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组合学是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Ideals and Principal Ideal Domains
We begin with the definition of an ideal which will be a key concept in our later discussions.
Definition 1.33. Let $R$ be a ring (as always commutative with identity). A non-empty subset $I$ of $R$ is called an ideal if
(i) $a+b$ belongs to $I$ for all $a$ and $b$ in $I$, and
(ii) $a r$ belongs to $I$ for all $a \in I$ and all $r \in R$.
Example 1.34. Since ideals are non-empty, every ideal contains some element $a$, and therefore contains $0 \times a=0$. Thus every ideal contains 0 , and the set ${0}$ itself forms an ideal, called the zero ideal. Further, the whole ring $R$ is also an ideal.
If an ideal $I$ contains a unit $u$, then it must contain $u u^{-1}=1$, and hence must contain all elements in $R$ (upon using property (ii)). Thus if $R$ is a field, then there are only two ideals in $R$, namely ${0}$ and $R$.
Example 1.35. If $a$ is any element in $R$, then the set of multiples of $a$, namely ${a r: r \in R}$, forms an ideal. We denote this ideal by $(a)$, and call this the ideal generated by $a$. More generally, if $a_1, \ldots, a_n$ are elements of $R$, then the ideal generated by them is
$$
\left(a_1, \ldots, a_n\right)=\left{a_1 r_1+a_2 r_2+\ldots+a_n r_n: r_1, \ldots, r_n \in R\right} .
$$
You should check that this is indeed an ideal.
Definition 1.36. In any ring $R$ an ideal (a) generated by one element is called a principal ideal. An integral domain where every ideal is principal is called a Principal Ideal Domain (abbreviated PID).
Example 1.37. The integers form a basic example of a PID. To see this, suppose $I$ is an ideal in $\mathbb{Z}$. If $I={0}$ then it is clearly principal. Suppose then that $I$ contains non-zero elements, and let $n$ be the smallest positive integer in $I$. We claim that $I=(n)$ is the set of multiples of $n$. If this is not true then there must be some integer $m \in I$ which is not a multiple of $n$. Divide $m$ by $n$ to extract a quotient and remainder: thus $m=n q+r$ with $1 \leq r<n$. Since $m$ and $n q$ are in the ideal $I$, it follows that $r$ must also be in $I$. But this contradicts the assumption that $n$ was the smallest positive integer in $I$. In Section $1.8$ we shall generalize this idea and give further examples of PIDs.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Greatest common divisors
Definition 1.39. Let $a$ and $b$ be two elements in an integral domain $R$, with at least one of $a$ or $b$ being non-zero. An element $d \in R$ that divides both $a$ and $b$ is called a common divisor of $a$ and $b$. A common divisor $g$ of $a$ and $b$ is called a greatest common divisor if every common divisor of $a$ and $b$ also divides $g$.
Note, we have not said anything about the existence or uniqueness of the greatest common divisor. Indeed in Exercise 11 below, you will find an example of an integral domain where there are are elements that do not have a greatest common divisor. Further, if a greatest common divisor $g$ exists, then you should check that $g u$ is also a greatest common divisor for any unit $u$. But apart from this, the greatest common divisor (if it exists) is unique – for if $g_1$ and $g_2$ are two greatest common divisors then $g_1 \mid g_2$ (since $g_1$ is a common divisor and $g_2$ is a greatest common divisor) and similarly $g_2 \mid g_1$, and now use Lemma $1.28$ to conclude that $g_1$ and $g_2$ are associates. We may sometimes refer to “the greatest common divisor” (when a greatest common divisor exists), but this refers to an arbitrary choice among the associates.
We now show that in a PID, the greatest common divisor of two elements can always be found, and moreover it is a linear combination of the two elements.
Proposition 1.40. If $R$ is a PID then there exists a greatest common divisor $g$ for any two elements $a$ and $b$ (not both zero). Further we may write
$$
g=a x+b y
$$
for some elements $x, y$ in $R$.
Proof. Given $a$ and $b$ consider the ideal $I=(a, b)$ generated by $a$ and $b$. That is, $I={a x+b y: x, y \in R}$. Since $R$ is a PID, the ideal $I$ must be principal. Say $I=(d)$. We claim that $d$ is a gcd of $a$ and $b$ (and all other gcd’s are associates of $d$ ).
Note that $I$ consists of the multiples of $d$, and since $I$ contains $a$ and $b$, it follows that $a$ and $b$ are both multiples of $d$. Thus $d$ is a common divisor of $a$ and $b$.
If $f$ is a common divisor of $a$ and $b$, then $f$ divides all elements of the form $a x+b y$; that is, $f$ divides all elements of $I$. Therefore $f$ must divide $d$. This proves that $d$ is a gcd, and the proposition follows.
组合学代考
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Ideals and Principal Ideal Domains
我们从理想的定义开始，这将是我们后面讨论中的一个关键概念。
定义 1.33。让 $R$ 是一个环 (总是与身份交换)。非空子集 $I$ 的 $R$ 被称为理想如果 (i) $a+b$ 属于 $I$ 对全部 $a$ 和 $b$ 在 $I$ ，和
(ii) $a r$ 属于 $I$ 对全部 $a \in I$ 和所有 $r \in R$.
示例 1.34。由于理想是非空的，因此每个理想都包含一些元素 $a$ ，因此包含 $0 \times a=0$. 因此每个理想都 包含 0 ，并且集合0本身形成一个理想，称为零理想。此外，整个环 $R$ 也是一种理想。
如果一个理想 $I$ 包含一个单位 $u$ ，那么它必须包含 $u u^{-1}=1$ ，因此必须包含所有元素 $R$ （在使用属性 (ii) 时）。因此，如果 $R$ 是一个场，那么其中只有两个理想 $R$ ，即 0 和 $R$.
示例 1.35。如果 $a$ 是任何元素 $R$, 那么一组的倍数 $a$ ，即 $a r: r \in R$ ，形成一个理想。我们将这个理想表示 为 $(a)$ ，并将其称为由 $a$. 更一般地，如果 $a_1, \ldots, a_n$ 是元素 $R$ ，那么他们产生的理想就是
你应该检查这确实是一个理想。
定义 1.36。在任何环 $R$ 由一个元素产生的理想（a）称为主理想。每个理想都是主要的积分域称为主要理 想域 (缩写为PID)。
示例 1.37。这些整数构成了 PID 的一个基本示例。要看到这一点，假设 $I$ 是一个理想的 $\mathbb{Z}$. 如果 $I=0$ 那 么它显然是主要的。那么假设 $I$ 包含非零元素，并且让 $n$ 是最小的正整数 $I$. 我们声称 $I=(n)$ 是的倍数的 集合 $n$. 如果这不是真的那么必须有一些整数 $m \in I$ 这不是的倍数 $n$. 划分 $m$ 经过 $n$ 提取商和余数：因此 $m=n q+r$ 和 $1 \leq r<n$. 自从 $m$ 和 $n q$ 在理想中 $I$ ，它遵循 $r$ 也必须在 $I$. 但这与假设相矛盾 $n$ 是最小的 正整数 $I$. 在节 $1.8$ 我们将概括这个想法并给出更多 PID 的例子。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Greatest common divisors
定义 1.39。让 $a$ 和 $b$ 是积分域中的两个元素 $R$, 至少有一个 $a$ 或者 $b$ 非零。一个元素 $d \in R$ 将两者分开 $a$ 和 $b$ 被称为公约数 $a$ 和 $b$. 公约数 $g$ 的 $a$ 和 $b$ 被称为最大公约数，如果每个公约数 $a$ 和 $b$ 也分 $g$.
请注意，我们还没有提到最大公约数的存在性或唯一性。事实上，在下面的练习 11 中，您会发现一个整 数域的示例，其中有些元素没有最大公约数。此外，如果最大公约数 $g$ 存在，那么你应该检查 $g u$ 也是任何 单位的最大公约数 $u$. 但除此之外，最大公约数（如果存在的话）是唯一的一一因为如果 $g_1$ 和 $g_2$ 是两个最 大公约数 $g_1 \mid g_2$ （自从 $g_1$ 是公约数并且 $g_2$ 是最大公约数）并且类似地 $g_2 \mid g_1$ ，现在使用引理 $1.28$ 得出 结论 $g_1$ 和 $g_2$ 是同事。我们有时可能会提到“最大公约数”（当存在最大公约数时），但这是指在关联方中任 意选择。
现在证明在一个PID中，总能找到两个元素的最大公约数，而且是两个元素的线性组合。
提案 1.40。如果 $R$ 是 PID 则存在最大公约数 $g$ 对于任意两个元素 $a$ 和 $b$ (不是都为零)。进一步我们可以写
$$
g=a x+b y
$$
对于某些元素 $x, y$ 在 $R$.
证明。鉴于 $a$ 和 $b$ 考虑理想 $I=(a, b)$ 产生于 $a$ 和 $b$. 那是， $I=a x+b y: x, y \in R$. 自从 $R$ 是一个PID， 理想 $I$ 必须是校长。说 $I=(d)$. 我们声称 $d$ 是一个 $g c d a$ 和 $b$ (所有其他 $g c d$ 都是 $d$ ).
注意 $I$ 由以下的倍数组成 $d$, 并且因为 $I$ 包含 $a$ 和 $b$ ，它遵循 $a$ 和 $b$ 都是的倍数 $d$. 因此 $d$ 是公约数 $a$ 和 $b$.
如果 $f$ 是公约数 $a$ 和 $b$ ，然后 $f$ 划分表格的所有元素 $a x+b y ;$ 那是， $f$ 划分的所有元素 $I$. 所以 $f$ 必须分开 $d$. 这证明 $d$ 是一个 gcd，命题如下。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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