如果你也在 怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。
交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dual Basis Lemma
Proposition 3.12. (Dual Basis Lemma) For an $R$-module $M$, the following are equivalent:
(i) There exists an index set I, elements $\left{a_i\right}_{i \in I}$ of $M$ and homomorphisms $\left{f_i\right.$ : $M \rightarrow R}_{i \in I}$ such that for each $a \in M,\left{i \in I \mid f_i(a) \neq 0\right}$ is finite, and
$$
a=\sum_{i \in I} f_i(a) a_i .
$$
(ii) $M$ is projective.
Proof. (i) $\Longrightarrow$ (ii): Let $F$ be the free $R$-module with basis elements $\left{e_i\right}_{i \in I}$, and define $f: F \rightarrow M$ by $f\left(e_i\right)=a_i$. Then the map $\iota: M \rightarrow F$ given by $\iota(a)=\sum_{i \in I} f_i(a) e_i$ is a section of $f$, so $M$ is a direct summand of $F$.
(ii) $\Longrightarrow$ (i): Let $f: F=\bigoplus_{i \in I} R \rightarrow M$ be an epimorphism from a free $R$-module onto $M$. Since $M$ is projective, there exists a section $\iota: M \hookrightarrow F$. If $\left{e_i\right}_{i \in I}$ is the standard basis of $F$, then for all $a \in M$, the expression
$$
\iota(a)=\sum_{i \in I} f_i(a) e_i
$$
defines the necessary family of functions $f_i: M \rightarrow R$.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective versus free
Having established some basic facts about projective modules, we should now seek examples in nature: which modules are projective? Note that by Exercise 3.25 any free module is projective. But this surely counts as a not very interesting example! Indeed the following turns out to be one of the deepest questions of the subject.
QUESTION 1. When is a projective module free?
We want to give examples to show that the answer to Question 1 is not “always”. But even by giving examples one wades into somewhat deep waters. The following is the one truly “easy” example of a non-free projective module I know.
Example: Suppose $R_1$ and $R_2$ are nontrivial rings. Then the product $R=R_1 \times R_2$ admits nonfree projective modules. Indeed, let $P$ be the ideal $R_1 \times{0}$ and $Q$ the ideal ${0} \times R_2$. Since $R=P \oplus Q, P$ and $Q$ are projective. On the other hand $P$ cannot be free because taking $e:=(0,1) \in R$, we have $e P=0$, whereas $e F \neq 0$ for any nonzero free $R$-module $F$ (and of course, $Q$ is not free either for similar reasons).
Question 1 may be construed in various ways. One way is to ask for the class of rings over which every projective module is free, or over which every finitely generated projective module is free. I actually do not myself know a complete answer to this question, but there are many interesting and important special cases.
Recall the following result from undergraduate algebra.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dual Basis Lemma
提案3.12(对偶基引理)对于$R$ -module $M$，以下是等价的:
(1)存在一个索引集i、$M$的元素$\left{a_i\right}{i \in I}$和同态$\left{f_i\right.$: $M \rightarrow R}{i \in I}$，使得每个$a \in M,\left{i \in I \mid f_i(a) \neq 0\right}$都是有限的，且
$$
a=\sum_{i \in I} f_i(a) a_i .
$$
(ii) $M$是投射性的。
证明。(i) $\Longrightarrow$ (ii):设$F$为自由的$R$ -模块，其基元素为$\left{e_i\right}{i \in I}$，并用$f\left(e_i\right)=a_i$定义$f: F \rightarrow M$。那么，$\iota(a)=\sum{i \in I} f_i(a) e_i$给出的地图$\iota: M \rightarrow F$是$f$的一个部分，因此$M$是$F$的直接求和。
(ii) $\Longrightarrow$ (i):设$f: F=\bigoplus_{i \in I} R \rightarrow M$是一个从自由的$R$ -模块到$M$的外胚。因为$M$是投影的，所以存在一个节$\iota: M \hookrightarrow F$。如果$\left{e_i\right}{i \in I}$是$F$的标准基，那么对于所有的$a \in M$，表达式 $$ \iota(a)=\sum{i \in I} f_i(a) e_i
$$
定义必要的函数族$f_i: M \rightarrow R$。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective versus free
在建立了一些关于投影模的基本事实之后，我们现在应该在自然界中寻找例子:哪些模是投影的?注意，在习题3.25中，任何自由模块都是投影的。但这肯定是一个不太有趣的例子!事实上，下面的问题是这个主题最深刻的问题之一。
问题1。投影模块什么时候是免费的?
我们想举例说明问题1的答案不是“总是”。但即使是举例子，也要涉水很深。以下是我所知道的一个真正“简单”的非自由投影模块的例子。
示例:假设$R_1$和$R_2$是非平凡环。那么产品$R=R_1 \times R_2$允许非自由投影模块。的确，让$P$成为理想的$R_1 \times{0}$，让$Q$成为理想的${0} \times R_2$。因为$R=P \oplus Q, P$和$Q$是投影的。另一方面，$P$不能是自由的，因为取$e:=(0,1) \in R$，我们有$e P=0$，而$e F \neq 0$对于任何非零的自由$R$ -模块$F$(当然，$Q$也不是自由的，出于类似的原因)。
问题1可以有多种解释。一种方法是求出所有射影模都是自由的环，或者所有有限生成的射影模都是自由的环。实际上，我自己也不知道这个问题的完整答案，但有许多有趣而重要的特殊情况。
回想一下本科代数的结果。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。