数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Additive Cellular Automata
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数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Notation and Formal Definitions
Let $S(\mathcal{L})=\left{s_{i}\right}$ be the set of lattice sites of a $d$-dimensional lattice $\mathcal{L}$ with $n_{r}$ equal to the number of lattice sites on dimension $r$. Denote by $\mathcal{A}$ a finite symbols set with $|\mathcal{A}|=p$ (usually prime). An $\mathcal{A}$-configuration on $\mathcal{L}$ is a surjective map $v: \mathcal{A} \mapsto S(\mathcal{L})$ that assigns a symbol from $\mathcal{A}$ to each site in $S(\mathcal{L})$. In this way, every $\mathcal{A}$-configuration defines a size $n_{1} \times \cdots \times n_{d}, d$-dimensional matrix $\mu$ of symbols drawn from $\mathcal{A}$. Denote the set of all $\mathcal{A}$-configurations on $\mathcal{L}$ by $\mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$.
Each $s_{i} \in S(\mathcal{L})$ is labeled by an integer vector $\vec{i}=$ $\left(i_{1}, \ldots, i_{d}\right)$ where $i_{r}$ is the number of sites along the $r$ th dimension separating $s_{i}$ from the assigned origin in $\mathcal{L}$. The shift operator on the $r$ th dimension of $\mathcal{L}$ is the map $\sigma_{r}: \mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}$ defined by
$$
\sigma_{r}\left(s_{i}\right)=s_{j}, \quad \vec{j}=\left(i_{1}, \ldots, i_{r}-1, \ldots, i_{d}\right)
$$
Equivalently, the shift maps the value at site $\vec{i}$ to the value at site $\vec{j}$.
Let $\mu\left(s_{i} ; t\right)=\mu\left(i_{1}, \ldots, i_{d} ; t\right) \in \mathcal{A}$ be the entry of $\mu$ corresponding to site $s_{i}$ at iteration $t$ for any discrete dynamical system having $\mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$ as state space. Given a finite set of integer $d$-tuples $\mathcal{N}=\left{\left(k_{1}, \ldots, k_{d}\right)\right}$, define the
$$
N\left(s_{i}\right)=\left{s_{j} \mid \vec{j}=\vec{i}+\vec{k}, \vec{k} \in \mathcal{N}\right}
$$
A neighborhood configuration is a surjective map $y$ : $\mathcal{A} \mapsto N\left(s_{0}\right)$. Denote the set of all neighborhood configurations by $\mathcal{E}_{\mathcal{N}}(\mathcal{A})$.
The rule table for a cellular automata acting on the state space $\mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$ with standard neighborhood $N\left(s_{0}\right)$ is defined by a map $x: \mathcal{E}{\mathcal{N}}(\mathcal{A}) \mapsto \mathcal{A}$ (note that this map need not be surjective or injective). The value of $x$ for a given neighborhood configuration is called the (value of the) rule component of that configuration. The map $x: \mathcal{E}{\mathcal{N}}(\mathcal{A}) \mapsto \mathcal{A}$ induces a global map $\mathcal{X}: \mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L}) \mapsto$ $\mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$ as follows: For any given element $\mu(t) \in$ $\mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$, the set $C\left(s_{i}\right)=\left{\mu\left(s_{j} ; t\right) \mid s_{j} \in N\left(s_{i}\right)\right}$ is a neighborhood configuration for the site $s_{i}$, hence the map $\mu\left(s_{i} ; t\right) \mapsto x\left(C\left(s_{i}\right)\right)$ for all $s_{i}$ produces a new symbol $\mu\left(s_{i} ; t+1\right)$. The site $s_{i}$ is called the mapping site. When taken over all mapping sites, this produces a matrix $\mu(t+1)$ that is the representation of $\mathcal{X}(\mu(t))$. A cellular automaton is indicated by reference to its rule table or to the global map defined by this rule table.
A cellular automaton with global map $\chi$ is additive if and only if, for all pairs of states $\mu$ and $\beta$,
$$
\chi(\mu+\beta)=\chi(\mu)+\chi(\beta)
$$
Addition of states is carried out site-wise $\bmod (p)$ on the matrix representations of $\mu$ and $\beta$; for example, for a onedimensional six-site lattice with $p=3$ the sum of 120112 and 021212 is 111021 .
The definition for additivity given in [52] differs slightly from this standard definition. There, a binary valued cellular automaton is called “linear” if its local rule only involves the XOR operation and “additive” if it involves XOR and/or XNOR. A rule involving XNOR can be written as the binary complement of a rule involving only XOR. In terms of the global operator of the rule, this means that it has the form $1+X$ where $\mathcal{X}$ satisfies Eq. (3) and 1 represents the rule that maps every site to 1 . Thus, $(1+X)(\mu+\beta)$ equals $1 \ldots 1+\mathcal{X}(\mu+\beta)$ while
$$
\begin{aligned}
(1&+X)(\mu)+(1+X)(\beta) \
&=1 \ldots 1+1 \ldots 1+X(\mu)+\chi(\beta) \
&=X(\mu)+\chi(\beta) \bmod (2)
\end{aligned}
$$
In what follows, an additive rule is defined strictly as one obeying Eq. (3), corresponding to rules that are “linear” in [52].
Much of the formal study of cellular automata has focused on the properties and forms of representation of the map $\mathcal{X}: \mathbb{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L}) \mapsto \mathcal{E}(\mathcal{A}, \mathcal{L})$. The structure of the state transition diagram $(\operatorname{STD}(\mathcal{X}))$ of this map is of particular interest.
数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Boundary Conditions and Additivity
In the case of one-dimensional cellular automata, the lattice $\mathcal{L}$ can be isomorphic to the integers; to the nonnegative integers; to the finite set ${0, \ldots, n-1} \in Z$; or to the integers modulo an integer $n$. In the first case, there are no boundary conditions; in the remaining three cases, different boundary conditions apply. If $\mathcal{L}$ is isomorphic to $Z_{n}$, the integers $\bmod (n)$, the boundary conditions are periodic and the lattice is circular (it is a $p$-adic necklace). This is called a cylindrical cellular automata [77] because evolution of the rule can be represented as taking place on a cylinder. If the lattice is isomorphic to ${0, \ldots, n-1}$, null, or Dirchlet boundary conditions are set $[78,79,80]$. That is, the symbol assigned to all sites in $\mathcal{L}$ outside of this set is the null symbol. When the lattice is isomorphic to the non-negative integers $Z^{+}$, null boundary conditions are set at the left boundary. In these latter two cases, the neighborhood structure assumed may influence the need for null conditions.
Example 4 (Elementary Rule 90) Let $\delta$ represent the global map for the elementary cellular automata rule 90 , with rule table
$\begin{array}{cccccccc}000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\end{array}$
For a binary string $\mu$ in $Z$ or $Z_{n}$ the action of rule 90 is defined by $[\delta(\mu)]{i}=\mu{i-1}+\mu_{i+1} \bmod (2)$, where all indices are taken $\bmod (n)$ in the case of $Z_{n}$. In the remaining cases,
$$
\begin{aligned}
{[\delta(\mu)]{i} } &= \begin{cases}\mu{1} & i=0 \
\mu_{i-1}+\mu_{i+1} & 0<i< \
\mu_{n-2} & i=n\end{cases} \
{[\delta(\mu)]{i} } &= \begin{cases}\mu{1} & i=0 \
\mu_{i-1}+\mu_{i+1} & 0<i\end{cases}
\end{aligned}
$$
half-infinite conditions
Note that $\mathcal{L}$ and $Z_{n}$ are representations of the intervals $[-1,1]$ and $[0,1]$ respectively. Cellular automata rules are not quite functions on these intervals, however, since they are generally double valued on rational points having distinct representations as binary strings [81]. For example, both $0 1$ and $1 0$ in $Z^{+}$, where underlining indicates infinite repetition, are numerically $1 / 2$ but $\delta(0 1)=1 0=3 / 4$ while $\delta(10)=01 0=1 / 4$.
The state space $\mathcal{E}({0,1}, \mathcal{L})$ for binary valued one-dimensional cellular automata is just the set of binary sequences over the specified one-dimensional lattice. For the
cases of $Z$ and $Z_{n}$ all such rules commute with the shift operator $\sigma$. When null boundary conditions are involved, however, commutativity fails at the boundary sites. For example, let $\mathcal{X}$ be the global operator for an elementary cellular automata operating on strings $\mu=\mu_{0} \ldots \mu_{n-1}$ of length $n$ with null boundary conditions. Noting that $-1=1 \bmod (2)$, the commutator $[\mathcal{X}, \sigma]$ has components
$$
\begin{aligned}
&{[\mathcal{X}, \sigma]{i}=[\mathcal{X} \sigma(\mu)+\sigma \mathcal{X}(\mu)]{i}} \
&= \begin{cases}\chi\left(0 \mu_{1} \mu_{2}\right)+X\left(\mu_{0} \mu_{1} \mu_{2}\right) \bmod (2) & i=0 \
0 & 0<i<n-1 \
\mathcal{X}\left(\mu_{n-1} 00\right) & i=n-1\end{cases}
\end{aligned}
$$
数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Additive Cellular Automata and Fractals
There is a direct connection between the space-time output patterns of additive cellular automata and self-similar fractal patterns $[82,83,84,85,86,87,88]$. The simplest examples are elementary rules 102 and 90 . When acting on a doubly infinite sequence with the initial state $0 1 0$, iteration of these rules yields the space-time output indicated in Fig. 1. In the case of rule 60, this output is the $\bmod (2)$ Pascal triangle while for rule 90 it consists of every other row of this triangle [89].
The pattern generated by rule 60 (or, equivalently, by rule 102) rescales to yield the fractal known as the Sirpinski gasket $[90,91]$. Direct connections between cellular automata outputs and the fractal generation schemes of matrix substitution systems and hierarchical iterated function systems are shown in $[92,93,94,95,96,97,98,99]$. In $[100,101]$ the dimension spectrum associated to the space-time output of additive cellular automata is shown to be equal to the singularity spectrum of an associated multifractal.
计算复杂性理论代写
数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Notation and Formal Definitions
让S(\mathcal{L})=\left{s_{i}\right}S(\mathcal{L})=\left{s_{i}\right}是 a 的格点的集合d维晶格大号和nr等于维度上的格点数r. 表示为一种一个有限符号集|一种|=p（通常是素数）。一个一种-配置开启大号是一个满射图在:一种↦小号(大号)分配一个符号一种到每个站点小号(大号). 这样一来，每一种-configuration 定义一个大小n1×⋯×nd,d维矩阵μ从中提取的符号一种. 表示所有的集合一种- 配置开启大号经过和(一种,大号).
每个s一世∈小号(大号)由整数向量标记一世→= (一世1,…,一世d)在哪里一世r是沿线的站点数量r维分离s一世从指定的原点大号. 移位运算符r第维大号是地图σr:大号↦大号被定义为
σr(s一世)=sj,j→=(一世1,…,一世r−1,…,一世d)
等效地，班次映射了现场的价值一世→到现场的价值j→.
让μ(s一世;吨)=μ(一世1,…,一世d;吨)∈一种成为μ对应站点s一世在迭代吨对于任何具有和(一种,大号)作为状态空间。给定一个有限的整数集d-元组\mathcal{N}=\left{\left(k_{1}, \ldots, k_{d}\right)\right}\mathcal{N}=\left{\left(k_{1}, \ldots, k_{d}\right)\right}，定义N\left(s_{i}\right)=\left{s_{j}\mid\vec{j}=\vec{i}+\vec{k},\vec{k}\in\mathcal{N } \ 对}N\left(s_{i}\right)=\left{s_{j}\mid\vec{j}=\vec{i}+\vec{k},\vec{k}\in\mathcal{N } \ 对}
邻域配置是一个满射图是 : 一种↦ñ(s0). 将所有邻域配置的集合表示为和ñ(一种).
作用于状态空间的元胞自动机规则表和(一种,大号)与标准邻里ñ(s0)由地图定义X:和ñ(一种)↦一种（请注意，此映射不必是满射或单射的）。的价值X对于给定的邻域配置，称为该配置的（值）规则组件。地图X:和ñ(一种)↦一种引出一张全球地图X:和(一种,大号)↦ 和(一种,大号)如下：对于任何给定的元素μ(吨)∈ 和(一种,大号), 集合C\left(s_{i}\right)=\left{\mu\left(s_{j} ; t\right) \mid s_{j} \in N\left(s_{i}\right)\right }C\left(s_{i}\right)=\left{\mu\left(s_{j} ; t\right) \mid s_{j} \in N\left(s_{i}\right)\right }是站点的邻域配置s一世，因此地图μ(s一世;吨)↦X(C(s一世))对全部s一世产生一个新符号μ(s一世;吨+1). 网站s一世称为映射站点。当接管所有映射站点时，这会产生一个矩阵μ(吨+1)那是X(μ(吨)). 元胞自动机通过参考其规则表或由该规则表定义的全局映射来指示。
具有全球地图的元胞自动机χ当且仅当对于所有状态对是可加的μ和b,
χ(μ+b)=χ(μ)+χ(b)
状态的添加是按站点进行的反对(p)关于矩阵表示μ和b; 例如，对于具有p=3120112 和 021212 之和为 111021 。
[52] 中给出的可加性定义与这个标准定义略有不同。在那里，如果局部规则仅涉及 XOR 操作，则二进制值元胞自动机称为“线性”，如果涉及 XOR 和/或 XNOR，则称为“加法”。涉及 XNOR 的规则可以写成只涉及 XOR 的规则的二进制补码。就规则的全局运算符而言，这意味着它具有以下形式1+X在哪里X满足方程。(3) 和 1 表示将每个站点映射到 1 的规则。因此，(1+X)(μ+b)等于1…1+X(μ+b)尽管
(1+X)(μ)+(1+X)(b) =1…1+1…1+X(μ)+χ(b) =X(μ)+χ(b)反对(2)
在下文中，一个加法规则被严格定义为一个服从方程。（3），对应于[52]中的“线性”规则。
许多对元胞自动机的正式研究都集中在地图的属性和表示形式上X:和(一种,大号)↦和(一种,大号). 状态转移图的结构(性病(X))这张地图特别有趣。
数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Boundary Conditions and Additivity
在一维元胞自动机的情况下，格大号可以同构于整数；到非负整数；到有限集0,…,n−1∈从; 或以整数模整数n. 在第一种情况下，没有边界条件；在其余三种情况下，适用不同的边界条件。如果大号同构于从n, 整数反对(n)，边界条件是周期性的，晶格是圆形的（它是p-adic 项链）。这被称为圆柱元胞自动机[77]，因为规则的演化可以表示为发生在圆柱体上。如果晶格同构于0,…,n−1、null 或 Dirclet 边界条件已设置[78,79,80]. 也就是说，分配给所有站点的符号大号在这个集合之外是空符号。当晶格与非负整数同构时从+，空边界条件设置在左边界。在后两种情况下，假定的邻域结构可能会影响对零条件的需求。
示例 4（基本规则 90）让d表示基本元胞自动机规则 90 的全局映射，带有规则表
000001010011100101110111 01011010
对于二进制字符串μ在从或者从n规则 90 的动作定义为[d(μ)]一世=μ一世−1+μ一世+1反对(2), 取所有索引反对(n)如果是从n. 在其余情况下，
[d(μ)]一世={μ1一世=0 μ一世−1+μ一世+10<一世< μn−2一世=n [d(μ)]一世={μ1一世=0 μ一世−1+μ一世+10<一世
半无限条件
注意大号和从n是区间的表示[−1,1]和[0,1]分别。然而，元胞自动机规则在这些区间上并不完全是函数，因为它们通常在具有不同表示为二进制字符串的有理点上是双值的 [81]。例如，$0 1一种nd1 0一世nZ ^ {+},在H和r和在nd和rl一世n一世nG一世nd一世C一种吨和s一世nF一世n一世吨和r和p和吨一世吨一世这n,一种r和n在米和r一世C一种ll是1 / 2b在吨\delta(0 1 )=1 0 =3 / 4在H一世l和\delta(10)=01 0 =1 / 4$。
状态空间和(0,1,大号)对于二进制值的一维元胞自动机，它只是指定一维格上的二进制序列集。为了
的案例从和从n所有这些规则都与班次运营商通勤σ. 然而，当涉及零边界条件时，交换性在边界位置失败。例如，让X成为对字符串进行操作的基本元胞自动机的全局操作员μ=μ0…μn−1长度n边界条件为零。注意到−1=1反对(2), 换向器[X,σ]有分量
$$
\begin{aligned}
&{[ \mathcal{X}, \sigma ]{i}=[\mathcal{X} \sigma(\mu)+\sigma \mathcal{X}(\mu)] {i}} \
&={χ(0μ1μ2)+X(μ0μ1μ2)反对(2)一世=0 00<一世<n−1 X(μn−100)一世=n−1
\end{对齐}
$$
数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Additive Cellular Automata and Fractals
加性元胞自动机的时空输出模式与自相似分形模式之间存在直接联系[82,83,84,85,86,87,88]. 最简单的例子是基本规则 102 和 90。当作用于具有初始状态 $ 0 1 0的双重无限序列时,一世吨和r一种吨一世这n这F吨H和s和r在l和s是一世和lds吨H和sp一种C和−吨一世米和这在吨p在吨一世nd一世C一种吨和d一世nF一世G.1.一世n吨H和C一种s和这Fr在l和60,吨H一世s这在吨p在吨一世s吨H和\bmod (2)$ 帕斯卡三角形，而对于规则 90，它由该三角形的每隔一行组成 [89]。
由规则 60（或等效地由规则 102）生成的图案重新缩放以产生称为 Sirpinski 垫片的分形[90,91]. 元胞自动机输出与矩阵替换系统和分层迭代函数系统的分形生成方案之间的直接联系显示在[92,93,94,95,96,97,98,99]. 在[100,101]与加法元胞自动机的时空输出相关的维谱被证明等于相关多重分形的奇点谱。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。