙时，她会停下来，做一个直角转弯（方向选择为面向房间），然后继续沿着这个新方向前进。
如果Rossie走到房间的一个角落，她会旋转两个直角，然后沿着之前的路径移动回去。
假设Rossie从 $A B$ 上的 $P$ 点开始，她的路径是一条斜率为 $s$ 的线段。
我们希望描述一下Rossie的路径。
对于 $P$ 和 $s$ 的某些值，Rossie的路径将是一个倾斜的矩形，在房间的每一面墙上都有一个顶点。通常，这个内嵌的矩形本身就是一个正方形。在这种情况下，Rossie重 复地追踪这个稳定的矩形。
$a$ 假设 $s=1$ ，使路径以45度角开始。
对于每一个起点 $P$ ，表明。罗西的路径是一个稳定的矩形。
如果 $\$ P \$$ 是一个角点，该路径就退化为一条来回追踪的线段。
现在画一些有不同 $P$ 和 $s$ 的例子。
考虑到 $P$ 和 $s$ ，罗西的路径是否总是收玫到一个稳定的矩形?
下面是一些步骤，可能有助于你回答这个问题。
$b$ 首先考虑以下情况: 01或 $s<0$ 时，Rossie的行为是什么? 上面的论证是否仍然适用?
让 $m a t h b b Q$ 表示有理数系统。
我们用4Z表示 $m a t h b b Z$ 中 4 的倍数的集合。类似地，4美元 $\mid m a t h b b{Z}{12}$ 。请考虑以下数系。\$`mathbb{Z}, quadmathbb{Q}, quad $4 m a t h b b{Z}, q u a d m a t h b b{Z} _3$, quadmathbb{Z}_8, quadmathbb{Z}_9, quad 4 mathbb{Z}{12}, quadmathbb{Z}_{13}.
$\$ \$$
一个系统可以通过几种不同的方式被视为与另一个系统相似。我们将只用代数性质来衡量相似性。
$a$ 考虑以下的样本属性。
$i$ 如果 $a^2=1$ ，那么 $a=\pm 1$ 。
$i i$ 如果 $2 x=0$ ，那么 $x=0$ 。
iii如果 $c^2=0$ ，则 $c=0$ 。
上述系统中哪一个具有 $i 、 i i$ 和/或 $i i i$ 的特性?
$b$ 提出另一个代数性质，并确定这些系统中哪些具有该性质。[注意：Cardinality不被认为是一个代数属性。]
写下一些额外的代数性质，并对它们进行研究。
$c$ 在你看来，所列的系统中哪些是 “最相似 “的?
机器人Rossie在一个正方形房间 $A B C D$ 内移动。罗西沿着直线段移动，从不离开这个房间。
当Rossie遇到一堵墙时，她会停下来，做一个直角转弯（方向选择为面向房间），然后继续沿着这个新方向前进。
如果Rossie走到房间的一个角落，她会旋转两个直角，然后沿着之前的路径移动回去。
假设Rossie从 $A B$ 上的 $P$ 点开始，她的路径是一条斜率为 $s$ 的线段。
我们希望描述一下Rossie的路径。
对于 $P$ 和 $s$ 的某些值，Rossie的路径将是一个倾斜的矩形，在房间的每一面墙上都有一个顶点。通常，这个内嵌的矩形本身就是一个正方形。在这种情况下，Rossie重 复地追踪这个稳定的矩形。
$a$ 假设 $s=1$ ，使路径以45度角开始。
对于每一个起点 $P$ ，表明。罗西的路径是一个稳定的矩形。
如果 $\$ P \$$ 是一个角点，该路径就退化为一条来回追踪的线段。
现在画一些有不同 $P$ 和 $s$ 的例子。
考虑到 $P$ 和 $s$ ，罗西的路径是否总是收玫到一个稳定的矩形?
下面是一些步骤，可能有助于你回答这个问题。
$b$ 首先考虑以下情况: 01或 $s<0$ 时，Rossie的行为是什么? 上面的论证是否仍然适用?
让 $m a t h b b Q$ 表示有理数系统。
我们用4Z表示 $m a t h b b Z$ 中 4 的倍数的集合。类似地，4美元 $\mid m a t h b b{Z}{12}$ 。请考虑以下数系。\$`mathbb{Z}, quadmathbb{Q}, quad $4 m a t h b b{Z}, q u a d m a t h b b{Z} _3$, quadmathbb{Z}_8, quadmathbb{Z}_9, quad 4 mathbb{Z}{12}, quadmathbb{Z}_{13}.
$\$ \$$
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$a$ 考虑以下的样本属性。
$i$ 如果 $a^2=1$ ，那么 $a=\pm 1$ 。
$i i$ 如果 $2 x=0$ ，那么 $x=0$ 。
iii如果 $c^2=0$ ，则 $c=0$ 。
上述系统中哪一个具有 $i 、 i i$ 和/或 $i i i$ 的特性?
$b$ 提出另一个代数性质，并确定这些系统中哪些具有该性质。[注意：Cardinality不被认为是一个代数属性。]
写下一些额外的代数性质，并对它们进行研究。
$c$ 在你看来，所列的系统中哪些是 “最相似 “的?
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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