分类：电磁学代写

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Example of a Rectangular Region

Posted on 2023年5月22日2023年5月22日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写电磁学Electromagnetism 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。电磁学Electromagnetism是物理学的一个分支，涉及到对电磁力的研究，这是一种发生在带电粒子之间的物理作用。电磁力是由电场和磁场组成的电磁场所承载的，它是诸如光这样的电磁辐射的原因。它与强相互作用、弱相互作用和引力一起，是自然界的四种基本相互作用（通常称为力）之一。在高能量下，弱力和电磁力被统一为单一的电弱力。

电磁学Electromagnetism是以电磁力来定义的，有时也称为洛伦兹力，它包括电和磁，是同一现象的不同表现形式。电磁力在决定日常生活中遇到的大多数物体的内部属性方面起着重要作用。原子核和其轨道电子之间的电磁吸引力将原子固定在一起。电磁力负责原子之间形成分子的化学键，以及分子间的力量。电磁力支配着所有的化学过程，这些过程是由相邻原子的电子之间的相互作用产生的。电磁学在现代技术中应用非常广泛，电磁理论是电力工程和电子学包括数字技术的基础。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写电磁学electromagnetism方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写电磁学electromagnetism代写方面经验极为丰富，各种代写电磁学electromagnetism相关的作业也就用不着说。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Example of a Rectangular Region

Consider the rectangular region $(-W / 2 \leq x \leq W / 2,0 \leq y \leq h)$ shown in Figure 3.2. The region is piecewise homogeneous, with permittivity $\varepsilon_1$ for $(0<y<g)$ and $\varepsilon_2$ for $(g<y<h)$. The boundary conditions specified are
$$
\begin{gathered}
\left.V\right|{x= \pm W / 2}=0 \ \left.V\right|{y=0}=0
\end{gathered}
$$
No boundary condition is specified on the top surface, that is, at $y=h$. However, instead of another boundary condition, it is given that
$$
\left.V\right|{y=k}=\sum{m-o d d}^{\infty} a_m \cos \left(\frac{m \pi}{W} \cdot x\right)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n 2 \pi}{W} \cdot x\right)
$$
where $g<k<h$.
Let us divide this rectangular region into two subregions, such that the subregion 1 extends over $(-W / 2 \leq x \leq W / 2,0 \leq y \leq k)$ and the subregion 2 extends over $(-W / 2 \leq x \leq W / 2, k \leq y \leq h)$. For the subregion 1 , the potential distributions along all the four boundary sides are specified; therefore, it should be possible to obtain a unique solution for the potential distribution had it been a homogeneous region. Since subregion 1 is piecewise homogeneous with $y$ $=g$ serving as a boundary between two homogeneous zones, viz. 1a stretching over $0<y<g$, and $1 \mathrm{~b}$ stretching over $g<y<k$ the potential distributions in these zones can be readily obtained if the potential distribution is known along the boundary $y=g$. Let us assume a pseudo-torch function
$$
\left.V\right|{y=g}=\sum{m=\text { odd }}^{\infty} c_m \cos \left(\frac{m \pi}{W} \cdot x\right)+\sum_{n=1}^{\infty} d_n \sin \left(\frac{n 2 \pi}{W} \cdot x\right)
$$
where $c_m$ and $d_n$ indicate two sets of unknown constants.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Uniqueness Theorem for Vector Magnetic Potentials

In general, there are infinite solutions of Laplace and Poisson equations for the vector magnetic potential $A$. The uniqueness theorem ${ }^2$ reviewed here describes boundary conditions to be satisfied for a unique solution of these equations.

Let $A_1$ and $A_2$ be any two solutions for Equation 2.40, given the distribution of magnetic potential in a volume $v$ bounded by the closed surface $s$. The difference potential $A_o$ is
$$
A_o=A_1-A_2
$$
It may be noted that the difference potential $A_o$ satisfies the Laplace equation
$$
\nabla^2 A_o=0
$$
In view of Equation 2.38
$$
\nabla \cdot A_1=\nabla \cdot A_2=0
$$
Therefore,
$$
\nabla \cdot A_o=0
$$
Consider the identity ${ }^3$
$$
\iiint_v[(\nabla \times \boldsymbol{P}) \cdot(\nabla \times \mathbf{Q})-\boldsymbol{P} \cdot(\nabla \times \nabla \times \mathbf{Q})] d v \equiv \oiint_s[\boldsymbol{P} \times(\nabla \times \mathbf{Q})] \cdot d s
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Example of a Rectangular Region

考虑图3.2所示的矩形区域$(-W / 2 \leq x \leq W / 2,0 \leq y \leq h)$。该区域分段均匀，介电常数为$(0<y<g)$为$\varepsilon_1$, $(g<y<h)$为$\varepsilon_2$。指定的边界条件为
$$
\begin{gathered}
\left.V\right|{x= \pm W / 2}=0 \ \left.V\right|{y=0}=0
\end{gathered}
$$
在顶面，即$y=h$处没有指定边界条件。然而，没有另一个边界条件，而是给出
$$
\left.V\right|{y=k}=\sum{m-o d d}^{\infty} a_m \cos \left(\frac{m \pi}{W} \cdot x\right)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n 2 \pi}{W} \cdot x\right)
$$
在哪里$g<k<h$。
让我们把这个矩形区域分成两个子区域，这样子区域1延伸到$(-W / 2 \leq x \leq W / 2,0 \leq y \leq k)$上，子区域2延伸到$(-W / 2 \leq x \leq W / 2, k \leq y \leq h)$上。对于子区域1，确定了所有四个边界边的潜在分布;因此，如果它是一个均匀区域，就应该有可能得到势分布的唯一解。由于子区域1是分段均匀的，$y$$=g$作为两个均匀带的边界，即1a延伸到$0<y<g$上，$1 \mathrm{~b}$延伸到$g<y<k$上，如果已知沿边界$y=g$的电位分布，则可以很容易地获得这些区域的电位分布。让我们假设一个伪火炬函数
$$
\left.V\right|{y=g}=\sum{m=\text { odd }}^{\infty} c_m \cos \left(\frac{m \pi}{W} \cdot x\right)+\sum_{n=1}^{\infty} d_n \sin \left(\frac{n 2 \pi}{W} \cdot x\right)
$$
其中$c_m$和$d_n$表示两组未知常数。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Uniqueness Theorem for Vector Magnetic Potentials

一般来说，向量磁势的拉普拉斯方程和泊松方程有无穷个解$A$。这里回顾的唯一性定理${ }^2$描述了这些方程的唯一解所满足的边界条件。

设$A_1$和$A_2$为方程2.40的任意两个解，给定以封闭表面$s$为界的体积$v$中的磁势分布。差电位$A_o$是
$$
A_o=A_1-A_2
$$
可以注意到，差分势$A_o$满足拉普拉斯方程
$$
\nabla^2 A_o=0
$$
鉴于式2.38
$$
\nabla \cdot A_1=\nabla \cdot A_2=0
$$
因此，
$$
\nabla \cdot A_o=0
$$
考虑同一性 ${ }^3$
$$
\iiint_v[(\nabla \times \boldsymbol{P}) \cdot(\nabla \times \mathbf{Q})-\boldsymbol{P} \cdot(\nabla \times \nabla \times \mathbf{Q})] d v \equiv \oiint_s[\boldsymbol{P} \times(\nabla \times \mathbf{Q})] \cdot d s
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Periodic Fields, Field Equations in Phasor Form

Posted on 2023年5月22日2023年5月22日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Periodic Fields, Field Equations in Phasor Form

Maxwell’s equations in point (or differential) form for harmonic fields can be readily obtained from Equations 2.9 and 2.10. We define field vectors as complex phasors instead of instantaneous sinusoidal quantities. The moduli of these complex phasors give root mean square values. If these complex phasors are multiplied with $\sqrt{2}$ times the exponential factor $\exp (j \omega t)$, the real part gives the instantaneous expressions for harmonic field of frequency $\omega$. The time derivative of field is simply the phasor field multiplied by $j \omega$. Thus, Maxwell’s equations for harmonic fields are
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \tilde{\boldsymbol{B}}=0 \
\nabla \cdot \tilde{\boldsymbol{D}}=\tilde{\rho} \
\nabla \times \tilde{\boldsymbol{E}}=-j \omega \cdot \tilde{B} \
\nabla \times \tilde{\boldsymbol{H}}=\tilde{J}+j \omega \cdot \tilde{D}
\end{gathered}
$$
In the above equations, phasor quantities are distinguished from instantaneous quantities by placing a cap on each symbol. In subsequent treatment, however, no such distinction is made.

Maxwell’s equations for harmonic fields in homogeneous source-free regions are given as
$$
\nabla \cdot H=0
$$

$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot E=0 \
\nabla \times E=-j \omega \mu \cdot H \
\nabla \times H=\sigma E+j \omega \varepsilon \cdot E
\end{gathered}
$$
Using Equations 2.50 and 2.51a
$$
\nabla \times \nabla \times E=-j \omega \mu \cdot \nabla \times H=-j \omega \mu \cdot(\sigma+j \omega \varepsilon) E
$$
Also,
$$
\nabla \times \nabla \times E \equiv \nabla(\nabla \cdot E)-\nabla^2 E
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Retarded Potentials

Earlier, Maxwell’s equations for time-varying fields were given by Equations 2.9 a through $2.9 \mathrm{~d}$ and the current density by Equation 2.10. Also $B$ was given by Equation 2.35. These are reproduced below:
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \
\nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho \
\nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \
\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \
\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_o+\sigma \boldsymbol{B} \stackrel{\text { def }}{=} \nabla \times A
\end{gathered}
$$
From Equations $2.9 \mathrm{c}$ and 2.35, we get
$$
\nabla \times E=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times A)
$$
For stationary medium, space and time coordinates being independent of each other, we may rewrite this equation as
$$
\nabla \times E=-\nabla \times\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)
$$
Therefore,
$$
\nabla \times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0
$$
In view of Equation 2.54c, we may define
$$
E+\frac{\partial A}{\partial t} \stackrel{\operatorname{def}}{=}-\nabla V
$$
or
$$
\boldsymbol{E}=-\nabla V-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Periodic Fields, Field Equations in Phasor Form

谐波场的点(或微分)形式麦克斯韦方程组可由式2.9和式2.10得到。我们将场矢量定义为复相量，而不是瞬时正弦量。这些复相量的模得到均方根值。如果将这些复相量与$\sqrt{2}$乘以指数因子$\exp (j \omega t)$相乘，则实部给出频率$\omega$的谐波场的瞬时表达式。场的时间导数就是相量场乘以$j \omega$。因此，调和场的麦克斯韦方程组为
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \tilde{\boldsymbol{B}}=0 \
\nabla \cdot \tilde{\boldsymbol{D}}=\tilde{\rho} \
\nabla \times \tilde{\boldsymbol{E}}=-j \omega \cdot \tilde{B} \
\nabla \times \tilde{\boldsymbol{H}}=\tilde{J}+j \omega \cdot \tilde{D}
\end{gathered}
$$
在上述方程中，相量与瞬时量的区别是在每个符号上加一个帽。然而，在随后的治疗中，没有作出这样的区分。

齐次无源区域谐波场的麦克斯韦方程为
$$
\nabla \cdot H=0
$$

$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot E=0 \
\nabla \times E=-j \omega \mu \cdot H \
\nabla \times H=\sigma E+j \omega \varepsilon \cdot E
\end{gathered}
$$
使用公式2.50和2.51a
$$
\nabla \times \nabla \times E=-j \omega \mu \cdot \nabla \times H=-j \omega \mu \cdot(\sigma+j \omega \varepsilon) E
$$
还有，
$$
\nabla \times \nabla \times E \equiv \nabla(\nabla \cdot E)-\nabla^2 E
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Retarded Potentials

之前，时变场的麦克斯韦方程组由式2.9 a至$2.9 \mathrm{~d}$给出，电流密度由式2.10给出。$B$由式2.35给出。现将这些资料转载如下:
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \
\nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho \
\nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \
\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \
\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_o+\sigma \boldsymbol{B} \stackrel{\text { def }}{=} \nabla \times A
\end{gathered}
$$
由式$2.9 \mathrm{c}$和2.35，我们得到
$$
\nabla \times E=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times A)
$$
对于静止介质，空间坐标和时间坐标相互独立，我们可以将方程改写为
$$
\nabla \times E=-\nabla \times\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)
$$
因此，
$$
\nabla \times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0
$$
根据公式2.54c，我们可以定义
$$
E+\frac{\partial A}{\partial t} \stackrel{\operatorname{def}}{=}-\nabla V
$$
或
$$
\boldsymbol{E}=-\nabla V-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations in Integral Form

Posted on 2023年5月22日2023年5月22日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations in Integral Form

Electric lines of force, also called flux lines, emanate from positive electric charge and terminate on negative electric charge. Likewise, in the case of permanent magnets, magnetic flux lines outside the magnet emanate from its north pole and terminate on the south pole. Inside the magnet, the direction of flux lines are reversed, that is, these lines emanate from south pole and terminate on the north pole. Therefore, magnetic flux lines are closed curves. Clearly, the electric flux lines and the magnetic flux lines behave differently. This is because the positive and negative charges exist independently while north and south magnetic poles are not. Therefore, it is possible that only one type of electric charge may reside inside a closed surface. However, no closed surface can enclose only one type of magnetic pole. The total electric flux emanating from a closed surface is defined as the total charge inside the surface. If both positive and negative charges are present inside the surface, the net charge will be the algebraic sum of discrete charges. In the case of distributed charge, the net charge will be the integrated value of the charge density. The magnetic poles being inseparable (magnetic monopoles do not exist in nature even though we may sometimes postulate their existence purely as a mathematical construct), the total magnetic flux emanating from any closed surface is always zero. This leads to the Gauss’s law, or the integral form of Maxwell’s ${ }^1$ equations for magnetic and electric fields
$$
\begin{aligned}
& \oiint_s B \cdot d s=0 \
& \oiint_s \boldsymbol{D} \cdot d s=Q
\end{aligned}
$$
In these equations, $\boldsymbol{B}$ and $\boldsymbol{D}$, respectively, indicate magnetic and electric flux density on the closed surface $s$, and $Q$ indicates net charge inside this surface.
Faraday’s law of electromagnetic induction states that electro-motive-force (e.m.f.), in a closed contour (i.e. closed path), is equal to the rate of decrease of magnetic flux $\varphi$, linking (or passing through) the closed contour. The e.m.f. is defined as the integrated value of the electric field intensity along the closed contour. Therefore,
$$
\text { e.m.f. }=-\frac{d \varphi}{d t}
$$
or
$$
\oint_c E \cdot d l=-\frac{d}{d t} \iint_s B \cdot d s
$$
In these equations, the electric field intensity $E$ is on the closed contour $c$ and the magnetic flux density $\boldsymbol{B}$ is on the surface s, while the contour $c$ is the edge of the open surface s. Equation 2.4 is identified as Maxwell’s third equation in integral form.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations in Point Form

Maxwell’s equations in point (or differential) form can be readily obtained by applying the divergence theorem to Equations 2.1 and 2.2, and using Stokes theorem to Equations 2.4 and 2.8. The resulting equations are
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot B=0 \
\nabla \cdot D=\rho \
\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t} \
\nabla \times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}
\end{gathered}
$$
In Equation 2.9b, the volume charge density $\rho$, at a given point, is a source for electric field. In Equation 2.9d, the current density $J$ has two components
$$
J=J_o+\sigma E
$$
where $J_o$ indicates current source density, while the second term $(\sigma E)$ indicates induced current density in a conductor with conductivity $\sigma$.

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations in Integral Form

电力线，也称为通量线，由正电荷发出，以负电荷终止。同样，在永久磁铁的情况下，磁铁外部的磁通量线从其北极发出，终止于南极。在磁体内部，磁通线的方向是相反的，即磁通线从南极发出，终止于北极。因此，磁通量线是封闭曲线。显然，电通量线和磁通量线的表现是不同的。这是因为正电荷和负电荷是独立存在的，而南北磁极则不是。因此，有可能在一个封闭的表面内只存在一种电荷。然而，没有一个封闭的表面可以只包含一种类型的磁极。从封闭表面发出的总电通量定义为表面内的总电荷。如果表面内同时存在正电荷和负电荷，则净电荷将是离散电荷的代数和。在分布电荷的情况下，净电荷将是电荷密度的积分值。磁极是不可分割的(磁单极子在自然界中并不存在，尽管我们有时可以把它们纯粹作为一种数学结构来假设)，从任何封闭表面发出的总磁通量总是零。这就引出了高斯定律，或者麦克斯韦的${ }^1$磁场和电场方程的积分形式
$$
\begin{aligned}
& \oiint_s B \cdot d s=0 \
& \oiint_s \boldsymbol{D} \cdot d s=Q
\end{aligned}
$$
式中$\boldsymbol{B}$和$\boldsymbol{D}$分别表示封闭表面$s$上的磁通密度和电通密度，$Q$表示封闭表面内的净电荷。
法拉第电磁感应定律指出，在封闭轮廓(即封闭路径)中，电动势(e.m.f)等于连接(或穿过)封闭轮廓的磁通量降低率$\varphi$。电动势定义为电场强度沿闭合轮廓的积分值。因此，
$$
\text { e.m.f. }=-\frac{d \varphi}{d t}
$$
或
$$
\oint_c E \cdot d l=-\frac{d}{d t} \iint_s B \cdot d s
$$
其中，电场强度$E$在闭合轮廓$c$上，磁通密度$\boldsymbol{B}$在曲面s上，而轮廓$c$为开放表面s的边缘。将式2.4确定为麦克斯韦第三方程的积分形式。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations in Point Form

将散度定理应用于方程2.1和2.2，将Stokes定理应用于方程2.4和2.8，可以很容易地得到点(或微分)形式的Maxwell方程。得到的方程是
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot B=0 \
\nabla \cdot D=\rho \
\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t} \
\nabla \times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}
\end{gathered}
$$
在式2.9b中，给定点的体积电荷密度$\rho$是电场的来源。在式2.9d中，电流密度$J$有两个分量
$$
J=J_o+\sigma E
$$
其中$J_o$表示电流源密度，而第二项$(\sigma E)$表示导电率$\sigma$的导体中的感应电流密度。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|ELEC3104

Posted on 2023年3月14日2023年3月14日 by statistics-lab

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电磁学是电荷、磁矩和电磁场之间的物理互动。电磁场可以是静态的，缓慢变化的，或形成波。电磁波一般被称为光，遵守光学定律。

我们提供的电磁学electromagnetism及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The pH and Equilibrium Constant

The dissociation constant of water molecules manifests the competition between the energy of binding and the entropy of charge liberation. It requires considering the interchange of energetic $(E)$ and entropic $(S)$ effects in controlling the separation to examine $\mathrm{pH}$ from a quantitative viewpoint. The competition between energy minimization (bound water molecule state) and entropy maximum (ionic dissociation of water) sets the stage for many biological reactions.
The reaction for dissociation of a water molecule is
$$
\mathrm{H}_2 \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{OH}^{-}
$$

The problem is to find the fraction of water molecules that are in dissociated state in a sample of water. Equilibrium constant is gives as
$$
K_{\mathrm{eq}}=\left(\prod_i^N c_{i 0}^{\nu_i}\right) \exp \left(-\beta \sum_i^N \mu_{i 0} \nu_i\right)
$$
In Eq. (11.2), $\beta=1 / k_B T$ (where $k_B$ is Boltzmann’s constant and $T$ is the temperature), $\mu_{i 0}$ is the standard chemical potential, and
$$
\mu_i=\mu_{i 0}+k_B T \ln \left(\frac{c_i}{c_{i 0}}\right)
$$
where $c_{i 0}$ is the standard state concentration of the $i$ component. $\nu_i$ is the stoichiometric coefficient that equals the change in the number of particles of the $i$-th component during reaction:
$$
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightleftharpoons \mathrm{AB}
$$
In Eq. (11.4), $\nu_{\mathrm{A}}=\nu_{\mathrm{B}}=-1$ and $\nu_{\mathrm{AB}}=1$. On the other hand, for reaction given by Eq. (11.1), $\nu_{\mathrm{H}^{+}}=\nu_{\mathrm{OH}^{-}}=+1$ and $\nu_{\mathrm{H}2 \mathrm{O}}=-1$. The dissociation constant is defined as $$ K{\mathrm{d}}=\frac{1}{K_{\mathrm{eq}}}
$$
The law of mass action implies that
$$
K_{\mathrm{eq}}=\prod_i^N c_i^{\nu_i}
$$
which is known as the law of mass action.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Charge on DNA and Proteins

The charge state of a macromolecule depends on $\mathrm{pH}$ of the solution. On the other hand, the charge state of the macromolecule is important in determining both their structure and function in solution. Here, we discuss how the charge state is tuned, by considering the following reaction:
$$
\mathrm{HM} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{M}^{-} .
$$
Here, $M$ is the macromolecule of interest. From the equation of the law of mass action, the dissociation constant becomes:
$$
K_{\mathrm{d}}=\frac{c_{\mathrm{H}^{+}} \cdot c_{\mathrm{M}^{-}}}{c_{\mathrm{HM}}}
$$
We introduce $\mathrm{pK}$ to measure the tendency of the macromolecule to undergo the dissociation reaction as
$$
\mathrm{pK}=-\log {10} K{\mathrm{d}} .
$$”

Or,
$$
\begin{aligned}
+\log {10} K{\mathrm{d}} & =\log {10} c{\mathrm{H}^{+}}+\log {10} c{\mathrm{M}^{-}}-\log {10} c{\mathrm{HM}} \
& =-\mathrm{pH}+\log {10} c{\mathrm{M}^{-}}-\log {10} c{\mathrm{HM}} .
\end{aligned}
$$
Combining Eqs. (11.16) and (11.17), we obtain
$$
\mathrm{pH}=\mathrm{pK}+\log {10}\left(\frac{c{\mathrm{M}^{-}}}{c_{\mathrm{HM}}}\right)
$$
which is known as Hendersen-Hasselbalch equation.
If $c_{\mathrm{M}^{-}}=c_{\mathrm{HM}}$, then $\mathrm{pH}=\mathrm{pK}$. That corresponds to the $\mathrm{pH}$ at which half of $\mathrm{HM}$ molecules are dissociated. Therefore, $\mathrm{pK}$ equals $\mathrm{pH}$ at which half of macromolecules have been dissociated.
Consider a DNA, which has a $\mathrm{pK}$ such that $\mathrm{pK} \approx 1$. Then,
$$
\mathrm{pH}=1+\log {10}\left(\frac{c{\mathrm{DNA}^{-}}}{c_{\mathrm{HDNA}}}\right) \text {. }
$$
Using Eq. (11.19), at normal pH (that is, $\mathrm{pH}=7$ ), phosphates on the DNA backbones are fully dissociated. That is, two electronic charges for every base pair, or a linear charge density:
$$
\lambda=\frac{2 e}{0.34 \mathrm{~nm}}
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The pH and Equilibrium Constant

水分子的解离常数体现了结合能与电荷释放熵之间的竞争。它需要考虑能量的交换 $(E)$ 和樀 $(S)$ 控制分离检查的效果 $\mathrm{pH}$ 从定量的角度来看。能量最小化 (结合水分子状态) 和樀最大 (水的离子解离) 之间的竞争为许多生物反应奠定了基础。水分子的解离反应是
$$
\mathrm{H}2 \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{OH}^{-} $$ 问题是找到水样中处于离解状态的水分子的分数。平衡常数为 $$ K{\mathrm{eq}}=\left(\prod_i^N c_{i 0}^{\nu_i}\right) \exp \left(-\beta \sum_i^N \mu_{i 0} \nu_i\right)
$$
在等式中。(11.2), $\beta=1 / k_B T$ (在哪里 $k_B$ 是玻尔兹曼常数，并且 $T$ 是温度)， $\mu_{i 0}$ 是标准化学势，并
$$
\mu_i=\mu_{i 0}+k_B T \ln \left(\frac{c_i}{c_{i 0}}\right)
$$
在哪里 $c_{i 0}$ 是标准状态浓度 $i$ 成分。 $\nu_i$ 是化学计量系数，等于粒子数的变化 $i$ – 反应过程中的第一个组分:
$$
A+B \rightleftharpoons A B
$$
在等式中。(11.4), $\nu_{\mathrm{A}}=\nu_{\mathrm{B}}=-1$ 和 $\nu_{\mathrm{AB}}=1$. 另一方面，对于方程式给出的反应。(11.1), $\nu_{\mathrm{H}^{+}}=\nu_{\mathrm{OH}^{-}}=+1$ 和 $\nu_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}}=-1$. 解离常数定义为
$$
K \mathrm{~d}=\frac{1}{K_{\mathrm{eq}}}
$$
群众行动定律意味着
$$
K_{\mathrm{eq}}=\prod_i^N c_i^{\nu_i}
$$
这就是众所周知的质量作用定律。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Charge on DNA and Proteins

大分子的电荷态取决于 $\mathrm{pH}$ 的解决方案。另一方面，大分子的电荷状态对于确定它们在溶液中的结构和功能很重要。在这里，我们通过考虑以下反应来讨论如何调整电荷状态:
$$
\mathrm{HM} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{M}^{-} .
$$
这里， $M$ 是感兴趣的大分子。根据质量作用定律的方程式，解离常数变为:
$$
K_{\mathrm{d}}=\frac{c_{\mathrm{H}^{+}} \cdot c_{\mathrm{M}^{-}}}{c_{\mathrm{HM}}}
$$
我们介绍pK测量大分子发生解离反应的趋势
$$
\mathrm{pK}=-\log 10 K \mathrm{~d}
$$
或者，
$$
+\log 10 K \mathrm{~d}=\log 10 c \mathrm{H}^{+}+\log 10 c \mathrm{M}^{-}-\log 10 c \mathrm{HM} \quad=-\mathrm{pH}+\log 10 c \mathrm{M}^{-}-\log 10 c \mathrm{HM} .
$$
结合方程式。(11.16) 和 (11.17)，我们得到
$$
\mathrm{pH}=\mathrm{pK}+\log 10\left(\frac{c \mathrm{M}^{-}}{c_{\mathrm{HM}}}\right)
$$
称为 Hendersen-Hasselbalch 方程。
如果 $c_{\mathrm{M}^{-}}=c_{\mathrm{HM}}$ ，然后 $\mathrm{pH}=\mathrm{pK}$. 这对应于 $\mathrm{pH}$ 在哪一半 $\mathrm{HM}$ 分子解离。所以， $\mathrm{pK}$ 等于 $\mathrm{pH}$ 其中一半的大分子已经解离。
考虑一个 DNA，它有一个 $\mathrm{pK}$ 这样 $\mathrm{pK} \approx 1$. 然后，
$$
\mathrm{pH}=1+\log 10\left(\frac{c \mathrm{DNA}^{-}}{c_{\mathrm{HDNA}}}\right) .
$$
使用方程式。(11.19)，在正常 $\mathrm{pH}$ 值下（即， $\mathrm{pH}=7$ )， DNA 主链上的磷酸盐完全解离。也就是说，每个碱基对有两个电子电荷，或线性电荷密度:
$$
\lambda=\frac{2 e}{0.34 \mathrm{~nm}}
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

Posted on 2023年3月14日2023年3月14日 by statistics-lab

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Power in the AC Circuit

In the case of the $\mathrm{AC}$ circuit, the instantaneous power delivered by the generator is
$$
\begin{aligned}
\mathcal{P} & =i(t) \cdot \Delta V(t) \
& =\left(I_0 \sin (\omega t-\phi)\right) \cdot\left(V_0 \sin (\omega t)\right)
\end{aligned}
$$
which corresponds to the general case of the RLC series in an $\mathrm{AC}$ circuit. Using the trigonometric relationship:
$$
\sin (\alpha \pm \beta)=\sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \cos (\alpha) \sin (\beta)
$$

we can write Eq. (10.165) as follows:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{P} & =I_0 V_0(\sin (\omega t) \cos (\phi)-\cos (\omega t) \sin (\phi)) \sin (\omega t) \
& =I_0 V_0\left(\sin ^2(\omega t) \cos (\phi)-\sin (\omega t) \cos (\omega t) \sin (\phi)\right) \
& =I_0 V_0\left(\sin ^2(\omega t) \cos (\phi)-\frac{1}{2} \sin (2 \omega t) \sin (\phi)\right)
\end{aligned}
$$
The average delivered power for a period $T$ is then calculated as
$$
\begin{aligned}
\mathcal{P}_{\mathrm{av}} & =\frac{1}{T} \int_0^T \mathcal{P}(t) d t \
& =\frac{I_0 V_0}{T} \int_0^T\left(\sin ^2(\omega t) \cos (\phi)-\frac{1}{2} \sin (2 \omega t) \sin (\phi)\right) d t \
& =\frac{I_0 V_0}{T}\left(\cos (\phi) \int_0^T \sin ^2(\omega t) d t-\frac{1}{2} \sin (\phi) \int_0^T \sin (2 \omega t) d t\right) \
& =\frac{I_0 V_0}{T}\left(\cos (\phi) \int_0^T \frac{1-\cos (2 \omega t)}{2} d t\right. \
& \left.+\frac{1}{4 \omega} \sin (\phi)(\cos (2 \omega T)-\cos (0))\right) \
& =\frac{I_0 V_0}{T}\left(\cos (\phi) \frac{T}{2}+0\right) \
& =\frac{I_0 V_0}{2} \cos (\phi)
\end{aligned}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Resonance in the RLC Series Circuit

The current rms is given by
$$
I_{\mathrm{mss}}=\frac{V_{\text {rms }}}{Z}
$$
where $Z$ is given by Eq. (10.159). Therefore, we can also write that
$$
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}
$$
From Eq. (10.176), if $X_L=X_C$, we say that there is a resonance; that is,
$$
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{R}
$$
That indicates that $I_{\mathrm{rms}}$ has maximum value. The frequency for which that occurs can be found using the following relation:
$$
\omega_0 L=\frac{1}{\omega_0 C}
$$
where $\omega_0$ denotes the resonance frequency, which can be obtained as $$
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}
$$
Besides, using Eq. (10.176), we obtain
$$
\begin{aligned}
I_{\mathrm{rms}} & =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}} \
& =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\omega^2 L C-1}{\omega C}\right)^2}}
\end{aligned}
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Power in the AC Circuit

在的情况下 $\mathrm{AC}$ 电路中，发电机提供的瞬时功率为
$$
\mathcal{P}=i(t) \cdot \Delta V(t) \quad=\left(I_0 \sin (\omega t-\phi)\right) \cdot\left(V_0 \sin (\omega t)\right)
$$
这对应于 RLC 系列的一般情况AC电路。使用三角关系：
$$
\sin (\alpha \pm \beta)=\sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \cos (\alpha) \sin (\beta)
$$
我们可以写出方程式。(10.165) 如下:
$$
\mathcal{P}=I_0 V_0(\sin (\omega t) \cos (\phi)-\cos (\omega t) \sin (\phi)) \sin (\omega t) \quad=I_0 V_0\left(\sin ^2(\omega t) \cos (\phi)-\sin (\omega t) \cos \right.
$$
一段时间内的平均输送功率 $T$ 然后计算为
$$
\mathcal{P}_{\mathrm{av}}=\frac{1}{T} \int_0^T \mathcal{P}(t) d t \quad=\frac{I_0 V_0}{T} \int_0^T\left(\sin ^2(\omega t) \cos (\phi)-\frac{1}{2} \sin (2 \omega t) \sin (\phi)\right) d t=\frac{I_0 V_0}{T}(\mathrm{cc}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Resonance in the RLC Series Circuit

当前有效值由下式给出
$$
I_{\mathrm{mss}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}
$$
在哪里 $Z$ 由方程式给出。(10.159)。因此，我们也可以这样写
$$
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}
$$
从等式。(10.176)，如果 $X_L=X_C$ ，我们说有共振；那是，
$$
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{R}
$$
这表明 $I_{\mathrm{rms}}$ 有最大值。可以使用以下关系找到发生这种情况的频率:
$$
\omega_0 L=\frac{1}{\omega_0 C}
$$
在哪里 $\omega_0$ 表示共振频率，可以作为
$$
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}
$$
此外，使用方程式。(10.176)，我们得到
$$
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\omega^2 L C-1}{\omega C}\right)^2}}
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

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电磁学是电荷、磁矩和电磁场之间的物理互动。电磁场可以是静态的，缓慢变化的，或形成波。电磁波一般被称为光，遵守光学定律。

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Statistical Inference 统计推断
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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Multipole Expansion

Equation (8.66) gives the vector potential of the magnetic field in terms of the current density $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ in a localized finite volume $V$. Furthermore, $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ is zero outside the volume. Suppose that we are interested on finding $A$ outside that volume. For that, similar to scalar potential in electrostatics, we expand the term $1 /\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|$ around $\mathbf{r}^{\prime}=0$ using Taylor expansion, as given by Eq. (3.50) (Chap. 3).
Assuming that $|\mathbf{r}| \gg\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|$, we can rewrite Eq. (8.66) as follows:

$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}}{r^3}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^3 \frac{3 x_i^{\prime} x_j^{\prime}-\delta_{i j}\left(r^{\prime}\right)^2}{r^5} x_i x_j+\cdots\right) d \mathbf{r}^{\prime}
$$
Equation (8.75) can be considered sum of three contributions, namely, $\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_3$, if we neglect higher order term in the expansion.

The first term, which corresponds to the monopole term in the electrostatic expansion, is
$$
\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \mathbf{r}^{\prime}=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_A\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right) d A
$$
where the integration is over the surface enclosing the volume $V$ and Stokes’ formula is used. Using the continuity equation of the current density $(\rho=0)$ :
$$
\nabla \cdot \mathbf{J}=0
$$
we obtain
$$
\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=0
$$
which indicates that there are no isolated magnetic monopoles (or magnetic charges).
To calculate the second term of the expansion, we use the following mathematical relation:
$$
\mathbf{c} \times(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}-\mathbf{b}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})+\mathbf{a}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}
$$
with $\mathbf{r} \equiv \mathbf{c}, \mathbf{r}^{\prime} \equiv \mathbf{a}$ and $\mathbf{J} \equiv \mathbf{b}$, we obtain
$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \times\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{J}\right) & =(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{J}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime}\right)+\mathbf{r}^{\prime}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{J})-\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right) \mathbf{J} \
& =2(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-2 \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right)
\end{aligned}
$$
Or,
$$
\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right)=(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-\frac{1}{2} \mathbf{r} \times\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{J}\right)
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy of the Magnetic Field

Consider a steady current-carrying single circuit. When the magnetic flux through the circuit changes, an electromotive force $\varepsilon$ is induced around it, based on Faraday’s law. To maintain a constant current in the circuit, the external sources, such as the battery, must do work. The rate change of the work is
$$
\frac{d W}{d t}=-I \varepsilon=I \frac{d \Phi_B}{d t}
$$
where $\Phi_B$ is the magnetic flux through the circuit and the negative sign is due to Lenz’s law. Form Eq. (8.95), the work done by the sources to keep current constant for a change of the magnetic flux with $d \Phi_B$ is
$$
\delta W=I \delta \Phi_B
$$
Consider an element of the circuit with cross-sectional surface area $\Delta S$ perpendicular to the direction of the current flow, then $I=J \Delta S$. Then, Eq. (8.96) can be written as
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \int_A \delta \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}
$$
where $A$ is the surface area of circuit, and $d \mathbf{A}=\mathbf{n} d A$ is an small surface element with $\mathbf{n}$ a unit normal vector to the surface of the circuit. Using Eq. (8.67), we obtain
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \int_A(\nabla \times \delta \mathbf{A}) \cdot \mathbf{n} d A
$$
Applying Stokes’ theorem, we write Eq. (8.98) in the following form:
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \oint_{\mathcal{L}} \delta \mathbf{A} \cdot d \mathbf{s}
$$
where $\mathcal{L}$ is a closed contour line of the portion of circuit and $d \mathbf{s}$ is a small element in this contour parallel to the current density vector $\mathbf{J}$. Therefore, $J \Delta S d \mathbf{s}=\mathbf{J} d V$, where $d V=d \mathbf{r}$ is a volume element. Summing up all those closed path portion of the circuit, we obtain the total increment of work done by the external sources due to a change of magnetic field $\delta \mathbf{A}$ :
$$
\delta W-\int_V \delta \mathbf{A}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{J} d \mathbf{r}
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Multipole Expansion

方程 (8.66) 根据电流密度给出了磁场的矢势 $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ 在局部有限体积中 $V$. 此外， $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ 在体积外为零。假设我们有兴趣找到 $A$ 在那个体积之外。为此，类似于静电学中的标量势，我们扩展了术语 $1 /\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| 大$ 约 $\mathbf{r}^{\prime}=0$ 使用泰勒展开，如方程式所示。(3.50) (第 3 章)。
假如说 $|\mathbf{r}| \gg\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|$ ，我们可以重写方程式。(8.66) 如下:
$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}}{r^3}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^3 \frac{3 x_i^{\prime} x_j^{\prime}-\delta_{i j}\left(r^{\prime}\right)^2}{r^5} x_i x_j+\cdots\right) d \mathbf{r}^{\prime}
$$
方程 (8.75) 可以被认为是三个贡献的总和，即 $\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1$ 和 $\mathbf{A}_3$ ，如果我们忽略展开式中的高阶项。
第一项对应于静电膨胀中的单极子项，是
$$
\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \mathbf{r}^{\prime}=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_A\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right) d A
$$
其中积分在包围体积的表面上 $V$ 并使用 Stokes 公式。使用电流密度的连续性方程 $(\rho=0)$ :
$$
\nabla \cdot \mathbf{J}=0
$$
我们获得
$$
\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=0
$$
这表明不存在孤立的磁单极子 (或磁荷)。为了计算展开式的第二项，我们使用以下数学关系式:
$$
\mathbf{c} \times(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}-\mathbf{b}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})+\mathbf{a}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}
$$
和 $\mathbf{r} \equiv \mathbf{c}, \mathbf{r}^{\prime} \equiv \mathbf{a}$ 和 $\mathbf{J} \equiv \mathbf{b}$ ，我们获得
$$
\mathbf{r} \times\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{J}\right)=(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{J}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime}\right)+\mathbf{r}^{\prime}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{J})-\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right) \mathbf{J}=2(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-2 \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right)
$$或者，
$$
\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}\right)=(\mathbf{J} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}^{\prime}-\frac{1}{2} \mathbf{r} \times\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{J}\right)
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy of the Magnetic Field

考虑一个稳定的载流单电路。当通过电路的磁通量发生变化时，电动势 $\varepsilon$ 根据法拉第定律，在它周围被感应。为了保持电路中的恒定电流，外部电源（例如电池）必须工作。功的变化率是
$$
\frac{d W}{d t}=-I \varepsilon=I \frac{d \Phi_B}{d t}
$$
在哪里 $\Phi_B$ 是通过电路的磁通量，负号是由于楞次定律。形成方程式。(8.95)，源为保持电流恒定而改变磁通量所做的功 $d \Phi_B$ 是
$$
\delta W=I \delta \Phi_B
$$
考虑具有横截面积的电路元件 $\Delta S$ 垂直于电流流动方向，则 $I=J \Delta S$. 然后，方程式。(8.96) 可以写成
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \int_A \delta \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}
$$
在哪里 $A$ 是电路的表面积，和 $d \mathbf{A}=\mathbf{n} d A$ 是一个小的表面元素 $\mathbf{n}$ 电路表面的单位法向量。使用方程式。 (8.67)，我们得到
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \int_A(\nabla \times \delta \mathbf{A}) \cdot \mathbf{n} d A
$$
应用斯托克斯定理，我们写出方程式。(8.98) 的形式如下:
$$
\Delta(\delta W)=J \Delta S \oint_{\mathcal{L}} \delta \mathbf{A} \cdot d \mathbf{s}
$$
在哪里 $\mathcal{L}$ 是电路部分的闭合轮廓线，并且 $d \mathbf{s}$ 是该轮廓中平行于电流密度矢量的一个小元素 $\mathbf{J}$. 所以， $J \Delta S d \mathbf{s}=\mathbf{J} d V$ ，在哪里 $d V=d \mathbf{r}$ 是体积元素。总结电路的所有这些闭合路径部分，我们获得了由于磁场变化而由外部源所做的功的总增量 $\delta \mathbf{A}$ :
$$
\delta W-\int_V \delta \mathbf{A}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{J} d \mathbf{r}
$$

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|ELEC3104

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations of Magnetism

Now, we present Maxwell’s equations that characterize the magnetic phenomena. These laws include all the laws of the magnetism discussed in this chapter. Thus, we assume here that $\mathbf{E}=0$.

First, we start with Maxwell’s equations in free space. In the following, we write these equations in the integral form:
$$
\begin{aligned}
& \oint_{\mathcal{L}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s}=\mu_0 I \
& \oint_A \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}-0
\end{aligned}
$$
In Eq. (8.51), the first Maxwell’s equation is Ampére’s law, where the first term on the right-hand side gives the net current through the open surface enclosed by the contour $\mathcal{L}$. The second Maxwell’s equation in Eq. (8.51) implies that magnetic field flux through a closed surface is equal to zero. Alternatively, the net number of magnetic field lines passing through a closed surface is zero, that is, so many magnetic lines are leaving the closed surface as entering it. That indicates that there do not exist free magnetic poles.

It is important to note that in Eq. (8.51) we have assumed that $\mathbf{B}$ is only a function of the position $\mathbf{r}$. In the next chapter (Chap. 9), we will discuss the magnetic and electrostatic fields that depend on both position $\mathbf{r}$ and time $t$.

Equation (8.51) can also be written in a differential form. For instance, the differential form of the first Maxwell’s equation is defined using Stokes’ formula and current density vector $\mathbf{J}$ as follows:
$$
\begin{aligned}
\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} & =\int_A(\nabla \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{A} \
& =\mu_0 \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A}
\end{aligned}
$$
Comparing both sides in Eq. (8.52), we obtain the first Maxwell’s equation of magnetism in the following differential form:
$$
\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Vector Potential

We return to Biot-Savart law, and rewrite it as follows (refer also to Fig. 8.14):

$$
\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \nabla \times \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}
$$
where we have used that
$$
\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)=-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}
$$
and
$$
\frac{I d \mathbf{s} \times \hat{\mathbf{r}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^2}=-d \mathbf{r}^{\prime} \frac{\left(\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \times \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}
$$
where $d V=d \mathbf{r}^{\prime}$ is a small volume element, as indicated in Fig. 8.14. We can now introduce a vector potential of the magnetic field as
$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}
$$
and the magnetic field can be written as
$$
\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})
$$
In general, the vector potential is defined up to the gradient of an arbitrary scalar function $\Psi(\mathbf{r})$, that is,
$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}+\nabla \Psi(\mathbf{r})
$$

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Maxwell’s Equations of Magnetism

现在，我们介绍表征磁现象的麦克斯韦方程组。这些定律包括本章讨论的所有磁学定律。因此，我们在这里假设 $\mathbf{E}=0$.
首先，我们从自由空间中的麦克斯韦方程组开始。下面，我们将这些方程写成积分形式：
$$
\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s}=\mu_0 I \quad \oint_A \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}-0
$$
在等式中。(8.51)，第一个麦克斯韦方程是安培定律，其中右侧的第一项给出了通过轮廓所包围的开放表面的净电流 $\mathcal{L}$. 等式中的第二个麦克斯韦方程。(8.51) 意味着通过封闭表面的磁场通量等于零。或者，穿过封闭曲面的磁力线的净数量为零，也就是说，离开封闭曲面的磁力线与进入封闭曲面的磁力线一样多。这表明不存在自由磁极。
重要的是要注意在方程式中。(8.51) 我们假设 $\mathbf{B}$ 只是位置的函数 $\mathbf{r}$. 在下一章（第 9 章) 中，我们将讨论取决于两个位置的磁场和静电场 $\mathbf{r}$ 和时间 $t$.
方程（8.51) 也可以写成微分形式。例如，第一个麦克斯韦方程的微分形式是使用斯托克斯公式和电流密度矢量定义的 $\mathbf{J}$ 如下：
$$
\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s}=\int_A(\nabla \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{A} \quad=\mu_0 \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A}
$$
比较方程式的两边。(8.52)，我们得到磁的第一个麦克斯韦方程的微分形式如下:
$$
\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Vector Potential

我们回到 Biot-Savart 定律，将其改写如下（另请参见图 8.14）：
$$
\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \nabla \times \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}
$$
我们用过的地方
$$
\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)=-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}
$$
和
$$
\frac{I d \mathbf{s} \times \hat{\mathbf{r}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^2}=-d \mathbf{r}^{\prime} \frac{\left(\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \times \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}
$$
在哪里 $d V=d \mathbf{r}^{\prime}$ 是一个小体积元素，如图 $8.14$ 所示。我们现在可以引入磁场的矢量势作为
$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}
$$
磁场可以写成
$$
\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})
$$
通常，矢量势被定义为任意标量函数的梯度 $\Psi(\mathbf{r})$ ，那是，
$$
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}+\nabla \Psi(\mathbf{r})
$$

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Faraday’s Law of Induction

In 1831, Faraday was the first who observed quantitatively the phenomena related to time-dependent electric and magnetic fields. In particular, the behavior of currents in circuits was observed when placed in a time-varying magnetic field. Faraday found that a transient current is induced in a loop if the steady current flow in an adjacent circuit is turned on orf. Also, he observed that when the circuit moves relative to the circuit in which a constant current is flowing, then a current is induced in the moving circuit. Moreover, Faraday observed that when a magnet is approaching or moving away from a circuit, then a current is produced in the circuit. Similarly, he found that no current is induced when the current flow on the second circuit was not changing or when either the second circuit or magnet was not moving relative to the first circuit.

Faraday explained the observation of the induced current with the change of the magnetic flux linked by the circuit. That is, the change in the magnetic flux induces an electric field around the circuit; the line integral of the induced electric field yields a potential difference, called electromotive force, $\varepsilon$. Then, the electromotive force produces a current flow based on Ohm’s law.

To obtain a mathematical formulation of Faraday’s law, we consider the circuit $\mathcal{L}$ bounded by an open surface $A$ with unit normal vector $\mathbf{n}$, as shown in Fig. 8.7. Furthermore, the magnetic field $\mathbf{B}$ near the circuit is shown. The magnetic flux through the surface of circuit is given by
$$
\Phi_R=\int_A \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}
$$
where $d \mathbf{A}=\mathbf{n} d A$ with $d A$ being a small surface element (see Fig. 8.7). The electromotive force around the circuit or induced voltage is given as
$$
\varepsilon=-\left(-\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{E}{i n d} \cdot d \mathbf{s}\right)=\oint{\mathcal{L}} \mathbf{E}_{i n d} \cdot d \mathbf{s}
$$
The first minus sign in Eq. (8.37) indicates that the polarity of induced electromotive force, $\varepsilon$, is opposing the change on the magnetic flux, $\Phi_B$. That is, induced electromotive force produces a current in the circuit, which creates a magnetic field, based on Biot-Savart’s law, to oppose the change in the magnetic flux $\Phi_B$ through the area enclosed by the current circuit. That is known as Lenz’s law.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Rowland Ring Apparatus

Consider a ferromagnetic material, which consists of a torus made up of some material (for example, iron) within $N$ turns of wire, as shown in Fig. 8.10. Another coil is connected to a galvanometer $(\mathrm{G})$, which is used to measure the total magnetic flux through the torus.

To measure the magnetic field $\mathbf{B}$ in the torus, the current in the toroid increases from zero to some maximum value $I$ :

$$
\begin{aligned}
B & =\mu_0 N I /(2 \pi r) \
\oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} & =\mu_0 N I
\end{aligned}
$$
As the current increases, the magnetic flux through the second coil connected to $\mathrm{G}$ changes by
$$
\Phi_B=B A
$$
In Eq. (8.48), $A$ is the cross-sectional surface area of the toroid. Based on Faraday’s law, the change on flux induces an electromotive force in the secondary coil:
$$
|\varepsilon|=\frac{d \Phi_B}{d t}
$$
If the galvanometer is calibrated in advance, the value of the current in the primary coil corresponds to a value of $\mathbf{B}$. First, the magnetic field $\mathbf{B}$ is measured in the absence of the torus, and then in the presence of the torus. In that way, the magnetic properties of the torus material can be obtained by comparing the magnetic field in the two measurements.

Consider a torus made of iron with no magnetization. When the current in the primary coil increases from zero to its maximum value $I$, the magnitude of the magnetic field strength $H$ increases according to
$$
H=n I
$$
Fig. $8.11$ shows that the magnitude of the total field $\mathbf{B}$ also increases with $I$, along the curve from point $O$ to point $a$. At $O$, the domains in the iron are randomly oriented, and hence $B_m=0$. With increasing further the current in the primary coil, the external field $\mathbf{B}_0$ increases, and the domains become nearly aligned at point $a$. At point $a$, the iron core is approaching saturation in which all domains in the iron are aligned. If the current decreases slowly to zero, the external field $\mathbf{B}_0$ also decreases to zero, following the path $a b$, as shown in Fig. 8.11. At the point, $b, B \neq 0$, only the external field is $\mathbf{B}_0=0$ because the iron is magnetized due to the alignment of a large number of its domains (that is, $\mathbf{B}=\mathbf{B}_m$ ). Therefore, the iron has a remanent magnetization. The curve giving $B$ as a function of $H$ is called the magnetization curve.

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Faraday’s Law of Induction

1831 年，法拉第第一个定量地观察到与时间相关的电场和磁场相关的现象。特别是，当置于时变磁场中时，观察到电路中电流的行为。法拉第发现，如果相邻电路中的稳定电流导通或打开，则环路中会感应出瞬态电流。此外，他还观察到，当电路相对于其中流过恒定电流的电路移动时，在移动的电路中会感应出电流。此外，法拉第观察到，当磁铁接近或远离电路时，电路中会产生电流。类似地，他发现当第二个电路上的电流没有变化时，或者当第二个电路或磁铁相对于第一个电路没有移动时，没有感应电流。
法拉第解释了观察到的感应电流随电路链接的磁通量的变化。即磁通量的变化在电路周围感应出电场；感应电场的线积分产生电位差，称为电动势， $\varepsilon$. 然后，电动势根据欧姆定律产生电流。
为了获得法拉第定律的数学公式，我们考虑电路 $\mathcal{L}$ 以开放表面为界 $A$ 单位法向量 $\mathbf{n}$ ，如图 $8.7$ 所示。此外，磁场B附近的电路显示。通过电路表面的磁通量由下式给出
$$
\Phi_R=\int_A \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}
$$
在哪里 $d \mathbf{A}=\mathbf{n} d A$ 和 $d A$ 是一个小的表面元素（见图 8.7）。电路周围的电动势或感应电压为
$$
\varepsilon=-\left(-\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{E} i n d \cdot d \mathbf{s}\right)=\oint \mathcal{L} \mathbf{E}_{i n d} \cdot d \mathbf{s}
$$
等式中的第一个减号。(8.37) 表示感应电动势的极性， $\varepsilon$ ，与磁通量的变化相反， $\Phi_B$. 即感应电动势在电路中产生电流，从而产生磁场，根据毕奥-萨伐尔定律，与磁通量的变化相反 $\Phi_B$ 通过电流电路所包围的区域。这就是众所周知的楞次定律。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Rowland Ring Apparatus

考虑一种铁磁材料，它由一个环面组成，环面由内部的某种材料 (例如铁) 组成 $N$ 绕线，如图 $8.10$ 所示。另一个线圈连接到检流计 $(G)$ ，用于测量通过环面的总磁通量。
测量磁场B在环面中，环面中的电流从零增加到某个最大值 $I$ :
$$
B=\mu_0 N I /(2 \pi r) \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} \quad=\mu_0 N I
$$
随着电流的增加，通过连接到第二个线圈的磁通量G改变
$$
\Phi_B=B A
$$
在等式中。(8.48), $A$ 是环形线圈的横截面积。根据法拉第定律，磁通量的变化会在次级线圈中感应出电动势:
$$
|\varepsilon|=\frac{d \Phi_B}{d t}
$$
如果事先校准检流计，则初级线圈中的电流值对应于B. 一、磁场B在没有环面的情况下测量，然后在环面存在的情况下测量。这样，可以通过比较两次测量中的磁场来获得环面材料的磁性。
考虑一个没有磁化的铁制成的环面。当初级线圈中的电流从零增加到最大值时 $I$ ，磁场强度的大小 $H$ 根据增加
$$
H=n I
$$
如图。8.11表明总场的大小 $\mathrm{B}$ 也随着 $I$, 沿曲线从点 $O$ 指向 $a$. 在 $O$ ，铁中的畴是随机取向的，因此 $B_m=0$. 随着初级线圈中电流的进一步增加，外场 $\mathbf{B}_0$ 增加，域几乎对齐 $a$. 在点 $a$ ，铁芯接近饱和，其中铁中的所有磁畴都对齐。如果电流缓㦒减小到零，则外场 $\mathbf{B}_0$ 也减少到零，沿看路径 $a b$ ，如图 8.11 所示。当时， $b, B \neq 0$, 只有外场是 $\mathbf{B}_0=0$ 因为铁由于其大量域的对齐而被磁化 (即， $\mathbf{B}=\mathbf{B}_m$ ). 因此，铁具有剩磁。曲线给出 $B$ 作为函数 $H$ 称为磁化曲线。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Field Lines

By definition, electric field lines are drawn to follow the same direction as the electric field vector at any point. Furthermore, the electric field vector is tangent to the line at every point along the field line.

The electric field lines are such that $\mathbf{E}$ is tangent to the electric field line at each point. The number of lines per unit surface area passing a surface perpendicular to the lines is proportional to the magnitude $|\mathbf{E}|$ in that region. Furthermore, the lines are directed radially away from the positive point charge. Moreover, the lines are directed radially toward the negative point charge.

In Fig. 1.7, we show the electric field lines of a negative and positive point charge. It can be seen that for a negative point charge, $-q$, the electric field lines are drawn toward the charge (see Fig. 1.7a). On the other hand, for a positive point charge, $+q$, electric field lines are leaving the charge, as shown in Fig. 1.7b.

The following general rules for drawing electric field lines apply:
The lines start from a positive charge and end on a negative charge. Also, the number of lines drawn, leaving a positive charge, or approaching a negative charge is proportional to the magnitude of the charge. Moreover, no two field lines can cross.

In Fig. 1.8, we show the electric field vector for a positive point charge $+q$ located at the point $(0,3,0)$ (Fig. 1.8b) and a negative point charge $-q$ located at $(0,-3,0)$ (Fig. 1.8a), colored according to the magnitude of the electric field $\mathbf{E}$ using a color scaling. as depicted in Fig. 1.8. Besides, the electric field lines of the resultant electric field are shown in Fig. 1.8c.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Motion in Uniform Electric Field

Suppose a charge particle of mass $m$ and charge $q$ is moving in a uniform electric field $\mathbf{E}$. Electric field $\mathbf{E}$ exerts on a particle placed in it the force
$$
\mathbf{F}=q \mathbf{E}
$$

If that force is equal to the resultant force exerted on the particle, it causes the particle to accelerate, based on Newton’s second law:
$$
m \mathbf{a}=q \mathbf{E}
$$
The acceleration gained by the charge is given as
$$
\mathbf{a}=\frac{q}{m} \mathbf{E}
$$
Therefore, if $\mathbf{E}$ is uniform (that is, constant in magnitude and direction), then a is constant. Furthermore, if the particle has a positive charge, then its acceleration is in the direction of the electric field. On the other hand, if the particle has a negative charge, then its acceleration is in the direction opposite the electric field.

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Field Lines

根据定义，绘制的电场线遵循与任意点处的电场矢量相同的方向。此外，电场矢量在沿场线的每一点都与线相切。
电场线是这样的E在每一点都与电场线相切。通过垂直于线的表面的每单位表面积的线数与大小成正比 $|\mathbf{E}|$ 在那个地区。此外，这些线径向远离正点电荷。此外，这些线径向指向负点电荷。
在图 1.7 中，我们显示了负点电荷和正点电荷的电场线。可以看出，对于负点电荷， $-q$ ，电场线被拉向电荷 (见图 1.7a) 。另一方面，对于正点电荷， $+q$ ，电场线离开电荷，如图 1.7b 所示。
以下绘制电场线的一般规则适用:
线从正电荷开始，到负电荷结束。此外，画线的数量、离开正电荷或接近负电荷与电荷的大小成正比。此外，没有两条场线可以交叉。
在图 1.8 中，我们显示了正点电荷的电场矢量 $+q$ 位于点 $(0,3,0)$ (图 1.8b) 和负点电荷 $-q$ 位于 $(0,-3,0)$ (图 1.8a)，根据电场大小若色 $\mathbf{E}$ 使用颜色缩放。如图 $1.8$ 所示。此外，合成电场的电场线如图 1.8c 所示。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Motion in Uniform Electric Field

假设一个带电粒子的质量 $m$ 并充电 $q$ 在均匀电场中运动 $\mathbf{E}$. 电场 $\mathbf{E}$ 对放置在其中的粒子施加力
$$
\mathbf{F}=q \mathbf{E}
$$
如果该力等于施加在粒子上的合力，它会导致粒子加速，根据牛顿第二定律:
$$
m \mathbf{a}=q \mathbf{E}
$$
电荷获得的加速度为
$$
\mathbf{a}=\frac{q}{m} \mathbf{E}
$$
因此，如果 $\mathbf{E}$ 是均匀的（即大小和方向恒定），则 $a$ 是恒定的。此外，如果粒子带正电荷，则其加速度沿电场方向。另一方面，如果粒子带负电荷，则其加速度方向与电场相反。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Force Fields

The field forces act through space, producing an effect even when no physical contact between the objects occurs. As an example, we can mention the gravitational field. Michael Faraday developed a similar approach to electric forces. That is, an electric field exists in the region of space around any charged body, and when another charged body is inside this region of the electric field, an electric force acts on it.

Definition 1.2 The electric field $\mathbf{E}$ at a point in space is defined as the electric force $\mathbf{F}_e$ acting on a positive test charge $q_0$ placed at that point divided by the magnitude of the test charge:
$$
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}_e}{q_0}
$$

The vector $\mathbf{E}$ has the SI units of newtons per coulomb (N/C). Figure $1.3$ illustrates the electric field $\mathbf{E}$ created by a positively charged sphere with total charge $Q$ at the positive test charge $q_0$. Here, we have assumed that the test charge $q_0$ is small enough that it does not disturb the charge distribution of the sphere responsible for the electric field.

Note that $\mathbf{E}$ is the field produced by some charge external to the test charge, and it is not the field produced by the test charge itself. Also, note that the existence of an electric field is a property of its source. For example, every electron comes with its electric field. An electric field exists at a point if a test charge at rest at that point experiences an electric force. The electric field direction is the direction of the force on a positive test charge placed in the field. Once we know the magnitude and direction of the electric field at some point, the electric force exerted on any charged particle (either positive or negative) placed at that point can be calculated. The electric field exists at some point space, including the free space, independent of the existence of another test charge at that point.

To determine the direction of electric field, consider a point charge $q$ located some distance $r$ from a test positive charge $q_0$ located at a point $P$, as shown in Fig. 1.4. Coulomb’s law defines the force exerted by $q$ on $q_0$ as
$$
\mathbf{F}_e=k_e \frac{q q_0}{r^2} \hat{\mathbf{r}}
$$
where $\hat{\mathbf{r}}$ represents the usual unit vector directed from $q$ toward $q_0$ (see Fig. 1.4). Electric field created by $q$ (positive or negative) is $$
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}_e}{q_0}=k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}
$$
From Eq. (1.11), when $q<0$, then $\mathbf{E}$ is pointing opposite to vector $\hat{\mathbf{r}}$, and hence the electric field of a negative charge is pointing toward that charge, see Fig. 1.4a. On the other hand, when $q>0, \mathbf{E}$ and $\hat{\mathbf{r}}$ are parallel, and hence the electric field of a positive charge is pointing away from that charge, as shown in Fig. 1.4b.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Superposition Principle

According to superposition principle, at any point $P$, the total electric field due to a set of discrete point charges, $q_1, q_2, \ldots, q_N$, positive and negative charges, is equal to the sum of the individual charge electric field vectors (see Fig. 1.5). Mathematically, we can write
$$
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N \mathbf{E}i=\sum{i=1}^N k_e \frac{q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|^2} \hat{\mathbf{r}}_i
$$
In Eq. (1.12), $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|$ is the distance from $q_i$ to the point $P$ (the location of a test charge), where $\mathbf{r}$ is the position vector of the point $P$ with respect to some reference frame, as indicated in Fig. 1.5, and $\mathbf{r}_i$ is the position vector of the charge $i$ in that reference frame. Furthermore, $\hat{\mathbf{r}}_i$ is a unit vector directed from $q_i$ toward $P$.

Note that in Eq. (1.12) the dependence of $\mathbf{E}$ on only position vector of point $P$. r. assumes a static configuration of the charges in space. That is, for some other configuration distribution of charges in space, $\mathbf{E}$ at the same point $P$ may be different. Note that often for convenience, Eq.(1.12) is also written as $$
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N k_e \frac{q_i\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|^3}
$$
where
$$
\hat{\mathbf{r}}_i=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|}
$$
If the distances between charges in a set of charges are much smaller, compare with the distance of the set from a point where the electric field is to be calculated, then charge distribution is continuous.

To calculate the net electric field created by a continuous charge distribution in some volume $V$, we follow these steps. First, we divide the charge distribution into macroscopically small elements with small charge $\Delta q_i$, as shown in Fig. 1.6a. $\Delta q_i=\rho_i \Delta V$, where $\rho_i$ is seen from a microscopic viewpoint as a uniform charge density within the volume element $i$, which represents one of the possible configurations of microscopic description. It is important to note that with “macroscopically small” we should understand a small volume in space with a characteristic microscopic configuration of the charges inside it that can, on average, macroscopically be represented as a point-like charge, $\Delta q_i$. Then, we calculate the electric field due to one of these macroscopically point charges, $\Delta q_i$, at some point $P$ at distance $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|$ from the charge element, $\Delta q_i$, as
$$
\Delta \mathbf{E}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_i\right)=k_e \frac{\Delta q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|^2} \hat{\mathbf{r}}_i
$$
where $\hat{\mathbf{r}}_i$ is a unit vector directed from the charge element $\Delta q_i$ toward $P$. Here, $\mathbf{r}$ is position vector of point $P$ in some reference frame, and $\mathbf{r}_i$ is the position vector of the macroscopically point charge $\Delta q_i$.

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Force Fields

场力通过空间作用，即使在物体之间没有发生物理接触时也会产生效果。例如，我们可以提到引力场。迈克尔法拉第开发了一种类似的电力方法。也就是说，任何带电体周围的空间区域都存在电场，当另一个带电体位于该电场区域内时，就会对其作用电力。
定义 $1.2$ 电场 $\mathbf{E}$ 在空间中的一点被定义为电力 $\mathbf{F}_e$ 作用于正测试电荷 $q_0$ 放置在该点除以测试电荷的大小:
$$
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}_e}{q_0}
$$
载体 $\mathbf{E}$ 具有牛顿每库仑 (N/C) 的 SI 单位。数字1.3说明电场 $\mathbf{E}$ 由带总电荷的带正电的球体产生 $Q$ 在积极的测试电荷 $q_0$. 在这里，我们假设测试充电 $q_0$ 足够小，不会干扰负责电场的球体的电荷分布。
注意 $\mathbf{E}$ 是由测试电荷外部的一些电荷产生的场，而不是由测试电荷本身产生的场。另请注意，电场的存在是其来源的一个属性。例如，每个电子都带有电场。如果静止的测试电荷在该点受到电力，则该点存在电场。电场方向是放置在场中的正测试电荷所受力的方向。一旦我们知道某一点电场的大小和方向，就可以计算出施加在该点的任何带电粒子（正或负）上的电力。电场存在于空间的某一点，包括自由空间，与该点是否存在另一个测试电荷无关。
要确定电场的方向，请考虑点电荷 $q$ 位于一定距离 $r$ 来自测试正电荷 $q_0$ 位于一个点 $P$ ，如图1.4所示。库仑定律定义了施加的力 $q$ 在 $q_0$ 作为
$$
\mathbf{F}_e=k_e \frac{q q_0}{r^2} \hat{\mathbf{r}}
$$
在哪里 $\hat{\mathbf{r}}$ 表示通常的单位向量 $q$ 朝向 $q_0$ （见图 1.4)。产生的电场 $q$ (正面或负面) 是
$$
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}_e}{q_0}=k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}
$$
从等式。(1.11)，当 $q<0$ ，然后 $\mathbf{E}$ 指向向量的对面 $\hat{\mathbf{r}}$ ，因此负电荷的电场指向该电荷，见图 1.4a。另一方面，当 $q>0, \mathbf{E}$ 和 $\hat{\mathbf{r}}$ 是平行的，因此正电荷的电场指向远离该电荷的方向，如图 1.4b 所示。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Superposition Principle

根据㢶加原理，任意一点 $P$ ，由于一组离散点电荷引起的总电场， $q_1, q_2, \ldots, q_N$ ，正电荷和负电荷，等于各个电荷电场矢量的总和 (见图 1.5)。在数学上，我们可以写
$$
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N \mathbf{E} i=\sum i=1^N k_e \frac{q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}i\right|^2} \hat{\mathbf{r}}_i $$ 在等式中。(1.12)， $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|$ 是距离 $q_i$ 直截了当 $P$ (测试电荷的位置)，其中 $\mathbf{r}$ 是点的位置向量 $P$ 关于一些参考系，如图 1.5 所示，以及 $\mathbf{r}_i$ 是电荷的位置向量 $i$ 在那个参考系中。此外， $\hat{\mathbf{r}}_i$ 是指向的单位向量 $q_i$ 朝向 $P$. 请注意，在等式中。(1.12) 的依赖 $\mathbf{E}$ 仅在点的位置向量上 $P$. 河假定空间中电荷的静态配置。也就是说，对于空间中电荷的一些其他配置分布， $\mathbf{E}$ 在同一时间 $P$ 可能不同。请注意，通常为方便起见，Eq.(1.12) 也写为 $$ \mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum{i=1}^N k_e \frac{q_i\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|^3}
$$
在哪里
$$
\hat{\mathbf{r}}_i=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|}
$$
如果一组电荷中的电荷之间的距离远小于该组到要计算电场的点的距离，则电荷分布是连续的。
计算由某个体积中的连续电荷分布产生的净电场 $V$ ，我们按照这些步骤。首先，我们将电荷分布划分为具有小电荷的宏观小元素 $\Delta q_i$ ，如图 1.6a 所示。 $\Delta q_i=\rho_i \Delta V$ ，在哪里 $\rho_i$ 从微观角度看是体积元内均匀的电荷密度 $i$ ，它代表了微观描述的一种可能配置。重要的是要注意，对于“宏观上小”，我们应该理解空间中的小体积，其内部电荷具有特征性的微观结构，平均而言，可以宏观地表示为点状电荷， $\Delta q_i$. 然后，我们计算由这些宏观点电荷之一引起的电场， $\Delta q_i$ ，在某一点 $P$ 在远处 $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|$ 从电荷元素， $\Delta q_i$ ，作为
$$
\Delta \mathbf{E}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_i\right)=k_e \frac{\Delta q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|^2} \hat{\mathbf{r}}_i
$$
在哪里 $\hat{\mathbf{r}}_i$ 是从电荷元素指向的单位向量 $\Delta q_i$ 朝向 $P$. 这里， $\mathbf{r}$ 是点的位置向量 $P$ 在一些参考系中，和 $\mathbf{r}_i$ 是宏观点电荷的位置矢量 $\Delta q_i$.

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