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Combinatorics组合学是什么？Combinatorics组合学历史
组合数学或组合学是数学的一个分支，研究满足某些条件的（通常是有限的）对象集合。 它被认为是离散数学的核心学科之一。 具体问题包括对集合中的对象进行计数（计数组合学）、确定何时满足某一条件、构建或分析满足该条件的对象（组合设计和矩阵理论）、寻找 “最大”、”最小 “或 “最优 “对象（极值组合学和 组合优化），以及找到这些对象可能具有的代数结构（代数组合学）。
自古以来，人们一直在研究组合问题，但组合学作为数学的一个统一领域，直到最近五十年才得到认可。内托（Netto）是早期重视组合学的学者。1915 年，珀西-亚历山大-麦克马洪（Percy Alexander MacMahon）的《组合分析》一书出版后，组合数学获得了一定的自主权。在接下来的几年中，它的重要性逐渐增加：柯尼格关于图论的著作和马歇尔-霍尔的著作都值得一提。 吉安-卡罗-罗塔（Gian-Carlo Rota）的工作推动了这一理论的发展，从 20 世纪 60 年代起，他为建立意义深远、形式清晰的统一理论做出了贡献。另一位颇具影响力的人物是马塞尔-保罗-舒岑贝格（Marcel-Paul Schützenberger）。保罗-厄尔多斯（Paul Erdős）的工作与此不同，但却非常有效，他善于提出和解决问题，其贡献主要涉及极端问题。
Combinatorics组合学的基本概念
1.允许重复的排列组合
当你考虑对事物进行排序时，如果一件事物可能会被多次选择，那么可能的排列组合数就是
$n^r$
变为 $n^r$。 其中，n 是考虑选择的候选人数，r 是可进行选择的次数。
例如，用 A、B、C 和 D 四个字母组成长度为 3 的三字母字符串有四种方法，即 64 种方法。 由于第一个字母可以选择四个字母中的任何一个，第二个字母可以再次选择四个字母中的任何一个，最后一个字母可以再次选择四个字母中的任何一个，因此可能的选择次数为 43，即 64 次。 所有这些相乘就得出了可能性的总数。
2.不允许重复的排列组合
如果你考虑的是事物排列的顺序，而每种事物只能选择一次，那么可能的排列组合数是 $P(n, r)=\frac{n !} {(n-r) !} =n_{(r)}$ 即 $P(n,r)$。 其中，n 是可供选择的候选人数，r 是可供选择的人数，！符号是阶乘的传统符号，$n_{(r)}$ 是降幂的波查默符号。 例如，从五个人中选择并安排三个人有五种方法：5!/(5-3)！= 60 种方法。 当 r = n 时（即所有候选者都被选中），公式为 $\frac{n !} {(n-n) !} =$\frac{n !} {0 !} =n ! $ 解释为 不过，我们将把 0! 例如，如果有三个人，就有 3 种排列方法，即 3 × 2 × 1 = 6 种。 这是因为你可以从三个人中选择一个作为第一个人，从另外两个人中选择一个作为第二个人，但是排在最后的人就没有选择的余地了。 这些数字相乘就得出了可能性的总数。
3.不允许重复的组合
选择的顺序并不重要，当每种组合只能选择一次时，可能的组合数是
$$
C(n, r)=\frac{n !}{r !(n-r) !}=\left(\begin{array}{l}
n \
r
\end{array}\right)
$$
结果是 其中 n 是可供选择的候选人数，r 是可供选择的人数。
例如，如果有 10 个数字，你必须从中选择 5 个，那么选择是
$\frac{10 !}{5 !(10-5) !}=252$
有两种方法。
4.允许重复的组合
当每个组合都可以被选择尽可能多的次数时，可能的组合数为
$\frac{(n+r-1) !}{r !(n-1) !}=\left(\begin{array}{c}n+r-1 \ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+r-1 \ n-1\end{array}\right)$
结果是 其中 n 是可供选择的候选人数，r 是可供选择的人数。
例如，如果有 10 个不同的甜甜圈，那么选择 3 个甜甜圈的结果是 $\frac{(10+3-1) !} {3 ! (10-1) !} 有 =220$种方法。
Combinatorics making connections to other fields
在纯数学领域，组合方法被广泛应用于概率论、代数学（有限群和域、矩阵和网格理论）、数论（差集）、集合论（斯佩尔纳定理）和数理逻辑（拉姆齐定理）等不同领域。
了解组合学对于学习数学的其他学科很有帮助，比如说在代数几何中，对$\mathbb{C}^n$中的多项式方程所划出的区域显示出任意曲面所不具有的某些刚性，但它们仍会随着底层方程的变化而连续变化。该领域有许多深奥的未决问题，如霍奇猜想和雅各布猜想。与此同时，还有一些关于计算代数变体不变式的非常基本的问题仍未解决，这些问题具有重要的组合学背景–涵盖等变交集理论、广义同调学、矩阵、等变交集理论和等变同调学。tom同调学、矩阵理论、多边形（偶尔是无限的）及其细分、格点枚举，以及$S_n$的表示理论（$n \ in \mathbb{C}$），这些内容处于组合学和代数几何的交叉地带。
Combinatorics组合数学的现代分支
随着数学的发展，组合数学产生了若干现代分支，比如说加性组合学是组合和交换调和分析的交叉，其中诞生的重要思想引起了很多数学问题的突破，比如kakeya conjecture，erdos distance problem的进展都和组合角度中带来的新方法有着密切的关系。
kakeya conjecture
kakeya猜想听起来像是一个脑筋急转弯。把一根针平放在桌子上。你需要多大的面积才能转动它，使它指向所有可能的方向？
最明显的可能答案是一个直径等于针的长度的圆。但这显然是错误的。在过去的一个世纪里，人们努力去理解它错误的方式，结果发现，这个看似有趣的小问题实际上是一个关于实数本身性质的极具挑战性的数学问题–数线上那些无限的刻度线就是最初提出这个问题的空间坐标。
最近，在kakeya猜想方面取得了多年来最显著进展的几个证明，使这一问题变得清晰起来。这些结果将最初的问题从数学家们一直受阻的实数领域转移到了几何和算术领域，在这些领域中，数线是由在某些方面更容易处理的替代数系定义的。
erdos distance problem
保罗-厄多斯提出了这样一个问题：平面上的 $N$ 点决定了多少个不同的距离。厄多斯发现，如果把这些点按正方形网格排列，那么不同距离的数目是 $\sim \frac{N}{\sqrt{log N}}$。他猜想，对于任何 $N$ 点的排列，不同距离的个数是 $\gtrsim \frac{N}{sqrt\log N}}$。
平面中一组 $N$ 点决定了 $\gtrsim \frac{N}{log N}$ 不同的距离。
许多学者都证明了不同距离的下限。这些包括但不限于。最新的下限表示距离的数量级是 $\gtrsim N^{.8641}$。
Elekes 和 Sharir 针对明显距离问题提出了一种全新的方法，它以一种新颖的方式利用了问题的对称性。他们提出了证明定理 的计划，我们在本文中将沿用这一计划。他们的方法将不同距离问题与三维入射几何联系起来。利用他们的论证，定理 可以从下面关于 $\mathbb{R}^3$ 中直线入射角的估计中得出。
定理 . 设 $mathcal{L}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中 $N^2$ 直线的集合。假设 $mathcal{L}$ 包含任意平面或任意褶皱中的 $lesssim N$ 条直线. 假设 2 \leq k \leq N$. 那么至少有 $k$ 条直线上的点的个数为 $\lesssim N^3 k^{-2}$。
最近，多项式方法在入射几何方面取得了很大进展。Dvir 用多项式方法证明了有限域 Kakeya 猜想，这可以看作是有限域上入射几何的一个问题。多项式方法被应用于 $\mathbb{R}^3$ 中的入射几何问题，解决了joints theorem。该方法后续得到简化和推广。Kaplan、Sharir 和 Shustin以及 Quilodrán解决了更高维度的joints theorem。
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Combinatorics组合学的相关课后作业范例
这是一篇关于组合学Math 401: Combinatorics的作业
Show that the number of set-partitions of $[n]$ such that $i$ and $i+1$ are not in the same set for all $1 \leq i \leq n-1$ is the number of set-partitions of $[n-1]$.
Solution by Christina Meng. Looking at the left hand side, we can think of this problem in terms of rook placements: we want to place rooks in a board with rows $n-1, n-2, \cdots, 1$. But if we can’t have $i$ and $i+1$ in the same partition, then we can’t have any rooks in the bottom corner, making this equivalent to just a rook placement for a board with rows $n-2, n-3, \cdots, 1$, and we’re done because this is just the right hand side!
Solution by Sophia Xia. Construct a bijection between the two sets. Given a partition $\pi$ of $[n-1]$, we want to map this to a partition of $[n]$ with no two consecutive integers in the same block.
Look at each block in the partition. For every maximal sequence $i, i+1, \cdots, j$ of consecutive integers in a block of $\pi$, remove $j-1, j-3, \cdots$, until either $i$ or $i+1$, and place them in a block with $n$. We can check that this gives a partition of $[n]$ with no two consecutive integers in the same block. To go backwards, look at all the things in the same block as $n$ and put those elements back! Put $k$ in the block with $k+1$.
最后的总结：
通过对Combinatorics组合学各方面的介绍，想必您对组合学有了初步的认识。Combinatorics组合学对于学习数学知识起到了至关重要的作用。所以一定要打好坚实的基础去准备学习这门课程。但如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。