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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2242

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis数学的一个分支，研究复数及其函数和微积分。简单地说，复分析是将实数微积分扩展到复域。我们将把微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数中。

复分析Complex analysis基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面(x,y)上的一个点，所以z = x+ y，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分为两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，因此绘制函数需要一个四维空间，这是难以想象的。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2242

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Strict inclusions

Because $Q_p=Q_q=\mathcal{B}$ and $Q_{p, 0}=Q_{q, 0}=\mathcal{B}0$ for $1{p, 0}$. We will use the following lemmas in proving the main theorem of this section.

Lemma 3.1. Let $01$ for all $k$, then there is a constant $A$ depending only on $p$ and $\lambda$ such that
$$
A^{-1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left(\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|\sum_{k=1}^{\infty} a_k e^{i n_k \theta}\right|^p d \theta\right)^{\frac{1}{p}} \leq A\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$
for any number $a_k, k=1,2, \ldots$.
The above lemma is due to $[\mathrm{Zy}]$.
Lemma 3.2. Let $\alpha>0, p>0, n \geq 0, a_n \geq 0, I_n=\left{k: 2^n \leq k<2^{n+1}, k \in \mathbb{N}\right}$, $t_n=\sum_{k \in I_n} a_k$ and $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$. Then there is a constant $K$ depending only on $p$ and $\alpha$ such that
$$
\frac{1}{K} \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n \alpha} t_n^p \leq \int_0^1(1-x)^{\alpha-1} f(x)^p d x \leq K \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n \alpha} t_n^p .
$$
The proof of Lemma 3.2 can be found in [MaPa]. By simple calculation we see that the above lemma is still valid for $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n-1}, a_n \geq 0$ (cf. [Mi, p. 108].
The next lemma can be found in [AuXiZh, Theorem 5].

Lemma 3.3. Let $I_n=\left{k: 2^n \leq k<2^{n+1}, k \in \mathbb{N}\right}$ and let $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ be analytic in $\Delta$. If, for $0<p \leq 1$,
$$
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n(1-p)}\left(\sum_{k \in I_n}\left|a_k\right|\right)^2<\infty,
$$
then $f \in Q_{p, 0}$.
The idea of the proof of the following theorem is found in [Mi, Theorem 2].

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|$Q_p$ and some well-known function spaces

We take one example showing the relation between $Q_p$ and a well-known function space. For $1<q<\infty$, we say an analytic function $f$ in $\Delta$ is in the (analytic) Besov space $B_q$ provided
$$
\iint_{\Delta}\left|f^{\prime}(z)\right|^q\left(1-|z|^2\right)^{q-2} d x d y<\infty .
$$
Note that $B_2=\mathcal{D}1$ (the classical Dirichlet space). It is well known that $B_q$ increases with $q$ and $B_q \subset V M O A$ for all $1{0<p<1} Q_{p, 0}$ for $1<q \leq 2$,
(ii) $B_q \subset \bigcap_{1-\frac{2}{q}<p<1} Q_{p, 0}$ for $2 \leq q<\infty$.
It can be shown that both inclusions in Theorem 4.1 (i) and (ii) are strict and that the lower bound, $1-2 / q$, of values of $p$ for $2<q<\infty$, is best possible in the sense that
$$
B_q \not \subset Q_{1-\frac{2}{q}, 0}
$$
for $2<q<\infty$. As an example function we can choose $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{\frac{1}{2}} 2^{\frac{n}{q}}} z^{2^n}$.
Other inclusions between $Q_p$ and Lipschitz spaces or mean Lipschitz spaces are also known.

In Section 3 we have a criterion for a Hadamard gap series to belong to $Q_p$ for $0<p \leq 1$. If an analytic function $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ is not a Hadamard gap series, is it possible to check by its Taylor coefficients that it belongs to $Q_p$ ? The next theorem gives a sufficient condition for arbitrary $a_n$ ‘s and a criterion for positive $a_n$ ‘s.

Theorem 5.1. [AuStXi, Theorem 1.2] Suppose that $0<p \leq 1$ and that $f(z)=$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ is an analytic function.
(i) The condition
$$
\sup k \frac{1}{k^p} \sum{n=0}^{\infty}(n+1)^{1-p}\left[\sum_{m=0}^{\min (n, k)} \frac{\left|a_{2 n-m+1}\right|}{(m+1)^{1-p}}\right]^2<\infty
$$
implies that $f \in Q_p$.
(ii) If $a_n \geq 0$ for all $n$ and $f \in Q_p$ then condition (8) holds.
For $B M O A$, the corresponding criterion to (ii) is C. Fefferman’s unpublished result, whose published proofs involve some aspect of the duality between $H^1$ and $B M O A$. In the absence of an analogue to these theories, the proof of Theorem 5.1 only uses the definition of $Q_p$.

The above theorem is a powerful tool when constructing functions $f$ satisfying $f \in Q_q \backslash Q_p, 0<p<q \leq 1$, and some extra condition which excludes the use of lacunary series with Hadamard gaps.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2242

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Strict inclusions

因为$Q_p=Q_q=\mathcal{B}$和$Q_{p, 0}=Q_{q, 0}=\mathcal{B}0$代表$1{p, 0}$。我们将使用下列引理来证明本节的主要定理。

引理3.1。设$01$为所有$k$，然后有一个常数$A$只依赖于$p$和$\lambda$，这样
$$
A^{-1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left(\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|\sum_{k=1}^{\infty} a_k e^{i n_k \theta}\right|^p d \theta\right)^{\frac{1}{p}} \leq A\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$
对于任意数$a_k, k=1,2, \ldots$。
以上引理是由$[\mathrm{Zy}]$得出的。
引理3.2。让$\alpha>0, p>0, n \geq 0, a_n \geq 0, I_n=\left{k: 2^n \leq k<2^{n+1}, k \in \mathbb{N}\right}$$t_n=\sum_{k \in I_n} a_k$和$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$。然后有一个常数$K$只依赖于$p$和$\alpha$，这样
$$
\frac{1}{K} \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n \alpha} t_n^p \leq \int_0^1(1-x)^{\alpha-1} f(x)^p d x \leq K \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n \alpha} t_n^p .
$$
引理3.2的证明可以在[MaPa]中找到。通过简单的计算，我们看到上述引理对$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n-1}, a_n \geq 0$仍然有效(参见[Mi, p. 108])。
下一个引理可以在[auzxi，定理5]中找到。

引理3.3。让$I_n=\left{k: 2^n \leq k<2^{n+1}, k \in \mathbb{N}\right}$和$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$在$\Delta$中解析。如果，对于$0<p \leq 1$，
$$
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n(1-p)}\left(\sum_{k \in I_n}\left|a_k\right|\right)^2<\infty,
$$
然后$f \in Q_{p, 0}$。
下面定理的证明思想可以在[Mi，定理2]中找到。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|$Q_p$ and some well-known function spaces

我们举一个例子来说明$Q_p$和一个众所周知的函数空间之间的关系。对于$1<q<\infty$，我们说$\Delta$中的解析函数$f$在提供的(解析)Besov空间$B_q$中
$$
\iint_{\Delta}\left|f^{\prime}(z)\right|^q\left(1-|z|^2\right)^{q-2} d x d y<\infty .
$$
注意$B_2=\mathcal{D}1$(经典狄利克雷空间)。众所周知，$B_q$随$q$而增加，$B_q \subset V M O A$随$1<q \leq 2$而增加，$1{0<p<1} Q_{p, 0}$随而增加。
(ii) $2 \leq q<\infty$为$B_q \subset \bigcap_{1-\frac{2}{q}<p<1} Q_{p, 0}$。
可以证明，定理4.1 (i)和(ii)中的包含都是严格的，并且$2<q<\infty$的$p$值的下界$1-2 / q$在以下意义上是最可能的
$$
B_q \not \subset Q_{1-\frac{2}{q}, 0}
$$
浏览$2<q<\infty$。作为一个示例函数，我们可以选择$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{\frac{1}{2}} 2^{\frac{n}{q}}} z^{2^n}$。
其他包含在$Q_p$和Lipschitz空间或平均Lipschitz空间之间也是已知的。

在第3节中，对于$0<p \leq 1$，我们有一个Hadamard间隙系列属于$Q_p$的准则。如果一个解析函数$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$不是一个Hadamard间隙级数，是否有可能通过它的泰勒系数来检验它是否属于$Q_p$ ?下一个定理给出任意$a_n$的充分条件和正$a_n$的判据。

定理5.1。[ausxi，定理1.2]设$0<p \leq 1$且$f(z)=$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$为解析函数。
(i)条件
$$
\sup k \frac{1}{k^p} \sum{n=0}^{\infty}(n+1)^{1-p}\left[\sum_{m=0}^{\min (n, k)} \frac{\left|a_{2 n-m+1}\right|}{(m+1)^{1-p}}\right]^2<\infty
$$
意味着$f \in Q_p$。
(ii)如果$n$和$f \in Q_p$均为$a_n \geq 0$，则条件(8)成立。
对于$B M O A$，与(ii)相对应的判据是C. Fefferman的未发表的结果，其已发表的证明涉及到$H^1$和$B M O A$之间对偶的某些方面。在没有类似这些理论的情况下，定理5.1的证明只使用$Q_p$的定义。

上述定理是构造满足$f \in Q_q \backslash Q_p, 0<p<q \leq 1$的函数$f$时的一个有力工具，同时也有一些额外的条件，排除了使用带Hadamard间隙的空级数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH4060

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH4060

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Extended Complex Plane, or Riemann Sphere

In real analysis it is standard to extend the real line $\mathbb{R}$ by adjoining two points at infinity, $+\infty$ and $-\infty$. We then have a simple way to discuss and visualise limits such as $\lim {x \rightarrow+\infty} 1 / x$ and $\lim {x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^x$.

Sometimes it is more helpful to consider these two points to be identical. For example, the graph of $y=1 / x$ is a hyperbola, which heads off to $\pm \infty$ along both axes. If we identify $+\infty$ with $-\infty$ (known as the one-point-compactification of $\mathbb{R}$ ) the extended hyperbola closes up to form a closed curve, like an ellipse. Both of these curves are conic sections, and in projective geometry they are projectively equivalent. So the projective line extends $\mathbb{R}$ by adjoining a single point at infinity.

There is a similar extension of the complex plane, which lets us describe the behaviour of a complex function ‘at infinity’ by adjoining to $\mathbb{C}$ a single extra point ‘ $\infty$ ‘. We adjoin just one point in the complex case because the distinction between the two ends of the real line becomes blurred when we deal with the whole plane. For instance, if we rotate $\mathbb{C}$ continuously through $\pi,+\infty$ and $-\infty$ in $\mathbb{R}$ swap places. The method for adjoining this extra point was introduced by Bernhard Riemann, and has an elegant geometric realisation.

Think of $\mathbb{C}$ as being embedded in the $(x, y)$-plane in $\mathbb{R}^3$, so that a point $x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}$ is identified with $(x, y, 0) \in \mathbb{R}^3$. Let
$$
S^2=\left{(\xi, \eta, \zeta) \in \mathbb{R}^3: \xi^2+\eta^2+\zeta^2=1\right}
$$
be the unit sphere. A line joining the North pole $(0,0,1)$ to $(x, y, 0)$ cuts $S^2$ in a unique point $(\xi, \eta, \zeta)$, giving a one-to-one correspondence between $\mathbb{C}$ and all points on $S^2$ except the North pole, Figure 11.3.
It is easy to verify that
$$
(\xi, \eta, \zeta) \text { corresponds to }\left(\frac{\xi}{1-\zeta}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\eta}{1-\zeta}\right)
$$
As $(\xi, \eta, \zeta)$ gets near to $(0,0,1)$ it follows (as is obvious geometrically) that $|x+\mathrm{i} y|$ becomes very large. Thus it is reasonable to introduce the symbol to correspond to $(0,0,1) \in S^2$. Thus we have a one-to-one correspondence between $S^2$ and $\mathbb{C} \cup{\infty}$. We call the latter the extended complex plane. It may be identified with $S^2$, which is then known as the Riemann sphere.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Behaviour of a Differentiable Function at Infinity

Suppose that $f(z)$ is differentiable in ${z \in \mathbb{C}:|z|>R}$. Then we can define
$$
g(z)=f(1 / z) \quad(0<|z|<1 / R)
$$
Since $g^{\prime}(z)=-z^{-2} f^{\prime}(1 / z)$ it follows that $g(z)$ is differentiable for $0<|z|<1 / R$, and therefore has an isolated singularity at 0 .

DEFINITION 11.14. The function $f$ has a removable singularity, pole of order $m$, or isolated essential singularity at $\infty$ if and only if $g(z)=f(1 / z)$ has the corresponding type of singularity at 0 .

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH4060

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Extended Complex Plane, or Riemann Sphere

在实际分析中，标准的做法是通过在无穷远处连接两个点$+\infty$和$-\infty$来扩展实线$\mathbb{R}$。然后我们有一个简单的方法来讨论和可视化极限，如$\lim {x \rightarrow+\infty} 1 / x$和$\lim {x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^x$。

有时认为这两点是相同的会更有帮助。例如，$y=1 / x$的图形是一条双曲线，沿两个轴都指向$\pm \infty$。如果我们用$-\infty$(称为$\mathbb{R}$的一点紧化)表示$+\infty$，则扩展双曲线闭合形成封闭曲线，如椭圆。这两条曲线都是二次曲线，在射影几何中它们是射影等价的。所以投影线延伸$\mathbb{R}$通过在无穷远处与一个点相连。

复平面有一个类似的扩展，它允许我们通过与$\mathbb{C}$相邻的一个额外点$\infty$来描述复函数在无穷远处的行为。在复数情况下，我们只与一个点相邻，因为当我们处理整个平面时，实线两端的区别变得模糊了。例如，如果我们连续旋转$\mathbb{C}$通过$\pi,+\infty$和$-\infty$在$\mathbb{R}$交换位置。连接这个额外点的方法是由Bernhard Riemann引入的，并且具有优雅的几何实现。

将$\mathbb{C}$看作嵌入在$\mathbb{R}^3$中的$(x, y)$ -平面中，因此点$x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}$与$(x, y, 0) \in \mathbb{R}^3$相标识。让
$$
S^2=\left{(\xi, \eta, \zeta) \in \mathbb{R}^3: \xi^2+\eta^2+\zeta^2=1\right}
$$
是单位球。连接北极$(0,0,1)$和$(x, y, 0)$的一条线将$S^2$切割成一个独特的点$(\xi, \eta, \zeta)$，在$\mathbb{C}$和$S^2$上除北极以外的所有点之间形成一对一的对应关系，如图11.3所示。
这一点很容易证实
$$
(\xi, \eta, \zeta) \text { corresponds to }\left(\frac{\xi}{1-\zeta}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\eta}{1-\zeta}\right)
$$
当$(\xi, \eta, \zeta)$接近$(0,0,1)$时，(从几何上很明显)$|x+\mathrm{i} y|$会变得非常大。因此，引入对应$(0,0,1) \in S^2$的符号是合理的。因此，我们在$S^2$和$\mathbb{C} \cup{\infty}$之间有一个一对一的对应关系。我们称后者为扩展复平面。它可以用$S^2$来表示，也就是当时所说的黎曼球。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Behaviour of a Differentiable Function at Infinity

复函数无穷远处可微函数的行为

假设$f(z)$对${z \in \mathbb{C}:|z|>R}$可导。然后我们可以定义
$$
g(z)=f(1 / z) \quad(0<|z|<1 / R)
$$
由于$g^{\prime}(z)=-z^{-2} f^{\prime}(1 / z)$可以得出$g(z)$对于$0<|z|<1 / R$是可微的，因此在0处有孤立的奇点。

11.14.定义当且仅当$g(z)=f(1 / z)$在0处具有相应类型的奇点时，函数$f$在$\infty$处具有可移动奇点、阶为$m$的极点或孤立本质奇点。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT536

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis数学的一个分支，研究复数及其函数和微积分。简单地说，复分析是将实数微积分扩展到复域。我们将把微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数中。

复分析Complex analysis基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面(x,y)上的一个点，所以z = x+ y，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分为两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，因此绘制函数需要一个四维空间，这是难以想象的。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT536

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Local Maxima and Minima

The complex numbers are not ordered, so we cannot speak of maxima and minima of a complex function $f$. We can, however, consider maximum and minimum values of the modulus $|f|$, since this is real.
DEFINITION 10.23 . If $f: D \rightarrow \mathbb{C}$, then
(i) The modulus $|f|$ has a local maximum at $z_0 \in D$ if there exists $\varepsilon>0$ such that $N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq D$ and $|f(z)| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$. The local maximum is strict if $|f(z)|<\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \backslash\left{z_0\right}$. (ii) The modulus $|f|$ has a local minimum at $z_0 \in D$ if there exists $\varepsilon>0$ such that $N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq D$ and $|f(z)| \geq\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$. The local minimum is strict if $|f(z)|>\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \backslash\left{z_0\right}$.

The problem of finding local maxima of $|f|$ in a domain turns out to be easy (or impossible, depending on how you look at it, since there are none.)

PROPOSITION 10.24. A differentiable function has no strict local maximum of its modulus in its domain. If it has a local maximum in its domain, it is constant.

Proof. Suppose that $f$ is differentiable in $D$ and let $z_0$ be a local maximum in $D$. Then $|f(z)| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$. For $0<r<\varepsilon$, the circle $C_r(t)=z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$ lies inside $N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$, so $\left|f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\right| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$ for all $t \in[0,2 \pi]$. The Cauchy Integral formula gives
$$
\begin{aligned}
f\left(z_0\right) & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z \
& =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_0^{2 \pi} \frac{f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)}{r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}} \mathrm{i} r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} \mathrm{~d} t \
& =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_0^{2 \pi} f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
so that
$$
\left|f\left(z_0\right)\right| \leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\right| \mathrm{d} t \leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|f\left(z_0\right)\right| \mathrm{d} t \leq\left|f\left(z_0\right)\right|
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Theorem

The question of maxima or minima of $|f|$ on an arbitrary subset of the domain of $f$ is somewhat different.

DEFINITION 10.26. Let $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ be differentiable in a domain $D$, and let $S \subseteq D$. Then $|f|$ has a local maximum on $S$ at $z_0 \in S$ if
(i) $z_0$ is a limit point of $S$.
(ii) For some $\varepsilon>0,|f(z)|<\left|f\left(z_0\right)\right|$ whenever $z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \cap S$.
Condition (i) is essential, for otherwise some neighbourhood $N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$ contains no points of $S$ other than $z_0$, and then condition (ii) is vacuously true.

Example 10.27. If $f(z)=\mathrm{e}^z$ and $S={z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1}$, then $|f(x+\mathrm{i} y)|=\mathrm{e}^x$ and $|f|$ has a local maximum on $S$ at the point $z_0=1$.

Using Proposition 10.24, we see that if $N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq S$, then $|f|$ cannot have a strict local maximum at $z_0$. To explore this further, we need:

DEFINITION 10.28. A point $z_0$ is a boundary point of $S$ if every neighbourhood of $z_0$ contains a point in $S$ and a point not in $S$, other than $z_0$ itself. In other words, a boundary point is a limit point both of $S$ and its complement $\mathbb{C} \backslash S$.
The boundary $\partial S$ of $S$ is its set of boundary points.
Example 10.29. The boundary of $S={z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1}$ and of of its complement ${z \in \mathbb{C}:|z|>1}$ is the circle ${z \in \mathbb{C}:|z|=1}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT536

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Local Maxima and Minima

复数不是有序的，所以我们不能说一个复数函数的最大值和最小值$f$。然而，我们可以考虑模数$|f|$的最大值和最小值，因为这是实数。
10.23 .定义如果$f: D \rightarrow \mathbb{C}$，那么
(i)模量$|f|$在$z_0 \in D$处有一个局部最大值，如果存在$\varepsilon>0$使得$N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq D$和$|f(z)| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$对于所有$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$。对于所有$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \backslash\left{z_0\right}$，如果$|f(z)|<\left|f\left(z_0\right)\right|$，则局部最大值是严格的。(ii)模量$|f|$在$z_0 \in D$处有一个局部最小值，如果存在$\varepsilon>0$，使得$N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq D$和$|f(z)| \geq\left|f\left(z_0\right)\right|$适用于所有$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$。局部最小值是严格的，如果$|f(z)|>\left|f\left(z_0\right)\right|$对于所有$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \backslash\left{z_0\right}$。

在一个域中找到$|f|$的局部最大值的问题变得很容易(或者不可能，取决于你如何看待它，因为没有)。

提案10.24可微函数的模在其定义域内没有严格的局部极大值。如果它在定义域内有一个局部极大值，它就是常数。

证明。假设$f$在$D$中是可微的，且$z_0$是$D$中的局部最大值。然后$|f(z)| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$为所有$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$。对于$0<r<\varepsilon$，圆圈$C_r(t)=z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$位于$N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$内部，因此对于所有$t \in[0,2 \pi]$，都是$\left|f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\right| \leq\left|f\left(z_0\right)\right|$。柯西积分公式给出
$$
\begin{aligned}
f\left(z_0\right) & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z \
& =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_0^{2 \pi} \frac{f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)}{r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}} \mathrm{i} r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} \mathrm{~d} t \
& =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_0^{2 \pi} f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
如此……以至于……
$$
\left|f\left(z_0\right)\right| \leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|f\left(z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\right| \mathrm{d} t \leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left|f\left(z_0\right)\right| \mathrm{d} t \leq\left|f\left(z_0\right)\right|
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Theorem

在$f$域的任意子集上$|f|$的最大值或最小值的问题有些不同。

10.26.定义设$f: D \rightarrow \mathbb{C}$在域$D$中可微，设$S \subseteq D$。那么$|f|$在$S$的$z_0 \in S$ if上有一个局部最大值
(i) $z_0$是$S$的一个极限点。
(ii)对于一些$\varepsilon>0,|f(z)|<\left|f\left(z_0\right)\right|$每当$z \in N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \cap S$。
条件(i)是必要的，否则某些邻域$N_{\varepsilon}\left(z_0\right)$不包含除$z_0$以外的$S$点，则条件(ii)为空真。

例10.27。如果是$f(z)=\mathrm{e}^z$和$S={z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1}$，那么$|f(x+\mathrm{i} y)|=\mathrm{e}^x$和$|f|$在$S$点$z_0=1$上有一个局部最大值。

使用命题10.24，我们看到，如果$N_{\varepsilon}\left(z_0\right) \subseteq S$，那么$|f|$在$z_0$处不可能有严格的局部最大值。为了进一步探索这一点，我们需要:

10.28.定义如果$z_0$的每个邻域都包含一个在$S$中的点和一个不在$S$中的点(除了$z_0$本身)，则点$z_0$是$S$的边界点。也就是说，边界点既是$S$的极限点，也是它的补集$\mathbb{C} \backslash S$的极限点。
$S$的边界$\partial S$是它的边界点的集合。
示例10.29。$S={z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1}$和它的补边${z \in \mathbb{C}:|z|>1}$的边界是圆${z \in \mathbb{C}:|z|=1}$。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math448

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math448

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Taylor Series

Using the Cauchy Integral Formula we can now expand $f\left(z_0+h\right)$ as a power series in $h$, with coefficients expressed as integrals.
LEMMA 10.2. Let $f$ be differentiable in $N_R\left(z_0\right)$. Then there exist $a_n \in \mathbb{C}$ such that
$$
f\left(z_0+h\right)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n h^n
$$
where the series converges absolutely for $|h|<R$. Further, if
$$
C_r(t)=z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])
$$
then
$$
a_n=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}} \mathrm{~d} z
$$
Proof. Fix $h$ with $0<|h|<R$ and initially suppose that $r$ satisfies $|h|<r<R$, Figure 10.3.
The Cauchy Integral Formula gives
$$
\begin{aligned}
f\left(z_0+h\right)= & \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-\left(z_0+h\right)} \mathrm{d} z \
= & \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} f(z)\left{\frac{1}{z-z_0}+\frac{h}{\left(z-z_0\right)^2}+\cdots+\frac{h^m}{\left(z-z_0\right)^{m+1}}\right. \
& \left.\quad+\frac{h^{m+1}}{\left(z-z_0\right)^{m+1}\left(z-z_0-h\right)}\right} \mathrm{d} z \
= & \sum_{n=0}^m a_n h^m+A_m
\end{aligned}
$$
where
$$
\begin{aligned}
a_n & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}} \mathrm{~d} z \
A_m & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z) h^{m+1}}{\left(z-z_0\right)^{m+1}\left(z-z_0-h\right)} \mathrm{d} z
\end{aligned}
$$
We demonstrate that $\lim _{m \rightarrow \infty} A_m=0$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Morera’s Theorem

First we have a partial converse to Cauchy’s Theorem, due to Giacinto Morera in 1889:
THEOREM 10.6 (Morera’s Theorem). If $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ is continuous in a domain $D$ and $\int_\gamma f=0$ for all closed contours $\gamma$ in $D$, then $f$ is differentiable in $D$.

Proof. By Theorem 6.44, if $\int_\gamma f=0$ for all closed contours $\gamma$ in $D$, then there exists a differentiable function $F$ in $D$ whose derivative is $f$. But now we know that $F$ is twice (indeed infinitely) differentiable, so $f=F^{\prime}$ is differentiable.

This theorem explains our warning in Chapter 6 that it is futile to try to find an antiderivative $F$ for a non-differentiable complex function $f$. It cannot have one. So there is a class of functions, including $f(z)=|z|$, that are continuous but not differentiable. Such functions are integrable, via the formula
$$
\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$
but the Fundamental Theorem of Contour Integration is no use whatsoever in this context, because $f$ has no antiderivative – in stark contrast to the real case, where every continuous function has an antiderivative. (It can be argued that here real analysis is simpler than complex.)

To summarise what we know about the existence of derivatives and antiderivatives for complex functions:

If $f$ is differentiable in a domain $D$, then all higher derivatives of $f$ exist. The function $f$ has an antiderivative only when $f$ is differentiable, and even then, only local antiderivatives are guaranteed. Specifically, if $D_1 \subseteq D$ is simply connected, then $f$ has an antiderivative in $D_1$, Theorem 8.12. In particular, we can guarantee the existence of an antiderivative of a differentiable function in any disc contained in its domain.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math448

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Taylor Series

使用柯西积分公式，我们现在可以将$f\left(z_0+h\right)$展开为$h$中的幂级数，系数表示为积分。
引理10.2。让$f$对$N_R\left(z_0\right)$可导。然后存在$a_n \in \mathbb{C}$这样
$$
f\left(z_0+h\right)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n h^n
$$
级数绝对收敛于$|h|<R$。更进一步，如果
$$
C_r(t)=z_0+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])
$$
然后
$$
a_n=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}} \mathrm{~d} z
$$
证明。将$h$固定为$0<|h|<R$，并最初假设$r$满足$|h|<r<R$，如图10.3所示。
柯西积分公式给出
$$
\begin{aligned}
f\left(z_0+h\right)= & \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-\left(z_0+h\right)} \mathrm{d} z \
= & \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} f(z)\left{\frac{1}{z-z_0}+\frac{h}{\left(z-z_0\right)^2}+\cdots+\frac{h^m}{\left(z-z_0\right)^{m+1}}\right. \
& \left.\quad+\frac{h^{m+1}}{\left(z-z_0\right)^{m+1}\left(z-z_0-h\right)}\right} \mathrm{d} z \
= & \sum_{n=0}^m a_n h^m+A_m
\end{aligned}
$$
在哪里
$$
\begin{aligned}
a_n & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}} \mathrm{~d} z \
A_m & =\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{C_r} \frac{f(z) h^{m+1}}{\left(z-z_0\right)^{m+1}\left(z-z_0-h\right)} \mathrm{d} z
\end{aligned}
$$
我们证明了$\lim _{m \rightarrow \infty} A_m=0$。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Morera’s Theorem

首先，我们有一个柯西定理的部分逆，由Giacinto Morera在1889年提出:
定理10.6(莫雷拉定理)。如果$f: D \rightarrow \mathbb{C}$在一个域$D$和$\int_\gamma f=0$中对于$D$中的所有闭合轮廓$\gamma$是连续的，那么$f$在$D$中是可微的。

证明。由定理6.44可知，对于$D$中的所有闭合轮廓$\gamma$，如果$\int_\gamma f=0$，则在$D$中存在一个导数为$f$的可微函数$F$。但现在我们知道$F$是二阶(确实是无穷)可微的，所以$f=F^{\prime}$是可微的。

这个定理解释了我们在第6章中的警告:对于一个不可微的复函数$f$，试图找到一个不定积分$F$是徒劳的。它不可能有一个。有一类函数，包括$f(z)=|z|$，是连续但不可微的。通过公式，这些函数是可积的
$$
\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$
但在这种情况下，轮廓积分基本定理毫无用处，因为$f$没有不定积分——这与实际情况形成鲜明对比，在实际情况下，每个连续函数都有不定积分。(可以说，这里真正的分析要比复杂的分析简单得多。)

总结一下我们所知道的复函数的导数和不定导数的存在性:

如果$f$在$D$域中可微，则$f$的所有高阶导数都存在。函数$f$只有在$f$可微的情况下才有不定积分，即使在这种情况下，也只能保证有局部不定积分。具体地说，如果$D_1 \subseteq D$是单连通的，那么$f$在$D_1$中有不定积分，定理8.12。特别地，我们可以保证一个可微函数在其定义域内的任何圆盘上的不定积分的存在性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH383

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis数学的一个分支，研究复数及其函数和微积分。简单地说，复分析是将实数微积分扩展到复域。我们将把微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数中。

复分析Complex analysis基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面(x,y)上的一个点，所以z = x+ y，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分为两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，因此绘制函数需要一个四维空间，这是难以想象的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写复分析Complex function方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写复分析Complex function代写方面经验极为丰富，各种代写复分析Complex function相关的作业也就用不着说。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH383

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Converse to Cauchy’s Theorem

Starting with Cauchy’s Theorem for a boundary we have deduced first the homotopyinvariance of the integral for fixed end point or closed path homotopies, and then that the integral is zero for a path homotopic to zero. However, we can also start with Corollary 9.14 and argue the other way if we wish. First we need a simple result about changing the parameter of a path:

PROPOSITION 9.16. Let $\gamma:[a, b] \rightarrow D$ be a path and let $\rho:[a, b] \rightarrow[a, b]$ be $a$ continuous map such that $\rho(a)=a, \rho(b)=b$. Then $\gamma$ is homotopic to $\gamma \circ \rho$.
Proof. Define $\phi:[a, b] \times[0,1] \rightarrow D$ by
$$
\phi(t, s)=\gamma((1-s) t+s \rho(t))
$$
This is a homotopy, and $\phi(t, 0)=\gamma(t), \phi(t, 1)=\gamma(\rho(t))$.
Note that the reparametrisation $\rho$ is not required to be a bijection here. Also: all paths $\gamma_s$ have the same image. In effect we are performing a homotopy on the parameter.
We can now prove:
PROPOSITION 9.17. A closed path $\gamma$ in $D$ is a boundary $\partial \phi$, up to reparametrisation, if and only if $\gamma$ is homotopic to zero.

Proof. The need to reparametrise the interval on which $\gamma$ is defined arises because of the way we have chosen a specific parametrisation for a boundary $\partial \phi$. By Proposition 9.16 we can adjust the parameter provided the images of $\gamma$ and $\partial \phi$ coincide. This reduces the proof to a geometric argument. We give the essence of the proof in a series of pictures, leaving the reader the (routine) task of analytic definitions and verifications required to make it rigorous.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Theorems Compared

A common cause of distress for students of complex analysis is the sudden appearance of a plague of Cauchy Theorems, having several variant hypotheses and a similar variety of conclusions, but all begin derivable from each other. At times like this it may be advisable to seek consolation elsewhere than mathematics: perhaps among the poets. Rudyard Kipling’s In the Neolithic Age makes the point admirably:
There are nine and sixty way of constructing tribal lays And – every – single – one – of – them – is – right!
It is much the same with the Cauchy Theorems: all of the different versions are essentially the same.

At the heart of all Cauchy-type theorems is the local existence of an antiderivative, Section 8.5. The theorems themselves supply, as hypotheses, conditions that permit this local result to be globalised in some way.

For example, in Chapter 8 the local result led to the central Cauchy Theorem 8.8, that if $f$ is differentiable in $D$ and a closed contour does not wind round any point outside $D$, then $\int_\gamma f=0$. This ‘non-winding’ condition ensures that the local pieces of antiderivative fit together well on the global level. The generalised version, with several contours $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$, is a simple corollary obtained by making cuts between the contours.

In this chapter we studied what happens when a contour is deformed continuously. Again the local existence of an antiderivative is involved: it lets us define the integral of $f$ along an arbitrary path, and it gives the main result of that chapter, that the integral of $f$ along a boundary is zero. This is also a globalisation: associated with any boundary is a map of an entire rectangle, and the local antiderivatives all fit together properly across the image of this rectangle. Moreover, we saw that a path is a boundary if and only if it is homotopic to zero. Since homotopy leaves the integral round a closed path invariant, this makes the reason why $\int_\gamma f=0$ transparent.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH383

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Converse to Cauchy’s Theorem

从边界的柯西定理出发，首先推导出端点固定或闭路径同伦的积分的同伦不变性，然后推导出路径同伦为零的积分为零。然而，如果我们愿意，我们也可以从推论9.14开始，并以另一种方式进行论证。首先，我们需要一个关于改变路径参数的简单结果:

提案9.16设$\gamma:[a, b] \rightarrow D$为路径，设$\rho:[a, b] \rightarrow[a, b]$为$a$连续映射，使$\rho(a)=a, \rho(b)=b$。那么$\gamma$和$\gamma \circ \rho$同伦。
证明。定义$\phi:[a, b] \times[0,1] \rightarrow D$
$$
\phi(t, s)=\gamma((1-s) t+s \rho(t))
$$
这是同伦，$\phi(t, 0)=\gamma(t), \phi(t, 1)=\gamma(\rho(t))$。
注意，重新参数化$\rho$在这里不需要是双射。此外:所有路径$\gamma_s$有相同的图像。实际上，我们是在对参数执行同伦。
现在我们可以证明:
提案9.17在$D$中的封闭路径$\gamma$是一个边界$\partial \phi$，当且仅当$\gamma$与零同伦。

证明。由于我们为边界$\partial \phi$选择了特定的参数化方式，因此需要重新参数化$\gamma$所定义的区间。通过命题9.16，我们可以在$\gamma$和$\partial \phi$图像重合的情况下调整参数。这将证明简化为几何论证。我们把证明的实质用一系列的图画来说明，而留给读者的(例行的)工作，是分析的定义和证明，以使证明严谨。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Theorems Compared

让学习复杂分析的学生感到苦恼的一个常见原因是突然出现了柯西定理的瘟疫，它有几个不同的假设和类似的结论，但它们都是相互可以推导的。在这种时候，最好到别的地方去寻求安慰，而不是数学:也许到诗人那里去。鲁迪亚德·吉卜林在《新石器时代》一书中说得很好:
有九、六十种方式来构建部落，每一种都是正确的!
这与柯西定理非常相似:所有不同的版本本质上都是相同的。

在所有柯西型定理的核心是一个不定积分的局部存在，第8.5节。作为假设，这些定理本身提供了条件，允许这个局部结果以某种方式全球化。

例如，在第8章的局部结果引出了中心柯西定理8.8，如果$f$在$D$是可微的，并且封闭的轮廓不绕$D$以外的任何点，则$\int_\gamma f=0$。这种“不缠绕”条件确保了不定积分的局部部分在全局水平上很好地贴合在一起。普遍化的版本，有几个轮廓$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$，是通过在轮廓之间进行切割而获得的简单推论。

在本章中，我们研究了当轮廓连续变形时会发生什么。再一次涉及到不定积分的局部存在性:它让我们定义$f$沿任意路径的积分，它给出了那一章的主要结果，$f$沿边界的积分为零。这也是一种全球化:与任何边界相关联的都是一个完整矩形的地图，而局部不定积分在这个矩形的图像上都能很好地融合在一起。此外，我们知道一条路径是边界当且仅当它与零同伦。由于同伦使得积分圆为闭路径不变，这使得$\int_\gamma f=0$的原因透明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math4100

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis数学的一个分支，研究复数及其函数和微积分。简单地说，复分析是将实数微积分扩展到复域。我们将把微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数中。

复分析Complex analysis基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面(x,y)上的一个点，所以z = x+ y，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分为两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，因此绘制函数需要一个四维空间，这是难以想象的。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math4100

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Fixed End Point Homotopy

Consider the rectangle
$$
R={t+\text { is } \in \mathbb{C}: t \in[a, b], s \in[0,1]}
$$
DEFINITION 9.8. Two paths $\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$ and $\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$ are fixed end point homotopic in $D$ if there is a continuous map
$$
\phi: R \rightarrow D
$$
and points $z_0, z_1 \in \mathbb{C}$ such that
$$
\begin{array}{ll}
\phi(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(s, 0)=z_0 & \text { for all } s \in[0,1] \
\phi(s, 1)=z_1 & \text { for all } s \in[0,1]
\end{array}
$$
as in Figure 9.14.
If we let $\gamma_s(t)=\phi(t, s)$ then $\gamma_s$ is a path in $D$ from $z_0$ to $z_1$ for all $s \in[0,1]$, and as $s$ increases continuously from 0 to 1 , the path $\gamma_s$ ‘deforms continuously’ from $\gamma_0$ to $\gamma_1$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Closed Path Homotopy

Once more we consider the rectangle
$$
R={t+\mathrm{i} s \in \mathbb{C}: t \in[a, b], s \in[0,1]}
$$
but we impose different conditions on $\phi$ :
DEFinition 9.11. Two (closed) paths $\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$ and $\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$ are homotopic via closed paths in $D$ if there is a continuous map
$$
\phi: R \rightarrow D
$$

such that
$$
\begin{array}{ll}
\phi(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(a, s)=\phi(b, s) & \text { for all } s \in[0,1]
\end{array}
$$
as in Figure 9.16.

Again, if we define $\gamma_s(t)=\phi(t, s)$ then $\gamma_s$ is a closed path in $D$ for all $s \in[0,1]$, and as $s$ increases continuously from 0 to 1 , the path $\gamma_s$ ‘deforms continuously’ from $\gamma_0$ to $\gamma_1$.

Example 9.12. For $\left|z_0\right|<K$, let $D=\left{z \in \mathbb{C}:|z|<K, z \neq z_0\right}$. For $\left|z_0\right|<\rho<K$, let $\gamma_0(t)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$, and for $0<\varepsilon<K-\left|z_0\right|$ let $\gamma_1(t)=z_0+\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$, as in Figure 9.17. Then $\gamma_0$ is homotopic to $\gamma_1$ via closed paths in $D$, where
$$
\phi(t, s)=(1-s) \gamma_0(t)+s \gamma_1(t) \quad(t \in[0,2 \pi], s \in[0,1])
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Math4100

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Fixed End Point Homotopy

考虑矩形
$$
R={t+\text { is } \in \mathbb{C}: t \in[a, b], s \in[0,1]}
$$
定义9.8。如果存在连续映射，则两条路径$\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$和$\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$在$D$中是固定端点同伦的
$$
\phi: R \rightarrow D
$$
点$z_0, z_1 \in \mathbb{C}$这样
$$
\begin{array}{ll}
\phi(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(s, 0)=z_0 & \text { for all } s \in[0,1] \
\phi(s, 1)=z_1 & \text { for all } s \in[0,1]
\end{array}
$$
如图9.14所示。
如果我们让$\gamma_s(t)=\phi(t, s)$，那么$\gamma_s$是$D$从$z_0$到$z_1$的路径，对于所有$s \in[0,1]$，当$s$从0到1连续增加时，路径$\gamma_s$从$\gamma_0$到$\gamma_1$“连续变形”。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Closed Path Homotopy

我们再考虑一下矩形
$$
R={t+\mathrm{i} s \in \mathbb{C}: t \in[a, b], s \in[0,1]}
$$
但是我们对$\phi$施加了不同的条件:
定义9.11。如果存在连续映射，则两条(闭)路径$\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$和$\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$通过$D$中的闭路径是同伦的
$$
\phi: R \rightarrow D
$$

这样
$$
\begin{array}{ll}
\phi(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\phi(a, s)=\phi(b, s) & \text { for all } s \in[0,1]
\end{array}
$$
如图9.16所示。

同样，如果我们定义$\gamma_s(t)=\phi(t, s)$，那么对于所有$s \in[0,1]$, $\gamma_s$是$D$中的封闭路径，并且当$s$从0到1连续增加时，路径$\gamma_s$从$\gamma_0$到$\gamma_1$“连续变形”。

例9.12。对于$\left|z_0\right|<K$，让$D=\left{z \in \mathbb{C}:|z|<K, z \neq z_0\right}$。对于$\left|z_0\right|<\rho<K$，设$\gamma_0(t)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$，对于$0<\varepsilon<K-\left|z_0\right|$，设$\gamma_1(t)=z_0+\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in[0,2 \pi])$，如图9.17所示。那么$\gamma_0$通过$D$中的闭合路径与$\gamma_1$同伦，其中
$$
\phi(t, s)=(1-s) \gamma_0(t)+s \gamma_1(t) \quad(t \in[0,2 \pi], s \in[0,1])
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT-445

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis数学的一个分支，研究复数及其函数和微积分。简单地说，复分析是将实数微积分扩展到复域。我们将把微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数中。

复分析Complex analysis基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面(x,y)上的一个点，所以z = x+ y，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分为两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，因此绘制函数需要一个四维空间，这是难以想象的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写复分析Complex function方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写复分析Complex function代写方面经验极为丰富，各种代写复分析Complex function相关的作业也就用不着说。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT-445

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Theorem for a Boundary

The formal definition of homotopy (Definition 9.7 below) uses a map from a rectangle into $\mathbb{C}$. The top and bottom edges of the rectangle determine two paths, and parallel segments of its interior determine a continuous deformation of one path into the other. We therefore begin by considering maps defined on rectangles, and properties of their boundaries.
Let $R$ be the rectangle
$$
R={x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}
$$
with boundary contour $\partial R$, Figure 9.6. (Here $a \leq b$ and $c \leq d$ are real.) Suppose that $\partial R:[0, p] \rightarrow \mathbb{C}$ is parametrised by arc length, measured anticlockwise, where $p=2(b-a)+2(d-c)$ is the perimeter of $R$, Figure 9.7.
Given a continuous map $\phi: R \rightarrow \mathbb{C}$, we define the boundary of $\phi$ to be
$$
\partial \phi(t)=\phi(\partial R(t)) \quad(t \in[0, p])
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Formal Definition of Homotopy

A ‘homotopy’ between two paths $\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$ and $\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$ is, roughly speaking, a continuously varying family of paths $\gamma_s:[a, b] \rightarrow D$, where $s$ runs over the interval $[0,1]$. At the start, $s=0$ and $\gamma_s=\gamma_0$; at the end, $s=1$ and $\gamma_s=\gamma_1$.

How do we make this precise? Notice that the whole family depends on two variables: the parameter, $s$, and the original variable $t$ giving the position on the path. We can combine everything into a single function $\gamma$ of $(t, s)$ if we set
$$
\gamma(t, s)=\gamma_s(t) \quad(t \in[a, b], s \in[0,1])
$$
It is then natural to insist that $\gamma$, as a function of two real variables, should be continuous. We are thus led to:

DEFINITION 9.7. A homotopy in $D$ between $\gamma_0$ and $\gamma_1$, as above, is a continuous map
$$
\gamma:[a, b] \times[0,1] \rightarrow D
$$
such that
$$
\begin{array}{ll}
\gamma(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\gamma(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b]
\end{array}
$$
We illustrate this idea in Figure 9.12. Note that we do not (yet) assume that $\gamma_0$ and $\gamma_1$ have the same start or end points.

It will prove convenient to think of $[a, b] \times[0,1]$ as a subset of $\mathbb{C}$, by identifying $(t, s)$ with $t+$ is.

Figure 9.12 captures well the continuous variation of $\gamma_s$, but it is misleadingly nice in that $\gamma$ is one-one. There is no reason to require this in general, so a perfectly reasonable homotopy could resemble Figure 9.13.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAT-445

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Theorem for a Boundary

同伦的正式定义(定义9.7)使用从矩形到$\mathbb{C}$的映射。矩形的顶部和底部边缘确定了两条路径，其内部的平行部分确定了一条路径到另一条路径的连续变形。因此，我们首先考虑在矩形上定义的映射及其边界的性质。
设$R$为矩形
$$
R={x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}
$$
边界轮廓$\partial R$，图9.6。(这里的$a \leq b$和$c \leq d$是真实的。)假设$\partial R:[0, p] \rightarrow \mathbb{C}$以逆时针测量的弧长作为参数，其中$p=2(b-a)+2(d-c)$为$R$的周长，如图9.7。
给定一个连续映射$\phi: R \rightarrow \mathbb{C}$，我们定义$\phi$的边界为
$$
\partial \phi(t)=\phi(\partial R(t)) \quad(t \in[0, p])
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Formal Definition of Homotopy

两条路径$\gamma_0:[a, b] \rightarrow D$和$\gamma_1:[a, b] \rightarrow D$之间的“同伦”，粗略地说，是一个连续变化的路径族$\gamma_s:[a, b] \rightarrow D$，其中$s$在区间$[0,1]$上运行。一开始，$s=0$和$\gamma_s=\gamma_0$;最后是$s=1$和$\gamma_s=\gamma_1$。

我们如何做到精确?注意，整个家族依赖于两个变量:参数$s$和给出路径位置的原始变量$t$。我们可以把所有的东西组合成一个单独的函数$\gamma$ ($(t, s)$)如果我们设置
$$
\gamma(t, s)=\gamma_s(t) \quad(t \in[a, b], s \in[0,1])
$$
那么很自然地坚持$\gamma$作为两个实变量的函数应该是连续的。因此，我们得出:

9.7.定义如上所述，$D$中$\gamma_0$和$\gamma_1$之间的同伦是一个连续映射
$$
\gamma:[a, b] \times[0,1] \rightarrow D
$$
这样
$$
\begin{array}{ll}
\gamma(t, 0)=\gamma_0(t) & \text { for all } t \in[a, b] \
\gamma(t, 1)=\gamma_1(t) & \text { for all } t \in[a, b]
\end{array}
$$
我们在图9.12中说明了这个想法。注意，我们(尚未)假设$\gamma_0$和$\gamma_1$具有相同的起点或终点。

通过将$(t, s)$与$t+$ is标识出来，将$[a, b] \times[0,1]$看作$\mathbb{C}$的一个子集将会很方便。

图9.12很好地捕捉了$\gamma_s$的连续变化，但它很好地误导了$\gamma$是1 – 1。通常没有理由要求这样做，所以完全合理的同伦可以类似于图9.13。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Regular and Singular Points

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（见轮廓积分的方法）。

复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Regular and Singular Points

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Regular and Singular Points

Before tackling the intricacies of contour integration, we explain why the cases $\gamma^{\prime}(t) \neq 0$ and $\gamma^{\prime}(t)=0$ differ significantly.

Near a regular point, the image of $\gamma$ is a smooth curve in the geometric sense that it has a well-defined tangent direction (and this varies continuously). The curve may cross itself, but each separate segment near the crossing looks smooth.

Near a singular point, this may not be true. Sometimes there is a sensible, indeed visible, tangent direction, but sometimes there is not. The geometry of $\gamma(t)$ when $t$ is near a singular point $t_0$ is highly sensitive to the precise behaviour of $\gamma(t)$ when $t$ is near $t_0$. We give a series of simple examples to illustrate some of the possibilities.

To make sense of what is happening at a singular point we compare it with the real case. In real analysis the graph of a function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ consists of the points $(x, f(x)) \in$ $\mathbb{R}^2$. If $f$ is smooth, the graph has a well-defined tangent – even at a critical point where $f^{\prime}(x)=0$. However, if we imagine the point $y=f(x)$ moving as $x$ increases steadily, $y$ becomes stationary at any critical point. (Indeed, another term is stationary point.) The tangent at a critical point is horizontal. This is the same as the direction in which a point $(x, f(x))$ on the graph is projected to obtain the image $f(x)$. So the tangent projects to a single point.

The same kind of behaviour is happening at the cusp, but now $\gamma$ is a hybrid function with a graph $\gamma:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}$ in coordinate form $\left(t, t^2+\mathrm{i} t^3\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C}$. This is drawn in the upper left part of Figure 6.8 , represented in three-dimensional real space as $(t, x, y)=$ $\left(t, t^2, t^3\right)$, where $t, x, y$ all lie between -1 and +1 . Projection onto the vertical $(x, y)$-plane

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Contour Integration

For readers who took the Riemann integral route, Section 6.2 defines the notion of a smooth path and deduces a formula for the integral along such a path. Those who opted for the short cut should refer to Definition 6.15 . For all readers, we now generalise the notion of integration to allow paths made up of a finite number of smooth pieces:
DEFINITION 6.28. Using the notation of Section 2.4, a contour is a path of the form
$$
\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n
$$
where $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ are smooth paths such that the final point of $\gamma_r$ coincides with the initial point of $\gamma_{r+1}$ for $r=1, \ldots, n-1$.

Integration along a contour is an easy extension of integration along a smooth path:
DEFINITION 6.30. If $D$ is a domain, $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ is continuous, and $\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n$ is a contour (so all $\gamma_r$ are smooth), then the contour integral off along $\gamma$ is
$$
\int_\gamma f=\int_{\gamma_1} f+\cdots+\int_{\gamma_n} f
$$
and
$$
L(\gamma)=L\left(\gamma_1\right)+\cdots+L\left(\gamma_n\right)
$$
It is obvious that if a smooth path $\sigma$ is subdivided as
$$
\sigma=\sigma_1+\sigma_2
$$
then
$$
\int_\sigma f=\int_{\sigma_1} f+\int_{\sigma_2} f
$$
so further subdivisions of the contours $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ in the above definitions will not affect the values of the integrals. The contour integrals are therefore well-defined.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Regular and Singular Points

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Regular and Singular Points

在处理复杂的轮廓整合之前，我们解释了为什么情况$\gamma^{\prime}(t) \neq 0$和$\gamma^{\prime}(t)=0$有显著不同。

在正则点附近，$\gamma$的图像在几何意义上是一条光滑的曲线，因为它有一个明确的切线方向(并且这个方向是连续变化的)。曲线本身可能会交叉，但靠近交叉点的每一段看起来都是平滑的。

在奇异点附近，这可能不成立。有时会有一个明智的、确实可见的相切方向，但有时却没有。当$t$靠近奇点$t_0$时，$\gamma(t)$的几何形状对$t$靠近$t_0$时$\gamma(t)$的精确行为高度敏感。我们给出一系列简单的例子来说明其中的一些可能性。

为了理解奇点处发生的情况，我们将其与实际情况进行比较。在实际分析中，函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$的图形由$(x, f(x)) \in$$\mathbb{R}^2$点组成。如果$f$是光滑的，则图形具有明确的切线——即使在$f^{\prime}(x)=0$。然而，如果我们想象点$y=f(x)$随着$x$的稳定增长而移动，$y$在任何临界点都是静止的。(实际上，另一个术语是静止点。)临界点处的切线是水平的。这与投影图上的点$(x, f(x))$得到图像$f(x)$的方向相同。所以正切投影到一个点。

同样的行为也发生在尖端，但现在$\gamma$是一个混合函数，带有坐标形式$\left(t, t^2+\mathrm{i} t^3\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C}$的图形$\gamma:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}$。这是在图6.8的左上角绘制的，在三维真实空间中表示为$(t, x, y)=$$\left(t, t^2, t^3\right)$，其中$t, x, y$都位于-1和+1之间。垂直$(x, y)$平面上的投影

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Contour Integration

对于选择黎曼积分路线的读者，第6.2节定义了平滑路径的概念，并推导了沿此路径的积分公式。选择捷径的人应参阅定义6.15。对于所有读者，我们现在将积分的概念推广到允许由有限数量的光滑块组成的路径:
6.28.定义使用2.4节的表示法，等高线是形式的路径
$$
\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n
$$
其中$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$是平滑的路径，使得$\gamma_r$的最终点与$r=1, \ldots, n-1$的初始点$\gamma_{r+1}$重合。

沿轮廓积分是沿光滑路径积分的简单扩展:
6.30.定义如果$D$是一个域，$f: D \rightarrow \mathbb{C}$是连续的，$\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n$是一个轮廓(所以所有的$\gamma_r$都是光滑的)，那么沿$\gamma$的轮廓积分是
$$
\int_\gamma f=\int_{\gamma_1} f+\cdots+\int_{\gamma_n} f
$$
和
$$
L(\gamma)=L\left(\gamma_1\right)+\cdots+L\left(\gamma_n\right)
$$
很明显，如果一条平滑的路径$\sigma$被细分为
$$
\sigma=\sigma_1+\sigma_2
$$
然后
$$
\int_\sigma f=\int_{\sigma_1} f+\int_{\sigma_2} f
$$
因此，在上述定义中进一步细分$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$等高线不会影响积分的值。因此，轮廓积分是定义良好的。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Integral Formula for the Length of Smooth Paths and Contours

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如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（见轮廓积分的方法）。

复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Integral Formula for the Length of Smooth Paths and Contours

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Integral Formula for the Length of Smooth Paths and Contours

When a path is smooth, its length is finite, and can be calculated by an integral:
PROPOSITION 6.11. The length of a smooth path $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is
$$
L(\gamma)=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
and this is finite.
We prove this result below, but first we note that the integrand $\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$ is continuous on $[a, b]$, so the real integral
$$
L=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
certainly exists, and is finite. We must show that $L$ is the supremum of the lengths $L\left(\gamma_P\right)$ of approximating polygons $\gamma_P$.
Now $L$ can be closely approximated by sums
$$
S(P, \phi)=\sum_{r=1}^n\left|\gamma^{\prime}\left(s_r\right)\right|\left(t_r-t_{r-1}\right)
$$
where $P$ is the partition $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b, t_{r-1}<s_r<t_r$, and $\phi(t)=\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|If You Took the Short Cut. . .

Some readers will have read the previous three sections, and some will not. For the latter, we now give some basic definitions that are motivated by the previous three sections:
DEFINITION 6.15. A path $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is smooth if $\gamma^{\prime}$ exists and is continuous on the closed interval $[a, b]$.

If $D$ is a domain, the integral of a continuous function $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ along the path $\gamma$ is
$$
\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$
The length of $\gamma$ is
$$
L(\gamma)=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
A comment on (6.10) and (6.11) is in order to explain what they mean. The integrands $f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)$ and $\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$ are both continuous. The latter is real; the former may be written in real and imaginary parts as $f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)=U(t)+\mathrm{i} V(t)$ and the integral $\int_\gamma f$ can then be calculated using two real integrals:
$$
\int_\gamma f=\int_a^b U(t) \mathrm{d} t+\mathrm{i} \int_a^b V(t) \mathrm{d} t
$$
Since all integrands involved are continuous, the real integrals all exist.
At this stage, readers who made either choice are now equipped to proceed to the rest of the book. If you took the short cut, take a quick look at Examples 6.13 and 6.14 to convince yourself that the formula defining length makes sense for lines and circles.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Integral Formula for the Length of Smooth Paths and Contours

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Integral Formula for the Length of Smooth Paths and Contours

当路径光滑时，其长度是有限的，可以用积分计算:
提案6.11平滑路径$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$的长度为
$$
L(\gamma)=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
这是有限的。
我们在下面证明这个结果，但首先我们注意到被积函数$\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$在$[a, b]$上是连续的，因此是实积分
$$
L=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
当然存在，并且是有限的。我们必须证明$L$是近似多边形$\gamma_P$的长度$L\left(\gamma_P\right)$的最大值。
现在$L$可以用求和来近似
$$
S(P, \phi)=\sum_{r=1}^n\left|\gamma^{\prime}\left(s_r\right)\right|\left(t_r-t_{r-1}\right)
$$
其中$P$为分区$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b, t_{r-1}<s_r<t_r$, $\phi(t)=\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$为分区。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|If You Took the Short Cut. . .

有些读者已经阅读了前面的三个部分，有些则没有。对于后者，我们现在根据前三个部分给出一些基本定义:
6.15.定义如果$\gamma^{\prime}$存在并且在闭区间$[a, b]$上连续，则路径$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$是平滑的。

如果$D$是一个定义域，连续函数$f: D \rightarrow \mathbb{C}$沿路径$\gamma$的积分是
$$
\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$
$\gamma$的长度为
$$
L(\gamma)=\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
对(6.10)和式(6.11)的注释是为了解释它们的意思。被积项$f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)$和$\left|\gamma^{\prime}(t)\right|$都是连续的。后者是真实存在的;前者可以用实部和虚部表示为$f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)=U(t)+\mathrm{i} V(t)$，然后积分$\int_\gamma f$可以用两个实积分来计算:
$$
\int_\gamma f=\int_a^b U(t) \mathrm{d} t+\mathrm{i} \int_a^b V(t) \mathrm{d} t
$$
由于所涉及的所有积分都是连续的，所以实积分都存在。
在这个阶段，做出任何选择的读者现在都可以继续阅读本书的其余部分了。如果您选择了捷径，请快速查看示例6.13和6.14，以使自己确信定义长度的公式对直线和圆是有意义的。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Behaviour of Real Trigonometric Functions

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Behaviour of Real Trigonometric Functions

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Behaviour of Real Trigonometric Functions

We know that $\cos x$ is positive for $0 \leq x<\pi / 2$. Since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin x=\cos x$, it follows that $\sin$ is strictly increasing on $[0, \pi / 2]$. Since
$$
\sin ^2 \frac{\pi}{2}+\cos ^2 \frac{\pi}{2}=1
$$
and $\cos \pi / 2=0$, we must have $\sin \pi / 2= \pm 1$. But since $\sin$ is increasing on $[0, \pi / 2]$, we must have
$$
\sin \frac{\pi}{2}=1
$$
Now (5.18) implies that
$$
\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x
$$
Hence $\cos$ decreases monotonically from 1 to 0 in $[0, \pi / 2]$. Using (5.17) and (5.19) repeatedly, we can deduce the behaviour of sin and $\cos$ in the intervals $[\pi / 2, \pi],[\pi, 3 \pi / 2]$, and $[3 \pi / 2,2 \pi]$. We obtain
$$
\begin{aligned}
\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) & =-\sin x \
\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) & =\cos x \
\sin (\pi+x) & =-\sin x
\end{aligned}
$$
and so on. We tabulate the results in Table 5.1, where $a \nearrow b$ means ‘strictly increasing from $a$ to $b$ ‘, and $a \searrow b$ means ‘strictly decreasing from $a$ to $b$ ‘.
From the table,
$$
\begin{aligned}
& \cos 2 \pi=1 \
& \sin 2 \pi=0
\end{aligned}
$$

Therefore
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+2 \pi)=\cos x \cos 2 \pi-\sin x \sin 2 \pi=\cos x \
& \sin (x+2 \pi)=\sin x \cos 2 \pi+\cos x \sin 2 \pi=\sin x
\end{aligned}
$$
leading to
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+2 n \pi)=\cos x \
& \sin (x+2 n \pi)=\sin x
\end{aligned}
$$
for all $n \in \mathbb{Z}$. So sin and $\cos$ are periodic with period $2 \pi$. In particular the behaviour in the table repeats on each interval $[2 n \pi,(2 n+2) \pi]$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Dynamic Explanation of Euler’s Formula

Euler’s formula(s) linking e, $i, \pi$ seem surprising, but the existence of such a link, and even the details of how it goes, can be deduced very naturally from standard ideas in the theory of differential equations. This section is intended as motivation, and to help explain why such a connection exists. It can be made rigorous by setting up the necessary ideas formally. It is not used later in the book and can be skipped.
Consider the linear differential equation
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\mathrm{i} z \quad(z \in \mathbb{C})
$$
on $\mathbb{C}$. Equation (5.2) and the chain rule show that a solution $z(t)$ with initial condition $z(0)=1$ is
$$
z(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}
$$
This solution is unique since the difference $w$ between any two solutions satisfies
$$
\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} t}=0
$$
so $w(t)$ is constant, and must equal $w(0)=0$.
Geometrically, (5.25) corresponds to a point particle $z(t)$ moving in the plane $\mathbb{C}$, and it states that the velocity vector $z^{\prime}(t)$ is at right angles to the position $z(t)$, and the speed is $|z(t)|$, Figure 5.1. (Here’ indicate the time-derivative. The right angle arises from the factor $\mathrm{i}$ in the equation.) That is: the particle always moves at right angles to the line joining it to the origin. Intuitively, the particle must move along the unit circle. To verify this, we prove that $z^{\prime}(t)$ is always tangent to the unit circle $\mathbb{S}$, or equivalently that $z(t) \in \mathbb{S}$ for all $t$. The key point is that $|z(t)|^2$ is conserved; that is, it is constant. Compute:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|z(t)|^2=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) \bar{z}(t)=z^{\prime}(t) \bar{z}(t)+z(t) \bar{z}^{\prime}(t)=\left(\mathrm{ie}^{\mathrm{i} t}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\right)+\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\left(-\mathrm{ie}^{-\mathrm{i} t}\right)=\mathrm{i}-\mathrm{i}=0
$$
so $|z(t)|^2$ is constant. Since it equals 1 at time 0 , we know that $|z(t)|^2=1$ for all $t$. Therefore $z(t)$ always lies on the unit circle.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Behaviour of Real Trigonometric Functions

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Behaviour of Real Trigonometric Functions

我们知道$\cos x$对$0 \leq x<\pi / 2$是正的。由于$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin x=\cos x$，因此$\sin$在$[0, \pi / 2]$上严格增加。自从
$$
\sin ^2 \frac{\pi}{2}+\cos ^2 \frac{\pi}{2}=1
$$
还有$\cos \pi / 2=0$，我们一定有$\sin \pi / 2= \pm 1$。但是因为$\sin$在$[0, \pi / 2]$上增长，我们必须
$$
\sin \frac{\pi}{2}=1
$$
现在(5.18)意味着
$$
\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x
$$
因此$\cos$在$[0, \pi / 2]$中从1到0单调递减。重复使用式(5.17)和式(5.19)，我们可以推导出sin和$\cos$在$[\pi / 2, \pi],[\pi, 3 \pi / 2]$和$[3 \pi / 2,2 \pi]$区间内的行为。我们得到
$$
\begin{aligned}
\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) & =-\sin x \
\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) & =\cos x \
\sin (\pi+x) & =-\sin x
\end{aligned}
$$
等等……我们将结果列在表5.1中，其中$a \nearrow b$表示“从$a$严格增加到$b$”，$a \searrow b$表示“从$a$严格减少到$b$”。
从桌子上，
$$
\begin{aligned}
& \cos 2 \pi=1 \
& \sin 2 \pi=0
\end{aligned}
$$

因此
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+2 \pi)=\cos x \cos 2 \pi-\sin x \sin 2 \pi=\cos x \
& \sin (x+2 \pi)=\sin x \cos 2 \pi+\cos x \sin 2 \pi=\sin x
\end{aligned}
$$
导致
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+2 n \pi)=\cos x \
& \sin (x+2 n \pi)=\sin x
\end{aligned}
$$
对于所有$n \in \mathbb{Z}$。所以sin和$\cos$的周期是$2 \pi$。特别是表中的行为在每个间隔$[2 n \pi,(2 n+2) \pi]$上重复。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Dynamic Explanation of Euler’s Formula

欧拉公式(s)连接e, $i, \pi$似乎令人惊讶，但这样一个连接的存在，甚至它是如何进行的细节，可以很自然地从微分方程理论的标准思想中推导出来。本节旨在作为动机，并帮助解释为什么存在这种联系。通过正式地建立必要的思想，可以使它变得严谨。它在书的后面没有使用，可以跳过。
考虑线性微分方程
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\mathrm{i} z \quad(z \in \mathbb{C})
$$
在$\mathbb{C}$上。由式(5.2)和链式法则可知，具有初始条件$z(0)=1$的解为$z(t)$
$$
z(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}
$$
这个解是唯一的，因为任意两个解之间的差$w$满足
$$
\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} t}=0
$$
所以$w(t)$是常数，一定等于$w(0)=0$。
几何上，(5.25)对应于在平面$\mathbb{C}$上运动的点粒子$z(t)$，表示速度矢量$z^{\prime}(t)$与位置$z(t)$成直角，速度为$|z(t)|$，见图5.1。(这里表示时间导数。直角是由方程中的因子$\mathrm{i}$产生的。那就是:粒子总是沿着连接它和原点的直线成直角运动。直观地说，粒子必须沿着单位圆运动。为了验证这一点，我们证明$z^{\prime}(t)$总是与单位圆$\mathbb{S}$相切，或者等价地证明$z(t) \in \mathbb{S}$对于所有$t$都相切。关键是$|z(t)|^2$是守恒的;也就是说，它是常数。计算:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|z(t)|^2=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) \bar{z}(t)=z^{\prime}(t) \bar{z}(t)+z(t) \bar{z}^{\prime}(t)=\left(\mathrm{ie}^{\mathrm{i} t}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\right)+\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right)\left(-\mathrm{ie}^{-\mathrm{i} t}\right)=\mathrm{i}-\mathrm{i}=0
$$
所以$|z(t)|^2$是常数。因为它在时刻0等于1，我们知道$|z(t)|^2=1$对于所有$t$。因此$z(t)$总是在单位圆上。

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