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凸优化Convex optimization无约束可以很容易地用梯度下降(最陡下降的特殊情况)或牛顿方法解决，结合线搜索适当的步长;这些可以在数学上证明收敛速度很快，尤其是后一种方法。如果目标函数是二次函数，也可以使用KKT矩阵技术求解具有线性等式约束的凸优化(它推广到牛顿方法的一种变化，即使初始化点不满足约束也有效)，但通常也可以通过线性代数消除等式约束或解决对偶问题来解决。
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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|GENERALIZED SIMPLICIAL DECOMPOSITION
In this section we will aim to highlight some of the applications and the fine points of the general algorithm of the preceding section. As vehicle we will use the simplicial decomposition approach, and the problem
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f(x)+c(x) \
& \text { subject to } x \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
where $f: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$ and $c: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$ are closed proper convex functions. This is the Fenchel duality context, and it contains as a special case the problem to which the ordinary simplicial decomposition method of Section 4.2 applies (where $f$ is differentiable, and $c$ is the indicator function of a bounded polyhedral set). Here we will mainly focus on the case where $f$ is nondifferentiable and possibly extended real-valued.
We apply the polyhedral approximation scheme of the preceding section to the equivalent EMP
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{minimize} f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right) \
& \text { subject to }\left(x_1, x_2\right) \in S,
\end{aligned}
$$
where
$$
f_1\left(x_1\right)=f\left(x_1\right), \quad f_2\left(x_2\right)=c\left(x_2\right), \quad S=\left{\left(x_1, x_2\right) \mid x_1=x_2\right} .
$$
Note that the orthogonal subspace has the form
$$
S^{\perp}=\left{\left(\lambda_1, \lambda_2\right) \mid \lambda_1=-\lambda_2\right}=\left{(\lambda,-\lambda) \mid \lambda \in \Re^n\right} .
$$
Optimal primal and dual solutions of this EMP problem are of the form $\left(x^{o p t}, x^{o p t}\right)$ and $\left(\lambda^{o p t},-\lambda^{o p t}\right)$, with
$$
\lambda^{o p t} \in \partial f\left(x^{o p t}\right), \quad-\lambda^{o p t} \in \partial c\left(x^{o p t}\right),
$$
consistently with the optimality conditions of Prop. 4.4.1. A pair of such optimal solutions $\left(x^{o p t}, \lambda^{o p t}\right)$ satisfies the necessary and sufficient optimality conditions of the Fenchel Duality Theorem [Prop. 1.2.1(c)] for the original problem.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Dual/Cutting Plane Implementation
Let us also provide a dual implementation, which is an equivalent outer linearization/cutting plane-type of method. The Fenchel dual of the minimization of $f+c$ [cf. Eq. (4.31)] is
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda)+c^{\star}(-\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
where $f^{\star}$ and $c^{\star}$ are the conjugates of $f$ and $c$, respectively. According to the theory of the preceding section, the generalized simplicial decomposition algorithm (4.32)-(4.34) can alternatively be implemented by replacing $c^$ by a piecewise linear/cutting plane outer linearization, while leaving $f^$ unchanged, i.e., by solving at iteration $k$ the problem
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda)+C_k^{\star}(-\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
where $C_k^{\star}$ is an outer linearization of $c^{\star}$ (the conjugate of $C_k$ ). This problem is the (Fenchel) dual of problem (4.32) [or equivalently, the low-dimensional problem (4.36)].
Note that solutions of problem (4.37) are the subgradients $\lambda_k$ satisfying $\lambda_k \in \partial f\left(x_k\right)$ and $-\lambda_k \in \partial C_k\left(x_k\right)$, where $x_k$ is the solution of the problem (4.32) [cf. Eq. (4.33)], while the associated subgradient of $c^*$ at $-\lambda_k$ is the vector $\tilde{x}k$ generated by Eq. (4.34), as shown in Fig. 4.5.1. In fact, the function $C_k^{\star}$ has the form $$ C_k^{\star}(-\lambda)=\max {j \in J_k}\left{c\left(-\lambda_j\right)-\tilde{x}_j^{\prime}\left(\lambda-\lambda_j\right)\right}
$$
where $\lambda_j$ and $\tilde{x}_j$ are vectors that can be obtained either by using the generalized simplicial decomposition method (4.32)-(4.34), or by using its dual, the cutting plane method based on solving the outer approximation problems (4.37). The ordinary cutting plane method, described in the beginning of Section 4.1, is obtained as the special case where $f^{\star}(\lambda) \equiv 0$ [or equivalently, $f(x)=\infty$ if $x \neq 0$, and $f(0)=0$ ].
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|GENERALIZED SIMPLICIAL DECOMPOSITION
在本节中，我们将重点介绍前一节通用算法的一些应用和优点。作为载体，我们将使用简单分解的方法，以及这个问题
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f(x)+c(x) \
& \text { subject to } x \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
其中$f: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$和$c: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$为闭固有凸函数。这是Fenchel对偶上下文，它包含了一个特殊的问题，适用于4.2节的普通简单分解方法(其中$f$是可微的，$c$是有界多面体集的指示函数)。这里我们主要关注$f$不可微且可能是扩展实值的情况。
我们将前一节的多面体近似格式应用于等效EMP
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{minimize} f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right) \
& \text { subject to }\left(x_1, x_2\right) \in S,
\end{aligned}
$$
在哪里
$$
f_1\left(x_1\right)=f\left(x_1\right), \quad f_2\left(x_2\right)=c\left(x_2\right), \quad S=\left{\left(x_1, x_2\right) \mid x_1=x_2\right} .
$$
注意正交子空间有这样的形式
$$
S^{\perp}=\left{\left(\lambda_1, \lambda_2\right) \mid \lambda_1=-\lambda_2\right}=\left{(\lambda,-\lambda) \mid \lambda \in \Re^n\right} .
$$
该EMP问题的最优原解和对偶解分别为$\left(x^{o p t}, x^{o p t}\right)$和$\left(\lambda^{o p t},-\lambda^{o p t}\right)$，其中
$$
\lambda^{o p t} \in \partial f\left(x^{o p t}\right), \quad-\lambda^{o p t} \in \partial c\left(x^{o p t}\right),
$$
符合Prop. 4.4.1的最优性条件。一对这样的最优解$\left(x^{o p t}, \lambda^{o p t}\right)$满足Fenchel对偶定理的充分必要最优性条件。1.2.1(c)]的原始问题。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Dual/Cutting Plane Implementation
让我们还提供一个双重实现，这是一个等效的外线性化/切割平面类型的方法。最小化$f+c$的Fenchel对偶[参见式(4.31)]为
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda)+c^{\star}(-\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
其中$f^{\star}$和$c^{\star}$分别是$f$和$c$的共轭。根据上一节的理论，广义简单分解算法(4.32)-(4.34)也可以在保持$f^$不变的情况下，用分段线性/切割平面外线性化代替$c^$来实现，即在迭代$k$时求解问题
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda)+C_k^{\star}(-\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \Re^n,
\end{aligned}
$$
其中$C_k^{\star}$是$c^{\star}$的外线性化($C_k$的共轭)。这个问题是问题(4.32)的(Fenchel)对偶[或等价地，低维问题(4.36)]。
注意，问题(4.37)的解是满足$\lambda_k \in \partial f\left(x_k\right)$和$-\lambda_k \in \partial C_k\left(x_k\right)$的子梯度$\lambda_k$，其中$x_k$是问题(4.32)的解[参见Eq.(4.33)]，而$c^*$在$-\lambda_k$的相关子梯度是由Eq.(4.34)生成的向量$\tilde{x}k$，如图4.5.1所示。实际上，函数$C_k^{\star}$的形式是$$ C_k^{\star}(-\lambda)=\max {j \in J_k}\left{c\left(-\lambda_j\right)-\tilde{x}_j^{\prime}\left(\lambda-\lambda_j\right)\right}
$$
其中$\lambda_j$和$\tilde{x}_j$是向量，可以使用广义简单分解方法(4.32)-(4.34)，也可以使用其对偶，即基于求解外部逼近问题的切割平面方法(4.37)来获得。在4.1节开头描述的普通切割平面方法，是作为$f^{\star}(\lambda) \equiv 0$[或等价的$f(x)=\infty$如果$x \neq 0$和$f(0)=0$]的特殊情况得到的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。