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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stationary Marked Point Process
Introduction. The input into a queueing system can be viewed as a sequence of required service times together with the times at which these requests arrive, that is, a double sequence $\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}$ indexed by the set $Z$ of relative integers, where $\sigma_{n}$ is the amount of service (in time units) needed by customer $n$, who arrives at time $T_{n}$. If there are no batch arrivals, then $T_{n}<T_{n+1}$. Since we are interested in the stationary behavior of the system, the sequence of arrival times $\left{T_{n}\right}$ contains arbitrarily large negative times. By convention, the negative or null times of the arrival sequence will be indexed by negative or null relative integers, and the positive times by positive integers: $\cdots<$ $T_{-2}<T_{-1}<T_{0} \leq 0<T_{1}<T_{2}<\ldots$
The sequence $\left{T_{n}\right}$ is a point process, and the double sequence $\left{\left(T_{n}, \sigma_{\pi}\right)\right}$ is a marked point process, $\sigma_{n}$ being the mark of point $T_{n}$. More complicated mark sequences $\left{Z_{n}\right}$ can be considered, where $Z_{n}$ is an attribute of customer $n$ including, among other possible choices, the amount of service $\sigma_{n}$ he requires and his priority class $U_{n}$. If the queueing system under consideration is a network of queues, the mark $Z_{n}$ will for instance feature the route followed by customer $n$ through the network and the amount of service he requires at each station along his route.
Even in the simplest models, intricate dependencies may exist among the members of the sequence $\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}$. Of course, in the so-called elementary theory of queues, the stream of required services is of the $G I / G I$ type, i.e. $\left{T_{n}\right}$ and $\left{\sigma_{n}\right}$ are independent sequences, $\left{\sigma_{n}\right}$ is an $i . i . d$. (independent and identically distributed) sequence, and $\left{T_{n}\right}$ forms a renewal process, say a Poisson process. However, suppose that the customers go through a very simple queueing system with two servers operating at unit speed, with a first come first served queueing discipline. The sequence of times $\left{T_{n}{ }^{\prime}\right}$ at which customers leave the queueing system, with the convention $\cdots<T_{-2}^{\prime}<T_{-1}^{\prime}<$ $T_{0}^{\prime} \leq 0<T_{1}^{\prime}<T_{2}^{\prime}<\ldots$ may be of a complex nature, even in the $G I / G I$ case: customers may overtake one another, the delay incurred by a given customer is a complicated function of the past history of the input stream, etc. Suppose now that the customers, just after leaving, join a second queueing system where they require the same amount of service as in the first system. The input stream into the second system is $\left{\left(T_{n}^{\prime}, \sigma_{n}^{\prime}\right)\right}$ where $\sigma_{n}^{\prime}$ is in general different from $\sigma_{n}$ (due to overtaking). It can be shown that the input stream into the second system will most likely not be a $G I / G I$ stream, except in very special cases (in particular when $\left{T_{n}\right}$ is a homogeneous Poisson process, and $\left{\sigma_{n}\right}$ is i.i.d. with a probability distribution of the exponential type (this is Burke’s theorem)).
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Canonical Space of a Point Process
A counting measure on $\mathbb{R}$ (the real line) is a measure $m$ on $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$, where $\mathcal{B}$ denotes the Borel $\sigma$-field of $\mathbb{R}$, such that
(a) $m(C) \in{0,1, \ldots, \infty}$ for all $C \in \mathcal{B}$,
(b) $m([a, b])<\infty$ for all bounded intervals $[a, b]$ of $\mathbb{R}$.
Let $M$ be the set of all counting measures on $\mathbb{R}$. The $\sigma$-field on $M$ generated by the functions $m \rightarrow m(C), C \in \mathcal{B}$, is denoted by $\mathcal{M}$. The measurable space $(M, \mathcal{M})$ is the canonical space of point processes on $\mathrm{R}$.
With each counting measure $m \in M$ (Figure 1.1.1), we can associate a unique sequence $\left{t_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}$, of $\overline{\mathbb{R}}$, such that
$$
m(.)=\sum_{n \in \mathcal{Z}} \delta_{t_{n}}(.)
$$
with $-\infty \leq \cdots \leq t_{-1} \leq t_{0} \leq 0<t_{1} \leq t_{2} \leq \cdots \leq+\infty$ and card $\left{n \in \mathbb{Z} ; t_{n} \in\right.$ $[a, b]}<\infty$, for all $[a, b] \subset \mathbb{R}$. Here $\delta_{x}$ is the Dirac measure at $x \in \overline{\mathbb{R}}$, with the convention $\delta_{\infty}(.)=\delta_{-\infty}(.) \equiv 0$, the measure with no mass.
The time $t_{n}$ is called the $n$-th point of $m$. The mapping $m \rightarrow t_{n}$ is measurable from $\mathcal{M}$ to $\mathcal{B}$.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Marks of a Point Process
Let $Z=\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}$, be a sequence of measurable mappings from $(\Omega, \mathcal{F})$ into some measurable space $(K, K)$. It is called a sequence of marks of $\left(N, \theta_{t}\right)$ if for all $n$,
$$
Z_{n}(\omega)=Z_{0}\left(\theta_{T_{n} \omega}\right)
$$
If moreover $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ is a stationary point process, $\left((N, Z), \theta_{t}, P\right)$ is called a stationary marked point process (with marks in $K$ ).
The Shadowing Property. The motivation for definition (1.1.3) is that we want to be sure that the mark $Z_{n}(\omega)$ associated with $T_{n}(\omega)$ follows $T_{n}(\omega)$ when the underlying counting measure $N(\omega)$ is shifted.
To see how this shadowing property works ( $Z_{n}$ is the shadow following $\left.T_{n}\right)$, consider Figure 1.1.4 below, where we have taken $Z_{n}=\sigma_{n}$, the required service of customer $n$, as an example.
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stationary Marked Point Process
介绍。排队系统的输入可以看成是所需服务时间和这些请求到达时间的序列，即双序列\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}由集合索引从相对整数，其中σn是客户需要的服务量（以时间为单位）n, 谁准时到达吨n. 如果没有批次到货，那么吨n<吨n+1. 由于我们对系统的静止行为感兴趣，因此到达时间的序列\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}包含任意大的负时间。按照惯例，到达序列的负时间或空时间将由负或空相对整数索引，正时间由正整数索引：⋯< 吨−2<吨−1<吨0≤0<吨1<吨2<…
序列\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}是一个点过程，并且双序列\left{\left(T_{n}, \sigma_{\pi}\right)\right}\left{\left(T_{n}, \sigma_{\pi}\right)\right}是一个标记点过程，σn作为点的标记吨n. 更复杂的标记序列\left{Z_{n}\right}\left{Z_{n}\right}可以考虑，其中从n是客户的属性n除其他可能的选择外，还包括服务量σn他需要和他的优先级在n. 如果所考虑的排队系统是一个队列网络，则标记从n例如，将以客户遵循的路线为特色n通过网络和他在沿途每个站点所需的服务量。
即使在最简单的模型中，序列成员之间也可能存在复杂的依赖关系\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}\left{\left(T_{n}, \sigma_{n}\right)\right}. 当然，在所谓的队列基本理论中，所需服务的流是G一世/G一世类型，即\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}和\left{\sigma_{n}\right}\left{\sigma_{n}\right}是独立的序列，\left{\sigma_{n}\right}\left{\sigma_{n}\right}是一个一世.一世.d. （独立同分布）序列，以及\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}形成一个更新过程，比如说泊松过程。但是，假设客户通过一个非常简单的排队系统，其中有两台服务器以单位速度运行，采用先到先得的排队规则。时间顺序\left{T_{n}{ }^{\prime}\right}\left{T_{n}{ }^{\prime}\right}顾客离开排队系统的地方，按照惯例⋯<吨−2′<吨−1′< 吨0′≤0<吨1′<吨2′<…可能具有复杂的性质，即使在G一世/G一世案例：客户可能会超车，给定客户的延迟是输入流过去历史的复杂函数，等等。假设客户在离开后加入第二个排队系统，他们需要相同的服务量与第一个系统相同。第二个系统的输入流是\left{\left(T_{n}^{\prime}, \sigma_{n}^{\prime}\right)\right}\left{\left(T_{n}^{\prime}, \sigma_{n}^{\prime}\right)\right}在哪里σn′通常不同于σn（由于超车）。可以看出，进入第二个系统的输入流很可能不是G一世/G一世流，除非在非常特殊的情况下（特别是当\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}是齐次泊松过程，并且\left{\sigma_{n}\right}\left{\sigma_{n}\right}是指数型概率分布的独立同分布（这是伯克定理））。
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Canonical Space of a Point Process
计数措施R（实线）是一个度量米在(R,乙)， 在哪里乙表示 Borelσ-现场R, 这样
(a)米(C)∈0,1,…,∞对全部C∈乙,
(b)米([一种,b])<∞对于所有有界区间[一种,b]的R.
让米是所有计数度量的集合R. 这σ- 场上米由函数生成米→米(C),C∈乙, 表示为米. 可测空间(米,米)是点过程的规范空间R.
每个计数措施米∈米（图 1.1.1），我们可以关联一个唯一的序列\left{t_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}\left{t_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}， 的R¯, 这样
米(.)=∑n∈从d吨n(.)
和−∞≤⋯≤吨−1≤吨0≤0<吨1≤吨2≤⋯≤+∞和卡\left{n \in \mathbb{Z} ; t_{n} \in\right.$ $[a, b]}<\infty\left{n \in \mathbb{Z} ; t_{n} \in\right.$ $[a, b]}<\infty， 对全部[一种,b]⊂R. 这里dX是狄拉克测度X∈R¯, 与约定d∞(.)=d−∞(.)≡0，没有质量的度量。
时间吨n被称为n-第一个点米. 映射米→吨n可从米到乙.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Marks of a Point Process
让Z=\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}Z=\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}, 是一系列可测量的映射(Ω,F)进入一些可测量的空间(ķ,ķ). 它被称为标记序列(ñ,θ吨)如果对所有人n,
从n(ω)=从0(θ吨nω)
此外，如果(ñ,θ吨,磷)是一个驻点过程，((ñ,从),θ吨,磷)称为平稳标记点过程（带有标记ķ ).
阴影属性。定义（1.1.3）的动机是我们要确保标记从n(ω)有关联吨n(ω)跟随吨n(ω)当基础计数措施ñ(ω)被转移。
看看这个阴影属性是如何工作的（从n是影子跟在后面吗吨n)，请考虑下面的图 1.1.4，我们在其中从n=σn, 客户所需的服务n， 举个例子。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。