机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Rayleigh Quotient and Its Characteristics
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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient and Conjugate Gradient Algorithm for RQ
If the negative direction of RQ gradient is regarded as the gradient flow of vector $\boldsymbol{x}$, e.g.’,
$$
\dot{\boldsymbol{x}}=-[\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{I}] \boldsymbol{x}
$$
then vector $x$ can be computed iteratively by the following gradient algorithm:
$$
\boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{x}(k)+\mu \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}(k)-\mu[\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{I}] \boldsymbol{x} .
$$
It is worth noting that the gradient algorithm of RQ has faster convergence speed than the iterative algorithm of standard RQ.
In the following, the conjugate gradient algorithm for RQ will be introduced, where $\boldsymbol{A}$ in the RQ is a real symmetric matrix.
Starting from some initial vector, the conjugate gradient algorithm uses the iterative equation, e.g.,
$$
\boldsymbol{x}{k+1}=\boldsymbol{x}{k}+\alpha_{k} \boldsymbol{P}{k} $$ to update and approach the eigenvector, associated with the minimal or maximal eigenvalue of a symmetric matrix. The real coefficient $\alpha{k}$ is
$$
\alpha_{k}=\pm \frac{1}{2 D}\left(-B+\sqrt{B^{2}-4 C D}\right),
$$
where ” $+$ ” is used in the updating of the eigenvector associated with the minimal eigenvalue, and “-” is used in the updating of the eigenvector associated with the maximal eigenvalue. The formulae for parameters D, B, C in the above equations are
$$
\left{\begin{array}{c}
D=P_{b}(k) P_{c}(k)-P_{a}(k) P_{d}(k) \
B=P_{b}(k)-\lambda_{k} P_{d}(k) \
C=P_{a}(k)-\lambda_{k} P_{c}(k) \
P_{a}(k)=\boldsymbol{P}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{b}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{c}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{d}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
\lambda_{k}=r\left(\boldsymbol{x}{k}\right)=\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) . \end{array}\right. $$ At the $k+1$ th iteration, the search direction can be selected as $$ \boldsymbol{p}{k+1}=\boldsymbol{r}{k+1}+b(k) \boldsymbol{p}{k}
$$
where $b(-1)=0$ and $\boldsymbol{r}{k+1}$ is the residual vector at the $k+1$ th iteration. $\boldsymbol{r}{k+1}$ and $b(k)$ can be computed, respectively, as
$$
\boldsymbol{r}{k+1}=-\frac{1}{2} \nabla{x} r\left(\boldsymbol{x}{k+1}\right)=\left(\lambda{k+1} \boldsymbol{x}{k+1}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k+1}\right) /\left(\boldsymbol{x}{k=1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k+1}\right)
$$
and
$$
b(k)=-\frac{\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}+\left(\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{r}{k+1}\right)\left(\boldsymbol{x}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}{k}\right)}{\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}-\lambda_{k+1} \boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{p}{k}} $$ Equations (2.5)-(2.9) constitute the conjugate gradient algorithm for RQ, which was proposed in [11]. If the updated $x{k}$ is normalized to one and “t” (or “-“) is selected in Eq. (2.6), the above algorithm will obtain the minimal (or maximal) eigenvalue of matrix $A$ and its associated eigenvectors.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Rayleigh Quotient
Definition $2.3$ Assume that $A \in \mathbb{C}^{n \times n}, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ are both Hermitian matrices, and $\boldsymbol{B}$ is positive definite. The generalized RQ or generalized Rayleigh-Ritz of the matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is a scalar function, e.g.,
$$
r(\boldsymbol{x})=\frac{\boldsymbol{x}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{H} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}},
$$
where $x$ is a quantity to be selected, and the objective is to maximize or minimize the generalized RQ.
In order to solve for the generalized RQ, define a new vector $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{B}^{1 / 2} \boldsymbol{x}$, where $\boldsymbol{B}^{1 / 2}$ is the square root of the positive definite $\boldsymbol{B}$. Replace $\boldsymbol{x}$ by $\boldsymbol{B}^{-1 / 2} \tilde{\boldsymbol{x}}$ in (2.43). Then it holds that
$$
r(\tilde{\boldsymbol{x}})=\frac{\tilde{\boldsymbol{x}}^{H}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}}{\tilde{\boldsymbol{x}}^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}},
$$
which shows that the generalized RQ of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is equivalent to the RQ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$. From the Rayleigh-Ritz theorem, it is clear that when vector $\tilde{x}$ is the eigenvector associated with the smallest eigenvalue $\lambda_{\min }$ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, the generalized RQ obtains $\lambda_{\min }$. And if vector $\tilde{\boldsymbol{x}}$ is the eigenvector associated with the largest eigenvalue $\lambda_{\max }$ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, the generalized RQ obtains $\lambda_{\max }$.
In the following, we review the eigen decomposition of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, e.g.,
$$
\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}=i \tilde{\boldsymbol{x}} .
$$
If $\mathbf{B}=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} v_{i} v_{i}^{H}$ is an eigen decomposition of matrix $\boldsymbol{B}$, then
$$
\mathbf{B}^{1 / 2}=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\beta_{i}} v_{i} v_{i}^{H}
$$
and $\boldsymbol{B}^{1 / 2} \boldsymbol{B}^{1 / 2}=\boldsymbol{B}$. Since matrix $\boldsymbol{B}^{1 / 2}$ and $\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$ have the same eigenvectors and their eigenvalues are reciprocals to each other, then it follows that
$$
\mathbf{B}^{-1 / 2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{\beta_{i}}} v_{i} v_{i}^{H},
$$
which shows that $\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$ is also an Hermitian matrix, e.g., $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}=\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Differential and Integral of Matrix with Respect to Scalar
If $\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}$ is a real matrix function of scalar $t$, then its differential and integral are, respectively, defined as
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}(t) &=\left{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} a{i j}(t)\right}_{m \times n} \
\int A(t) \mathrm{d} t &=\left{\int a_{i j}(t) \mathrm{d} t\right}_{m \times n}
\end{aligned}\right.
$$
If $\boldsymbol{A}(\mathrm{t})$ and $\boldsymbol{B}(\mathrm{t})$ are, respectively, $m \times n$ and $n \times r$ matrices, then
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{B}(t)]=\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t}\right] \boldsymbol{B}(t)+\boldsymbol{A}(t)\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}\right] .
$$
If $\boldsymbol{A}(\mathrm{t})$ and $\boldsymbol{B}(\mathrm{t})$ are both $m \times n$ matrices, then
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{B}(t)]=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}
$$
If $A(\mathrm{t})$ is a rank- $n$ invertible square matrix, then
$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}^{-1}(t)}{\mathrm{d} t}=-\boldsymbol{A}^{-1}(t) \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}^{-1}(t) .
$$
主成分分析代写
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient and Conjugate Gradient Algorithm for RQ
如果把RQ梯度的负方向看成向量的梯度流X，例如’，
X˙=−[C−r(X)一世]X
然后向量X可以通过以下梯度算法迭代计算：
X(ķ+1)=X(ķ)+μX˙=X(ķ)−μ[C−r(X)一世]X.
值得注意的是，RQ的梯度算法比标准RQ的迭代算法具有更快的收敛速度。
下面介绍RQ的共轭梯度算法，其中一种RQ 中是一个实对称矩阵。
从某个初始向量开始，共轭梯度算法使用迭代方程，例如，
Xķ+1=Xķ+一种ķ磷ķ更新和逼近与对称矩阵的最小或最大特征值相关的特征向量。实际系数一种ķ是
一种ķ=±12D(−乙+乙2−4CD),
在哪里 ”+”用于更新与最小特征值关联的特征向量，“-”用于更新与最大特征值关联的特征向量。上述方程中参数 D、B、C 的公式为
$$
\左{D=磷b(ķ)磷C(ķ)−磷一种(ķ)磷d(ķ) 乙=磷b(ķ)−λķ磷d(ķ) C=磷一种(ķ)−λķ磷C(ķ) 磷一种(ķ)=磷ķ吨一种Xķ/(Xķ吨Xķ) 磷b(ķ)=pķ吨一种pķ/(Xķ吨Xķ) 磷C(ķ)=pķ吨Xķ/(Xķ吨Xķ) 磷d(ķ)=pķ吨pķ/(Xķ吨Xķ) λķ=r(Xķ)=Xķ吨一种Xķ/(Xķ吨Xķ).\对。一种吨吨H和$ķ+1$吨H一世吨和r一种吨一世这n,吨H和s和一种rCHd一世r和C吨一世这nC一种nb和s和l和C吨和d一种s\boldsymbol{p}{k+1}=\boldsymbol{r}{k+1}+b(k) \boldsymbol{p}{k}
在H和r和$b(−1)=0$一种nd$rķ+1$一世s吨H和r和s一世d在一种l在和C吨这r一种吨吨H和$ķ+1$吨H一世吨和r一种吨一世这n.$rķ+1$一种nd$b(ķ)$C一种nb和C这米p在吨和d,r和sp和C吨一世在和l是,一种s
\boldsymbol{r}{k+1}=-\frac{1}{2} \nabla{x} r\left(\boldsymbol{x}{k+1}\right)=\left(\lambda{k +1} \boldsymbol{x}{k+1}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k+1}\right) /\left(\boldsymbol{x}{k=1}^{\mathrm {T}} \boldsymbol{x}{k+1}\right)
一种nd
b(k)=-\frac{\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}+\left(\boldsymbol{r}{ k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{r}{k+1}\right)\left(\boldsymbol{x}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p }{k}\right)}{\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}-\lambda_{k+1} \ boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{p}{k}} $$ 方程 (2.5)-(2.9) 构成了 RQ 的共轭梯度算法，该算法在 [11] 中提出。如果更新Xķ被归一化为 1 并且在方程式中选择“t”（或“-”）。(2.6)，上述算法将得到矩阵的最小（或最大）特征值一种及其相关的特征向量。
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Rayleigh Quotient
定义2.3假使，假设一种∈Cn×n,乙∈Cn×n都是 Hermitian 矩阵，并且乙是肯定的。矩阵铅笔的广义 RQ 或广义 Rayleigh-Ritz(一种,乙)是一个标量函数，例如，
r(X)=XH一种XXH乙X,
在哪里X是要选择的量，目标是最大化或最小化广义 RQ。
为了求解广义 RQ，定义一个新向量X~=乙1/2X， 在哪里乙1/2是正定的平方根乙. 代替X经过乙−1/2X~在（2.43）中。然后它认为
r(X~)=X~H(乙−1/2)H一种(乙−1/2)HX~X~HX~,
这表明矩阵铅笔的广义 RQ(一种,乙)相当于矩阵乘积的 RQ(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H. 根据 Rayleigh-Ritz 定理，很明显，当向量X~是与最小特征值相关的特征向量λ分钟矩阵乘积(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H, 广义 RQ 得到λ分钟. 如果向量X~是与最大特征值相关的特征向量λ最大限度矩阵乘积(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H, 广义 RQ 得到λ最大限度.
下面，我们回顾一下矩阵乘积的特征分解(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H，例如，
(乙−1/2)H一种(乙−1/2)HX~=一世X~.
如果乙=∑一世=1nb一世在一世在一世H是矩阵的特征分解乙， 然后
乙1/2=∑一世=1nb一世在一世在一世H
和乙1/2乙1/2=乙. 由于矩阵乙1/2和乙−1/2具有相同的特征向量并且它们的特征值互为倒数，则可以得出
乙−1/2=∑一世=1n1b一世在一世在一世H,
这表明乙−1/2也是 Hermitian 矩阵，例如，(乙−1/2)H=乙−1/2.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Differential and Integral of Matrix with Respect to Scalar
如果\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}是标量的实矩阵函数吨, 那么它的微分和积分分别定义为
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}(t) &=\左{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} {t}} a {ij}(t)\right}_{m \times n} \
\int A(t) \mathrm{d} t &=\left{\int a_{ij}(t) \mathrm{d} t\right}_{m \times n}
\end{aligned}\right.
一世F$一种(吨)$一种nd$乙(吨)$一种r和,r和sp和C吨一世在和l是,$米×n$一种nd$n×r$米一种吨r一世C和s,吨H和n
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{B}(t)]=\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{ A}(t)}{\mathrm{d} t}\right] \boldsymbol{B}(t)+\boldsymbol{A}(t)\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B} (t)}{\mathrm{d} t}\right] 。
一世F$一种(吨)$一种nd$乙(吨)$一种r和b这吨H$米×n$米一种吨r一世C和s,吨H和n
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{B}(t)]=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A} (t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}
一世F$一种(吨)$一世s一种r一种nķ−$n$一世n在和r吨一世bl和sq在一种r和米一种吨r一世X,吨H和n
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}^{-1}(t)}{\mathrm{d} t}=-\boldsymbol{A}^{-1}(t) \frac{\mathrm {d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}^{-1}(t) 。
$$
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
